Часові методи інтегрування

Размещено на http://www.allbest.ru/

Часові методи інтегрування

Нехай нам потрібно знайти періодичний режим із періодом Тс в нелінійній неавтономній схемі. Припустимо, процеси в схемі описуються системою диференційних рівнянь першого порядку

(1)

де t - час; хm - координати, які визначають стан схеми; точка над координатою означає , то диференціювання в часі. Якщо Т - період зовнішньої дії.

Припустимо, перехідний процес практично завершується за l періодів. Тому на l-м періоді значення кожної з m координат на початку і в кінці періода майже співпадає

,

де t0 - момент часу, для котрого задаються частково умови;еm - допустима різниця координат на початку та кінці періоду. Записану нерівність можна прийняти за критерій досягнення періодичного режиму. Це - не єдина форма критерію. Досить розповсюджене визначення, спираючись на середньоквадратичну похибку за всіма координатами

,

max .

Ми об'єднаємо ці вирази в один

. (2)

Тут - вектор-стовпець координат, взятий у відповідний момент часу; індекс Т означає транспонування, тобто перевід вектора - рядка у вектор-стовпець; - норма різниці векторів, яка знаходиться одним з двох розглянутих способів.

Таким чином, якщо перехідний процес завершиться через l періодів з заданою точністю, то після інтегрування диференційних рівнянь протягом інтервалу часу Tc нерівність (2) повинна виконуватися. Звичайно тривалість перехідного процесу точно не відома, тому (2) перевіряється на кожному періоді.

Назвемо розглянутий спосіб розрахунку періодичного режиму прямим інтегруванням. Для порівняння з іншими способами, які згадувалися вище, розглянемо прямий метод з іншої точки зору. Початкові умови в момент t0 задавались вектором

.

Після інтегрування протягом першого періоду було знайдено вектор , який визначає початкові умови для другого періоду . Інтегрування з цими початковими умовами протягом другого періоду дає вектор , який задає початкові умови для третього періоду і т. д. Описана процедура дозволяє ввести вектор-функцію, котра перетворить вектор початкових умов для (k+1) - го періоду

. (3)

Перетворення одного вектора в інший виконується інтегруванням протягом періоду системи (1). Співвідношення (3) в координатній формі виглядає так:

При досягненні періодичного режиму вектори і співпадуть і дадуть вектор , який є рішенням рівняння

. (4)

І знову рівняння (4) дає компактний запис системи

Підведемо підсумок висловленому, звернувши увагу на деякі речі.

Метод прямого інтегрування можна звести до знаходження для системи диференційних рівнянь початкових умов, відповідних періодичному режиму. Ці початкові умови дозволяють отримати шукану періодичну функцію з періодом , для чого треба проінтегрувати диференційне рівняння протягом часу, рівного .

Пряме інтегрування еквівалентно розрахунку коренів системи трансцендентних рівнянь (4), котре проводиться методом послідовного зближення (простих ітерацій). Алгоритм методу задається виразом (3), де k - номер ітерації. Число ітерацій співпадає з кількістю періодів , укладених на відрізку часу, протягом якого продовжується перехідний процес.

Зведення задачі обчислення періодичного режиму прямим інтегруванням до визначення коренів системи трансцендентних рівнянь дає можливість скористатись іншими методами, в яких кількість ітерацій менша, ніж при послідовних зближеннях. Справа в тому, що розрахунок коренів трансцендентних рівнянь - давня задача обчислювальної математики. І її можна розв'язати не тільки простими ітераціями, але й методом Ньютона, а також методом січної. При цьому при інших рівних умовах потрібне число ітерацій в цих методах менше, ніж при послідовних зближеннях. А це скорочує число періодів, протягом яких треба інтегрувати диференційне рівняння.

Розглянемо сутність цих методів на прикладі рішення алгебраїчного рівняння третього ступеня

. (5)

.

Тоді. (6)

На рис. 1 побудовані ліва та права частини (6) і показано кілька послідовних зближень від нульового значення. Алгоритм методу задано виразом (3). Через 30 ітерацій отримано (похибка складає 0.08%).

Зміст цього виразу (див. рис. 2): нехай звісна приблизна величина кореня , якому відповідає значення ; в цій точці проводиться дотична до кривої

;

перетинання дотичної з віссю абсцис (y=0) дозволяє знайти більш точне значення кореня .

Рисунок 2 - Розрахунок кореня за методом Ньютона

Розрахунок за формулою (7) з тим же нульовим початковим значенням через три ітерації привів до величини, яка відрізняється від одиниці в сьомому знаку. Така швидка збіжність методу виявляється його позитивною властивістю. Друга позитивна якість в тому, що метод збігається завжди, якщо взято досить добре початкове зближення. Зазначимо, що подібної властивості немає у попереднього методу: прості ітерації можуть розходитись скільки б близьким до точного рішення не було початкове значення. Недолік методу Ньютона - використання похідної. Коли функція не задана аналітично, це завдає значних труднощів в розрахунках.

Зазначеного недоліку немає в методі січної. Його алгоритм задається формулою

.

Зміст методу пояснимо таким чином (див. рис. 3): два початкових значення кореня ( і ) задають дві точки на кривій Ф(x) , через які проведена січна

.

Перетинання її з віссю абсцис (y=0) визначає більш точне значення кореня ().

Рисунок 3 - Розрахунок кореня методом Стефенсена

Якщо значення і пов'язані умовою

,

то отримаємо метод Стефенсена

. (8)

У нього така сама швидка збіжність, як і в методі Ньютона. Розрахунки, отримані за допомогою (8), привели до рішення, відмінного від одиниці в сьомому знаку вже через три ітерації.

Опишемо алгоритм методу Ньютона, який обчислює для диференційних рівнянь початкові значення, відповідні періодичному режиму. Заради наочності розглянемо одновимірний випадок, тобто замість системи (1) матимемо справу з одним рівнянням .

Крок 1: ввести початкове значення .

Крок 2: проінтегрувати диференційне рівняння при початковому значенні від до і знайти ; розрахувати .

Крок 3: проінтегрувати диференційне рівняння при початкових значеннях в таких же межах, як і на кроці 2;

знайти ;

розрахувати .

Крок 4: знайти .

Крок 5: розрахувати за формулою (7).

Крок 6: перевірити виконання нерівності ; якщо вона виконується, то завершити пошук рішення, якщо ні, то прийняти та йти до кроку 2.

Як видно, похідна знаходиться чисельним диференціюванням, що змушує в кожній ітерації двічі інтегрувати рівняння: один раз при заданому початковому значенні , другий - при малому його збуренні. В n-вимірному випадку число інтегрувань системи рівнянь протягом однієї ітерації дорівнює n+1. Це виникає від того, що треба розрахувати похідні по всім n змінним. Тому при великому порядку системи алгоритм Ньютона може і не давати виграшу порівняно з простими ітераціями.

Звернемось до методу Стефенсена і, маючи на увазі одновимірний випадок, порівняємо його з методом Ньютона. В алгоритмі Стефенсена кроки 1 та 2 такі самі, як і в попередньому алгоритмі.

Крок 3: проінтегрувати диференційне рівняння при початкових

значеннях і знайти ; розрахувати

Крок 4: вирахувати за допомогою формули (8).

Крок 5: співпадає з кроком 6 попереднього алгоритму.

Тепер за одну ітерацію потрібно тільки двічі інтегрувати або одно рівняння (коли n=1), або систему n-го порядку.

При переході від одного диференційного рівняння до системи n-го порядку співвідношення (7) та (8) стають багатовимірними. Від цього може змінитися форма запису і, головне, її зміст. Наприклад, алгоритм методу Ньютона у n- вимірному випадку запишеться таким чином:

. (9)

Тепер та - вектори-стовпеці, координатами яких є початкові значення змінних системи диференційних рівнянь на k - й і (k+1) - й ітераціях; - вектор-функція (незв'язність) від векторного аргументу; - похідна від вектор-функції по векторній змінній; квадратні дужки вказують, що похідна береться при . Можна показати, що ця похідна являє собою квадратну матрицю порядку n (матрицю Якобі); її елемент, який стоїть на перетині і-го рядка та j-го стовпця, виявляється приватною похідною від і-ї компоненти функції по змінній : ; від'ємна перша ступінь показує, що матриця обернена до Якобієвої.

Щоб пояснити сказане, перепишемо формулу (9), розкриваючи зміст кожного її члена при n=2:

.

Перший індекс змінної визначає її номер, а другий - номер ітерації.

Зупинимось на особливостях розрахунку періодичного режиму в автогенераторах. Як вказувалось, період коливань в них теж є шуканою величиною. Розглянемо розв'язання цієї задачі на прикладі схеми, процеси в якій описуються системою диференційних рівнянь другого порядку

, . (10)

Звернемо увагу, що функції в правій частині явно від часу не залежать. Така властивість рівнянь автономної системи.

Припустимо, рівняння (10) допускають періодичне рішення , яке ми бажаємо знайти, при цьому - невідомий період. Очевидно, задача вважається вирішеною, якщо відомі та два початкових значення ,, відповідні за періодичний режим. Тоді періодичні функції можна знайти інтегруванням за час рівнянь (10) з початковими умовами , .Як видно, потрібно знайти три величини за допомогою двох рівнянь. Нагадаємо, в неавтономному випадку період процесу був відомий і шукалися початкові значення, кількість яких якраз дорівнює порядку системи диференційних рівнянь.

Один із способів, який дозволяє отримати рішення в цих умовах, полягає в тому, що вважають відомим яке-небудь початкове значення, наприклад, . Величина повинна бути вибрана так, щоб функція приймала це значення хоча б раз за період. Наступний переказ спирається на ряд понять теорії коливань.

Нагадаємо їх. Нехай відомі періодичні функції - рішення рівнянь (10). На площині , (рис. 4) це рішення зображено замкнутою кривою, яка зветься граничним циклом. Кожна точка площини визначає стан схеми, тому що при цьому задається значення двох змінних в рівнянні (10), звідки можна знайти величину похідних в часі кожної із координат та встановити, в якому напрямі, переміщуватиметься точка. Тому розглянута площина зветься фазовою, тобто площиною стану, а точка на ній - зображувальною. При існуванні періодичних коливань стан схеми визначається зображувальною точкою, яка рухається по граничному циклу.

Припустимо, що в схемі може з'явитися лише одне коливання. Припустимо також, що це коливання стійке, а початок координат (стан рівноваги) нестійкий (поняття стійкість та нестійкість докладно роз'ясняються пізніше). Тоді яке б початкове місце не займала зображувальна точка, через деякий час вона з'явиться в граничному циклі. Іншими словами, в якому б початковому положенні не знаходилась схема, через деякий час в ній виникнуть періодичні коливання. При цьому зображувальна точка на фазовій площині рухатиметься по кривій, яка намотається на граничний цикл зсередини або зовні.

Нехай вибране початкове значення (рис. 4). Із рисунка видно, що це значення функція приймає двічі за період. Очевидно, так буде завжди, якщо виконуються нерівності . Розв'язання сформульованої вище задачі продовжуватимемо в такій послідовності. На вертикалі, яка проходить через точку (рис.4), відкладемо довільний відрізок, рівний .

Інтегруємо систему (10) з початковими умовами , доти, поки не виконаються рівності

. (11)

Тут k=1, а через позначено час інтегрування. Зрівняймо з . Якщо вони не співпадають, то знову інтегруємо (10) з початковими умовами , і т. д. Розрахунок закінчуємо, якщо . При цьому зображувальна точка опиниться на граничному циклі (рис. 4). Період коливань .

Підкреслимо, як і в неавтономній схемі, тут можна ввести функцію, яка перетворює початкове значення в нову величину

.

Різниця від попереднього в тому, що на кожній ітерації інтегрували рівняння протягом фіксованого відрізка часу, рівного відомому періоду, а тепер ці відрізки різні, оскільки вони визначаються умовами (11). Однак, як і раніше, задача розрахунку періодичного режиму зводиться до знаходження кореня трансцендентного рівняння

.

Размещено на Allbest.ru