Дослідження функцій

Размещено на http://www.allbest.ru/

ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЙ



1. Монотонність функції

ТЕОРЕМА 1 (необхідна і достатня умова сталості функції):

(на (u,v) f(х)=0) (на (u,v) f(x) = const).

Доведення. Прямий висновок: нехай f(х)=0 на (u,v), тоді, за теоремою Лагранжа 4.4,

фби(гбм) (а(и)а(ф) = а(с)(иф)) ю

Оскільки c(u,v), то f(c)=0 і f(b)f(a)=0, звідки f(b)=f(a).

Зворотний висновок:

f(х)=const (f(х)=(const)=0). #

ТЕОРЕМА 2 (необхідна і достатня умова монотонності функції):

(на (u,v) f(х)()0) (f(x) зростає (спадає) і диференційовна на (u,v)).

Доведення для зростаючої функції.

Прямий висновок: нехай f(х)0 на (u,v) і a,b(u,v), причому b>a, тобто ba>0, тоді, використовуючи теорему Лагранжа 4.4, маємо:

а(и)а(ф)=а(с)(иф)0 б тобто а(и)а(ф)0 а(и)а(ф) ю

Зворотний висновок:

. #

ТЕОРЕМА 3 (достатня умова строгої монотонності функції):

якщо на (u,v) f(х)>(<)0,

то f(x) строго зростає (спадає) на (u,v).

Доведення таке саме, як для прямого висновку теореми 2.

ВИСНОВОК: нехай функція f визначена в проколеному околі (а) точки a; монотонність функції може порушиться в цій точці, тільки якщо f(a) не існує або дорівнює нулю. Така точка a називається критичною точкою функції f. Критична точка, в якій похідна дорівнює нулю, називається стаціонарною точкою функції.

2. Екстремуми

ОЗН. 1: точка a називається точкою локального максимуму (мінімуму) функції f, якщо існує окіл U(a), в якому функція визначена і f(x) () f(a). Точки максимуму і мінімуму функції називаються її точками екстремуму. Якщо для точок xa нерівність є строга, то a називається точкою строгого екстремуму (максимуму, мінімуму).

Для строгого екстремуму можна дати ще одно означення: a називається точкою строгого локального екстремуму функції f, якщо існує U(a), в якому f визначена і signf(a)=const0 при xa; при цьому для максимуму f < 0, а для мінімуму f > 0.

ТЕОРЕМА 4 (необхідна умова екстремуму):

якщо a - точка екстремуму функції f,

то a - критична точка цієї функції.

Доведення: якщо a - точка екстремуму, то f(a) або існує, або ні. Якщо існує, то за теоремою Ферма, f(a)=0, тому що існує U(a), для якого f(a) є екстремальним значенням функції. #

Ця умова недостатня, що доводить такий приклад:

для функції y=x³ y(0)=0, але нуль не точка екстремуму, тому що



x<0 y<0, а x>0 y>0.

ТЕОРЕМА 5 (достатня умова строгого екстремуму):

нехай функція f неперервна в точці a і диференційовна в її проколеному околі, тоді:

1) (a - точка строгого максимуму);

2) - точка строгого мінімуму).

Доведення: для відрізку, який міститься між точками a і х(a), за теоремою Лагранжа, маємо:

а(ф) = а(х)а(ф) = а(с)(хф) б

точка c знаходиться між a і x. В першому з випадків, що дово-дяться, f(a)<0 і зліва, і справа від a, отже, a - точка строго-го максимуму. А у другому випадку f(a)>0 і зліва, і справа від a, тому a - точка строгого мінімуму. #

ЗАУВАЖЕННЯ 1: умови теореми 5 не є необхідні, бо

1) означення екстремуму не потребує диференційованості функції в проколеному околі критичної точки;

2) екстремум може існувати і в точці розриву;

3) для існування строгого екстремуму не обов'язкова зміна знака похідної на протилежний при переході через точку екстремуму.

Приклад: неперервна функція



має строгий мінімум у нулі, хоча немає такого околу U(0), в якому знак похідної зліва від нуля був би протилежним до знака похідної справа від нуля.

ЗАУВАЖЕННЯ 2: якщо в точці a функція має розрив, то виконання решти умов теореми 5 не гарантує існування екстремуму в цій точці. Щоб довести це, достатньо розглянути функцію y=1/х² і точку a=0.

ТЕОРЕМА 6 (екстремум і похідні вищих порядків):

нехай а^(т)(ф)0 б тТ б а^(ь)(ф)=0 Якщо при цьому n=2k, то функція f має в точці a строгий екстремум: мінімум при f^(2k)(a)>0, максимум при f^(2k)(a)<0. А якщо n=2k1, то існує окіл U(a), в якому функція f строго монотонна: при f^(2k1)(a)>0 зростає, а при f^(2k1)(a)<0 спадає.

Доведення: за формулою Тейлора з залишковим членом у формі Пеано,

, де ,

отже, існує проколений окіл (а) точки a, в якому

.

Якщо n=2k, то в (а) x^2k >0, і

signf(a)=signf^(2k)(a)=const0,

звідки випливає, що a - точка строгого екстремуму. При цьому f^(2k)(a)<0 f(a)<0 (a - точка максимуму),

f^(2k)(a)>0 f(a)>0 (a - njxrf vіyіveve) /

Нехай тепер n=2k1. Тоді

при f^(2k1)(a)<0 маємо:

(f(x) строго спадає в деякому U(a));

а при f^(2k1)(a)>0:

(f(x) строго зростає в деякому U(a)). #

ВИСНОВКИ:

f(a)>0 (f(х) строго зростає в околі U(a)),

f(a)<0 (f(х) строго спадає в околі U(a));

(f(a)=0, f(х)>0) (a - точка мінімуму),

(f(a)=0, f(х)<0) (a - точка максимуму).

Приклади використання теореми 6:

1) y=x³3х; y=0 в точках x=1, при цьому y(1)=6<0 (х=1 - точка максимуму),

y(1)=6>0 (х=1 - точка мінімуму);

2) y=x³; y=y=0 в точці x=0; оскільки при цьому y(0)=6>0, то існує окіл U(0), в якому функція y(x) строго зростає;

3) y=x⁴; y=y=y=0 в точці x=0; оскільки при цьому y⁽⁴⁾(0)=24>0, то x=0 - точка мінімуму.

3. Опуклість і точки перегину

Якщо f(a), то існує дотична T до графіка функції f в точці (a,f(a)). Рівняння дотичної запишемо у вигляді:

н = а(ф)+а(ф)(чф) н=Е(х)ю

ОЗН. 2: якщо на (u,v):

1) функція f диференційовна, 2) a,xa (f(x) < (>) T(x)), то функція f називається спрямованою опуклістю догори (донизу), або просто опуклою (угнутою) на (u,v).

Таким чином, поведінка функціі на інтервалі характеризуєть-ся напрямом опуклості.

ОЗН. 3: якщо 1) в точці (a,f(a)) існує дотична y=T(x) або x=a, 2) існує проколений окіл (а), в якому напрями опуклості функції f зліва і справа від a протилежні, то a називається точкою перегину функції f, а точка (a,f(a)) - точкою перегину її графіка.

Згідно з цим означенням, точка перегину відділяє інтервал опуклості від інтервала угнутості, в цій точці дотична перетиняє графік функції. Зміна напряму опуклості може траплятися і при переході через точку розриву функції.

Для дослідження функції потрібна зручна для використання ознака напряму опуклості. Її дає:

ТЕОРЕМА 7 (достатня ознака напряму опуклості):

якщо на (u,v) f(х)<(>)0, то функція f опукла (угнута) на (u,v).

Доведення: нехай a,x(u,v). Розглянемо різницю



f(х)T(х) = f(х)f(a)f(a)(xa) = f(a)f(a)(xa).

Перетворимо приріст функції f(a) за допомогою теореми Ла-гранжа 4.4:

а(х)Е(х) = а(с)(чф)а(ф)(чф) = (а(с)а(ф))(чф)б

де c - середня точка між x і a. Тепер використуємо теорему Лагранжа для приросту похідної:

а(х)Е(х) = а(с₁)(сф)(чф)б

де c₁ - середня точка між c і a. Обидві різниці у правій части-ні мають один знак, тому що c і x знаходяться з одного боку від a на чисельній осі. Отже, при xa маємо:

(ca)(xa) > 0 sign(f(х)T(х)) = signf(c₁).

Оскільки c₁(u,v) для будь-якого x(u,v), то f(х)<0

f(c₁)<0 f(х)T(х)<0 f(х)<T(х) на всьому (u,v), тобто на (u,v) функція опукла; в іншому випадку f(х)>0

f(c₁)>0 f(х)T(х)>0 f(х)>T(х) на всьому (u,v), тобто на (u,v) функція угнута. #

ТЕОРЕМА 8 (необхідна ознака точки перегину):

якщо a - точка перегину функції f,

то f(a) не існує або дорівнює нулю.

Доведення: якщо a - точка перегину, то f(a) або існує, або ні. Якщо існує, то в точці a існує дотична

y = T(х) = f(a) + f(a)(xa),

і має місце формула Тейлора

.

З неї випливає, що

.

Якщо тут f0, то існує достатньо малий проколений окіл (а), в якому (xa)²>0, і доданок o((xa)²) є малим порівняно з першим. Виходить, що при f0

sin(х)Е(х))=signf(ф) в (а)б

тобто різниця f(x)T(x) не змінює знак при переході через точку a, що суперечить умові, бо вона є точкою перегину. Отже, f(a) має бути нулем. #

Приклади: для функцій y=x³, y=x^5/3, y=x^1/3

нуль є точкою перегину, при цьому в ній

(х³)=0, а (х^5/3) і (х^1/3) не існують.

ТЕОРЕМА 9 (достатня ознака точки перегину):

якщо існують f(a) і проколений окіл (а), в якому

сталість монотонність екстремум асимтота



,

то a є точкою перегину функції f.

Доведення: оскільки f(a), то в точці a існує дотична, яку визначає рівняння y = T(х) = f(a)+f(a)(xa).

За теоремою 7, sign(fT)=signf(x),

отже, при переході через a різниця fT змінює знак на про-тилежний, тобто a є точкою перегину. #

Приклади: для функцій y=x³ і y=x^5/3 існує y(0), а в деякому (0) y(х) існує і змінює знак при переході через нуль. Отже, нуль є точкою перегину для обох цих функцій.

4. Асимптоти

ОЗН. 4: якщо функція f визначена при x>(<)a, і існує така пряма

y = kx+b, що ,

то ця пряма називається похилою асимптотою функції f при x+ (). Існування похилої асимптоти означає, що при x+ () функція відрізняється від лінійної на нескінченно малу.

ТЕОРЕМА 10 (необхідна і достатня ознака похилої асимптоти):

(пряма y=kx+b - похила асимптота функції f при x+())

.

Доведення:

(пряма y = kx+b - асимптота функції f при x+)

, E),

де E

;

враховуючи, що b/x 0 за умови х+, маємо:

E

.

В окремому випадку, якщо , то k=0, і рівняння асимптоти має вигляд: y=b. #

Приклад: знайдемо асимптоти гіперболи

Розглядаючи тут y як функцію f(x), будемо вважати, що y0. Тоді, перетворюючи рівняння гіперболи, одержимо:

,

звідки

, тобто .

Тепер зробимо інше перетворення, враховуючи, що k²= v²/u²:

а²(х)(лч)² = м² (а(х)лч)(а(х)+лч) = м²б

звідки

, і

Таким чином, і при x+, і при x маємо дві похилі асимптоти

y = kx = (v/u)x.

ОЗН. 5: якщо f(a0)= або f(a+0)=, то пряма x=a називається вертикальною асимптотою функції f.

Приклад: для функцій 1/х, 2^1/x, 1/х² пряма x = 0 є вертикальною асимптотою.

5. Загальне дослідження функції

1) Знайти область визначення функції, дослідити її на парність, періодичність, неперервність. Знайти точки перетину графіка з прямими

x=0, y=0, y=x, y=x.

З'ясувати, чи симетричний графік відносно прямої y=x.

2) Знайти асимптоти.

3) Знайти критичні точки, інтервали монотонності, екстремуми, найбільше і найменше значення функції в її області визначення.

4) Знайти точки, в яких друга похідна дорівнює нулю або не існує, інтервали опуклості і угнутості, точки перегину.

5) Побудувати графік.

ЗАУВАЖЕННЯ 3: якщо функція f парна, то її графік є симетричним відносно осі ординат, а якщо f непарна, то - відносно початку координат. Якщо оперувати поняттям неоднозначної функції, то можна сказати наступне. Коли парною є функція, обернена до f, то сама функція f неоднозначна, а її графік симетричний відносно осі абсцис. Якщо рівність, яка задає функцію, не змінюється, коли змінні y і x міняються місцями, то графік є симетричним відносно прямої y=x.

Приклад дослідження:

.

1) Область визначення D_y = R; функція неперервна на R, не є ні парною, ні непарною, не є також періодичною.

,

тобто графік перетинає вісь ординат на початку координат.

,

тобто, крім точки O, графік перетинає вісь абсцис в точці x=a.



тобто крім точки O, графік перетинає пряму y=x в точці

(a/2, a/2), симетрії відносно цієї прямої нема.

2) Вертикальних асимптот нема, тому що нема точок розриву. Шукаємо похилі асимптоти:

,

;

таким чином, і при x+, і при x є одна і та сама похила асимптота y = x 2a/3.

3) ;

y(х)=0 х= a/3; y(х)= в точках x=0 і x=a.

Визначаючи знак похідної в точках 1, а/10, а/2, 2а, знаходимо:

чБ0 н(х)Ю0 н(х)б 0БхБф.3 н(х)Ю0 н(х)б ф.3БхБф

н(х)Б0 н(х)б фБх н(х)Ю0 н(х)ю

Враховуючи, що функція всюди неперервна, робимо висновки:

на інтервалах (, a/3) і (a,+) функція строго зростає, а на інтервалі (a/3, a) строго спадає;

x=a/3 - точка максимуму, x=a - точка мінімуму, при цьому

.

,

тому найбільшого і найменшого значень функція не має.

4)

в нуль не перетворюється, а не існує в точках x=0 і x=a. Визначаючи знак другої похідної в точках 1, а/2, 2а, знаходимо:

х<0 y(х)>0 y(х) ,

0<х<a y(х)<0 y(х) ,

a<х y(х)<0 y(х) .

Висновки: на інтервалах (0, a) і (a,+) функція опукла, а на (, 0) - угнута, при цьому існує вертикальна дотична x=0, тому нуль є точкою перегину.

6. Наближене обчислення коренів функції

Йдеться про розв'язання рівняння f(x) = 0 чисельним методом. Це можливо, якщо функція f неперервна. На першому етапі знаходять інтервали монотонності функції, в кожному з яких вона має значення протилежних знаків. Для цього треба звичайним чином знайти інтервали монотонності функції і перевірити її знаки на їх кінцях.

Наприклад, у рівнянні



х³3х²9х+6 = 0

функція f(x) диференційовна, тому її монотонність може порушитися тільки в стаціонарних точках. Знаходимо їх:

f(х) = 0 3х² 6х 9 = 0 х{1; 3}.

Отже, маємо три інтервали монотонності:

(; 1), (1; 3), (3; +).

Визначимо знаки функції на кінцях інтервалів:

f()<0, f(1)>0, f(3)<0, f(+)>0

Таким чином, на кожному з трьох інтервалів функція f має значення протилежних знаків. Оскільки f неперервна, це означає, що існує три кореня:

a(;1), b(1; 3), c(3; +)

Щоб зробити перший і третій інтервали скінченними, врахуємо, що f(10) < 0, f(10) > 0, з чого випливає, що a(10;1), c(3;10).

Будь-яке з чисел скінченного інтервалу, який містить корінь, можна розглядати як його наближене значення. Для уточнення значення кореня використовуються методи хорд і дотичних, у відповідності з якими, уточненим значенням кореня вважається точка перетину з віссю абсцис хорди, що сполучає кінці дуги графіка функції на даному інтервалі, або дотичної, проведеної в одному з кінців цієї дуги. Для реалізації цих методів необхідно, щоб на розглядаємому інтервалі не змінювався напрям опуклості. Тому на другому етапі треба звузити отримані інтервали так, щоб на кожному з них не змінювався signf(х).



Продовжимо початий приклад:

f(х)=6х6; f(х)=0 х=1. f(0)<0, f(2)>0,

отже, x=1 є точкою перегину. f(1)<0, тому другий з трьох інтервалів звужується до (1;1). Тепер всі вони готові для уточнення кореня. Розглянемо цю процедуру для деякого інтервалу (х₁,х₂), який містить деякий корінь a. Нехай буде

f(х₁) = y₁ < 0, f(х₂) = y₂ > 0

Проведемо хорду через точки (х₁,y₁) і (х₂,y₂):

. (1)

Ця хорда перетинає вісь абсцис у точці (a_1x,0), де a_1x - уточнене значення кореня. Підставивши цю точку в рівняння хорди (1), отримаємо:

a_1x = (х₁y₂х₂y₁)/(y₂y₁). (2)

Для другого уточнення знаходять f(a_1x). Якщо при цьому

signf(a_1x) = signy_i (i=1;2),

то точку (a_1x,f(a_1x)) підставляють у формулу (2) замість точки (x_i,y_i) і, замість a_1x, одержують a_2x - абсцису точки перетину з віссю Ox другої хорди, і т.д.

Щоб точка перетину дотичної з віссю Ox належала даному інтервалу (х₁,х₂), треба проводити її в тому кінці дуги графіка, в якому signf = signf

Такий кінець обов'язково знайдеться, тому що на даному інтервалі signf змінюється, а signf - ні. Нехай, наприклад,

signf(х₁) = signy₁

Підставляючи в рівняння дотичної

yy₁ = f(x₁)(xx₁)

точку (a_1д,0) її перетину з віссю Ox, одержимо:

a_1д = x₁ y₁/f(x₁)

Для другого уточнення кореня за методом дотичних знахо-дять f(a_1д), в точці (a_1д,f(a_1д)) проводять другу дотичну, яка перетинає вісь Ox в точці (a_2д,0), при цьому

a_2l = a_1l f(a_1l)|f(a_1l)? і n/l/

Якщо умова f(х) = const виконується для даного інтервалу (х₁,х₂), то одне з чисел a_ix і a_iд є наближеним значенням кореня за недостачею, а інше - за надлишком. Тому вважають, що величина |a_ixa_iд| це модуль абсолютної похибки наближеного значення a_ix або a_iд кореня a.

Размещено на Allbest.ru