Числові характеристики випадкових величин
Середнє значення випадкової величини та його властивості. Середні значення функції випадкового вектора. Математичне сподівання випадкових величин, розподілених за найбільш поширеними законами розподілу. Дисперсія випадкової величини та її властивості.
| Рубрика | Математика |
| Вид | реферат |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 12.03.2011 |
| Размер файла | 100,8 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
1
Размещено на http://www.allbest.ru/
Числові характеристики випадкових величин
Вступ
Закон розподілу ймовірностей випадкової величини цілком характеризує її, тому його знання є вичерпною її характеристикою і не потребує будь-яких інших.
Проте часом, коли закон розподілу невідомий, поведінку випадкової величини можна досить вірогідно описати за допомогою її деяких числових параметрів, що характеризують її найістотніші особливості.
У багатьох випадках практично важливо знати тільки середню величину значень, яких набуває випадкова величина, що дає так зване її математичне сподівання.
Опис випадкової величини буде більш докладним, коли до нього буде додано ще її дисперсію, яка характеризує ступінь її розсіювання біля нього. Ще більш детальними характеристиками випадкової величини є її моменти - узагальнення понять математичного сподівання та дисперсії.
1. Середнє значення (математичне сподівання) випадкової величини та його властивості
У випадку дискретної випадкової величини закон розподілу її ймовірностей задається у вигляді ряду (табл. 1).
Таблиця 1
|
|
х1 |
х2 |
… |
xn |
|
|
p |
p1 |
p2 |
… |
pn |
Проведемо серію з незалежних випробувань і позначимо через
кількість випробувань, в яких випадкова величина набула значення . Під час підрахунку середнього арифметичного результатів серії за традиційною
формулою одержимо вираз:
,
де - питома (нормована) частота того, що випадкова величина набула значення . Оскільки в довгих серіях випробувань питома частота
прийняття випадковою величиною значення гранично тяжіє до ймовірності події , тобто , отримуємо формулу:
.
Середнім значенням чи математичним сподіванням дискретної випадкової величини (позначається як ) називається сума добутків її можливих значень на відповідні їм ймовірності:
. (1)
Якщо дискретна випадкова величина може приймати нескінченну множину можливих значень підсумовування у формулі (1) слід також нескінченно подовжити:
,
але для існування математичного сподівання в цьому випадку необхідно, щоб ряд був збіжним.
Щоб одержати формулу для математичного сподівання у випадку неперервної випадкової величини з законом розподілу ймовірностей на інтервалі [] у відповідність їй введемо сіткову функцію, що апроксимує її у вузлах сітки.
Для цього розіб'ємо проміжок зміни неперервного аргументу точками (=1,2,3,…,) на малі інтервали довжиною та позначимо як кількість влучень випадкової величини в інтервал (, ].
При цьому у відповідності до смислу щільності ймовірності неперервної випадкової величини , де - кількість незалежних випробувань. Тому при обчисленні середнього арифметичного результатів серії з випробувань отримаємо:
.
Середнім значенням або математичним сподіванням неперервної випадкової величини , заданої на інтервалі [] (позначається як ), називається число, що визначається за формулою:
.
Властивості математичного сподівання
1. , де .
2. .
3. .
4. Для незалежних випадкових величин і
.
5. Якщо випадкова величина має симетричний розподіл щодо деякої прямої , то .
Центрована випадкова величина. Випадкова величина називається центрованою (позначається як ), якщо її математичне сподівання дорівнює нулю: . При цьому для довільної випадкової величини справедливо:.
Як легко переконатися, операція центрування (отримання з задовільної випадкової величини відповідної їй центрованої) має такі властивості:
, , , де .
Середнє значення функції випадкової величини =().
Нехай у результаті серії з N незалежних випробувань випадкова величина разів потрапляє в інтервал (, ]. Тоді середнє значення випадкової величині обчислюється за формулою:
.
У разі функції неперервної випадкової величини =() її математичне сподівання визначається за формулою:
,
а у випадку функції дискретної випадкової величини має вигляд:
.
Нехай функція y= є монотонно зростаючою. Тоді
Наприклад, =2; .
М2 = .
2. Середні значення функції випадкового вектора =(,)
Розіб'ємо площину на малі області із площами ; .
Рисунок 1
При потраплянні випадкової точки (,) в область Gk .
Отже,
.
- число потраплянь випадкової точки (,) в область Gk.
,
.
3. Математичне сподівання випадкових величин, розподілених за найбільш поширеними законами розподілу
Випадок геометричного закону розподілу.
Pk=(1-p)k-1p=qk-1p; M()=,
Випадок біноміального закону розподілу.
.
Випадок закону розподілу Пуассона.
p(=k)=,
.
Випадок закону показового розподілу.
Випадок нормального закону розподілу.
;
.
4. Дисперсія випадкової величини та її властивості
випадковий величина дисперсія сподівання
Для характеристики ступеня розсіювання випадкової величини щодо свого математичного сподівання застосовується величина, яка називається дисперсією (позначається як ). З цією метою можна було б використати найбільш просту характеристику:
, (2)
сенс якої полягає в тому, що вона є середнім значенням відхилення випадкової величини від її математичного сподівання.
Але з властивостей математичного сподівання та з загальних міркувань про усереднення відхилень випадкової величини від її середнього значення як додатних, так і негативних, випливає, що ця величина завжди дорівнює нулю:
,
тобто не може нічого характеризувати.
Очевидно, що виправити положення можливо як за рахунок введення модуля величини , так і при піднесенні її у парну степінь. Історично було обрано останнє з .
Дисперсією випадкової величини називається математичне сподівання квадрата відхилення її від її математичного сподівання:
.
У разі неперервної та дискретної випадкової величини цю формулу можна конкретизувати у вигляді, відповідно:
,
.
Властивості дисперсії
1.
Дійсно,
2.
3.
4.
Для незалежних випадкових подій:
D(+)=D+D.
D=0, =M=const, M (-M)2=0, =M.
- середнє квадратичне відхилення випадкової величини .
може бути мірою поширеності кривої: чим більше , тим і ширше крива.
Узагальненням понять математичного сподівання та дисперсії випадкової величини є так звані моменти, які визначаються через математичне сподівання.
Початковим моментом -го порядку є математичне сподівання випадкової величини , що позначається як , тобто
.
Центральним моментом -го порядку є математичне сподівання центрованої випадкової величини :
.
5. Дисперсія випадкових величин, розподілених за найбільш поширеними законами розподілу
Випадок геометричного закону розподілу ймовірностей.
Випадок біноміального розподілу ймовірностей.
Випадок розподілу ймовірностей Пуассона.
Рк=
до=0,1,2,… D=.
.
Випадок експонентного закону розподілу ймовірностей.
р=
Випадок нормального розподілу ймовірностей.
D=2
Нормована випадкова величина.
н; Dн=1; Мн=0.
З фізичної точки зору н є безрозмірною випадковою величиною.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Властивості числових характеристик системи випадкових величин. Обчислення кореляційного моменту. Ведення комплексної випадкової величини, характеристичні функції. Види збіжності випадкових величин. Приклади доказів граничних теорем теорії ймовірностей.
реферат [113,9 K], добавлен 12.03.2011Функція розподілу випадкової величини. Найважливіші закони розподілу дискретних випадкових величин. Властивості функції розподілу. Дискретні і неперервні випадкові величини. Геометричний закон розподілу. Біноміальний розподіл випадкової величини.
реферат [178,2 K], добавлен 26.01.2011Основні поняття теорії ймовірності. Аналіз дискретної випадкової величини, характеристика закону розподілу випадкової величини. Знайомство з властивостями функції розподілу. Графічне та аналітичне відображення законів ймовірності дискретних величин.
реферат [134,7 K], добавлен 27.02.2012Закон розподілення дискретної випадкової величини, подання в аналітичній формі за допомогою функції розподілення ймовірності. Числові характеристики дискретних випадкових величин. Значення критерію збіжності Пірсона. Аналіз оцінок математичного чекання.
курсовая работа [105,2 K], добавлен 09.07.2009Оцінка ймовірності відхилення випадкової величини Х від її математичного сподівання. Знаходження дисперсії випадкової величини за допомогою теореми Бернуллі. Застосування для випадкової величини нерівності Чебишова. Суть центральної граничної теореми.
реферат [88,5 K], добавлен 02.02.2010Імовірність несплати податку для кожного підприємця. Випадкова величина в інтервалі. Ряд розподілу добового попиту на певний продукт. Числові характеристики дискретної випадкової величини. Біноміальний закон розподілу, математичне сподівання величини.
контрольная работа [152,5 K], добавлен 16.07.2010Знаходження імовірності за локальною теоремою Муавра-Лапласа. Формула Муавра-Лапласа, інтегральна теорема Лапласа. Дискретна випадкова величина, знаходження функції розподілу. Математичне сподівання і дисперсія випадкової величини; закон розподілу.
контрольная работа [209,3 K], добавлен 10.04.2009Розподіли системи двох випадкових величин, що однозначно визначається сумісним розподілом ймовірностей, який можна задати матрицею. Інтегральна функція розподілу випадкового вектора. Середньоквадратична регресія. Лінійна кореляція нормальних величин.
реферат [253,5 K], добавлен 13.06.2010Особливості статистичних методів оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях. Класифікація помилок вимірювання. Математичне сподівання випадкової величини. Дисперсія як характеристика однорідності вимірювання. Метод виключення грубих помилок.
контрольная работа [145,5 K], добавлен 18.12.2010Визначення ймовірності виходу приладу з ладу. Розв’язок задачі з використанням інтегральної формули Бернуллі та формулу Пуассона. Визначення математичного сподівання, середньоквадратичного відхилення, дисперсії, функції розподілу випадкової величини.
контрольная работа [84,2 K], добавлен 23.09.2014
