Дослідження ймовірнісних характеристик випадкових величин

Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИТЕРНОПІЛЬСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ імені Івана Пулюя

Факультет комп'ютерно-інформаційних систем і програмної інженерії

Кафедра комп'ютерних наук

Контрольна робота

з курсу “Теорія ймовірностей, імовірнісні процеси та математична статистика”

на тему: “Дослідження ймовірнісних характеристик випадкових величин”

Виконав студент Квасніцький В.П.

Керівник роботи ст. викл. Фриз.

Тернопіль-2010

ВСТУП

В процесі свої життєдіяльності в людини постійно виникає необхідність дослідження різних явищ і передбачення того як поведе себе той чи інший об'єкт в різних умовах.

Як правило досліджувана система містить ряд елементів, що мають певну невизначеність. Такі системи називаються стохастичними, оскільки їх поведінка не може бути однозначно прогнозована.

Для того щоб якось спрогнозувати поведінку системи явищ проводять спеціальне дослідження - експеримент. Експеримент - це строга послідовність наперед заданих дій спрямована на отримання однієї або декілька величин, які є результатом експерименту.

Результати експерименту можуть змінюватись не перервано (температура, довжина, вологість) або дискретно (кількість зумовлено на обслуговування, кількість сонячних днів у році). Якщо в ході повторень експерименту в одних і тих же умовах результати будуть різні в силу внутрішньої природи досліджуваного явища, то це означає, що досліджене явище має випадковий характер. В роботі розглядаються величини, які характеризують експеримент та їх властивості.

1. ЙМОВІРНІСНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН

1.1 Випадкова величина

Теорія ймовірностей, як математична теорія, вивчає закономірності масових подій. Пізнавальна цінність її обумовлена тим, що масові випадкові явища у своєму сукупному впливу створюють строгі закономірності. Саме поняття математичної ймовірності було б безплідним, як би не знаходило б свого здійснення у вигляді частоти появи якого не будь наслідку при многократному повторі певного комплексу умов. Математичні закони теорії ймовірностей, одержані внаслідок формалізації реальних статистичних закономірностей, що притаманні масовим випадковим подіям. Ймовірність - є мірою можливості здійснення результату. Формально міра ймовірності є функцією випадкової величини Р(х), яка ставить у відповідність результатам деякі раціональні числа і задовольняє наступним аксіомам:

1) Для будь-якого результату

E 0<P(x)<1

P(S) = 1,

де S - простір виводу або достовірний результат.

2) Якщо Е1, Е2, ..., Еn взаємно виключаючи результати, то справедливе таке співвідношення:

Р(Е1)UP(E2)U… UP(En) = P(E1) + P(E2) + … + P(En)

Випадкова величина - це величина, яка з певною ймовірністю приймає одне із значень простору вибору.

Дискретна випадкова величина - це випадкова величина, яка приймає випадкове ізольовані дискретні значення з певними ймовірностями. Число можливих значень дискретної випадкової величини може бути скінченим або зліченим. Пр. кількість абітурієнтів у поточному році, число студентів у групі.

Неперервна випадкова величина - це випадкова величина, яка може приймати всі значення із певного скінченого або нескінченного проміжку.

1.2 Функція, щільність розподілу випадкової величини та їх властивості

Нехай дискретна випадкова величина задана законом розподілу. Розглянемо подію, яка полягає в тому, що випадкова величина Y прийме яке-небудь значення менше будь-якого числа X. Ця подія має певну ймовірність.

Позначимо

При зміні X будуть змінюватися і ймовірності. Отже F(x) можна розглядати як функцію змінної величини X.

Функцією розподілу випадкової величини Y називається функція F(x), яка виражає для кожного X ймовірність того, що Y прийме яке-небудь значення менше заданого.

F(x) - постійна на інтервалах та має скачки в точках, що відповідають її значенням.

Функція розподілу випадкової величини - це ймовірність

F(x)=P{<x}.

Функція розподілу F(x) неперервна зліва, не спадна на проміжку (-, +), при цьому

F(-)=0, F(+)=1.

Для кожної функції F(x), яка має ці властивості можна побудувати ймовірнісний простір (, , Р) і випадкову величину () на ньому, яка має функцію розподілу F(x).

Випадкова величина називається абсолютно неперервною, якщо існує невід'ємна функція р(х), яка називається щільністю ймовірності , така що

.

Щільністю розподілу називається похідна від функції розподілу випадкової величини.

Функція характеризує щільність, з якою розподіляються значення випадкової величини в даній точці. Інколи називають диференціальною функцією розподілу, або диференціальним законом розподілу.

Терміни “щільність розподілу” або “щільність ймовірності” особливо показові при вживанні механічної інтерпретації розподілу. Тобто, буквально характеризує щільність розподілу маси по , так звану лінійну щільність. Крива, що відображає щільність розподілу випадкової величини, називається кривою розподілу.

Властивості щільності розподілу:

Щільність розподілу -- невід'ємна функція, тобто геометрично значить, що всі криві вище.

,

отже на усьому інтервалі х (-;) подія вірогідна

1.3 Інтеграл Стілтьєса

Нехай на проміжку [a,b] задані дві обмежені функції f(x) і g(x). Розкладемо точками проміжок [a,b] на частини і покладемо

.

Обравши у кожній з частин [] (i=0,1,…,n-1) за точкою обрахуємо значення функції f(x) і помножимо його на відповідний проміжку [] приріст функції g(x)

Нарешті, складемо суму всіх таких добутків:

Ця сума має назву суми Стілтьєса.

Скінченна границя суми Стілтьєса , коли

прямує до нуля називається інтегралом Стілтьєса функції f(x) no функції g(x) и позначається символом

Інтеграл Стілтьєса дав можливість об'єднати однією інтегральною формулою неоднорідні випадки неперервно розподілених випадкових величин.

1.4 Математичне сподівання, дисперсія, моменти вищих порядків

Нехай () - випадкова величина на ймовірному просторі (,, Р). Випадкова величина () має математичне сподівання, якщо існує інтеграл

М=,

де р (х)- щільність розподілу ().

Якщо g(x) - однозначна функція

і , то

Мg()=.

Математичне сподівання суми випадкових величин дорівнює сумі математичних сподівань.

Математичне сподівання добутку незалежних випадкових величин дорівнює добутку математичних сподівань.

В більшості випадків тільки математичне сподівання не може в достатній мірі характеризувати випадкову величину.

Середня заробітна платня не дає можливості казати про питому вагу високо й низькооплачуваних робітників, тобто по математичному сподіванню не можна казати, які відхилення від нього хоча б у середньому можливі. Найбільш розповсюджена міра розсіювання - це дисперсія та безпосередньо отримане з неї середнє квадратичне відхилення.

Розкид значень випадкової величини X від її математичного сподівання а характеризують різницю х_і-а, однак середнє значення їх не може характеризувати розсіювання, тому що, відповідно наслідку, математичне сподівання цієї різниці буде дорівнювати 0. Отже розглядають квадрати вказаних відхилень:

Це математичне сподівання й називається дисперсією випадкової величини X, а позначається D(x) або

Дисперсією випадкової величини X називається математичне сподівання квадрату відхилення її математичного сподівання.

Середнім квадратичним відхиленням випадкової величини X називається арифметичне значення квадратного кореню від дисперсії, тобто:

Випадкові величини однозначно описується своїм законом розподілу (або дискретним розподілом, або густиною розподілу, або інтегральними функціями розподілу). Проте, на практиці не завжди потрібно такого докладного опису. В таких випадках випадкові величини характеризуються своїми чисельними характеристиками - початковими та центральними моментами.

Початковим моментом порядку k випадкової величини називається число

Центральним моментом порядку k називається число

На практиці для опису випадкової величини досить початкових та центральних моментів перших чотирьох порядків, деякі з яких мають спеціальні позначення та назви. Найбільш важливими серед них є математичне сподівання та дисперсія випадкових величин.

1.5 Розподіл Вейбулла та його практичне застосування

Неперервна випадкова величина Х має розподіл Вейбулла, якщо

імовірнісний математичний статистика вейбулл

Практично функція розподілу Вейбулла використовується наприклад в пакеті програм Microsoft Office в програмі Microsoft Excel. Реалізовану функцію WEIBULL застосовують для аналізу надійності, наприклад, в обчисленні середнього часу роботи пристрою до відмови.

1.6 Закон великих чисел (Теорема Хінчина)

Закон великих чисел в теорії ймовірностей стверджує, що середнє (арифметичне середнє) скінченної вибірки із фіксованого розподілу близьке до теоретичного середнього (математичного сподівання) цього розподілу. В залежності від виду збіжності розрізняють слабкий закон великих чисел, коли має місце збіжність за ймовірністю, і посилений закон великих чисел, коли має місце збіжність майже скрізь.

Завжди знайдеться така кількість випробувань, при якій з будь-якою заданою наперед імовірністю частота появ деякої події буде як завгодно мало відрізнятися від її імовірності. Нехай є нескінченна послідовність однаково розподілених випадкових величин, визначених на одному імовірнісному просторі.

Закон великих чисел характеризує відносну частоту появи події, яка обчислюється в результатом співвідношення кількості реальної появи події до загальної кількості проведених експериментів.

Під час спостереження масових однорідних випадкових подій у них виявляються певні закономірності типу стабільності. Так, у разі великого числа проведених експериментів, відносна частота події W(A) виявляє стабільність і за ймовірністю наближається до ймовірності Р(А); середнє арифметичне для випадкової величини наближається за ймовірністю до її математичного сподівання. Ці закономірності об'єднують під спільною назвою закон великих чисел, який можна загалом сформулювати так: сумісна дія випадкових факторів у разі їх великого числа приводить при деяких, надто загальних, умовах до результату (середній їх результат), який практично перестає бути випадковим і може передбачатися з великою надійністю. Тобто, закон великих чисел - група теорем, яка установлює відповідність поміж теоретичними та експериментальними характеристиками випадкових величин і випадкових подій у разі великого числа експериментів над ними, за певних умов, виявляється факт наближення середніх характеристик до певних невипадкових, а також теореми стосовно граничних законів розподілу, які об'єднуються під загальною назвою граничних теорем теорії ймовірностей.

Формулювання теореми Хінчина виглядає так:

якщо існує послідовність величин, кожна з яких має один розподіл і одне математичне сподівання, то

1.7 Центральна гранична теорема

Центральна гранична теорема має величезне значення для застосувань теорії ймовірностей в природознавстві і техніці. Її дія проявляється там, де спостерігається процес схильний до впливу великого числа незалежних випадкових факторів, кожен з яких лише мізерно мало змінює перебіг процесу. Спостерігач, що стежить за станом процесу в цілому, спостерігає лише сумарну дію цих чинників. Ця схема пояснює також виключне місце, яке нормальне розподіл займає серед другий імовірнісних розподілів.

Центральна гранична теорема -- теорема теорії ймовірностей про збіжність розподілу суми незалежних однаково розподілених випадкових величин до нормального розподілу. Ця теорема підкреслює особливість нормального розподілу в теорії ймовірностей. Розглянемо теорему Муавра-Лапласа, яка є найпростішим випадком центральної граничної теореми.

Нехай здійснюється n незалежних експериментів, у кожному з яких імовірність появи випадкової події А є величиною сталою і дорівнює p (задано n незалежних випадкових подій , де - дискретні та мають лише два значення

, P),

то для інтервалу [a,b] справедлива рівність:

Доведення. Нехай проводиться n незалежних експериментів у кожному з них випадкова подія А може здійснитися зі сталою ймовірністю p.

Тоді

- поява випадкової події в n експериментах є випадковою величиною з числовими характеристиками:

, ,

На підставі центральної граничної теореми, розподіл випадкової величини z із зростанням n наближатиметься до нормального. Тому для обчислення ймовірності події, що використовується формула:

Размещено на Allbest.ru