Размещено на http://www.allbest.ru/

ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

ПРОСТРАНСТВО СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИЙ

Основные понятия теории вероятностей

Возникновение теории вероятности, как науки, обычно относят к XVII веку. Интерес к задачам, связанным с вероятностями, формировался под влиянием развития страхового дела. В то же время, значительную роль в формировании основных понятий, связанных с вероятностным подходом сыграли работы известных математиков, посвященные анализу комбинаторных задач азартных игр, которые не укладывались в рамки существовавших тогда математических моделей. Анализ этих задач стимулировал введение новых понятий, подходов и идей, и неудивительно, что с тех пор задачи о бросании игральной кости, об извлечении шаров из урны, карт из колоды и т.д. стали традиционными для теории вероятностей и по сей день сохраняют свою роль, как тренировочные упражнения, а в некоторых случаях выступают в роли наглядных моделей для более серьезных вероятностных схем.

В отличие от детерминированных математических схем, имеющих жесткую причинно-следственную зависимость, которая выражается в том, что определенная причина ведет к единственному и вполне определенному следствию. В основе вероятностных схем лежит понятие случайности, которое выступает противоположностью детерминированности или обусловленности. И именно тем фактом, что основным объектом исследования теории вероятности является случайность или неопределенность, обусловлено интенсивное развитие вероятностных подходов к изучению процессов и явлений. В действительности, детерминированных законов в природе практически не существует. Как правило, все процессы сопровождаются неизвестными, неопределенными воздействиями, которые, возможно, случайными по сути и не являются, но порождающие их причины неизвестны. Для математического описания таких явлений удобно считать, что неопределенные факторы имеют случайную природу. В этом смысле случайность можно рассматривать, как проявление недостаточности знаний о природе изучаемых процессов и явлений. С другой стороны, случайность, безусловно, существует в реальности и является неотъемлемым атрибутом действительности. Это означает, что практически отсутствует возможность получить полную информацию о явлении не только из-за неумения, неспособности или несовершенства исследовательского оборудования, а как результат объективно существующих свойств самого объекта исследования. Так, например, невозможно получить полную информацию обо всех процессах, происходящих в обществе. Общественное развитие - результат совместного действия многих случайных факторов. Описать поведение отдельного человека, формирование его психологического состояния, можно также только опираясь на случайный характер этих явлений.

Не все случайные явления (эксперименты) можно изучать методами теории вероятностей, а лишь те, которые могут быть воспроизведены в одних и тех же условиях и обладают (непонятно как проверяемым заранее) свойством статистической устойчивости: если - некоторое событие, могущее произойти или не произойти в результате эксперимента, то доля числа экспериментов, в которых данное событие произошло, имеет тенденцию стабилизироваться с ростом общего числа экспериментов , приближаясь к некоторому числу . Это число служит объективной характеристикой «степени возможности» событию произойти. В дальнейшем будут рассматриваться лишь случайные эксперименты, обладающие данным свойством статистической устойчивости.

Случайные события

Осуществление намеченного действия и получение его результата называется экспериментом (опытом). Предметом теории вероятностей являются модели экспериментов со случайными исходами (случайных экспериментов). При этом рассматриваются только такие эксперименты, которые можно повторять (воспроизводить) при неизменном комплексе условий произвольное число раз (по крайней мере, теоретически).

Для реально воспроизводимого эксперимента понятие «наблюдаемый результат» означает, что существует принципиальная возможность зарегистрировать данный результат опыта с помощью того или иного прибора (в простейшем случае, например, визуально). Любой наблюдаемый результат интерпретируется, как случайный исход опыта (случайное событие).

Случайное событие - это событие, которое может произойти, а может и не произойти. Наступление случайного события, независимо от его природы, характеризуется вероятностью или плотностью вероятности. Вероятность случайного события характеризует частоту наступления случайного события, если указанные события повторяются большое количество раз.

Иными словами, событие является случайным в данном опыте, если заранее нельзя предсказать, произойдет оно или не произойдет в данном опыте.

Понятие случайного эксперимента

Познание действительности происходит в результате опыта: наблюдения, измерения, эксперимента. Чтобы каким-то образом оценить событие, необходимо учесть или специально организовать условия, в которых оно происходит. Выполнение определенных условий или действий для выявления рассматриваемого события носит название опыта или эксперимента. Таким образом, под опытом подразумевается наличие определенного комплекса условий. В теории вероятностей рассматриваются опыты, которые при одном и том же комплексе начальных условий в зависимости от случайных обстоятельств заканчиваются различными исходами.

Если, исходя из условий, описывающих эксперимент, его результат предсказуем, то такой эксперимент является детерминированным.

Эксперимент (наблюдение) считается случайным, если он может закончиться любым из некоторой совокупности известных результатов, но до осуществления эксперимента нельзя сказать каким именно.

В дальнейшем вместо того, чтобы говорить «комплекс начальных условий создан» будет применяться выражение «произведено испытание». Термин «испытание» является общепринятым в теории вероятностей и заменяет собой термины «наблюдение», «опыт», «измерение».

Математическая формализация модели случайного эксперимента включает в себя:

1) построение множества элементарных исходов ;

2) описание множества событий для данного эксперимента;

3) задание вероятностного распределения на множестве событий.

Пространство элементарных событий

Каждый из равновозможных результатов испытаний называется элементарным исходом или (элементарным событием). Всякий мыслимый результат эксперимента называют элементарным событием и обычно обозначают буквами

Пространством элементарных событий называется множество всех взаимно исключающих исходов эксперимента такое, что результатом эксперимента всегда является один и только один исход.

Пространство элементарных событий обычно обозначается и считается заданным, если указаны все его элементы.

Из элементарных исходов можно составить более сложное событие. Результат испытания называется событием, независимо от его значимости. Результат испытания, который нельзя заранее прогнозировать, называется случайным событием.

Любое подмножество данного множества интерпретируется как событие (возможно, и ненаблюдаемое). Совокупность всех наблюдаемых событий составляет множество событий для данного эксперимента.

Множество для данного испытания может быть дискретным, или иметь более сложную структуру. К дискретным относятся конечные или счетные множества элементарных исходов. Построение множества (если оно не задано при описании эксперимента) осуществляется на практике, исходя из требования, чтобы все интересующие нас результаты данного эксперимента могли быть однозначно описаны на основе построенного множества . Другими словами, если нас интересуют события и т.д., являющиеся наблюдаемыми событиями в данном эксперименте, то множество должно состоять из таких исходов, чтобы существовали подмножества данного множества, равносильные событиям и т.д.

Наступление события, благоприятствующие исходы

Каждое случайное событие определяется как подмножество в множестве элементарных событий . При этом те элементарные события из , при которых событие наступает (т.е. принадлежит подмножеству ) называют благоприятствующими событию . Говорят, что событие произошло (наступило, осуществилось, реализовалось), если результатом эксперимента явился элементарный исход , принадлежащий ().

Совместные (совместимые), несовместные (несовместимые) события

Два события называются совместными (совместимыми) в данном опыте, если появление одного из них не исключает появления другого.

Два события называются несовместными (несовместимыми) в данном опыте, если они не могут произойти вместе при одном и том же испытании. Несколько событий называются несовместными, если они попарно несовместны.

Другими словами, события и совместны, если соответствующие множества и имеют общие элементы, и несовместны в противном случае, если появление одного из них исключает появление другого, и соответствующие множества и не имеют общих элементов, т.е. пересечение этих множеств является пустым множеством.

Достоверное и невозможное события

Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий .

Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий .

Событие, совпадающее с пустым множеством , называется невозможным событием, а событие, совпадающее со всем множеством , называется достоверным событием.

События называют равновозможными, если нет основания полагать, что одно событие является более возможным, чем другие.

Теория вероятностей есть наука, изучающая закономерности случайных событий. Одной из главных задач в теории вероятностей является задача определения количественной меры возможности появления события.

АЛГЕБРА СОБЫТИЙ

Операции над событиями (сумма, разность, произведение)

С каждым испытанием связан ряд интересующих нас событий, которые, вообще говоря, могут появляться одновременно. Например, при бросании игральной кости (т.е. кубика, на гранях которого имеются очки 1, 2, 3, 4, 5, 6) событие есть выпадение двойки, а событие - выпадение четного числа очков. Очевидно, что эти события не исключают друг друга.

Пусть все возможные результаты испытания осуществляются в ряде единственно возможных частных случаев, взаимно исключающих друг друга. Тогда:

· каждый исход испытания представляется одним и только одним элементарным событием;

· всякое событие , связанное с этим испытанием, есть множество конечного или бесконечного числа элементарных событий;

· событие происходит тогда и только тогда, когда реализуется одно из элементарных событий, входящих в это множество.

Другими словами, задано произвольное, но фиксированное пространство элементарных событий , которое можно представить в виде некоторой области на плоскости. При этом элементарные события - это точки плоскости, лежащие внутри . Поскольку событие отождествляется с множеством, то над событиями можно совершать все операции, выполнимые над множествами. То есть, по аналогии с теорией множеств, строится алгебра событий. В частности, определены следующие операции и отношения между событиями:

	(отношение включения множеств: множество является подмножеством множества ) - событие A влечет за собой событие В. Иначе говоря, событие В происходит всякий раз, как происходит событие A. (отношение эквивалентности множеств) - событие тождественно или эквивалентно событию . Это возможно в том и только в том случае, когда и одновременно , т.е. каждое из них происходит всякий раз, когда происходит другое. () - сумма событий. Это событие, состоящее в том, что произошло хотя бы одно из двух событий или (не исключающее логическое «или»). В общем случае, под суммой нескольких событий понимается событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.
	() - произведение событий. Это событие, состоящее в совместном осуществлении событий и (логическое «и»). В общем случае, под произведением нескольких событий понимается событие, состоящее в одновременном осуществлении всех этих событий. Таким образом, события и несовместны, если произведение их есть событие невозможное, т.е. .
	(множество элементов, принадлежащих , но не принадлежащих ) - разность событий. Это событие, состоящее из исходов, входящих в , но не входящих в . Оно заключается в том, что происходит событие , но при этом не происходит событие .
	Противоположным (дополнительным) для события (обозначается ) называется событие, состоящее из всех исходов, которые не входят в . Два события называются противоположными, если появление одного из них равносильно непоявлению другого. Событие , противоположное событию , происходит тогда и только тогда, когда событие не происходит. Другими словами, наступление события означает просто то, что событие не наступило.
	Симметрическая разность двух событий и (обозначается ) называется событие, состоящее из исходов, входящих в или , но не входящих в и в одновременно. Смысл события состоит в том, что наступает одно и только одно из событий или . . Обозначается симметрическая разность: или .

Свойства операций над событиями

Поскольку случайные события рассматриваются как множества, определенные на пространстве элементарных исходов , очевидно, что алгебраические свойства случайных событий вытекают из соответствующих свойств множеств:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.	1'. 2'. 3'. 4'. 5'. 6'. 7'. 8'. 9'. 10'. 11'. 12'.

Приведенный список не исчерпывает всех свойств операций над событиями. В то же время из него видно, что основные действия над событиями, в частности, операции сложения (объединения) и умножения (пересечения), в определенном смысле аналогичны сложению и умножению чисел. Эти операции обладают свойствами коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности. Для операции умножения событий роль, аналогичную роли единицы и нуля при умножении чисел, выполняют, соответственно, множества и . Вместе с тем, теоретико-множественные равенства 6, 6 и им подобные показывают, что полной аналогии нет.

Алгебра и сигма-алгебра событий

В случае конечной или счетной теоретико-вероятностной схемы в качестве события рассматривается любое подмножество конечного или счетного пространства элементарных событий . Если же пространство непрерывно, то имеет место континуум элементарных исходов. Попытка считать событием любое подмножество непрерывного пространства сопряжена с большими трудностями.

Поэтому в общем случае приходится иметь дело не со всеми подмножествами пространства , а лишь с определенным классом, замкнутым относительно операций суммы, произведения и дополнения.

Предположим, что является пространством всех элементарных исходов для какого-нибудь случайного эксперимента, каждому результату которого соответствует ровно одна точка из , а разным результатам соответствуют разные точки. Выделим некоторую совокупность случайных событий , определенных на пространстве элементарных исходов . Другими словами, выделим совокупность подмножеств множества . Причем, наложим условие, что содержит как случайные события , так и события, полученные в результате применения любой из описанных операций к любым элементам системы.

Совокупность случайных событий , определенных на пространстве элементарных исходов , называется алгеброй или булевой алгеброй - по имени английского математика Дж. Буля (1815 - 1864), если выполнены следующие условия:

1. (алгебра событий содержит достоверное событие);

2. Если , то для любых (вместе с любым конечным набором событий алгебра содержит и их сумму);

3. Если , то (вместе с любым событием алгебра содержит противоположное событие).

Можно показать, в частности, что:, если и , то:

;

.

Другими словами, оказывается, что условий 1 - 3 достаточно для того, чтобы любое конечное число других операций над случайными событиями не выводило бы нас за пределы алгебры . Таким образом, алгебра множеств - это система подмножеств некоторого множества , замкнутая относительно операций суммы (объединения), произведения (пересечения) и дополнения.

Очевидно, что одно и то же множество порождает различные алгебры. Самая «бедная» алгебра состоит из двух множеств - пустого множества и множества :

.

В понятиях теории вероятностей это соответствует невозможному и достоверному событиям. Любое подмножество порождает четырехэлементную алгебру:

Для экспериментов с конечным числом исходов множество-степень множества , т.е. совокупность всех подмножеств , включающая пустое множество , составляет алгебру , причем это самая «богатая» алгебра, порождаемая множеством . Поэтому для таких экспериментов любое подмножество множества может интерпретироваться как наблюдаемое событие, а все события, связанные с пространством элементарных исходов , образуют алгебру наблюдаемых случайных событий.

Под наблюдаемым событием понимается такое подмножество множества , которое одновременно принадлежит и булевой алгебре . Таким образом, класс наблюдаемых в данном эксперименте событий, вообще говоря, ?же класса всех подмножеств множества . Если, например, , но , то событие по определению не наблюдаемо в данном эксперименте. Такое определение наблюдаемого события согласуется с введенным ранее эмпирическим понятием случайного события, как наблюдаемого результата эксперимента.

При рассмотрении многих задач теории вероятностей приходится иметь дело и с бесконечным числом операций. Для того, чтобы можно было рассматривать бесконечное число операций над событиями, необходимо усилить ограничения, налагаемые на алгебру .

Система подмножеств множества , называется -алгеброй, а соответствующее множество событий борелевским, если она удовлетворяет следующим условиям:

1. (-алгебра событий содержит достоверное событие);

2. Если , то для любых (вместе с любым конечным или счетным набором событий -алгебра содержит и их сумму);

3. Если , то (вместе с любым событием -алгебра содержит противоположное событие).

Условие 2 для алгебры является следствием условия 2 для -алгебры, поэтому требования для -алгебры более сильные.

Используя условие 3 и равенство , легко убедиться в справедливости следующего утверждения.

Пусть - -алгебра. Тогда, если , то для любых .

Таким образом, счетное число операций суммирования или перемножения событий не выводит за пределы -алгебры.

Вообще говоря, действия над событиями важны не сами по себе, а как средство определения вероятностей одних событий через вероятности других событий. Далее будет введена вероятность случайного события как функция, заданная на подмножествах пространства . Прежде, чем определять эту функцию, следует задать область определения этой функции. Поскольку эта функция задается для всех наблюдаемых событий, связанных с пространством элементарных исходов , то функция должна быть определена на системе подмножеств пространства , которая является -алгеброй. Поэтому разумно поставить следующее условие: если известны вероятности событий и , то должны быть определены правила вычисления вероятностей событий , , а также вероятности противоположных событий и .

Общее определение вероятности

Вероятность является количественной мерой возможности появления рассматриваемого события. Вероятность можно определить как функцию, заданную на подмножествах пространства .

Наиболее широкое распространение получили два определения вероятности события: классическое и статистическое.

Классическое определение вероятности события. Случаи равновероятных исходов

Классическое определение вероятности связано с определением благоприятствующего исхода. Исход называется благоприятствующим данному событию, если его появление влечет за собой наступление этого события. Вероятность события равна отношению числа равновозможных благоприятствующих элементарных исходов к общему числу всех равновозможных и единственно возможных элементарных исходов данного испытания:

,

где - число благоприятствующих событию исходов;

- общее число возможных исходов.

Из определения вероятности события следует, что , поэтому всегда выполняются неравенства , т.е. вероятность любого события есть неотрицательное число, не превышающее единицы.

Если , то событие невозможное.

Если , то событие достоверное.

Равновозможные элементарные события являются равновероятными, т.е. обладают одной и той же вероятностью.

Теорема. Эквивалентные события имеют одинаковые вероятности, т.е. если , то .

Доказательство. Действительно, каждый элементарный исход события является таким же элементарным исходом для события и наоборот. В силу формулы справедливо равенство .

Если событие происходит всякий раз после того, как произошло событие , то говорят, что из события следует событие (). Например, для любых двух событий и справедливо и .

Теорема. Если , то .

Доказательство. Пусть события и включены в общую систему равновероятных элементарных исходов, причем и

- число благоприятных элементарных исходов соответственно для событий и , а - общее число элементарных исходов. Так как каждый элементарный исход для события является также элементарным исходом для события , то и, следовательно, .

(дополнение множества A до ) - противоположное событие. Это событие, состоящее в том, что A не происходит (логическое отрицание). Следовательно:

· - достоверное событие;

· - невозможное событие.

Теорема. Вероятность события , противоположного событию равна дополнению вероятности данного события до 1, т.е. .

Доказательство. Пусть полная система равновозможных элементарных исходов содержит событий, из которых (), благоприятны событию . Тогда исходов неблагоприятны событию , т.е. благоприятствуют событию . Таким образом:

.

Классическое определение вероятности предполагает, что:

· число элементарных исходов конечно;

· эти исходы равновозможны.

Однако, на практике встречаются испытания с бесконечным числом возможных исходов. Кроме того, нет общих методов, позволяющих результат испытания, даже с конечным числом исходов, представить в виде суммы равновозможных элементарных исходов. Поэтому применение классического определения вероятности весьма ограничено.

Статистическое определение вероятности события. Случаи неравновероятных исходов

Классическое определение вероятности не является пригодным для изучения произвольных случайных событий. Так, оно неприемлемо, если результаты испытания не равновозможны.

Во многих случаях более удобным оказывается статистическое определение вероятности, которое связано с понятием относительной частоты появления события в опытах. Относительная частота (частость) появления события - это отношение числа появлений события в серии из опытов к числу испытаний.

Относительная частота вычисляется по формуле:

.

Результаты многочисленных опытов и наблюдений помогают заключить: при проведении серий из испытаний, когда число сравнительно мало, относительная частота принимает значения, которые могут сильно отличаться друг от друга. При однотипных массовых испытаниях во многих случаях наблюдается устойчивость относительной частоты события, т.е. с увеличением числа испытаний в сериях относительная частота колеблется около некоторого постоянного числа , причем эти отклонения тем меньше, чем дольше произведено испытаний, если не учитывать отдельные неудачные испытания (выбросы).

Вероятностью события в статистическом смысле называется число , относительно которого стабилизируется (устанавливается) относительная частота при неограниченном увеличении числа опытов.

Под вероятностью события в статистическом смысле понимается почти достоверный предел его относительной частоты при неограниченно растущем числе испытаний. Таким образом, почти достоверно, что относительная частота события приближенно совпадает с его статистической вероятностью, если число испытаний достаточно велико. Поэтому, в практических задачах за вероятность события принимается относительная частота при достаточно большом числе испытаний.

Легко убедиться, что свойства вероятности, вытекающие из классического определения вероятности, сохраняются и при статистическом определении вероятности.

Если вероятность некоторого события близка к нулю, то, в соответствии со сказанным следует, что при единичном испытании в подавляющем большинстве случаев такое событие не наступит. Естественно, наступает вопрос: насколько малой должна быть вероятность, чтобы можно было считать невозможным наступление некоторого события в единичном испытании? Ответ на него не однозначен и зависит от тех потерь, которые будут иметь место, если это событие все-таки произойдет. Достаточно малую вероятность, при которой наступление события можно считать практически невозможным, называют уровнем значимости. На практике уровень значимости обычно принимают равным 0,05 (пятипроцентный уровень) или 0,01 (однопроцентный уровень).

При широких предположениях доказывается, что вероятности события в классическом и статистическом смыслах совпадают.

Геометрические вероятности

Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности - вероятности попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.).

Приведем формальное определение вероятностей для испытаний с бесконечным числом исходов. В подобных случаях пространство элементарных исходов может быть областью , а под событием можно понимать исходы, входящие в область .

Пусть на область наугад бросается «точка». Какова вероятность того, что эта точка попадет в область , являющуюся частью области ?

1. Пусть отрезок , длину которого обозначим как , составляет часть отрезка длина которого . На отрезок наудачу поставлена точка. Это означает выполнение следующих предположений:

· поставленная точка может оказаться в любой точке отрезка ;

· вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка .

В этих предположениях вероятность попадания точки на отрезок определяется равенством .

2. Пусть плоская фигура с площадью составляет часть плоской фигуры , площадь которой . На фигуру наудачу брошена точка. Это означает выполнение следующих предположений:

· брошенная точка может оказаться в любой точке фигуры ;

· вероятность попадания брошенной точки на фигуру пропорциональна площади этой фигуры и не зависит ни от ее расположения относительно фигуры , ни от формы .

В этих предположениях вероятность попадания точки на фигуру определяется равенством .

3. Аналогично вводится понятие геометрической вероятности при бросании точки в пространственную область объема , содержащую область объема :.

В общем случае понятие геометрической вероятности вводится следующим образом.

Пусть - некоторое множество (базис), а - -алгебра его подмножеств. Функция называется мерой, на , если она удовлетворяет условиям:

· Для любого множества его мера неотрицательна: ;

· Для любого счетного набора попарно непересекающихся множеств мера их суммы равна сумме их мер: - свойство счетной аддитивности.

Обозначим меру области (длину, площадь, объем) через , а меру области - через ; обозначим через событие «попадание брошенной точки в область , которая содержится в области ». Вероятность события , т.е. вероятность попадания в область точки, брошенной в область , определяется формулой:

.

Аксиоматическое построение теории вероятностей

Наиболее распространенной в настоящее время является логическая схема построения основ теории вероятностей, которая была разработана А.Н.Колмогоровым в 1933 году.

Основные черты этой схемы следующие.

При изучении какой-либо задачи методами теории вероятностей, прежде всего, выделяется множество , называемое пространством элементарных исходов. Элементы этого множества составляют совокупность возможных исходов наблюдения - элементарных событий. Всякое случайное событие описывается совокупностью благоприятствующих ему элементарных исходов и, поэтому, рассматривается как множество элементарных событий. Некоторые из этих случайных событий образуют борелево множество наблюдаемых событий , каждому из которых сопоставлено некоторое определенное число , т.е. на задана функция множеств.

Поскольку каждое наблюдение должно иметь, по крайней мере, хотя бы один исход, все пространство элементарных событий соответствует достоверному событию, а пустое множество - невозможному событию. С событиями из -алгебры связываются определенные числа , называемые их вероятностями и удовлетворяющие следующему определению.

Вероятностью называется функция множеств, заданная на -алгебре пространства элементарных исходов и удовлетворяющая следующим условиям:

1. ;

2. , т.е. вероятность достоверного события равна единице;

3. Вероятность события , заключающееся в том, что наступит одно из попарно несовместных событий (), составляет

.

Эти условия должны выполняться и для бесконечных последовательностей попарно несовместных событий, т.е. должны выполняться также и условия в определении -алгебры . Таким образом, из условия 3 следует:

.

Эти условия составляют аксиомы теории вероятностей.

Вся теория вероятностей строится на этих трех аксиомах. Исходные аксиомы постулируются и попытка доказать их лишена смысла. Единственным возможным критерием справедливости этих аксиом является степень, с которой теория, построенная на их основе, отражает реальность. Этот критерий, кстати, справедлив и для любой другой естественнонаучной теории.

Итак, определенная теоретико-вероятностная схема задается тремя компонентами , т.е.:

· конкретным пространством элементарных исходов , выступающим в роли базиса, в котором описываются все наблюдаемые события;

· конкретным набором подмножеств пространства элементарных исходов , образующим -алгебру и являющимся областью определения функции вероятности ;

· конкретным заданием вероятностей на всех множествах -алгебры .

Набор этих трех компонент , удовлетворяющий аксиомам теории вероятностей, называется вероятностным пространством или вероятностной схемой.

Полная группа событий

Множество попарно несовместных событий называют полной группой событий, если при любом исходе случайного эксперимента непременно наступает одно из событий, входящих в это множество. Другими словами, для полной группы событий выполнены следующие условия:

· появление одного из событий данного множества в результате испытания является достоверным событием, т.е. событие ;

· события и () попарно несовместимы и

· - событие невозможное при любых , т.е. .

Простейшим примером полной группы событий является пара противоположных событий и .

Теорема. Сумма вероятностей событий полной группы равна единице:

.

Условная вероятность

Во многих случаях вероятности появления одних событий зависят от того, произошло другое событие или нет.

Вероятность события , вычисленная при условии, что произошло другое событие , называется условной вероятностью события и обозначается .

Вероятность каждого события в данном испытании связана с наличием известного комплекса условий. При определении условной вероятности мы полагаем, что в этот комплекс условий обязательно входит событие . Таким образом, мы имеем другой, более обременительный комплекс условий, соответствующий испытанию в новой обстановке. Вероятность появления события при этих новых условиях называется его условной вероятностью в отличие от вероятности , которая может быть названа безусловной вероятностью события .

В тех случаях, когда вероятность события рассматривается при условии, что имели место два других события и , используется условная вероятность относительно произведения событий и : .

Формула умножения вероятностей

Теорема: Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие имело место:

.

Доказательство: Предположим, что из возможных элементарных исходов событию благоприятствуют исходов, из которых исходов благоприятствуют событию . Тогда вероятность события будет , условная вероятность события относительно события будет .

Произведению событий и благоприятствуют только те исходы, которые благоприятствуют и событию , и событию одновременно, т.е. исходов. Поэтому вероятность произведения событий и .

Умножив числитель и знаменатель этой дроби на , получим:

.

Аналогично доказывается и формула .

Теорему умножения вероятностей легко обобщить на любое конечное число событий.

Теорема: Вероятность произведения конечного числа событий равна произведению их условных вероятностей относительно произведения предшествующих событий:

.

Для доказательства этой теоремы можно использовать метод математической индукции.

Формула сложения вероятностей

Теорема: Вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

.

Доказательство: Докажем эту теорему для случая суммы двух несовместных событий и .

Пусть событию благоприятствуют элементарных исходов, а событию - соответственно исходов. Так как события и по условию теоремы несовместны, то событию + благоприятствуют + элементарных исходов из общего числа исходов. Следовательно:

,

где - вероятность события ;

- вероятность события.

Теорема: Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

.

Доказательство: Событие наступит, если наступит одно из несовместных событий , , . По теореме сложения вероятностей несовместных событий:

.

Событие произойдет, если наступит одно из двух несовместных событий: , . Вновь применяя теорему сложения вероятностей несовместных событий, получаем: . Следовательно, .

Аналогично для события получаем . Откуда .

Следовательно .

Независимость событий

Если при наступлении события вероятность события не меняется, то события и называются независимыми.

Теорема: Вероятность совместного появления двух независимых событий и (произведения и ) равна произведению вероятностей этих событий.

Доказательство: События и независимы, следовательно . В этом случае формула произведения событий и можно записать как .

События называются попарно независимыми, если независимы любые два из них.

События называются независимыми в совокупности, если каждое из этих событий и событие равное произведению любого числа остальных событий, независимы.

Теорема: Вероятность произведения конечного числа независимых в совокупности событий равна произведению вероятностей этих событий.

.

Простейшие свойства вероятностей

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

Свойства условных вероятностей

1. ;

2. ;

3. ;

4. если , то ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. .

теория вероятность пространство аксиоматический

Формула полной вероятности. Формула Байеса

Предположим, что событие может произойти только с одним из несовместных событий . Например, в магазин поступает одна и та же продукция от трех предприятий и в разном количестве. Вероятность выпуска некачественной продукции на этих предприятиях различна. Случайным образом отбирается одно из изделий. Требуется определить вероятность того, что это изделие некачественное (событие ). Здесь события - это выбор изделия из продукции соответствующего предприятия.

В этом случае вероятность события можно рассматривать как сумму произведений событий .

По теореме сложения вероятностей несовместных событий получаем . Используя теорему умножения вероятностей, находим:

.

Полученная формула называется формулой полной вероятности.

Пусть событие происходит одновременно с одним из несовместных событий , вероятности которых () известны до опыта (вероятности априори). Производится опыт, в результате которого зарегистрировано появление события , причем известно, что это событие имело определенные условные вероятности (). Требуется найти вероятности событий , если известно, что событие произошло (вероятности апостериори).

Например, очевидно, следует отбросить гипотезы, отрицающие появление события . Вообще, проблема состоит в том, что, имея новую информацию, нужно переоценить вероятности событий .

На основании теоремы о вероятности произведения двух событий:

,

откуда:

или

Полученная формула носит название формулы Байеса.

Размещено на Allbest.ru