3

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Биноминальное распределение и формула Пуассона. Понятие случайной величины

1. Биноминальное распределение

Испытание Бернулли. Повторными независимыми испытаниями называются испытания Бернулли, если при каждом испытании имеются только два исхода - появление события А или и вероятность этих событий остается неизменной для всех испытаний. Эта простая схема случайных испытаний имеет большое значение в теории вероятностей.

Наиболее известным примером испытаний Бернулли является последовательные бросания правильной (симметричной и однородной) монеты, где событием А является выпадение, например, «герба», («решетки»).

Пусть в некотором опыте вероятность события А равна р(А)=р, тогда , где р+q=1. Выполним опыт n раз, предположив, что отдельные испытания независимы, а значит исход любых из них не связан с исходами предыдущих (или последующих) испытаний. Найдем вероятность появления событий А точно k раз, скажем только в первых k испытаниях. Пусть - событие, заключающееся в том, что при n испытаниях событие А появиться точно k раз в первых испытаниях. Событие можно представить в виде

Поскольку опыты мы предположили независимыми, то

Если ставить вопрос о появлении события А k-раз в n испытаниях в произвольном порядке, то событие представимо в виде

Число различных слагаемых в правой части этого равенства равно числу испытаний из n по k , поэтому вероятность событий , которую будем обозначать , равна

Последовательность событий образует полную группу независимых событий . Действительно, из независимости событий получаем

Пример. В ЭВМ двоичные числа 0 и 1 организованы в 32-разрядные слова. Какова вероятность однократной ошибки при чтении слова, если вероятность ошибки при чтении двоичной цифры составляет 10^-3?

Решение. Мы имеем схему Бернулли, в которой n=32, k=1, p=10^-

Следовательно,

Вероятность отсутствия ошибки в слове равна

Обозначим через число успехов в n испытаниях (появление событий А с вероятностью р(А)=р в n испытаниях Бернулли).

Таблица 1.

носит название биноминального распределения. Это название связано с тем, что равно коэффициенту при в разложении бинома

Возникает вопрос, какое максимальное значение принимает , если рассматривать , как функцию от k при фиксированном n? С этой целью рассмотрим отношение

Отсюда следует, что будет больше , если и меньше, если . Если - целое число, то Р_n (m)=Р_n (m-1). Это значит, что в двух точках достигается максимальное по k значение . Исключая эту ситуацию, имеем только одно целое число m, которое заключено в интервале

2. Формула Пуассона

Во многих приложениях встречаются испытания Бернулли, в которых n относительно велико, р относительно мало, а произведение =nр не мало, но и не велико. В таких ситуациях удобна приближенная формула Пуассона для значения . Выведем ее. С этой целью будем полагать, что при n величина =nр сохраняет постоянное значение в формуле для:

При фиксированном k и n величины для и стремятся к единице, а величина стремится к . Поэтому для больших n>>1 можно записать:

.

Эта формула называется формулой Пуассона. Если n стремится к бесконечности и обозначить , то тогда справедлива точная формула

.

Проверим для вероятностей p (k, ) (k=) условие нормировки:

.

Пример 1. Какова вероятность того, что в обществе из 500 человек k человек родились в день Нового года.

Решение. Если 500 человек выбираются наугад, то для вычисления искомой вероятности имеем модель Бернулли с р=1/365 (это вероятность родиться на Новый год) и n=500. Приведем таблицу данных для точной и приближенной вероятности (вычислена по формуле Пуассона с =np=500/365=1,3699); для нескольких k:

Из таблицы видно, что ошибка при вычислении вероятности по формуле Пуассона содержится лишь в четвертом знаке.

Пример 2. Пусть известно, что на выпечку 1000 сладких булочек с изюмом полагается 10000 изюмин. Найти вероятность того, что в случайно выбранной булочке содержится ровно k изюмин.

Решение. Рассмотрим следующую схему испытаний. Всего имеется n=10000 испытаний (число изюмин). Испытание с номером k состоит в том, что изюмина с номером k попала в выбранную нами булочку. Поскольку булочек 1000, то вероятность того, что именно k-тая изюминка попала в нашу булочку равна р=1/1000. Так как число изюмин равно 10000, то n=10000 в испытаниях Бернулли. Найдем величину =np=10000/1000=10, что составляет среднее число изюмин в булочке. Мы видим, что можно воспользоваться для нахождения искомой вероятности формулой Пуассона:

.

Вероятность того, что в произвольно выбранной булочке нет изюма равна

.

3. Понятие случайной величины

Одним из основных понятий теории вероятности является понятие случайной величины. Случайной величиной называется величина (число - вещественное или комплексное), которая в результате опыта может принять то, или иное значение (до проведения опыта - неизвестное). С точки зрения инженерного подхода случайная величина - это просто числовое описание исхода случайного опыта. С точки зрения математики, случайная величина - это функция, которая определена на пространстве элементарных событий.

Примеры случайных величин.

1) Число очков, выпадающих при однократном бросании игральной кости.

2) Число импульсов, подаваемых помехой в пачке радиолокационных импульсов в приемнике.

3) Амплитуда радиолокационного импульса, отраженного от самолета.

4) Ошибка при измерении дальности радиолокатором.

5) Величина шумового напряжения в некоторый момент времени.

Разнообразие случайных величин весьма велико. Число принимаемых ими значений может быть конечным, счетным и несчетным; значения случай - ной величины могут быть расположены дискретно или заполнены интервалы сплошь.

Случайные величины будем обозначать заглавными буквами латинского алфавита (Х, Y, Z,…), а их значения прописными буквами (х, y, z,…).

Различают два основных типа случайных величин: дискретные и непрерывные.

Дискретная случайная величина - это величина, которая в результате проведения опытов принимает конечное или счетное множество значений.

Примеры. Выпадение числа очков при однократном бросании игральной кости , число изюмин в булочке в примере 2 п. 2. .

Непрерывная случайная величина - это величина, которая в результате проведения опытов непрерывно заполняет конечный или бесконечный интервал. Например, точное значение Х сопротивление резистора в 100 Ом при десяти 10% разбросе. В этом случае. Или время безотказной работы электрической лампы, а также примеры случайных величин 3), 4), 5).

Пусть имеется дискретная случайная величина. Говорят, что задан закон распределения случайной величины Х или ряд распределения, если заданы все значения случайной величины и вероятности появления этих значений, то есть

где и .

Если задан ряд распределения случайной величины Х, то с вероятностной точки зрения дискретная случайная величина полностью описана.

В приложениях теории вероятностей, как правило, имеет дело не с самими случайными событиями, а со случайными величинами. Это связано с тем, что в результате проведения опыта обычно регистрируется значение случайной величины Х()=х, а не регистрируется, каким элементарным исходом закончился сам опыт, т.е. регистрируется значение функции, а не ее аргумента.

Поясним это на примере бросании игральной кости, где случайная величина Х - число выпавших очков. Из механики известно, что движение твердого тела полностью определяется, если заданы в некоторый момент шесть параметров, определяющих положение тела в пространстве, вместе со скоростями изменения этих параметров. Под элементарным событием будем понимать набор этих двенадцати параметров в момент бросания. Тогда, зная , мы знаем и Х, т.е. Х есть функция . Множество возможных значений конечно, так как двенадцать параметров могут колебаться в конечных интервалах, а мы регистрируем их лишь с конечным числом десятичных знаков. Очевидно, что Х() наблюдать легко, в то время как при регистрации возникают непреодолимые трудности. Кроме того, возможных значений очень много, а значений Х() всего шесть. Отсюда видно, насколько сильно может быть упрощение при переходе от случайной величины к ее распределению.

4. Числовые характеристики дискретной случайной величины

На практике знание закона распределения случайной величины, как правило, является избыточным. Чаще всего в инженерной практике возникает необходимость в знании числовых характеристик случайной величины.

Пусть дискретная случайная величина X принимает значения и вероятность принятия случайной величиной значения равна . Интуитивно ясно, что при наблюдении случайной величины X в n (n>>1) повторных независимых экспериментах значение появится примерно раз. Таким образом, среднее значение этой величины, подсчитанное по n экспериментам, есть примерно

.

Поэтому математическим ожиданием или средним значением дискретной случайной величины X называется число

.

Если и ряд сходится абсолютно, математическим ожиданием является величина

.

Можно дать механическую интерпретацию математического ожидания. Если в точки прямой линии с абсциссами положены соответственно массы , то с учетом, что , есть абсцисса центра тяжести этой системы материальных точек. С позиции математики математическое ожидании является линейным функционалом, т.е. линейной операцией, ставящей в соответствие функции X() число M(X).

Сформулируем основные свойства математического ожидания.

Ясно, что если , то .

Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: .

Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: .

Действительно, .

Математическое ожидание от суммы случайных величин X и Y равно сумме математический ожиданий:

Доказательство. Обозначим через и события, состоящие в том, что случайные величины X и Y принимают соответственно значения . Тогда, считая события и независимыми имеем

Эта формула верна, если события и зависимы.

Свойства 2), 3) определяют линейность операции математического ожидания.

Если , то

Свойства 5), 6) очевидны.

Если случайные величины X и Y независимы, то

Действительно,

Пример. Изделия испытываются на надежность. Вероятность выхода из строя изделия за время испытания для каждого изделия равна р. Испытания заканчиваются, если изделие вышло из строя. Найти математическое ожидание числа испытаний.

Решение. Пусть Х - число испытаний. Ряд распределения случайной величины Х имеет вид:

где q+p=1. По определению

Часто в приложениях знание среднего значения случайной величины недостаточно. Важно еще знать, как разбросано значение случайной величины вокруг своего математического ожидания. Такой характеристикой является дисперсия случайной величины.

Дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения величины от ее математического ожидания:

Отсюда получаем свойство дисперсии:

Таким образом, мы получили, что дисперсия равна математическому ожиданию квадрата случайной величины минус квадрат математического ожидания.

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины Х, а удобно иметь характеристику разброса случайной величины относительно своего среднего значения такой же размерности как Х. С этой целью вводят среднее квадратичное отклонение случайной величины Х, обозначаемое , как

.

Эту величину еще называют стандартным отклонением.

Свойства дисперсии.

Дисперсия постоянной величины равна нулю: ,

что очевидно, т. к. .

Постоянный множитель выносится за знак дисперсии в квадрате:

.

Действительно,

Дисперсия суммы двух независимых случайных величин X и Y равна сумме дисперсий:

Действительно,

Свойство носит название некоррелированность случайных величин X и Y. Из независимости этих случайных величин следует их некоррелированность, а обратное, вообще говоря, неверно.

В электрических приложениях дисперсия, как правило, соотносится со средней мощностью, выделяемой на активном сопротивлении переменной составляющей приложенного к нему напряжения или тока, а корень квадратный из дисперсии в этом случае будет соответствовать показанию вольтметра или амперметра.

5. Функция распределения

Если имеется непрерывная случайная величина Х, то описать ее с помощью ряда распределения невозможно, т. к. вероятность принятия ею какого-либо конкретного значения равна нулю. Для непрерывной случайной величины вводится понятие функции распределения вероятностей.

Функцией распределения вероятностей F(x) или интегральным законом распределения случайной величины Х называется вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньше х:

Другими словами, функция распределения это вероятность того, что случайная величина Х примет любое значение левее точки с абсциссой х. Функция распределения существует как для непрерывных, так и для дискретных случайных величин. Для дискретных величин она имеет ступенчатую структуру.

Из определения функции распределения вероятностей следуют следующие ее свойства:

;

;

не уменьшается при возрастанием х;

Докажем сначала справедливость четвертого утверждения, а затем, пользуясь этим свойством функция распределения, докажем и свойство 3). С этой целью запишем.

Отсюда и получаем искомое свойство. Для доказательства свойства 3) воспользуемся доказанным утверждением. Пусть , отсюда

.

А так, как вероятность неотрицательна, то .

Функция распределения дает исчерпывающее описание вероятностной модели случайной величины. Но для непрерывной случайной величины она имеет недостаток в том, что по ней трудно судить о характере распределения случайной величины в определенной точке числовой оси. Более наглядное представление о характере локального распределения случайной величины дает плотность распределения вероятностей, которая определяется как производная от функции распределения, если она существует, то есть величина

Смысл плотности распределения вероятностей лучше понять через элемент плотности . Его можно записать в виде

Это соотношение утверждает, что элемент вероятности есть вероятность того, что случайная величина Х лежит в интервале между и . Из определения плотности распределения вероятностей следуют следующие ее свойства:

бернулли повторение пуассон дискретный

;

;

.

Для дискретной случайной величины, производные в точках разрыва функции распределения не существуют. Однако плотность распределения такой случайной величины можно представить как совокупность - функций разной интенсивности в точках разрыва функции распределения, т.е. таких - функций, площадь каждой из которых (интеграл от - функции) равняется соответствующему скачкообразному приращению функции распределения вероятностей.

Размещено на Allbest.ru