Логарифмическая функция

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

1 Исторический очерк

2 Вещественный логарифм

2.1 Свойства

2.2 Натуральные логарифмы

2.3 Десятичные логарифмы

2.4 Логарифмическая функция

3 Комплексный логарифм

3.1 Определение и свойства

3.2 Риманова поверхность

4 Применение логарифмов. Логарифмы в природе

Вывод

Литература и источники

1. Исторический очерк

В течение XVI в. резко возрос объем работы, связанный с проведением приближенных вычислений в ходе решения разных задач, и в первую очередь задач астрономии, имеющей непосредственное практическое применение (в частности, при определении положения судов по звездам и по Солнцу). Наибольшие проблемы возникали, как нетрудно понять, при выполнении операций умножения и деления. Попытки частичного упрощения этих операций путем сведения их к сложению (была составлена, например, таблица квадратов целых чисел от 1 до 100000, позволяющая вычислять произведения по формуле ab= 1/4(а + b)2 - 1/4(а - b)2 большого успеха не приносили. Поэтому открытие логарифмов, сводящее умножение и деление чисел к сложению и вычитанию их логарифмов, удлинило, по выражению Лапласа, жизнь вычислителей. Логарифмы необычайно быстро вошли в практику. Изобретатели логарифмов не ограничились разработкой новой теории.

Было создано практическое средство -- таблицы логарифмов,-- резко повысившее производительность труда вычислителей. Добавим, что уже в 1623 г., т. е. всего через 9 лет после издания первых, таблиц, английским математиком Д. Гантером была изобретена первая логарифмическая линейка, ставшая рабочим инструментом для многих поколений. (Вплоть до самого последнего времени, когда на наших глазах повсеместное распространение получает электронная вычислительная техника и роль логарифмов как средства вычислений резко снижается.) Первые таблицы логарифмов составлены независимо друг от друга шотландским математиком Дж. Непером (1550--1617) и швейцарцем И. Бюрги (1552--1632). В таблицы Непера, изданные в книгах под названиями «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614 г.) и «Устройство удивительной таблицы логарифмов» (1619 г.), вошли значения логарифмов синусов, косинусов и тангенсов для углов от 0 до 90° с шагом в 1 минуту. Бюрги подготовил свои таблицы логарифмов чисел, по-видимому, к 1610 г., но вышли в свет они в 1620 г., уже после издания таблиц Непера, и поэтому остались незамеченными. Одна из важных идей, лежащих в основе изобретения логарифмов, была уже известна. Штифель (1487--1567)-и ряд других математиков обратили внимание на то, что умножению и делению членов геометрической прогрессии

...,а-3 , а-2 , а-1 ,1, а, а2 , а3 , ...

соответствуют сложение и вычитание показателей, образующих арифметическую прогрессию

..., --3, --2, --1, 0, 1, 2, 3, ... .

Но одной этой идеи недостаточно. Например, «сеть» целых степеней числа 2 слишком редка; многие числа «остаются без логарифмов», поэтому необходима была еще одна идея: возводить в степень числа, очень близкие к единице. Заметив, что степени (1+1/10n) n и (1+1/10n) n - 1 при больших значениях n близки, Непер и Бюрги приняли аналогичное решение: Непер брал в качестве основания число ( 1 --1/107 ) , а Бюрги -- число ( 1 + 1/104) . Дальнейший ход их рассуждений и описание схем вычислений пересказать довольно трудно как потому, что имеется много непростых деталей, так и потому, что вообще тексты XVI в. довольно туманны. Заметим только, что фактически далее Непер переходит к основанию (1--1/107)107. a Бюрги -- к основанию ( 1 + 1/104) 104. Это не изменило существа дела (как вам известно, loga10 n x = 1/10 n loga x, и поэтому указанные переходы приводят лишь к переносу запятой в логарифме), но позволило несколько упростить вычисления и сами таблицы. Таким образом, по существу оба изобретателя логарифмов пришли к выводу о целесообразности рассмотрения степеней вида ( 1+1/M)М где М очень большое число. Рассмотрение чисел такого вида приводит к известному вам числу е, которое определялось как lim(1+1/n)n при n > 0 Осталось уже немного до идеи принятия в качестве основания логарифмов числа е (основание таблицы логарифмов Бюрги совпадает с точностью до третьего знака с е, основание таблицы логарифмов Непера близко к числу 1/e) .

Первые таблицы десятичных логарифмов (1617 г.) были составлены по совету Непера английским математиком Г. Бриггсом (1561 --1630). Многие из них были найдены с помощью выведенной Бриггсом приближенной формулы

,

логарифм функция риманова поверхность

достаточно точной при больших значениях m и n. При составлении таблиц логарифмов важную роль сыграло найденное Непером и Бюрги соотношение между приращениями Дх и Ду в произвольной точке хо для функции y = logax. Отвлекаясь от деталей их системы изложения, основной результат можно выразить так:Дх/Ду = k/x, где k -- некоторая постоянная.

Непер Джон

Непер Джон(1550--1617) --английский математик. Изобретатель логарифмов, составитель первой таблицы логарифмов, облегчившей работу вычислителей многих поколений и оказавшей большое влияние на развитие приложений математики.

В предисловии к книге «Рабдология» Непер писал:

Я всегда старался, насколько позволяли мои силы и способности, освободить людей от трудности и скуки вычислений, докучливость которых обыкновенно отпугивает очень многих от изучения математики.

Можно с большой вероятностью предполагать, что Непер был знаком с книгой «Arithmetica integra» Михаэля Штифеля, в которой нашла своё выражение идея логарифма: сопоставить умножению в одной шкале (базовой) сложение в другой шкале (логарифмической). Штифель, впрочем, не приложил серьёзных усилий для реализации своей идеи.

В 1614 году Непер опубликовал в Эдинбурге сочинение под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов», на латинском языке (56 страниц текста и 90 страниц таблиц). Там было краткое описание логарифмов и их свойств, а также 8-значные таблицы логарифмов синусов, косинусов и тангенсов, с шагом 1'.

Сочинение разделено на 2 книги, из которых первая посвящена логарифмам, а вторая -- плоской и сферической тригонометрии, причём вторая часть одновременно служит практическим пособием по первой. Более развёрнутое описание содержалось в другом труде, изданном посмертно его сыном; там же Непер пояснил, как он составлял свои таблицы.

Понятия функции тогда ещё не было, и Непер определил логарифм кинематически, сопоставив равномерное и логарифмически-замедленное движение. В современной записи модель Непера можно изобразить дифференциальным уравнением: dx/x = -dy/M, где M -- масштабный множитель, введённый для того, чтобы значение получилось целым числом с нужным количеством знаков (десятичные дроби тогда ещё не нашли широкого применения). Непер взял M = 10000000.

Строго говоря, Непер табулировал не ту функцию, которая сейчас называется логарифмом. Если обозначить его функцию LogNap(x), то она связана с натуральным логарифмом (ln) следующим образом:

Очевидно, LogNap(M) = 0, то есть логарифм «полного синуса» есть нуль -- этого и добивался Непер своим определением. LogNap(0) = ?.

Основное свойство логарифма Непера: если величины образуют геометрическую прогрессию, то их логарифмы образуют прогрессию арифметическую. Однако правила логарифмирования для неперовой функции отличались от правил для современного логарифма.

Например, LogNap(ab) = LogNap(a) + LogNap(b) -- LogNap(1).

К сожалению, все значения таблицы Непера содержали вычислительную ошибку после шестого знака. Однако это не помешало новой методике вычислений получить широчайшую популярность, и составлением логарифмических таблиц занялись многие европейские математики, включая Кеплера.

В 1615 году Непера посетил оксфордский профессор математики Генри Бригс. Непер уже был болен, поэтому не смог усовершенствовать свои таблицы, однако дал Бригсу рекомендации видоизменить определение логарифма, приблизив его к современному. Бригс опубликовал свои таблицы в год смерти Непера (1617). Они уже включали десятичные, а не натуральные, логарифмы, и не только синусов, но и самих чисел (от 1 до 1000, с 14 знаками). Логарифм единицы теперь, как положено, был равен нулю.

Но и в таблицах Бригса обнаружились ошибки. Первое безошибочное издание на основе таблиц Вега появилось только в 1857 году в Берлине (таблицы Бремивера).

В 1620-е годы Эдмунд Уингейт и Уильям Отред изобрели первую логарифмическую линейку, до появления карманных калькуляторов -- незаменимый инструмент инженера.

Современное определение логарифмирования -- как операции, обратной возведению в степень -- впервые появилось у Валлиса и Иоганна Бернулли, а окончательно было узаконено Эйлером в XVIII веке. Эйлеру принадлежит и заслуга распространения логарифмической функции на комплексную область.

Логарифм

Логаримфм числа b по основанию a (от греч. льгпт -- «слово», «отношение» и ?сйимьт -- «число») определяется как показатель степени, в которую надо возвести основание a, чтобы получить число b. Обозначение: . Из определения следует, что записи и равносильны.

Например, , потому что .

2. Вещественный логарифм

Логарифм вещественного числа logab имеет смысл при .

Наиболее широкое применение нашли следующие виды логарифмов:

v Натуральные: , основание: e (число Эйлера).

v Десятичные: , основание: число 10.

v Двоичные: или , основание: число 2. Они применяются в теории информации и информатике.

Если рассматривать логарифмируемое число как переменную, мы получим логарифмическую функцию, например: . Эта функция определена в правой части числовой прямой: x > 0, непрерывна и дифференцируема там (см. рис. 1).

Рис. 1. Графики логарифмических функций

Графики логарифмических функций

1.Параллельный перенос вдоль оси х

2. Симметричное преобразование относительно оси у

3. Сжатие и растяжение вдоль оси y

4. Симметричное преобразование оносительно оси х



5. Построение графика функции

y = ¦log3х¦

2.1 Свойства

Основное логарифмическое тождество:

,



2.2 Натуральные логарифмы

Для производной натурального логарифма справедлива простая формула:

По этой причине в математических исследованиях преимущественно используют именно натуральные логарифмы. Они нередко появляются при решении дифференциальных уравнений, исследовании статистических зависимостей (например, распределения простых чисел) и т. п.

При справедливо равенство

Формула (1) не имеет большой практической ценности из-за того, что ряд очень медленно сходится и значение x ограничено весьма узким диапазоном. Однако нетрудно получить из неё более удобную формулу:

Этот ряд сходится быстрее, а кроме того, левая часть формулы теперь может выразить логарифм любого положительного числа.

Связь с десятичным логарифмом:

2.3 Десятичные логарифмы

Рис. 2. Логарифмическая шкала

Логарифмы по основанию 10 (обозначение: lg a) до изобретения калькуляторов широко применялись для вычислений. Неравномерная шкала десятичных логарифмов обычно наносится и на логарифмические линейки. Подобная шкала используется во многих областях науки, например:

Физика -- интенсивность звука (децибелы).

Астрономия -- шкала яркости звёзд.

Химия -- активность водородных ионов (pH).

Сейсмология -- шкала Рихтера.

Теория музыки -- нотная шкала, по отношению к частотам нотных звуков.

История -- логарифмическая шкала времени.

Логарифмическая шкала также широко применяется для выявления показателя степени в степенных зависимостях и коэффициента в показателе экспоненты. При этом график, построенный в логарифмическом масштабе по одной или двум осям, принимает вид прямой, более простой для исследования.

2.4 Логарифмическая функция

Логарифмической функцией называется функция вида f(x) = logax, определённая при

Область определения: . Область значений: . Функция является строго возрастающей при a > 1 и строго убывающей при 0 < a < 1. График любой логарифмической функции проходит через точку (1;0). Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.

Прямая x = 0 является левой вертикальной асимптотой, поскольку при a > 1 и при 0 < a < 1.

Производная логарифмической функции равна:

Логарифмическая функция осуществляет изоморфизм мультипликативной группы положительных вещественных чисел и аддитивной группы всех вещественных чисел.

3. Комплексный логарифм

3.1 Определение и свойства

Для комплексных чисел логарифм определяется так же, как вещественный. На практике используется почти исключительно натуральный комплексный логарифм, который обозначим и определим как множество всех комплексных чисел z таких, что ez = w. Комплексный логарифм существует для любого , и его вещественная часть определяется однозначно, в то время как мнимая имеет бесконечное множество значений. По этой причине его называют многозначной функцией. Если представить w в показательной форме:

то логарифм находится по формуле:

Здесь -- вещественный логарифм, r = | w | , k -- произвольное целое число. Значение, получаемое при k = 0, называется главным значением комплексного натурального логарифма; принято брать в нём значение аргумента в интервале ( ? р,р]. Соответствующая (уже однозначная) функция называется главной ветвью логарифма и обозначается . Иногда через также обозначают значение логарифма, лежащее не на главной ветви.

Из формулы следует:

Вещественная часть логарифма определяется по формуле:



Логарифм отрицательного числа находится по формуле:

Поскольку комплексные тригонометрические функции связаны с экспонентой (формула Эйлера), то комплексный логарифм как обратная к экспоненте функция связан с обратными тригонометрическими функциями. Пример такой связи:

3.2 Риманова поверхность

Комплексная логарифмическая функция -- пример римановой поверхности; её мнимая часть (рис. 3) состоит из бесконечного числа ветвей, закрученных в виде спирали. Эта поверхность односвязна; её единственный нуль (первого порядка) получается при z = 1, особые точки: z = 0 и (точки разветвления бесконечного порядка).

Риманова поверхность логарифма является универсальной накрывающей для комплексной плоскости без точки 0.

Рис3.Комплексный логарифм (мнимая часть)

Применение логарифма.

Широкое применение нашла логарифмическая функция в астрономии:

Например по ней изменяется величина блеска звезд, если сравнивать характеристики блеска отмеченные глазом и с помощью приборов, то можно составить следующий график:

Рис 4 -Величина блеска звёзд

Здесь по вертикальной оси отложим блеск звезд в единицах Гиппарха (распределение звезд по субъективным характеристикам (на глаз) на 6 групп), а на горизонтальной - показания приборов.

По графику видно, что объективные и субъективные характеристики не пропорциональны, а прибор регистрирует возрастание блеска не на одну и ту же величину, а в 2,5 раза. Эта зависимость выражается логарифмической функцией.

Ещё одно применение логарифмической функции можно найти, если рассматривать логарифмическую спираль.

Рис 5 Логарифмическая спираль

Спираль, по определению - это плоская линия, образованная движущейся точкой, которая удаляется по определенному закону от начала луча, равномерно вращающегося вокруг своего начала. Если начало спирали выбрать за полюс полярной системы координат, то математически спираль может быть представлена с помощью некоторого полярного уравнения r = f(j), где r - радиус-вектор спирали, j - угол, откладываемый на полярной оси, f(j) - некоторая монотонно возрастающая или убывающая положительная функция. В случае с логарифмической спиралью точка удаляется по экспоненциальному закону ( , где a произвольное положительное число).

Если взглянуть на форму многих галактик, то можно обнаружить, что некоторые из них имеют форму логарифмической спирали.

Галактика млечный путь - типичная спиральная галактика.

Но форму логарифмической спирали имеют не только объекты астрономии, но и например: ракушки многих улиток, рога козлов, паутина паука , семечки подсолнуха.

В физике тоже есть немало примеров применения логарифмической функции и логарифмов.

Например, подобно оценки блеска звезд в предыдущем пункте, оценивается громкость шума. Единицей громкости служит «бел», практически его десятая доля - децибел. Последовательные степени громкости 1 бел, 2 бела и т.д. - составляют для нашего слуха арифметическую прогрессию. Физическая сила этих шумов составляет геометрическую прогрессию со знаменателем 10. Разности громкости в 1 бел соответствует отношение силы шумов 10. Это значит, что выраженная в белах громкость шума, равна десятичному логарифму его физической силы.

Заметим, что в физике, при проведении научных, экспериментальных расчетов показательная, логарифмическая функции, экспонента и логарифмы применяются очень широко, но как правило не как описание отдельного процесса или комплекса процессов, а входят в состав сложных уравнений и систем уравнений и формул, описывающих данный процесс.

Также широкое применение нашла логарифмическая функция и в экономике: Например капитал, приносящий 5%, увеличивается ежегодно в 1,05 раза, не слишком впечатляющее возрастание, если рассматривать его на небольшом промежутке времени (в несколько лет), а если рассмотреть размер этой суммы через десять, сто лет или даже более долгий срок, то увеличение будет более чем значительным.

Выводы

Логарифмической функцией называется функция вида f(x) = logax, определённая при

Свойства функции:

§ Область определения (0; )

§ Область значений R

§ Чётность /нечётность: функция не является ни четной, ни нечетной

§ Нули функции: y = 0 при x = 1

§ Промежетки знакопостоянства: если 0 < a < 1, то y > 0 при x (0; 1), y < 0 при x (1; ) если a > 1, то y > 0 при x (1; ), y < 0 при x (0; 1)

§ Промежутки монотонности : при 0 < a < 1 функция убывает при x (0; ) при a > 1 функция возрастает при x (0; )

§ Экстренумов нет.

§ График функции проходит через точку: (1; 0)

§ Асимптота x = 0

Логарифмическая функция крайне важна в экономике, физике, при проведении научных, экспериментальных расчетов, астрономии и др. Форма логарифмической спирали присуща многим природным объектам.

Литература и источники

· Успенский Я. В. Очерк истории логарифмов. Петроград, 1923. ?78 с.

· Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике.

· История математики под редакцией А. П. Юшкевича в трёх томах, М.: Наука.

· Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). -- М.: Наука, 1973.

· Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, тома I, II. -- М.: Наука, 1960.

· http://ru.wikipedia.org/wiki/Логарифм

· http://fgraphiks.narod.ru/logarifmicheskaya.html

Размещено на Allbest.ru