Основы математики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Контрольная работа

Задание №1

Найти матрицу АВ+3Е и ВА+3Е, где

, ,

Е - единичная матрица соответствующего порядка.

Решение:

Найти матрицу АВ+3Е

1.1 Найдем размер матрицы произведения:

1.2 Вычисляем элементы матрицы произведения А*В:

1.3 Вычислим 3Е:

1.4 Находим матрицу АВ+3Е:

Ответ:

Найти матрицу ВА+3Е:

1.1 Найдем размер матрицы произведения:

1.2 Вычислим матрицу 3Е:

1.3 Найдем матрицу В*А+3Е

Ответ:

.

Задание №2

Найти предел:

Решение:

Имеем неопределенность вида применим правило Лопиталя

Ответ:

гипербола экстремум интеграл переменная

=2ln2.

Задание №3

Найти произвольную функции:



Решение:

Находим производную по формуле сложной функции

+

Находим производные

по сколько и - производные от постоянной величины равны нулю.

+

Упростим полученное выражение и заменим по определению логарифмов.

=

Ответ:

Задание №4

Из квадратного листа жести, длина стороны которого 54 см, вырезают по углам одинаковые квадраты и из оставшейся части склеивают открытую коробку. Какова должна быть длина стороны вырезаемых квадратов, чтобы вместимость коробки была наибольшей?

Решение:

Возьмем за x длину стороны вырезанного квадрата, за а длину стороны квадратного листа жести. Получается, что x - высота коробки, а дно коробки имеет квадрат со стороной a-2x тогда объем коробки формула имеет область определения 0<x<

Найдем производную

Находим критические точки функции в которых они имеют максимальное значение т.е.

=0,

Находим значение корней и

Корень находится вне определения функции тогда принимаем .

При б=54см =9см.

Ответ: Длина стороны вырезаемого квадрата равна 9см.

Задание №5

Составить уравнения касательных к гиперболе , которые перпендикулярны прямой x+y-4=0. Сделать чертеж.

Решение:

Преобразуем формулу прямой x+y-4=0 к виду уравнения прямой с угловым коэффициентом

y=kx+b

y=-x+4.

Следовательно, угловой коэффициент прямой y=-x+4 равен .

Угловые коэффициенты прямых касательных к гиперболе, представленной формулой , будут выражаться производной :

;

т.е. .

Из условия перпендикулярности прямых

, .

Подставляем в формулу касательных находим

т.е. имеем две касательные прямые.

Находим уравнения касательных к гиперболе по формуле

для

для

Ответ: Разрешив задачу получим две касательных уравнения которых

и .

Рассматриваемая гипербола есть дробно-линейная функция вида .

В данной задаче гипербола дана формулой из этого следует : b=-1; c=1; d=3.

m определится формулой

При m<0 ветви гиперболы расположены во 2 и 4 квадрантах.

В новой системе координат центр определится по формулам и подставляя данные , с=1, d=3 получим

; ; .

Координаты вершины гиперболы определяются формулам

при m=4

.

Так как ветви гиперболы находятся во 2 и 4 квадрантах, то координата вершины ветви гиперболы во 2 квадранте имеет координаты в новой системе координат , . Для вершины ветви в 4 квадранте , .

Для выполнения чертежа имеем уравнения прямых

y=-x+4

Координаты центра новой системы координат , координаты вершин ветвей гиперболы в новой системе координат

;

.

Задание №6

Исследовать функцию и схематично построить ее график.

Решение:

1) Область определения функции:

Область определения функции - вся числовая ось -?<x<+? при x=0 и y=0.

2) Функция нечетная, так как

3) Вертикальных асимптот функция не имеет, так как

и не имеет разрыва в точке х=0 потому что y(0)=0.

4) Поведение функции в бесконечности:

Находим

аналогично делая преобразования получим . Анализируя полученные результаты заключаем, что справа от х=0 в бесконечность предел y(x) стремится к (-0), слева от х=0 предел y(x) стремится к (+0). Иными словами ось абцисс является горизонтальной асимптотой.

5) Экстремум функции определяется по первой производной по формуле

;

приравниваем то есть . Получаем две точки экстремума в точках и .

На основании пункта 4 решения задачи заключаем:

Справа от точек - функция y(x) монотонно убывает стремясь к (-0).

Слева от точек функция y(x) монотонно убывает стремясь к (+0) точнее в интервале функция убывает в интервале функция убывает .

6) Характер выпуклости определяем по второй производной:

.

Вычисляем в критических точках и

функция выпуклая вниз,

функция выпуклая вверх.

7) В интервале (1;-1) функция меняет свое значение от - к + и пересекает ось абцисс в точке х=0 ибо значение функции в этой точке y(0)=0. В точке х=1 значение функции y(1)=.

В точке х=-1 значение функции y(-1)=.

На основании изложенного строим график:

Задание №7

Найти неопределенные интегралы:

1)

2)

Решение:

Для нахождения интеграла применяем метод замены переменной.

Получим тогда найденные значения подставляем в интеграл

возвращаемся к х

Ответ: .

Задание №8

Найти неопределенные интегралы:

Решение:

Для нахождения интеграла воспользуемся методом интегрирования по частям.

Получим u=(2-x) dv= находим du=-dx

.

По формуле интегрирования по частям получаем

Ответ: искомый интеграл равен

.

Задание №9

Вычислить определенные интегралы:

Решение:

Для вычисления интеграла y= применим замену переменной.

Примем и dx=2t*dt. Если х=4, то t=2, если х=9, то t=3.

После замены переменной получаем

Ответ: =

Задание №10

Вычислить определенные интегралы:

Решение:

представим тогда

Ответ:

=.

Задание №11

Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной линиями:

.

Решение:

Для схематического построения фигуры ограниченной указанными линиями проведем анализ графиков .

Кривая является параболой с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси ординат.

- так же парабола координату х вершины кривой найдем из уравнения , 4-2х=0, . Ордината вершины определяется из , , координаты вершины А(2;4).

Точки пересечения кривой с осью х определяется из о=4х-.

Две точки х=0 и х=4 то есть О(0;0) и B(4;0).

Общие точки пересечения кривых определяется из совместного решения уравнений

, ,

Таким образом, пересечение линий и происходит в начале координат и в вершине параболы в точке А(2;4).

Из построенного графика определяем, что объем тела образуется вращением плоской фигуры вокруг оси Oy ограниченной с низу осью х справа кривой от точек А до В , слева линией от точки А до точки О то есть плоской фигуры ОАВ.

Задание №12

Пользуясь разложением подынтегральной функции в ряд Маклорена, вычислить интеграл с точностью до 0,001. Вычислить этот же интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница.

Сравнить полученные результаты.

Решение:

Ряд Маклорена представлен формулой:

В данном случае f(x)=ln(1+x).

При x=0 функция f(0)=ln(1+0), f(0)=ln1, а ln1=0 получаем f(0)=0.

Находим производные от функции f(x)=ln(1+x) и определяем их значения при x=0,

,

,

,

,

при х=0,

,

Для ясности выпишем значения производных при х=0 значение f(0)^



Эти значения подставим в формулу ряда Маклорена:

Окончательно получаем разложение функции ln(1+x) так как остальные члены разложения от n и далее n+1 отброшены:

Вычисляем интеграл:

Вычислим каждый интеграл по отдельности:



Заменим результаты вычисления вряд:

По условию задачи погрешность задана .

Для достижения заданной погрешности последние члены суммы ряда можно отбросить и первый отброшенный член ряда с которого отбрасываются все последующие остальные, будет пятый (ибо погрешность не превышает абсолютной величины первого отброшенного члена).

0,00052083<0.001

Окончательно

,

а).

Вычисляем этот же интеграл другим способом без разложения вряд по формуле Ньютона-Лейбница. Дано .

Решение:

Применяем интегрирования по частям.

Пусть тогда v=x.

Применим формулу по частям получаем

.

Для нахождения интеграла делаем подстановку 1+x=t тогда dx=dt, x=t-1 . Находим новые пределы интегрирования: если х=0, то t=1; если х=0,5, то t=1.5

.

Вычислим определяем значение интеграла

б)

с заданной погрешностью сравнивая результаты вычислений интегралов а и б получим 0,1082-0,1078=0,0004.

Ответ: При вычислении интеграла методом приближенных вычислений получаем результат с данной точностью: y=0,1078.

При вычислении интеграла по формуле Ньютона-Лейбница получаем результат y=0,1082.

Расхождения составляет .

Точный без погрешностей результат

.

Размещено на Allbest.ru