Математическая модель всплытия подводной лодки

Представление подводной лодки в виде материальной точки с приложением действующих на нее сил. Выведение системы дифференциальных уравнений и получение траектории движения лодки, заданной параметрически. Численные решения системы и построение графиков.

Рубрика Математика
Вид творческая работа
Язык русский
Дата добавления 14.02.2011
Размер файла 154,2 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru

Творческая работа

по предмету: “Дифференциальные уравнения”

тема: «Математическая модель всплытия подводной лодки»

Введение

Под словами математическая модель всплытия подводной лодки подразумевается описание физического процесса, происходящего при её всплытии с некоторой глубины. Естественно, математическая модель существенно отличается от реально происходящего процесса, так как при построении модели берется приближение, при котором пренебрегают некоторыми силами и факторами среды.

В данном случае, вместо лодки, идущей на какой-то глубине, рассматривается материальная точка с переменной массой, первоначально движущаяся горизонтально. Мы будем пренебрегать гидродинамикой этого процесса, рассматривая только три основных силы действующих на эту точку.

Рассматривая, таким образом, действия сил на объект, используя основные законы механики и соотношения между силами, мы можем составить дифференциальное уравнение или систему дифференциальных уравнений, решая которую, можно получить её частное или общее решение (в зависимости от вида системы).

Получив решение, мы можем ответить и на другие вопросы, касающиеся всплытия лодки, такие, как нахождение значений параметров, при которых время всплытия лодки будет минимальным, и ряд других.

На идее моделирования, по существу, базируется любой метод исследования - как теоретический (при котором используются абстрактные модели), так и экспериментальный (использующий предметные модели).

Построение математической модели процесса позволяет понять его суть и его физический смысл.

Рассмотрим подводную лодку как материальную точку, которая движется по горизонтали на некоторой глубине, с некоторой постоянной скоростью. Лодка удифферентована, то есть силы, которые действуют на лодку по вертикали, как показано на рис.1, (сила тяжести и выталкивающая сила Архимеда) равны по модулю.

Рис. 1

По горизонтали, на лодку действует сила сопротивления, модуль которой примем в виде:

,

где степень и коэффициент пропорциональности - это некоторые числа, характерные для данной среды, и зависящие от факторов среды, таких как: плотность воды, её температура, и величины скорости.

Сила Архимеда, действующая на лодку, зависит от размеров лодки, а именно от её объема, и плотности воды:

.

В этой формуле - это плотность жидкости, - объем тела, погруженного в жидкость, = 9.81 м / c2 - ускорение свободного падения.

Пусть в некоторый момент времени выключены двигатели и сбрасывается балласт. Двигаясь по инерции, а также под действием силы Архимеда, она начнет всплывать по некоторой траектории (рис.2).

Рис. 2

Проведем радиус вектор из начала координат:

.

Вектор скорости также можно разложить по осям x и y:

.

Тогда силу сопротивления мы можем записать так:

,

так как вектор скорости всегда направлен по касательной к траектории движения, а сила сопротивления имеет противоположное направление.

По второму закону Ньютона:

,

где вектор - это вектор силы тяжести, действующей на лодку, - некоторая функция зависящая от времени.

Запишем это векторное уравнение в проекциях на оси.

В проекции на ось :

.

модель лодка дифференциальный траектория

В проекции на ось :

.

В результате получим систему дифференциальных уравнений:

,

где масса - функция, зависящая от времени. Решая эту систему для произвольного значения , и заданных начальных условий, мы получим уравнение траектории движения подводной лодки.

Пусть масса лодки изменяется по линейному закону:

,

где - масса корпуса, - это скорость вытеснения воды из цистерн, которую будем считать постоянной, а - некоторый момент времени, в который вся вода из цистерн вытеснена.

Рис. 3

Как показано на рис.3, в некоторый момент времени произведение будет равняться 0, и мы получим , то есть, вся вода из цистерн будет вытеснена.

Решим эту систему для частного случая.

Пусть = 1. В начальный момент времени лодка находится в начале координат, а вектор её скорости направлен по горизонтали и равен (,,,).

В рассматриваемом частном случае, система уравнений принимает следующий вид:

.

Первое уравнение этой системы зависит только от , второе только от , поэтому их можно разделить.

Решим сначала первое уравнение системы:

.

Так как в это уравнение не входит , можно сделать замену . Решая, таким образом, полученное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными, получим:

.

.

Решим второе уравнение системы:

.

Делая аналогичную замену, получим линейное неоднородное уравнение, решая которое, получим:

В итоге получается траектория движения лодки, заданная параметрически:

Траектория движения подводной лодки для заданных начальных условий и =1 изображена на рис. 4.

Рис. 4

Решим исходную систему для произвольного значения параметра .

На накладывается ограничение: , так как только при выполнении этого условия, сила сопротивления оказывается прямо пропорциональна скорости.

Систему приведем к нормальной форме Коши, вводя новые переменные (,,,):

.

В результате получим систему, состоящую из четырех дифференциальных уравнений первого порядка:

.

Начальные условия для нее: , , , .

Решения этой системы для нескольких значений параметра представлены на рис. 5, 6.

Рис. 5

Так как при близких значениях траектория почти не изменяется, и графики сливаются, для большей наглядности изобразим их в более крупном виде.

Рис. 6

На рис. 5, 6 изображены решения исходной системы для

Найдем значение , для которого время всплытия будет наименьшим и уравнение движения при этом значении параметра. Очевидно, что если то , и система принимает следующий вид:

,

где - функция, зависящая от времени.

График решения этой системы представлен на рис. 7.

Рис. 7

Функция возрастет быстрее, чем в случаях с другим значением . А это значит, что, при данном значении параметра, она всплывет с определенной глубины за минимальное время.

При отрицательном значении параметра траектория будет практически совпадать с траекторией , но, в этом случае, задача теряет физический смысл.

Заключение

Мы рассмотрели только частные случаи решения задачи. Исходную систему, невозможно решить в общем виде, без использования ЭВМ, или численных методов решения задачи.

Но, уже по частным случаям решений, можно увидеть некоторую закономерность, на основании которых, уже можно делать какие-то выводы.

Сам процесс всплытия подводной лодки - достаточно сложный физический процесс. На всплытие лодки влияют не только несколько сил действующие на неё. Большое значение имеют гидродинамические параметры, которые в построении данной модели не учитывались. Для численных решений системы и построения графиков были взяты реальные размеры и начальная скорость подводной лодки, что позволило максимально приблизить рассмотренный процесс к реальному.

Список литературы

1. Агафонов С.А., Герман А.Д., Муратова Т.В. Дифференциальные уравнения

М.: Изд-во МГТУ имени Н.Э. Баумана, 2000. - 347 с.

2. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений

М.: Изд-во технико-теоретической литературы, 1950. - 467 с.

3. Осипенко Л., Жильцов Л., Мормуль Н. Атомная подводная эпопея. М.: “Боргес”, 1994. - 350 c.

Размещено на Аllbеst.ru


Подобные документы

  • Схематическое изображение и краткое описание заданной гидравлической системы, выражение работы данной системы с помощью уравнений. Написание уравнения системы виде входа-выхода, решение задачи в символьном виде. Разложение уравнения в ряд Тейлора.

    лабораторная работа [92,4 K], добавлен 11.03.2012

  • Математическая модель линейной непрерывной многосвязной системы. Уравнение движения и общее решение неоднородной системы линейных дифференциальных уравнений. Сигнальный граф системы и структурная схема. Динамики САУ и определение ее характеристик.

    реферат [55,7 K], добавлен 26.01.2009

  • Поиск собственных чисел и построение фундаментальной системы решений. Исследование зависимости жордановой формы матрицы А от свойств матрицы системы. Построение фундаментальной матрицы решений методом Эйлера, решение задачи Коши и построение графиков.

    курсовая работа [354,7 K], добавлен 14.10.2010

  • Решение дифференциальных уравнений. Численный метод для заданной последовательности аргументов. Метод Эйлера относиться к численным методам, дающим решение в виде таблицы приближенных значений искомой функции. Применение шаговых методов решения Коши.

    дипломная работа [1,2 M], добавлен 16.12.2008

  • Общая постановка задачи решения обыкновенных дифференциальных уравнений, особенности использования метода Адамса в данном процессе. Решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений методом Адамса и точным методом, сравнение полученных результатов.

    курсовая работа [673,6 K], добавлен 27.04.2011

  • Решение эллиптических и параболических дифференциальных уравнений в частных производных. Суть метода Кранка-Николсона и теории разностных схем для теплопроводности. Построение численных методов с помощью вариационных принципов, описание Matlab и Mathcad.

    курсовая работа [1,4 M], добавлен 13.03.2011

  • Определение системы с двумя переменными, способ ее решения. Специфика преобразования линейных уравнений с двумя переменными. Способ сложения и замены переменных в этом виде уравнений, примеры их графиков. Алгоритм нахождения количества системы уравнений.

    презентация [226,6 K], добавлен 08.12.2011

  • Методы численного интегрирования, основанные на том, что интеграл представляется в виде предела суммы площадей. Геометрическое представление метода Гаусса с двумя ординатами. Численные примеры и сравнение методов. Решение систем алгебраических уравнений.

    курсовая работа [413,4 K], добавлен 11.06.2014

  • Вычисление и исследование предела и производной функции, построение графиков. Вычисление неопределенных интегралов, площади фигуры, ограниченной графиками функций. Нахождение решения дифференциального уравнения и построение графиков частных решений.

    контрольная работа [153,6 K], добавлен 19.01.2010

  • Анализ методов решения систем дифференциальных уравнений, которыми можно описать поведение материальных точек в силовом поле, законы химической кинетики, уравнения электрических цепей. Этапы решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений.

    курсовая работа [791,0 K], добавлен 12.06.2010

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.