Преобразование пространственного изображения образа (точки) в плоскостное

Построение проекций некоторой точки А, расположенной в I октанте, на три взаимно перпендикулярные плоскости p1,--p2,--p3 показано на рис. 2.27. Используя совмещение плоскостей проекций с плоскостью p 2 и применяя способ вращения плоскостей, получаем комплексный чертеж точки А (рис. 2.28):

АА1 ^--p1; АА 2 ^--p2; АА 3 ^--p3,

где А3 - профильная проекция точки А; АХ, Аy, АZ - осевые проекции точки А.

Проекции А1, А2, А3 называются соответственно фронтальной, горизонтальной и профильной проекцией точки А.

Рис. 2.27

Рис. 2.28

Плоскости проекций, попарно пересекаясь, определяют три оси x, y, z, которые можно рассматривать как систему декартовых координат: ось Х называется осью абцисс, ось y - осью ординат, ось Z - осью аппликат, точка пересечения осей, обозначаемая буквой О, есть начало координат.

Так, зритель, рассматривающий предмет, находится в первом октанте.

Для получения комплексного чертежа применим способ вращения плоскостей p1--и--p3 (как показано на рис. 2.27) до совмещения с плоскостью p2. Окончательный вид всех плоскостей в первом октанте приведен на рис. 2.29.

Рис. 2.29

Здесь оси Оx и Оz, лежащие в неподвижной плоскости p2, изображены только один раз, ось Оy показана дважды. Объясняется это тем, что, вращаясь с плоскостью p1, ось y на эпюре совмещается с осью Оz, а вращаясь с плоскостью p3, эта же ось совмещается с осью Оx.

Рассмотрим рис. 2.30, где точка пространства А, задана координатами (5,4,6). Эти координаты положительны, и сама она находится в первом октанте. Построение изображения самой точки и ее проекций на пространственной модели осуществляется с помощью координатного прямоугольного параллелограмма. Для этого на осях координат откладываем отрезки, соответственно отрезкам длины: ОАх = 5, OАy = 4, OАz = 6. На этих отрезках (ОАx, ОАy, ОАz), как на ребрах, строим прямоугольный параллелепипед. Одна из его вершин будет определять заданную точку А.

Рис. 2.30

Говоря о системе трех плоскостей проекций на комплексном чертеже (рис. 2.30), необходимо отметить следующее.

Первое

1. две проекции точки принадлежат одной линии связи;

2. две проекции точки определяют положение третьей ее проекции;

3. линии связи перпендикулярны соответствующей оси проекций.

Второе

Любая точка пространства задается координатами. По знакам координат можно определить октант, в котором находится заданная точка. Для этого воспользуемся табл. 2.3, в которой рассмотрены знаки координат в 1-4 октантах (5-8 октанты не представлены, они имеют отрицательное значение х, а y и z повторяются).

Таблица 2.3

Образование комплексного чертежа в системе трех плоскостей проекций осуществляется совмещением плоскостей p1,--p2,--p3 (рис. 2.31).

Рис. 2.31

Ось у в этом случае имеет два положения: y1 c плоскостью p1, y3 c плоскостью p3.

Горизонтальная и фронтальная проекции точки располагаются на линии проекционной связи, перпендикулярной оси x, фронтальная и профильная проекции - на линии проекционной связи, перпендикулярной к оси z.

А1АХ = А3АZ = АА2 - расстояние от А до p2

А2АХ = А3Аy = АА1 - расстояние от А до p1

А1Аy = А2АZ = АА3 - расстояние от А до p3

Расстояние точки от плоскости проекций измеряются аналогично отрезкам на эпюре (рис. 2.32).

Рис. 2.32

При построении проекции точки в пространстве и на комплексном чертеже могут применяться различные алгоритмы.

1. Алгоритм построения наглядного изображения точки, заданной координатами (рис. 2.30):

1.1. Соотнести знаки координат x, y, z с данными табл. 2.3.

1.2. Определить четверть, в которой расположена точка.

1.3. Выполнить наглядное (аксонометрическое) изображение четверти.

1.4. Отложить координаты точки на осях АХ, АY, АZ.

1.5. Построить проекции точки на плоскостях p1,--p2,--p3.

1.6. Построить перпендикуляры к плоскостям p1,--p2,--p3 в точках проекции А1, А2, А3.

1.7. Точка пересечения перпендикуляров есть искомая точка А.

2. Алгоритм построения комплексного чертежа точки в системе трех плоскостей проекций p--1,--p--2,--p 3, заданной координатами (рис. 2.32)

2.1. Определить по координатам четверть, в которой расположена точка.

2.2. Определить механизм совмещения плоскостей.

2.3. Построить комплексный чертеж четверти.

2.4. Отложить координаты точки на осях x, y, z (АХ, АY, АZ).

2.5. Построить проекции точки на комплексном чертеже.

2. Комплексный чертеж и наглядное изображение точки в I-IV октантах

Рассмотрим пример построения точек А, В, С, D в различных октантах (табл. 2.4).

Таблица 2.4

Пример построения третьей проекции точки по двум заданным

Точка в пространстве определяется любыми двумя своими проекциями. При необходимости построения третьей проекции по двум заданным необходимо воспользоваться соответствием отрезков линий проекционной связи, полученных при определении расстояний от точки до плоскости проекций (см. рис. 2.27 и рис. 2.28).

Примеры решения задач в I октанте

Рассмотрим алгоритм построения точки А (табл. 2.5)

Таблица 2.5 Алгоритм построения точки А по заданным координатам А (x = 5, y = 20, z = -9)

проекция точка октанта перпендикулярный чертеж

В следующих главах мы будем рассматривать образы: прямые и плоскости только в первой четверти. Хотя все рассматриваемые способы можно применить в любой четверти.

Выводы

Таким образом, на основании теории Г. Монжа, можно преобразовать пространственное изображение образа (точки) в плоскостное.

Эта теория основывается на следующих положениях:

1. Все пространство делится на 4 четверти с помощью двух взаимно перпендикулярных плоскостей p1 и p2, либо на 8 октантов при добавлении третьей взаимно-перпендикулярной плоскости p3.

2. Изображение пространственного образа на эти плоскости получается с помощью прямоугольного (ортогонального) проецирования.

3. Для преобразования пространственного изображения в плоскостное считают, что плоскость p2 - неподвижна, а плоскость p1 вращается вокруг оси x так, что положительная полуплоскость p1 совмещается с отрицательной полуплоскостью p2, отрицательная часть p1 - с положительной частью p2.

4. Плоскость p3 вращается вокруг оси z (линии пересечения плоскостей) до совмещения с плоскостью p2 (см. рис. 2.31).

Изображения, получающиеся на плоскостях p1, p2 и p3 при прямоугольном проецировании образов, называются проекциями.

Плоскости p1, p2 и p3 вместе с изображенными на них проекциями, образуют плоскостной комплексный чертеж или эпюр.

Линии, соединяющие проекции образа ^ осям x, y, z, называются линиями проекционной связи.

Для более точного определения образов в пространстве может быть применена система трех взаимно перпендикулярных плоскостей p1, p 2, p 3.

В зависимости от условия задачи можно выбрать для изображения либо систему p1,--p2, либо p1,--p2,--p3.

Систему плоскостей p1,--p2,--p3 можно соединить с системой декартовых координат, что дает возможность задавать объекты не только графическим или (вербальным) образом, но и аналитическим (с помощью цифр).

Такой способ изображения образов, в частности точки, дает возможность решать такие позиционные задачи, как:

· расположение точки относительно плоскостей проекций (общее положение, принадлежность плоскости, оси);

· положение точки в четвертях (в какой четверти расположена точка);

· положение точек относительно друг друга, (выше, ниже, ближе, дальше относительно плоскостей проекций и зрителя);

· положение проекций точки относительно плоскостей проекций (равноудаление, ближе, дальше).

Метрические задачи:

· равноудаленность проекции от плоскостей проекций;

· отношение удаления проекции от плоскостей проекций (в 2-3 раза, больше, меньше);

· определение расстояния точки от плоскостей проекций (при введении системы координат).

Размещено на Allbest.ru