Доказательство Великой теоремы Ферма для четных показателей степени
Формулировка Великой теоремы Ферма, диофантовое уравнение. Использование методов замены переменных для доказательства теоремы. Решение в целых положительных числах. Условия решения уравнений для четных показателей степени методами элементарной алгебры.
| Рубрика | Математика |
| Вид | творческая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 14.02.2011 |
| Размер файла | 33,0 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Доказательство великой теоремы Ферма для четных показателей степени
Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение:
Аn+ Вn = Сn/1/
где n- целое положительное число, большее двух, не имеет решения в целых положительных числах.
Суть Великой теоремы Ферма не изменится, если уравнение /1/ запишем следующим образом:
Аn = Сn -Вn /2/
Пусть показатель степени n=2m. Тогда уравнение /2/ запишется следующим образом:
А2m = С2m -В2m /3/
Уравнение /3/ рассматриваем как параметрическое уравнение 2m- ной степени с параметром A и переменными B и С.
Уравнение /3/ запишем в следующем виде:
А2m = (Сm)2 -(Вm )2 /4/
Обозначим:
Вm =V /5/
Сm =U /6/
Отсюда:
теорема ферма диофантовый уравнение доказательство
В2m =V2 /7/
С2m =U2 /8/
В = /9/
С = /10/
Тогда из уравнений /3/, /7/ и /8/ следует:
А2m = С2m -В2m =U2 - V2 /11/
Уравнение /11/ в соответствии с известной зависимостью для разности квадратов двух чисел запишем в виде:
А2m = (U - V)•(U + V) /12/
Для доказательства великой теоремы Ферма используем метод замены переменных. Обозначим:
U-V=X /13/
Из уравнения /13/ имеем:
U=V+X /14/
Из уравнений /12/, /13/ и /14/ имеем:
А2m=X• (V+X+V)=X•(2V+X) = 2V•X+X2 /15/
Из уравнения /15/ имеем:
А2m - X2= 2V•Х /16/
Отсюда: V = /17/
Из уравнений /14/ и /17/ имеем:
U= /18/
Из уравнений /9/, /10/, /17/ и /18/ имеем:
В= /19/
C = /20/
Из уравнений /19/ и /20/ следует, что необходимым условием для того чтобы числа В и С были целыми, является делимость числа A на число X , т. е. число X должно быть одним из сомножителей, входящих в состав сомножителей числа А. Другими словами, число А должно быть равно:
A = N• X , /21/
где N - простое или составное целое положительное число.
Из уравнений /19/ и /20/ следует, что необходимым условием для того чтобы числа В и С были целыми, является также одинаковая четность чисел A и X : оба числа должны быть четными или оба нечетными.
Из уравнений /19/, /20/ и /21/ следует:
В= /22/
C= /23/
Обозначим:
P = /24/
Q = /25/
Тогда:
B = /26/
С = /27/
Допустим, что:
X =Rm /28/
P= Sm. /29/
Тогда в соответствии с уравнением /26/ число B равно:
B = =R•S. /30/
Из уравнений /24/, /25/ и /29/ имеем:
Q = = P + 1= Sm + 1 /31/
Таким образом, из уравнений /27/, /28/ и /31/ следует:
С = /32/
Очевидно, что число:
Sm + 1 ? Mm. /33/
где M - целое число.
Следовательно, число С - дробное число.
Пусть в формуле /19/ подкоренное выражение равно:
= Pm /34/
Тогда из формулы /19/ следует:
B = =P.
В этом случае подкоренное выражение в формуле /20/ будет равно:
=Pm + X
В этом случае из формулы /20/ следует:
С = /35/
Но:
Pm + X ? Qm , /36/
так как в соответствии с формулой /34/ значение числа Pm зависит от значения числа X. При этом число Pm содержит в себе сомножитель X, т.е.:
Pm = X•D
Отсюда в соответствии с формулой /36/ следует:
Pm + X = X•D +X = X(D+1)
А из формулы /35/ следует:
С = .
Откуда следует, что C - дробное число.
Следовательно, и в таком варианте доказательства число С - дробное число.
Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах.
В частном случае, если показатель степени m=1, из формул /19/ и /20/ имеем:
B=V=; C=U=. /34/
При условии, что числа A и X имеют одинаковую четность и число X является делителем числа A, по формулам /34/ определяются пифагоровы числа B и C для числа A.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Решение уравнения теоремы Пифагора в целых числах. Доказательство теоремы Ферма в целых положительных числах при четных показателях степени. Применение методов решения параметрических уравнений и замены переменных. Доказательство теоремы Пифагора.
доклад [26,6 K], добавлен 17.10.2009Формулирование и доказательство великой теоремы Ферма методами элементарной алгебры с использованием метода замены переменных для показателя степени n=4. Необходимые условия решения уравнения. Отсутствие решения теоремы в целых положительных числах.
творческая работа [27,7 K], добавлен 17.10.2009Доказательство теоремы Ферма методами теоремы арифметики, элементарной алгебры с использованием методов решения параметрических уравнений для четных и нечетных показателей степени. Теорема о разложении на простые множители целых составных чисел.
научная работа [22,6 K], добавлен 12.06.2009Доказательство великой теоремы Ферма для n=3 методами элементарной алгебры с использованием метода решения параметрических уравнений. Диофантово уравнение, решение в целых числах, отсутствие решения в целых положительных числах при показателе степени n=3.
творческая работа [23,8 K], добавлен 17.10.2009Представление великой теоремы Ферма как диофантового уравнения. Использование для ее доказательства метода замены переменных. Невозможность решения теоремы в целых положительных числах. Необходимые условия и значения чисел для решения, анализ уравнений.
статья [35,2 K], добавлен 21.05.2009Доказательство великой теоремы Ферма методами теоремы арифметики, элементарной алгебры с использованием методов решения параметрических уравнений и методов замены переменных. Теорема о единственности разложения на простые множители целых составных чисел.
статья [29,4 K], добавлен 21.05.2009Оригинальный метод доказательства теоремы Ферма. Использование бинома Ньютона для решения диофантового уравнения. Решение теоремы Ферма при нечетных показателях степени n, при целых положительных и натуральных числах. Преобразование уравнения Ферма.
статья [16,4 K], добавлен 17.10.2009Суть великой теоремы Ферма. Формирование диофантового уравнения. Доказательство вспомогательной теоремы (леммы). Особенности составления параметрического уравнения с параметрами. Решение великой теоремы Ферма в целых положительных (натуральных) числах.
научная работа [31,1 K], добавлен 18.01.2010Исследование доказательства теоремы Ферма в общем виде. Показано, что кроме уравнения второй степени уравнения Ферма не содержат других решений в целых числах. Предложено к рассмотрению 4 метода доказательства теоремы при целых x, y.
статья [20,8 K], добавлен 29.08.2004Выполнение доказательства теорем Пифагора, Ферма и гипотезы Биля методом параметрических уравнений в сочетании с методом замены переменных. Уравнение теоремы Ферма как частный вариант уравнения гипотезы Биля, а уравнение теоремы Ферма – теоремы Пифагора.
творческая работа [64,8 K], добавлен 20.05.2009
