Векторна алгебра

Размещено на http://www.allbest.ru/

Векторна алгебра

1. Основні поняття

Розглядаючи різні процеси та явища, ми зустрічаємося з об`єктами та величинами різної природи. Деякі із фізичних величин - такі як маса, температура, об`єм, потенціал характеризуються одним числом. Вони називаються скалярними величинами або просто скаляром. Поряд зі скалярами існують величини, для характеристики яких необхідно вказати також і напрямок. Такі, наприклад, сила, швидкість, переміщення, напруження та інші. Ці фізичні величини називаються векторними величинами або векторами.

Геометричною моделлю векторної величини являється прямолінійний відрізок із вибраним на ньому напрямком.

В нашому курсі ми і будемо мати справу в основному з цією моделлю, а тому прямолінійний відрізок, для якого вказано, яка із обмежуючих його точок вважається початком, яка кінцем, будемо називати геометричним вектором або просто вектором.

А В

Рис.1

А В

А В

Рис.2

Якщо А - початок вектора, В - його кінець, тоді сам вектор будемо позначати символом . Символ буде, очевидно, позначати вектор, початок якого знаходиться в точці В, а кінець - в точці А. Під довжиною вектора будемо розуміти відстань між початком і кінцем вектора. Довжину, або, як часто говорять, модуль вектора , позначають символом . Очевидно, вектори і мають однакову довжину (тобто =) і протилежні напрямки.

Вище було вказано, що вектор повністю визначається своїм початком та кінцем. Він може бути заданий також початком, довжиною та напрямком. Але для цілого ряду питань точка прикладання (початок вектора) не обов`язкова - має значення лише довжина вектора та його напрямок. Такі вектори називаються вільними. Оскільки точка прикладання (початок вектора) будь-яка, тоді вектор можна переносити, зберігаючи його довжину і напрямок, в будь-яку точку простору. А тому вектори, які мають рівні довжини та однакові напрямки, називаються рівними векторами. Тобто, вектори рівні, якщо при паралельному переносі векторів і співпаданні їх початків будуть співпадати і їх кінці.

Оскільки для вільних векторів можна не вказувати початок, тоді вони часто визначаються одною буквою: вектор , вектор і т.д. Довжина вектора позначається символом .

Введемо ще три терміни, які часто зустрічаються у векторній алгебрі.

Колінеарними називаються вектори, які лежать на паралельних прямих. Або, вектори колінеарні, якщо при паралельному їх переносі та співставленні їх початків вони лежать на одній прямій.

Компланарними називаються вектори, які лежать на паралельних площинах. Тобто, вектори компланарні, якщо при паралельному їх переносі і співставленні початків вони лежать в одній площині. Очевидно, що два вектори завжди компланарні.

Нульовим вектором являється вектор, у якого початок співпадає з кінцем. Довжина нульового вектора дорівнює нулю, а напрямок довільний, а тому нульовий вектор можна вважати колінеарним будь-якому іншому вектору. Позначати нульовий вектор будемо символом .

2. Лінійні операції з векторами

Вводячи різні операції з векторами, збережемо прийняті в алгебрі чисел терміни “додавання” та “множення”. Але необхідно взяти до уваги, що оскільки поняття “вектор” та “число” суттєво різні, тоді і зміст вказаних операцій може не співпадати з відповідними операціями алгебри чисел. А тому необхідно дослідити основні правила цих по суті нових операцій та перевірити виконання встановлених в алгебрі чисел законів: комутативного, асоціативного та дистрибутивного.

Визначення. Сумою двох векторів називається третій вектор, початок якого є початком 1-го вектора, кінцем - кінець 2-го, при чому початок 2-го вектора співставлений з кінцем 1-го.

Із введеного визначення випливає, що при додаванні векторів має місце комутативна властивість, тобто

(1)

Дійсно, доповнимо трикутник, складений із векторів , , до паралелограма (рис.3). Оскільки , і згідно визначення суми векторів і , тоді .

Рис.3

Із наведених міркувань випливає, що суму двох векторів і можна визначити як діагональ паралелограма, побудованого на векторах і , які виходять із загального початку заданих векторів.

Легко перевірити, що при додаванні векторів має місце асоціативна властивість, тобто

(2)

а тому суму трьох векторів можна записати просто у вигляді . Дійсно, побудуємо із векторів і вектор ; побудуємо також суму векторів та вектора (рис.4).

Відмічений пунктиром вектор згідно визначення і є сумою векторів і , . Разом з тим , таким чином, .

Проведені міркування дають прийом додавання будь-якого числа векторів. Нехай задані k векторів , і необхідно знайти їх суму. До кінця вектора прикладемо початок вектора , до кінця побудованого вектора приставимо початок вектора і т.д. Нарешті, до кінця вектора приставимо початок вектора (рис.5).



Тоді вектор , початком якого є початок вектора , а кінцем - кінець вектора , і буде сумою векторів : . При цьому байдуже, в якому порядку нумеруються задані вектори.

Таким чином, сума декількох векторів представляє собою вектор, який замикає ламану, побудовану на заданих векторах. Може статися, що кінець останнього вектора співпаде з початком першого, і, отже, у замикаючого вектора кінець співпаде з початком. В цьому випадку сума векторів є нульовим вектором.

Визначення. Добутком вектора на число (або числа на вектор ) називається вектор , довжина якого в раз більше довжини вектора і напрямок співпадає з напрямком вектора , якщо , та протилежний напрямку , якщо .

Оскільки ділення на число представляє собою множення на число , то можна виконувати і ділення вектора на відмінне від нуля число.

Нехай ненульовий вектор. Оскільки - додатне число, тоді вектор направлений так, як і вектор . Довжина вектора дорівнює, очевидно, 1. Вектор , який має довжину рівну 1 і направлений так, як і вектор , називається ортом вектора .

Добуток вектора на число -1 (або, що теж саме, добуток числа -1 на вектор ), тобто вираз (або ), записують як -. Оскільки вектори та мають у відповідності з визначенням однакові довжини та протилежні напрямки, тоді

(3)

Як і в алгебрі чисел, в алгебрі векторів немає потреби розглядати окремо дію віднімання. Відняти від вектора вектор означає додати до вектора вектор -: . А тому у векторних рівностях вектори можна переносити із однієї частини рівності в другу, змінюючи знак, який стоїть перед вектором, на протилежний. Тобто, якщо , тоді .

Неважко переконатись, що при множенні вектора на число має місце асоціативна та дистрибутивна властивості. Покажемо, по-перше , що

(4)

(тобто має місце асоціативна властивість по відношенню до числових множників).

Дійсно, оскільки довжина вектора дорівнює , довжина вектора дорівнює та довжина вектора дорівнює , тоді довжина векторів та однакова. Далі, якщо, наприклад, числа та додатні, тоді вектори, , направлені так, як і вектор , а тому усі вони мають однакові напрямки. Якщо та , тоді вектори , , направлені всі протилежно вектору , а тому також однаково направлені.

Аналогічні міркування проводяться і у всіх інших випадках.

Доведемо тепер, що

(5)

нехай (рис. 6 при та рис.7 при ).

Оскільки , тоді кути ОАВ та ОА₁В₁ рівні. Оскільки , тоді трикутники ОАВ та ОА₁В₁ подібні. Звідси, точки О, В, В₁ лежать на одній прямій і , а тому . Але і твердження доведене.

Очевидно, має місце також співвідношення

 (6)

Розглянуті операції - додавання векторів та множення вектора на число - називаються лінійними операціями, а вектор

(7),

отриманий в результаті проведення декількох лінійних операцій, лінійною комбінацією векторів . Числа називаються коефіцієнтами цієї лінійної комбінації.

3. Лінійна залежність та лінійна незалежність системи векторів

Нехай задано k векторів: . Назвемо таку задану множину векторів системою векторів.

Визначення. Система векторів називається лінійно-залежною, якщо хоча б один із векторів системи може бути виражений як лінійна комбінація останніх.

Таким чином система векторів лінійно-залежна, якщо, наприклад,

(1)

де б₁, б₂,….. б_k-1 - деякі числа.

Відмітимо, якщо в задану систему (множину) векторів включений нульовий вектор, тоді система обов`язково лінійно-залежна. Дійсно, завжди можна написати що , тобто виражати нульовий вектор як лінійну комбінацію (з нульовими коефіцієнтами) останніх векторів системи.

Наведене визначення лінійної залежності системи векторів виділяє із інших один якийсь вектор системи. Щоб уникнути такого виділення, часто вводять друге визначення лінійної залежності.

Визначення. Система векторів називається лінійно-залежною, якщо існують числа , із яких хоча б одне відмінне від нуля, такі що

(2)

Таке визначення, звичайно, рівнозначне попередньому. Дійсно, якщо маємо рівність

,

тоді, переносячи в праву частину, отримаємо =0, і, отже, маємо рівність (2) при . Навпаки, якщо виконана умова (2) і, наприклад, , тоді

,

і тим самим виконана умова (1).

В повній відповідності зі сказаним можна ввести і визначення лінійної незалежності систем векторів, як заперечення лінійної залежності.

Визначення. Система векторів називається лінійно-незалежною, якщо вона не є лінійно-залежною.

Наведемо інші, рівнозначні визначення:

система векторів називається лінійно-незалежною, якщо ні один із векторів системи не може бути виражений як лінійна комбінація останніх;

система векторів називається лінійно-незалежною, якщо рівність нулю їх лінійної комбінації можлива тільки тоді, коли всі коефіцієнти лінійної комбінації дорівнюють нулю.

Найпростішим прикладом лінійно-залежних векторів є пара колінеарних векторів. Нехай задані два колінеарних ненульових вектора і . Позначимо через відношення довжин цих векторів, тобто число . Очевидно, що вектори і при зробленому виборі числа мають однакові довжини. Отже, якщо і однаково направлені, тоді , якщо ж вони направлені в протилежні сторони, тоді . Таким чином, два колінеарних вектора завжди лінійно залежні. Ясно, що вірне і обернене твердження: якщо два вектори лінійно залежні, тоді вони колінеарні.

Таким чином, умова

(3),

тобто умова лінійної залежності двох ненульових векторів, є умова, необхідна і достатня для колінеарності цих векторів.

Доведемо тепер, що лінійна залежність трьох векторів є умова необхідна і достатня для їх компланарності.

Нехай задані три компланарні ненульові вектори . У відповідності з визначенням при співставленні початків цих векторів вони опиняться в одній площині (рис. 8).



Будемо вважати, що вектори і не колінеарні (в противному випадку вони лінійно залежні). Через кінець вектора (точку С) проведемо прямі, паралельні векторам і . Ці прямі перетнуть прямі, на яких лежать вектори і , в точках А₁ і В₁. Вектори ОА₁ і , очевидно, колінеарні. А тому , і аналогічно . Але . Таким чином, , і, отже, вектори лінійно залежні.

Справедливе і обернене твердження: якщо вектори лінійно залежні, то вони компланарні. Дійсно, нехай . Якщо вектори і не колінеарні, то вони визначають деяку площину. В тій же площині лежать, очевидно, вектори і , а тому і їх сума - вектор . Якщо ж вектори і колінеарні, тоді на тій же прямій лежить і вектор , і три заданих вектора не тільки компланарні, але і колінеарні.

Із наведених міркувань випливає, що якщо на площині задана пара неколінеарних векторів, то будь-який третій вектор, який лежить в тій же площині, може бути представлений як лінійна комбінація двох заданих.

Визначення. Впорядкована пара (якщо вказано, який вектор пари вважається першим, а який другим) неколінеарних векторів називається базисною системою векторів (базисом) на площині, визначеної заданими векторами.

Теорема розкладу. Будь-який вектор на площині може бути представлений як лінійна комбінація базисної системи векторів, це представлення (розклад по базисній системі) єдине.

Нехай вектори і базисні. Тоді, як показано вище, будь-який вектор може бути представлений у вигляді . Залишається довести єдинність розкладу.

Будемо вважати, що існує ще один розклад вектора по тій же базисній системі:

векторний алгебра лінійний декартовий

при цьому хоча б одне із чисел та відмінне від чисел та . Тоді отримаємо . Отже вектори і лінійно залежні, а тому колінеарні. Але це суперечить твердженню, що і утворюють базисну систему. Таким чином, розклад заданого вектора по заданій базисній системі єдиний.

Проведені міркування легко переносяться і на вектори, задані в просторі.

Визначення. Впорядкована трійка (якщо вказано, який вектор трійки вважати першим, який другим і який третім) некомпланарних векторів називається базисною системою векторів (базисом) в просторі.

Теорема розкладу. Будь-який вектор може бути представлений як лінійна комбінація базисної системи векторів; таке представлення (“розклад по базисній системі”) єдине. Доведення. Нехай задана базисна система векторів і - довільний вектор. Нехай 0 - загальний початок цих векторів. Через точку D - кінець вектора (рис. 9) - проведемо пряму DE, паралельну вектору, і нехай E - точка перетину цієї прямої з площиною, визначену векторами і .



Через точку Е проведемо прямі, паралельні векторам і , нехай В₁ і А₁ - точки перетину цих прямих з прямими, на яких лежать вказані вектори. Нарешті, через точку D проведемо пряму, паралельну ОЕ до перетину в точці С₁ з прямою, на якій лежить вектор .

Маємо

Тому

Одержаний розклад єдиний, оскільки, якби існував ще один розклад

,

то виконувалась би рівність

,

при цьому хоча б одне із чисел було б відмінне від нуля. Це означало б що вектори були б лінійно залежні, а тому і компланарні, що суперечить умові теореми.

Із доведеного випливає також, що будь-які чотири вектори лінійно залежні.

Введемо ще одне суттєво важливе поняття.

Визначення. Координатами вектора в заданому базисі називаються коефіцієнти розкладу вектора по базисній системі векторів.

Отже, якщо задана базисна система векторів і то координатами вектора в заданому базисі називаються числа . Записуються координати вектора в заданому базисі у вигляді рядка: .

Зустрічається також запис у вигляді стовпця

Таким чином, якщо заданий базис , і в цьому базисі , тоді .

Очевидно, якщо заданий деякий базис, то задання координат вектора в цьому базисі повністю визначає сам вектор, і , отже, два вектора рівні тоді і тільки тоді, коли рівні їх координати в якому-небудь заданому базисі.

Використовуючи правила лінійних операцій, отримаємо такі теореми:

При множенні вектора на число всі його координати в заданому базисі перемножуються на це число.

При додаванні векторів складаються відповідні координати цих векторів.

Дійсно, нехай заданий базис , і в цьому базисі два вектори:

, .

Тоді

;

Відмітимо, що в просторі можливо вибрати нескінченну множину базисних систем векторів, і один і той вектор в різних базисних системах буде мати різні координати. В багатьох задачах корисно переходити від однієї базисної системи до другої і встановлювати співвідношення між координатами вектора в різних системах. Покажемо це на прикладах.

ПРИКЛАДИ РОЗВ`ЯЗКУ ЗАДАЧ

1.88. В базисній системі задані три вектори

, , .

В базисній системі вектор має координати .

Знайти координати вектора , в базисі .



Отже

в базисі .^

1.89. Встановити, являються вектори , задані своїми координатами в якій-небудь базисній системі, лінійно-залежними, і , якщо так, тоді виразити один із векторів через інші.

У відповідності з визначенням лінійної залежності відшукуються такі числа , щоб . Оскільки при рівності векторів повинні бути рівні їх координати, то

Третє рівняння є наслідком двох інших. Вибираємо . Тоді ^

1.90. В базисі задані чотири вектори

, , , .

Знайти координати вектора в базисі .

Оскільки чотири вектора завжди лінійно залежні, то . Порівнюючи координати векторів, одержимо:

^

1.91. З`ясувати, являється система векторів

лінійно залежною.

Нехай

де - деякі числа.

Підставляємо в цю рівність вирази векторів

.

Після множення векторів на числа і додавання векторів отримаємо, що

Звідки

Цю систему лінійних однорідних рівнянь розв`язуємо методом Гауса.

Одержали трапецеїдальну систему. Отже, задана система є невизначеною, а тому, крім нульового розв`язку має і ненульовий розв`язок. Таким чином, розглянута система векторів - лінійно залежна. Можна знайти коефіцієнти лінійно залежної системи векторів . Для цього розв`язуємо одержану систему лінійних рівнянь

Вільними невідомими можна вважати . Виражаючи головні невідомі і через вільне невідоме , знаходимо що .

Надамо довільного значення, відмінного від нуля, наприклад -1. Одержуємо: , тобто =0. ^

4. Проекція вектора на ось

Будемо називати віссю пряму з вибраним на ній напрямком.

Нехай заданий вектор і ось L. Розглянемо вектор, початком якого є точка А₁ - проекція точки А на ось L, а кінцем - точка В₁ - проекція точки В на ту ж ось.

Визначення. Проекцією вектора на ось L називається довжина вектора , взята зі знаком “+”, якщо напрямок співпадає з напрямком осі L, та з знаком “-”, якщо напрямок протилежний напрямку осі L.

Проекція вектора на ось L позначається . Будемо називати ортом осі L вектор , напрямок якого співпадає з напрямком осі L і довжина дорівнює 1.

Визначення. Кутом між двома векторами (або між вектором та віссю) називається найменший кут, на який потрібно повернути один із векторів, щоб його напрямок співпав з напрямком другого вектора.

При цьому немає значення, який із двох векторів повертається: вектор до співпадання з напрямком вектора або вектор до співпадання з напрямком вектора . Іншими словами, кут між векторами і є разом з тим і кутом між векторами і . Звідси випливає, що кут між двома векторами не може бути від`ємним і не може бути більше радіан.

5. Прямокутна декартова система координат в просторі

Виберемо в просторі яку-небудь точку О, проведемо через неї три взаємно перпендикулярні осі, і на кожній із них візьмемо одиничний вектор, направлений по цій осі (орт осі). Вісь з вибраним на ній початком відліку та одиницею довжини називається координатною віссю, а впорядкована система трьох взаємно перпендикулярних координатних осей із загальним початком відліку і загальною одиницею довжини називається прямокутною декартовою системою координат в просторі.

У вибраній впорядкованій системі координатних осей першу ось назвемо віссю абсцис (або віссю х), другу - віссю ординат (або віссю у), третю - віссю аплікат (або віссю z). Оскільки на кожній осі вибраний орт осі, то маємо також базисну трійку векторів. Вектори цієї базисної трійки взаємно перпендикулярні. Таку базисну систему векторів називають ортогональною. Крім того, довжини усіх трьох наших базисних векторів дорівнюють одиниці. Така система векторів називається нормованою (в багатьох випадках довжину вектора називають нормою).

Таким чином, вибрана система базисних векторів - “координатний базис” - є ортогональною і нормованою, або, як часто говорять, ортонормованою. Перший вектор базисної трійки, направлений по першій осі (по осі абсцис), позначається символом , другий вектор, направлений по другій осі (по осі ординат), - символом , третій вектор, направлений по третій осі (по осі аплікат), - символом .

Базисні, тобто некомпланарні трійки векторів в просторі поділяються на два типи. Якщо при спостереженні від кінця 3-го вектора базисної трійки коротший поворот від 1-го вектора до 2-го проводиться проти часової стрілки - базисна система називається правою. Якщо при спостереженні від кінця 3-го вектора найкоротший поворот від 1-го вектора до 2-го проводиться по часовій стрілці - трійка векторів називається - лівою.

Прямокутна декартова система координат називається відповідно правою, якщо правою є трійка її базисних векторів, і лівою, якщо трійка її базисних векторів ліва. Ми будемо використовувати тільки праву систему координат.

Як було показано раніше, будь-який вектор може бути розкладений і при тому єдиним чином по базисній трійці векторів. А тому будь-який вектор може бути записаний у вигляді: . Оскільки початок вектора завжди можна помістити в початок координат (рис. 10), то числа , , , тобто координати вектора в базисній трійці , , являються одночасно проекціями вектора на ці осі.

Для скорочення запису замість застосовують символи . А тому вектор можна записати у вигляді

(1)

Оскільки вектор внаслідок взаємної перпендикулярності координат осей є діагоналлю прямокутного паралелепіпеда, побудованого на векторах , тоді

(2)

Кути утворені вектором з координатними осями, можуть бути обчислені за формулами:

(3)

Візьмемо в просторі із заданою прямокутною системою координат довільну точку М. Радіусом-вектором цієї точки будемо називати вектор з початком на початку координат і кінцем в заданій точці (рис. 11).

Визначення. Координатами точки в заданій прямокутній декартовій системі координат називаються проекції радіус-вектора цієї точки на координатні осі.

Координати заданої точки М в заданій прямокутній декартовій системі координат записуються, як правило, у вигляді (x, y, z), де

(4),

і називаються відповідно абсцисою, ординатою та аплікатою точки М.

Три площини визначені парами координатних осей, розбивають весь простір на 8 частин - октантів. Площини ці називаються координатними площинами. На площині xy (яка проходить через осі x i y) апліката будь-якої точки дорівнює нулю, на площині xz (яка проходить через осі x i z) ордината будь-якої точки дорівнює нулю, на площині yz (яка проходить через осі y i z) абсциса будь-якої точки дорівнює нулю.

Очевидно, в заданій системі координат координати будь-якої фіксованої точки визначаються єдиним чином, і задання координат будь-якої точки (тобто задання впорядкованої трійки дійсних чисел) єдиним чином визначає положення самої точки. Іншими словами, в заданій системі координат має місце взаємно-однозначна відповідність між точками в просторі і впорядкованими трійками дійсних чисел. Оскільки вектор повністю визначається заданням положення його початку і його кінця, то можна виразити координати в ортонормованому базисі через координати його кінців.

Нехай в заданій прямокутній декартовій системі координат початок вектора знаходиться в точці M₁(x₁, y₁, z₁), а кінець - в точці M₂(x₂, y₂, z₂) (рис. 12). Як відомо, . Але вектор є радіус-вектор точки М₁, а - радіус-вектор точки М₂.



Рис.12

Тому

Отже,

(5)

Можна використати і другу систему запису

,

.

Апарат векторної алгебри і метод координат з успіхом використовується для розв`язку багатьох геометричних задач.

Задача 1.

Знайти відстань між двома заданими точками і .

Розв`язок.

Вектор має координати . Раніше було доведено, що довжина вектора дорівнює кореню квадратному із суми квадратів його координат в ортонормованому базисі.

А тому

(6)

Задача 2. Задані дві точки M₁(x₁, y₁, z₁) і M₂(x₂, y₂, z₂). Знайти координати точки, яка лежить на відрізку і ділить довжину цього відрізка у відношенні .

Розв`язок. Нехай точка M(x, y, z) - шукана (рис. 12). Вектори і , очевидно, колінеарні і однаково направлені. Тому вони можуть відрізнятися тільки довжиною. З умови

Отже

При рівності векторів повинні бути рівні їх координати. Оскільки , , тоді

одержимо

(7)

В частинному випадку, якщо n=m , тобто точка М лежить в середині даного відрізка М₁М₂ то

(8),

і, отже, координати середини відрізка дорівнюють напівсумам відповідних координат його кінців.

Очевидно, що всі отримані результати можна перенести і на випадок прямокутної системи координат на площині. Векторами, які утворюють ортонормований базис, тут будуть та , а тому будь-який вектор в площі ху може бути записаний у вигляді .

Щоб отримати із виведених формул відповідні формули в прямокутній декартовій системі координат на площі, достатньо вважати рівними нулю всі проекції на вісь z.

вектор алгебра лінійний координата

Размещено на Allbest.ru