Основные теоретические положения.

В то время как законы распределения и биномиальный, и Пуассона применяются при работе с дискретными данными, нормальный закон распределения применяется при работе с непрерывно изменяющимися переменными. Его также называют законом распределения ошибок (поскольку он был впервые использован при анализе воспроизводимости астрономических наблюдений), а также законом распределения Гаусса в честь математика Гаусса. Нормальный закон распределения рассматривает то, каким образом группируются результаты измерений относительно среднего значения. Астрономы договорились, что угловые расстояния и положения, которые они хотят измерить, являются константами, но получаемые ими результаты измерений имеют случайный разброс относительно среднего, наиболее часто встречающегося и, предположительно, самого правильного значения. Поскольку разброс носит случайный характер, то, чем больше само отклонение, тем менее вероятно его значение. Распределение вероятностей для среднего значения

нормальный закон распределение гаусс

выборки обычно близко к нормальному закону даже, если отдельные выборочные значения x_i распределены существенно иным образом.

Прежде чем перейти к формулировке нормального закона остановимся на понятии плотности распределения непрерывной случайной величины и рассмотрим не очень формальное, но наглядное ее определение.

Пусть последовательность чисел x₁, x₂,., x_n представляет результаты измерений, например, диаметра изделий в очень большой партии из N штук. Если партия, действительно, очень велика, то числа x_i всюду плотно заполнят числовую ось, но с различным для разных участков числовой оси значением плотности (число точек, попавших в различные интервалы единичной длины). Во многих практически интересных случаях плотность заполнения этими точками числовой оси есть некоторая функция j (x), зависящая от x как ; другой интересный случай, когда j пропорциональна exp (-?x), был рассмотрен выше. Здесь мы изучаем случай

Оказывается, что параметр a связан со среднеквадратичным отклонением s следующим образом: a^-1=2s². Коэффициент пропорциональности A определяется тем условием, что полное число точек на всей числовой оси равно N. Предполагая, что точки плотно заполняют числовую ось, подсчет их числа можно заменить интегрированием функции ? по всей числовой оси. Тогда коэффициент A можно найти из следующего условия:

где a=1/ (2s²), что дает .

Число случайных значений величины x, которые оказались в заданном интервале Dx с центром x_* равно j (x_*) Dx. Соответственно, вероятность, что случайно выбранное значение величины x оказалось в указанном интервале можно оценить по формуле благоприятных исходов как j (x_*) Dx/N.

Теперь мы можем дать более строгое определение нормально распределенной случайной величины - это непрерывная случайная величина, плотность распределения вероятностей которой, имеет следующий вид:

.

В плотность f (x), входят два параметра математическое ожидание m и дисперсия s², которые являются предельными (при N стремящемся к бесконечности) значениями их оценок и s² соответственно. Заметим, что функция распределения нормально распределенной величины равна

.

Для нормальной величины u с параметрами m=0 и s=1 функция распределения равна

.

Такое распределение вероятностей имеет приведенная величина u= (x-m) /s. Соответствующая дополнительная вероятность R (z) =1-Ф (z) затабулирована в таблице 3 справочника Мюрдоха и Барнса.

Нормальный закон распределения изображен на рис.17.1 Кривая плотности нормального закона имеет колоколообразную форму, которая полностью определена двумя параметрами - математическим ожиданием m и стандартным отклонением s. Последние величины оцениваются выборочными средним значением и среднеквадратичным отклонением от среднего.

Собрав результаты измерений на выходе Вашего процесса, можно построить кривую нормального закона распределения. Любое правильное нормальное распределение всегда симметрично. По 50% результатов измерений располагаются с каждой стороны от среднего значения. С каждой стороны от среднего приблизительно 16% значений оказываются за пределами 1s, 2,5% - за пределами 2s и всего лишь 0,1% - за пределами 3s от среднего значения.

Рис.1 Нормальный закон распределения

Размещено на Allbest.ru