Логика предикатов

27

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

КУРСОВАЯ РАБОТА

на тему «Логика предикатов»

по дисциплине «Аргументация и логика»

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

• 1. Свойства, отношения и предикаты
• 2. Кванторы
• 3. Исчисление предикатов
• 4. Логическое следование
• 5. Выводимость и доказуемость
• 6. Категорический силлогизм и другие умозаключения дедуктивной логики
• Заключение
• Литература

ВВЕДЕНИЕ

В исчислении высказываний мы рассматривали отношения между высказываниями, не входя в анализ логической структуры отдельных высказываний.

Правда, для первоначального знакомства с ними и их классификациями нам пришлось говорить о субъектно-предикатной структуре суждений традиционной логики, а при их делении на общие и частные упомянуть о кванторах общности и существования. Но все эти понятия никак не использовались в исчислении высказываний, где последние берутся как нечто единое, нерасчлененное целое.

Нередко поэтому отдельные высказывания рассматриваются как логические атомы, образующие посредством логических операций - отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации и эквиваленции - сложные высказывания, или молекулы.

Теперь наступило время перейти к более глубокому анализу высказываний, связанному с изучением их внутренней логической структуры. Уже традиционная логика в своем учении о силлогизмах опиралась на субъектно-предикатную структуру суждений и учитывала их количественную характеристику с помощью таких слов, как "все", "любой", "каждый", "никакой", "некоторые" и т.п.

Как отмечалось в гл. 1, современная логика отличается от традиционной как по глубине и точности исследования, так и по широте применения своих методов. Если традиционная логика ограничивалась логическим анализом отношений между предметами и их свойствами, то современная логика анализирует различные отношения между самими предметами. В результате логика свойств выступает хотя и как важный, но частный случай логики отношений.

Тем не менее и с исторической и с практической точек зрения представляется целесообразным обсудить в этой главе элементы теории силлогизмов, во-первых, потому, что такие умозаключения широко используются в повседневных и даже научных рассуждениях, во-вторых, потому, что читатель может сравнить традиционный подход с современным и убедиться в значительной эффективности и точности последнего.

1. Свойства, отношения и предикаты

Свойства вещей реального мира представляют собой результат взаимодействия их с другими вещами, ибо без этого они не могли бы проявиться и мы не были бы в состоянии судить о них. В самом деле, мы говорим, например, что алмаз является самым твердым минералом, а графит - мягким потому, что они различаются по свойству твердости и пластичности.

В традиционной логике свойство отображается в суждении предикатом, а вещь, которой принадлежит это свойство, - субъектом. Следует, однако, различать субъект и предикат в грамматике и логике, подобно тому как мы различаем предложение и суждение (высказывание) Суждения, имеющие субъектно-предикатную структуру, отображают часто встречающиеся в действительном мири связи между вещами, событиями и явлениями, с одной стороны, и их свойствами и признаками, с другой. Именно эти связи и стали предметом изучения традиционной логики. Хотя различные виды отношений, такие, как "больше", "меньше", "выше", "ниже", "дальше", "ближе" и т.п., не говоря уже об отношениях родства встречаются часто, но традиционная логика либо совершенно не интересовалась логическим анализом отношений, либо пыталась свести их к субъектно-предикатной структуре.

Впервые изучением логики отношений занялись математики, и ее основоположником считается английский математик и логик О. де Морган. Интерес к данной логике со стороны математиков вовсе не случаен, поскольку именно в этой науке встречаются самые разнообразные отношения (равенства, неравенства, подобия, между, включения, конгруэнтности, параллельности и т.д.). Такие отношения представлены в формулировке аксиом различных математических дисциплин, и поэтому для доказательства теорем необходимы точные определения тех логических операций, которые можно производить над отношениями.

С логической точки зрения отношения можно рассматривать как обобщение обычного предиката традиционной логики, выражающего свойства предметов. Если этот предикат характеризует один-единственный предмет или, как мы будем говорить в дальнейшем, объект, то в логике отношений он определяет отношение между разными объектами. Так, когда мы говорим, что число 5 больше, чем 3, то тем самым устанавливаем между ними отношение "больше" по величине.

Отношение между двумя объектами называют бинарным, (двучленным), между тремя - тернарным и т.д. Объекты, которые заполняют эти места, характеризуют соответствующий предикат.

Символически это представляется так:

Р (x1, x2,..., хn),

где Р обозначает предикат, a x1, х2,..., хn - соответствующие объекты. Если п = 0, тогда предикат будет нерасчлененным высказыванием, которое рассматривалось в предыдущей главе, при п = 1 предикат представляет свойство, при n = 2 - бинарное отношение, при п = 3 - тернарное отношение и т.д.

С логико-математической точки зрения предикат можно рассматривать как пропозициональную функцию. В отличие от математических функций, где аргументами служат числа и другие математические объекты, в пропозициональной функции аргументами являются только высказывания. Если такой предикат выражает свойство, например "быть студентом", то, подставив вместо аргумента х фамилии разных лиц, мы получим различные высказывания, истинные и ложные, т.е., если Иванов действительно студент, то он будет удовлетворять функции Р(х), где Р обозначает свойство "быть студентом". Аналогично, если Ч(х) обозначает свойство "быть четным числом", то число 4 удовлетворяет этой функции, а число 5 - нет. Обратите внимание, что в этом случае вместо обычных чисел аргументами служат высказывания о числах.

Предикат Р(х,у) является пропозициональной функцией от двух аргументов и выражает бинарное отношение между двумя объектами, например "Москва южнее, чем С.-Петербург". В данном случае предикат Р обозначает отношение "быть южнее". Если вместо "Москвы" взять "Мурманск", то получится ложное высказывание. Отсюда становится ясно, что предикат или пропозициональная функция сами по себе не являются высказываниями, и потому не могут считаться ни истинными _ни ложными. Они становятся истинными или ложными высказываниями после того, как вместо их аргументов подставляются конкретные высказывания. Такой функциональный подход к предикатам дает возможность обращаться с ними как со специальными видами функций, аргументами которых являются не математические, а логические объекты, а именно высказывания.

Объектами же рассуждений могут быть самые разнообразные предметы как реального, так и идеального мира, события, явления, процессы. Предикаты, которые их характеризуют, в принципе позволяют выделить класс (или множество) этих объектов. Такой класс в логике называют универсумом рассуждения. Например, универсумом рассуждений в арифметике является множество чисел, в химии- различные химические элементы, простые и сложные вещества, в которые они входят, в биологии - живые организмы, в социальных науках- группы, коллективы, классы людей и соответствующие общественные структуры. Логика не изучает и не определяет универсумы конкретных видов рассуждений. Это составляет задачу конкретных наук. Поэтому в логическом анализе такие универсумы предполагаются заданными.

Существует два принципиально отличных способа задания универсума рассуждения, первый из которых состоит в систематическом перечислении всех тех объектов, которые составляют класс объектов, характеризуемых данным свойством или отношением. Очевидно, что такой универсум должен быть конечным множеством. Однако в научном познании приходится иметь дело не только с конечными, но и бесконечными множествами объектов. Например, в математике уже натуральный ряд чисел является бесконечным множеством, поскольку к любому, сколь угодно большому натуральному числу можно прибавить единицу и тем самым неограниченно продолжать этот процесс. При формулировании научных законов также часто приходится обращаться к бесконечному множеству объектов. Так, в законе всемирного тяготения Ньютона утверждается, что два любых тела притягиваются друг к другу с гравитационной силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. При этом предполагается, что количество таких тел во Вселенной бесконечно много. Очевидно, что поскольку бесконечное множество нельзя задать с помощью конечного списка его элементов, то приходится для этого обращаться к некоторому общему правилу или закону образования его элементов. Например, зная, что четными называются числа, делящиеся на 2, всегда можно определить, является ли рассматриваемое число четным или нечетным.

Хотя в принципе, если свойство или отношение сформулированы достаточно ясно и четко, установить универсум можно, но на практике сделать это бывает трудно из-за неопределенности критериев разграничения множеств объектов. Порой бывает, например, нелегко ответить на вопрос, принадлежит ли данный объект к множеству растений или животных, металлов или металлоидов, устойчивых или неустойчивых систем, когда заходит речь о переходных, промежуточных явлениях.

Но в большинстве случаев при наличии предиката, выражающего свойство или отношение, можно всегда установить его универсум, или, как предпочитают говорить математики, область значений переменных пропозициональной функции, которую называют областью определения функции. Если эта область точно не установлена, то пропозициональная функция при подстановке на место аргументов конкретных объектов превращается в бессмысленную фразу, а не осмысленное высказывание - истинное или ложное. Нередко бывает так, что функция оказывается неопределенной в некоторой области значений. Например, в математике говорят, что уравнение х² + 1=0 не определено в области действительных чисел, ибо имеет мнимый корень. Чтобы гарантировать точность рассуждений, в математике и логике ясно и однозначно определяют ту предметную область, к которой относятся переменные пропозициональных функций или предикатов.

В простейшем исчислении предикатов, которое называют также узким или исчислением предикатов первой ступени, в качестве значения переменных будут рассматриваться индивиды или объекты. Но можно в качестве значений переменных брать также предикаты, связанные кванторами. Такое исчисление называют исчислением предикатов второй ступени. Дальнейшие обобщения приводят к исчислениями предикатов высших ступеней.

Так же, как и в исчислении высказываний, мы будет предполагать, что высказывание Р(х,у), получаемое при любой паре значений из области ее значений, может быть либо истинным, либо ложным. Другими словами, в исчислении предикатов, как и в исчислении высказываний, выполняется закон исключенного третьего. Но при этом, как мы увидим в дальнейшем, сама процедура получения значения истинности сложного высказывания, состоящего из элементарных высказываний, значительно усложняется: ведь в таком случае с ним приходится соотносить не один, а пару, тройку или вообще п-ку объектов из области значений переменных.

2. Кванторы

предикат квантор логический силлогизм дедуктивный

Существенное отличие логики предикатов от логики высказываний заключается также в том, что первая вводит количественную характеристику высказываний или, как говорят в логике, квантифицирует их. Уже в традиционной логике суждения классифицировались не только по качеству, но и по количеству, т.е. общие суждения отличались от частных и единичных. Но никакой теории о связи между ними не было. Современная логика рассматривает количественные характеристики высказываний в специальной теории квантификации, которая составляет неотъемлемую часть исчисления предикатов.

Для квантификации (количественной характеристики) высказываний эта теория вводит два основных квантора: квантор общности, который мы будем обозначать символом (х), и квантор существования, обозначаемый символом (Ех). Они ставятся непосредственно перед высказываниями или формулами, к которым относятся. В том случае, когда кванторы имеют более широкую область действия, перед соответствующей формулой ставятся скобки.

Так, суждение: "Все материальные тела обладают массой" можно перевести на символический язык так:

(х) М (х),

где х - обозначает материальное тело:

М - массу;

(х) - квантор общности.

Аналогично этому утверждение о существовании экстрасенсорных явлений можно выразить через квантор существования:

(Ех) Э (х),

где через х обозначены явления:

Э - присущее таким явлениям свойство экстрасенсорности;

(Ex) - квантор существования.

С помощью квантора общности можно выражать эмпирические и теоретические законы, обобщения о связи между явлениями, универсальные гипотезы и другие общие высказывания. Например, закон теплового расширения тел символически можно представить в виде формулы:

(х) (Т(х) > P(х)),

где (х) - квантор общности;

Т(х) - температура тела;

Р(х) - его расширение;

и знак импликации.

Введение кванторов дает возможность прежде всего превращать предикаты в определенные высказывания. Предикаты сами по себе не являются ни истинными, ни ложными. Они становятся таковыми, если вместо переменных либо подставляются конкретные высказывания, либо, если они связываются кванторами, квантифицируются. На этом основании вводится разделение переменных на связанные и свободные.

Связанными называются переменные, подпадающие под действие знаков кванторов общности или существования. Например, формулы (х) А (х) и (х) (Р (х) > Q(x)) содержат переменную х. В первой формуле квантор общности стоит непосредственно перед предикатом А(х), вовторой - квантор распространяет свое действие на переменные, входящие в предыдущий и последующий члены импликации. Аналогично этому квантор существования может относиться как к отдельному предикату, так и к их комбинации, образованной с помощью логических операций отрицания, конъюнкции, дизъюнкции и др.

Свободная переменная не подпадает под действие знаков кванторов, поэтому она характеризует предикат или пропозициональную функцию, а не высказывание.

С помощью комбинации кванторов можно выразить на символическом языке логики достаточно сложные предложения естественного языка. При этом высказывания, где речь идет о существовании объектов, удовлетворяющих определенному условию, вводятся с помощью квантора существования. Например, утверждение о существовании радиоактивных элементов записывается с помощью формулы:

(Ex) R(x),

где R обозначает свойство радиоактивности.

Утверждение, что существует опасность для курящего заболеть раком, можно выразить так: (Ех) (К(х) > P(x)), где К обозначает свойство "быть курящим", а Р - "заболеть раком". С известными оговорками то же самое можно было выразить» посредством квантора общности:

(х) (К(х) > Р(х)). Но утверждение, что всякий курящий может заболеть раком, было бы некорректным, и поэтому его лучше всего записать с помощью квантора существования, а не общности.

Квантор общности используется для высказываний, в которых утверждается, что определенному предикату А удовлетворяет любой объект из области его значений. В науке, как уже говорилось, квантор общности используется для выражения утверждений универсального характера, которые словесно представляются с помощью таких фраз, как "для всякого", "каждый", "всякий", "любой" и т.п. Путем отрицания квантора общности можно выразить общеотрицательные высказывания, которые в естественном языке вводятся словами "никакой", "ни один", "никто" и т.п.

Разумеется, при переводе на символический язык утверждений естественного языка встречаются определенные трудности, но при этом достигается необходимая точность и однозначность выражения мысли. Нельзя, однако, думать, что формальный язык богаче естественного языка, на котором выражаются не просто смысл, но и разные его оттенки. Речь поэтому может идти только о более точном представлении выражений естественного языка как универсального средства выражения мыслей и обмена ими в процессе общения.

Чаще всего кванторы общности и существования встречаются вместе. Например, чтобы выразить символически утверждение: "Для каждого действительного числа х существует такое число у, что х будет меньше у", обозначим предикат "быть меньше" символом <, известным из математики, и тогда утверждение можно представить формулой: (х) (Еу) < (х, у). Или в более привычной форме: (х) (Еу) (х < у). Это утверждение является истинным высказыванием, поскольку для любого действительного числа х всегда существует другое действительное число, которое будет больше него. Но если мы переставим в нем кванторы, т.е. запишем его в форме: (Еу) (х) (х < у), тогда высказывание станет ложным, ибо в переводе на обычный язык оно означает, что существует число у, которое будет больше любого действительного числа, т.е. существует наибольшее действительное число.

Из самого определения кванторов общности и существования непосредственно следует, что между ними существует определенная связь, которую обычно выражают с помощью следующих законов.

1. Законы перестановки кванторов:

(х) (у) А ~ (у) (х) А;

(Ех) (Еу) А ~ (Еу) (Ех) А;

(Ех) (у) А ~ (у) (Ех) А;

2. Законы отрицания кванторов:

(х) А ~ (Ех) ¬ А;

(Ех) А ~ (х) ¬ А;

3. Законы взаимовыразимости кванторов:

(х) А ~ ¬ (Ех) ¬ А;

(Ех) А ~ ¬ (х) ¬ А.

Здесь всюду А обозначает любую формулу объектного (предметного) языка. Смысл отрицания кванторов очевиден: если неверно, что для любого х имеет место А, тогда существуют такие х, для которых А не имеет места. Отсюда также следует, что если: любому х присуще А, тогда не существует такого х, которому было бы присуще не-А, что символически представлено в первом законе взаимовыразимости.

3. Исчисление предикатов

Построение исчисления предикатов осуществляется, с одной стороны, аналогично построению исчисления высказываний, а с другой - качественно отличается от него.

Сходство и даже связь между обоими исчислениями заключается, во-первых, в том, что значение, которое принимает пропозициональная функция (предикат) из универсума рассуждения, при соответствующих аргументах может быть либо истинным, либо ложным. Во-вторых, все логические связки (операторы), которые рассматривались в предыдущей главе - отрицание, дизъюнкция, конъюнкция, импликация - используются и в исчислении предикатов. Следовательно, для определения истинностного значения пропозициональной функции таблица истинности, с которой мы знакомы, может применяться в принципе и здесь, однако на практике такой способ оказывается крайне громоздким и неэффективным.

Прежде всего в исчислении предикатов используются кванторы. Кроме того, для определения истинности пропозициональной функции необходимо установить определенное соответствие между функцией и теми независимыми переменными (аргументами), которые составляют область ее определения (универсум рассуждения). Например, если универсум для отношения х < у составляет множество пар целых положительных чисел, то для определения значения истинности этого отношения необходимо установить соответствие (функцию) между любой парой чисел х и у из универсума и отношением х < у. Очевидно, что при х = 2 и у = 3 высказывание, полученное путем подстановки этих чисел в формулу, будет истинным, а при х=5 и у=3- ложным.

Функция, которая соотносит независимым переменным из ее универсума соответствующее значение истинности или ложности, называют логической, интерпретационной или семантической.

В общем случае, если предикат Р зависит от п индивидных (предметных) переменных, т.е. Р (х1, х2,..., xn), то каждой п-ке переменных из универсума семантическая функция будут соотносить значение "истина" или "ложь". Если n=0, мы получим отдельное, нерасчлененное высказывание (законы исчисления таких высказываний рассматривались в предыдущей главе). Следовательно, исчисление высказываний может быть получено в качестве частного случая исчисления предикатов, а тем самым устанавливается связь между ними. При п = 1, т.е. Р(х), предикат является свойством, при п = 2, 3, 4 получаем бинарные, тернарные и тому подобные отношения.

Поскольку в исчислении предикатов применяются кванторы, при определении истинностного значения пропозициональной функции необходимо установить процедуру для вычисления формул вида:

(х) А и (Ех) А,

где А, как обычно, обозначает любую формулу предметного языка.

Их значения мы сможем вычислить лишь тогда, когда сумеем соотнести некоторую семантическую функцию с в формуле А. Другими словами, когда при произвольном выборе элемента х из универсума - причем свободно входящего в формулу А - сможем приписать А в качестве ее значения семантическую функцию с. Тогда будем считать, что формула (х) А будет истинна, если приписанная ей семантическая функция будет всегда принимать значение истины. В противном случае (х) А будет ложно. Аналогично этому (Ех) А будет истинно, если среди значений его семантической функции найдется по крайней мере одно истинное утверждение. В противном случае оно будет считаться ложным.

Опираясь на эти определения, мы можем теперь вычислить таблицу истинности для произвольной формулы, например, формулы, универсум которой состоит всего из двух объектов: 1 и 2.

Чтобы вычислить истинностные значения, например, формулы

Р(у) v (х) (Р(х) > Q).

необходимо учесть определенное распределение, состоящее из семантической функции для Р(х), значения истинности подформулы Q и значения для свободной переменной у. В связи с этим на входах таблицы истинности для рассматриваемой формулы будут три величины. Но предварительно следует выписать список четырех (2²) распределений значений истины семантической функции одной переменной для универсума.

Основываясь на этом распределении, можно вычислить таблицу истинности для рассматриваемой функции (табл.1).

Таблица 1

Этот пример показывает, что построение таблицы истинности для исчисления предикатов составляет несравненно более трудную задачу, чем построение таблицы для исчисления высказываний. В самом деле, если универсум рассуждения будет состоять из 10 элементов, то для этого придется построить 2¹⁰ = 1024 семантические функции только для одной независимой переменной, а число строк в таблице в огромной степени возрастает по мере усложнения формул. В нашем примере речь шла только о двух объектах универсума рассуждений, а формула была крайне проста. Поэтому к таблицам истинности в исчислении предикатов обращаются главным образом для иллюстраций, используя для этого весьма простые формулы с крайне ограниченным универсумом рассуждений.

Тем не менее аналогия с исчислением высказываний оказывается весьма полезной для объяснения таких понятий, как общезначимая (или тождественно истинная) формула исчисления предикатов и логическое следование в этом исчислении. Формула А считается общезначимой в исчислении предикатов, если при всяком выборе универсума рассуждений (области ее значений) столбец ее значений в таблице будет состоять только из истин. Если универсум будет фиксирован, то формула называется общезначимой только в этом универсуме.

Поскольку проверка формулы на общезначимость, как мы видели, представляет собой крайне трудную задачу, то выход часто ищут в противоположной операции: в установлении необщезначимости формулы. Для этого в принципе достаточно найти такую единственную строку в таблице, где формула принимает ложное значение. В приведенном выше примере (см. табл.1) этими строками являются 8 и 11.

В некоторых случаях поиск необщезначимой формулы может быть ускорен, если воспользоваться сокращенными способами, основанными на определениях логических операций дизъюнкции, конъюнкции и импликации. Например, если нам было бы известно, что один из дизъюнктивных членов рассматриваемой формулы был бы истинен, тогда истинной была бы вся формула. Если же ложным оказался один член конъюнкции, то вся формула окажется ложной.

4. Логическое следование

Чтобы установить, следует ли логически формула В исчисления предикатов из множества формул А1, А2,..., am (м > 1), необходимо, как и в исчислении высказываний, построить соответствующую таблицу истинности и убедиться в том что формула В будет иметь истинное значение во всех тех строках, где А1, А2,..., Аm одновременно являются истинными, и это условие выполняется во всех универсумах рассуждения. Такое условие играет существенную роль, ибо одна формула будет логически следовать из другой (или других) в одном универсуме, но не следовать в ином универсуме.

Символически это определение можно представить в следующей форме:

A1,A2, ,Am| = B

где знак | = обозначает следование.

В приведенном выше определении логического следования свободные переменные рассматриваются как обозначающие некоторые элементы из универсума рассуждения. Поэтому в течение всего рассуждения они, так же, как и предикаты, должны оставаться фиксированными. При другом определении переменные могут быть различными в разных формулах. Чтобы яснее представлять различия между двумя подходами к определению логического следования, обратимся к языку алгебры, в котором, как известно, различают, с одной стороны, уравнения (или условные равенства), а с другой - тождества (или тождественные равенства). В то время как уравнению удовлетворяют только определенные значения переменной, называемые его корнями, тождество выполняется при любых значениях переменной. Именно поэтому уравнения считаются условными равенствами. Действительно, например, в уравнении х² + 2х - 3 = 0 левая часть равняется правой только при значениях х = 1 и х = -3, а в тождестве (х + 1)² = х² + 2х + 1 вместо переменной можно подставлять любые числа.

Соответственно этому будем говорить, что для переменных в уравнениях дается условная интерпретация, а в тождествах - интерпретация всеобщности. При условной интерпретации переменной х в определенном допущении А(х) - куда х входит свободно - любое следствие, полученное из него, должно относиться к тому же самому элементу из универсума А(х). Иными словами, переменная х в этом случае фиксирована, так как представляет то же самое число в процессе рассуждения. При тождественной интерпретации значения переменных могут изменяться. Отсюда становится ясным, что приведенное выше определение для логического следования в исчислении предикатов соответствует условной интерпретации свободных переменных, входящих в допущения A1, А2,..., An. Чтобы сформулировать другое определение следования, необходимо опираться на интерпретацию всеобщности для всех переменных. Для этого необходимо, во-первых, связать все допущения А1, А2, ..., Аm кванторами общности, а во-вторых, построить таблицы истинности, как и в первом определении.

5. Выводимость и доказуемость

Приведенные выше понятия общезначимой формулы логического следования в конечном итоге опираются на построение таблицы истинности. Но проверка с помощью таблиц оказывается, как мы видели, и крайне громоздким, и весьма неэффективным средством. Такой способ проверки целесообразно использовать для выявления общезначимых формул и логического следования в исчислении высказываний, где с помощью таблицы истинности мы можем всегда ответить на вопрос, является ли данная формула общезначимой или законом логики в этом исчислении, а также следует ли формула В из формул А1, А2,..., Аm. Когда существует определенная процедура, посредством которой можно за конечное число шагов разрешить определенный вопрос, тогда в логике и математике говорят, что для ответа на него существует алгоритм или эффективная процедура. Мы можем, например, сказать, что для сложения, умножения, деления и других хорошо известных математических действий существуют определенные алгоритмы. То же самое относится и к исчислению высказываний, где с помощью таблицы истинности всегда можно в конечном итоге ответить на вопрос, является ли данная формула законом исчисления или нет, либо следует ли рассматриваемая формула из другой или других формул.

В исчислении предикатов мы встречаемся с принципиальными трудностями, поскольку не можем проверить неограниченное количество интерпретаций, которые соответствуют заданной формуле из ее универсума рассуждений. Вот почему становится необходимым обратиться к другому способу проверки, основанному на выводе формул по точно установленным правилам. Такая необходимость связана с тем, что для исчисления предикатов не существует алгоритмической процедуры, с помощью которой можно было бы установить, является ли произвольная формула исчисления общезначимой, а также следует ли в ней одна формула из другой. Таким образом, здесь мы не можем так просто разрешить эти вопросы, как в исчислении высказываний. В связи с этим логика предикатов не имеет разрешающей процедуры или алгоритма, которые можно было бы применить к любой формуле исчисления, и решить поставленный вопрос чисто механически.

Однако это не означает, что такой ответ нельзя найти для конкретных формул. Мы уже убедились, что в ряде частных случаев, построив таблицу истинности для соответствующей формулы, можно определить, является ли она общезначимой или законом логики в исчислении предикатов. То же самое следует сказать о процессе вывода одних формул из других по соответствующим правилам исчисления. Отсюда становится ясным, что процесс вывода следствий в логике предикатов носит творческий характер, поскольку он требует догадки и интуиции. Другими словами, отсутствие алгоритма вовсе не исключает возможности поиска решения отдельных задач, для которых не существует общего метода решения. Творческий характер мышления проявляется именно при решении нестандартных проблем. Там, где есть алгоритмы, задачу можно программировать и использовать для ее решения компьютер, т.е., проще говоря, заменить рассуждение вычислением. Напротив, там, где нет разрешающей процедуры, или алгоритма, приходится строить догадки и гипотезы, проверять их и отбрасывать негодные, вновь и вновь пробовать и проверять, чтобы найти требуемое решение. В целях облегчения такого поиска существуют определенные эвристические методы, которые хотя и не гарантируют безошибочно верного результата, но могут в значительной мере приблизить к его достижению.

Одним из таких методов в исчислении предикатов является способ построения аналитических, или, точнее, аналитико-семантических таблиц. Этот метод основывается, во-первых, на рассуждении от противного, т.е. сначала допускается, что рассматриваемая формула является необщезначимой, или данная формула логически не следует из других. Затем доказывают, что такое допущение приводит к противоречию, и поэтому оно опровергается. Во-вторых, для такого рассуждения строится аналитическая таблица, каждая строка которой содержит определенный список формул. В первой строке таблицы записывается антитезис, означающий, либо отрицание общезначимой формулы А, либо некоторого следствия, т.е. допускается истинность его посылок А1, А2,..., Аn и ложность заключения (¬ В). Переход от одной строки таблицы к другой связан с преобразованием формул с помощью определенных правил редукции, опирающихся на семантический анализ смысла таких логических связок, как отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, а также кванторов общности и существования. В-третьих, таблица считается замкнутой, если в некоторой ее строке в каждом списке формул встречается определенная формула С вместе с ее отрицанием ¬C. Полученное противоречие свидетельствует о том, что принятое допущение необоснованно и, следовательно, доказывает либо общезначимость исходной формулы A, либо правильность следствия В из посылок А1, A2,..., Аm, т.е. А1, А2,..., Аm | = В. Если же аналитическая таблица остается незамкнутой, то нельзя однозначно решить вопрос об общезначимости формулы А или логического следствия А1, А2,..., Аm | = В. Ведь подобный результат мог бы свидетельствовать не только о необщезначимости формулы и неправильности логического следствия, но и о том, что нам не удалось найти комбинацию формул, которая привела бы к замыканию таблицы.

Решающая роль при построении аналитической таблицы принадлежит правилам редукции, с помощью которых происходит переход от формул на строке п таблицы к следующей строке п + 1.

Правило конъюнкции (). Допустим, что на одной строке таблицы мы имеем список формул: Г, А В, Д, где Г - последовательность формул, предшествующих конъюнкции, а д - последовательность формул, следующая за ней. Поскольку из истинности конъюнкции можно сделать вывод об истинности каждого ее члена, то всюду, где она встречается, вместо истинной конъюнкции можно переходить к ее членам. В результате можно перейти от некоторой строки п к строке п + 1, оставляя при этом остальные списки неизменными:

Г, А В, Д

Г, А, В, Д

Правило дизъюнкции () разрешает перейти от строки, в которой встречается она, к другой, где вместо дизъюнкции встречаются два списка, в одном из которых находится один дизъюнктивный член, во втором - другой:

Г, А В, Д

Г, А Д | Г,B,Д

Это правило основывается на том, что дизъюнкция является истинной, если по крайней мере один из ее членов истинен, а поэтому при переходе от одной строки к другой мы получаем два списка, отделенных вертикальной чертой, в одном из которых встречается один член, во втором - другой.

Правило импликации (>) разрешает переходить от строки, где она встречается, к другой, в которой встречаются два списка формул, в одной из них содержится отрицание антецедента, в другой - консеквент импликации:

Г, А > В, Д

Г, ¬ А, Д | Г, В, Д

Действительно, импликация будет истинна, если ложен ее антецедент или истинен консеквент, что и представлено в заключении вывода.

Правило отрицания конъюнкции разрешает в заключении переходить к отрицанию конъюнктивных членов, поскольку отрицание конъюнкции означает отрицание этих членов.

Г, ¬ (А В)

Г, ¬ А, Д ¬ Г, ¬ В, Д

Правило отрицания дизъюнкции разрешает в заключении переходить от отрицания дизъюнкции к отрицательным членам дизъюнкции, ибо дизъюнкция является ложной только тогда, когда ложны все члены дизъюнкции:

Г, ¬ (А В), Д

Г, ¬ А, ¬ В, Д

Правило отрицания импликации разрешает в заключении переходить от отрицания импликации к утверждению ее антецедента и отрицанию консеквента, так как импликация оказывается ложной только тогда, когда антецедент истинен, а консеквент ложен:

Г, ¬ (А > В), Д

Г, А, ¬ В, Д

Двойное отрицание в одной строке может быть заменено утверждением в другой:

Г, ¬ ¬ А, Д

Г, А, Д

Квантор существования, который стоит перед формулой А, указывает на наличие объекта, удовлетворяющего

А. Назовем этот объект константой к. Очевидно, что А(к) будет истинно, ибо к удовлетворяет условию А:

Г, (Ех) А, Д

Г, А, (к), Д

Квантор общности, встречающийся перед формулой, свидетельствует о том, что формула (х) А истинна тогда и только тогда, когда каждый индивид из универсума рассуждения удовлетворяет условию А, Тогда истинной оказывается любая формула вида А (т), получающаяся путем замены всех свободных вхождений переменной на любой замкнутый терм:

Г, (х) А, Д

Г, (х) А, А(т), Д

Формула с квантором общности (х) А сохраняется для того, чтобы в дальнейшем можно было применить его к другим термам.

Более строгий подход к доказательству формул достигается с помощью аксиоматического построения исчисления предикатов. Для доказательства формул логики, как и для доказательства теорем геометрии, необходимо указать некоторые исходные формулы, которые принимаются в качестве аксиом. В принципе в качестве аксиом могут быть взяты любые тождественно истинные или общезначимые формулы, которые играют роль законов логики. Но обычно при выборе аксиом руководствуются разного рода дополнительными требованиями: простоты получаемой формальной системы, минимального числа аксиом, их интуитивной очевидности и т.п. Чтобы вывести из исходных формул новые формулы, т.е. доказать последние как теоремы логики, необходимо ясно и точно перечислить также правила вывода или доказательства. К их числу относится правило заключения по схеме modus ponens: из двух формул А и А > В следует новая формула В. Кроме того, для получения новых формул используются различные правила подстановки. Например, свободная предметная переменная может быть заменена другой предметной переменной, если эта замена проводится одновременно на всех местах, где встречается свободная переменная. То же самое относится к переменной, обозначающей высказывание.

В качестве аксиом исчисления предикатов берутся, во-первых, аксиомы исчисления высказываний, во-вторых, к ним присоединяют две аксиомы, относящиеся к использованию кванторов общности и существования:

1) x v x > x;

2) х > (х v у);

3) (х v у) > (у v х);

4) (х > у) > [z v х > z v у].

К аксиомам, регулирующим использование кванторов, относятся:

5) (х) А (х) > А (у);

6) В (у) > (Ех) B (х).

Первая из них постулирует: если предикат А выполняется для всех х, то он выполняется также для какого-либо у. Вторая утверждает, что если предикат В, выполняется для какого-либо у, то существует х, для которого выполняется В.

Располагая аксиомами и правилами вывода формул из аксиом, можно доказывать различные формулы исчисления высказываний и предикатов. Таким образом, исчисление высказываний автоматически включается в состав исчисления предикатов. Поэтому вместо обращения к таблицам истинности можно получать общезначимые (или тождественно истинные) формулы с помощью аксиоматического метода. Такой метод используется для строгого построения логических исчислений и для формализации рассуждений.

6. Категорический силлогизм и другие умозаключения дедуктивной логики

Термин "силлогизм" заимствован из древнегреческого языка и в переводе на русский означает "выведение следствия" или "счисление", когда речь идет о числах. Впервые этот вид дедуктивных умозаключений детально исследовал основоположник классической логики Аристотель в своем труде "Аналитики". Поэтому силлогистические умозаключения нередко называли аналитическими, которые сам Аристотель противопоставлял диалектическим, к которым он относил правдоподобные рассуждения.

Структура силлогизма характеризует логическую связь между элементами этого вида умозаключения, к которому относятся его посылки и заключение. Посылками силлогизма служат суждения, которые могут быть разными как по качеству (утвердительными и отрицательными), так и количеству (общими и частными). Аристотель определяет посылку как "речь", утверждающую или отрицающую что-то относительно чего-то". Заключение же должно следовать из посылок с логической необходимостью. В связи с этим Аристотель подчеркивает, что "силлогизм есть речь, в которой, если нечто предложено, то с необходимостью вытекает нечто отличное от положенного".

В то время как непосредственные умозаключения выводятся из одной посылки, силлогизм представляет собой опосредствованное умозаключение, где в выводе участвует две посылки. Одна из посылок, содержащая общую информацию, (аксиому, закон, обобщение), называется большой посылкой. Другая, характеризующая частный случай или пример, - меньшей посылкой.

Суждения, которые служат посылками силлогизма, включают в свой состав понятия субъекта и предиката, которые обычно называют терминами. Хотя в двух суждениях можно выделить четыре термина, но один из терминов, связывающий обе посылки и входящий в каждую из них, считается единым средним. Поэтому число терминов в правильном силлогизме равно трем. Большим термином считается тот, который служит предикатом заключения, а меньшим - субъектом заключения. Роль среднего термина состоит, следовательно, в том, чтобы установить необходимое логическое отношение между крайними терминами, благодаря чему и становится возможным силлогистический вывод. В самом же заключении средний термин отсутствует.

Приведем конкретный пример силлогизма, посредством которого разъясним важнейшие его элементы: "Все металлы электропроводны, медь - металл, следовательно, медь электропроводна". Еще проще пример из повседневной жизни: "если деньги - в кошельке, а кошелек - в кармане, то деньги - в кармане".

Не будем, однако, множить число таких примеров которые встречаются почти в любом рассуждении, а сразу же перейдем к рассмотрению общей логической схемы силлогизма:

Все М есть Р:

S есть М;

S есть Р.

Здесь буквой М обозначен средний термин, а буквами S и Р - соответственно меньший и больший термины, которые являются крайними и объединяются средним термином.

В нашем первом примере среднему термину соответствует понятие металла, меньшему - понятие меди, а большему - понятие электропроводности.

Суждения, встречающиеся в посылках, являются по своему характеру категорическими, т.е. в них свойство или признак, обозначенный предикатом, безусловно ("категорически") утверждается или отрицается относительно субъекта. Соответственно этому силлогизм с такими посылками и заключением, называется категорическим.

Суждения с такими связками часто называются атрибутивными, поскольку приписывают или отрицают атрибут субъекту. В данном случае речь идет о таком атрибуте, каким является свойство.

Поскольку заключение силлогизма существенным образом определяется характером посылок (их качеством и количеством т.е. являются ли они утвердительными или отрицательными, общими или частными высказываниями), становится необходимым остановиться на этом вопросе подробнее.

Всякий S есть Р - S А Р.

Всякий S не есть Р- S E Р.

Некоторый S есть Р - S I Р.

Некоторый S не есть Р - S ОР.

Отсюда видно, что в теории силлогизма качественные и количественные характеристики категорических атрибутивных суждений можно выразить с помощью слов естественного языка. Так, для выражения общих суждений используются слова "всякий", "любой", "каждый", а частных - "некоторый", "какой-либо". Для запоминания логических правил обращаются к мнемоническим средствам обозначения. Все это значительно облегчает процесс рассуждения, ибо исключает перевод суждений на символический язык. Связь между субъектом и предикатом в суждении представляет собой некоторое отношение, проще говоря, субъект и предикат в суждениях связаны отношениями утверждения или отрицания ("есть" и "не есть").

Аристотель формулирует аксиому силлогизма в терминах "присущности и неприсущности сказываемого <свойства> предметам". Таким образом, в силлогистических умозаключениях отображаются самые обычные, постоянно повторяющиеся отношения между классами и отдельными предметами, которые образуют группу и класс. Если рассматривать класс как род вещей, группу - как вид и отдельный предмет - как единственную вещь, то на языке философии можно сказать, что в силлогизме выражается логическая связь между родом, видом и индивидуумом или же между общим, особенным и единичным. Эта связь характеризует логическое отношение принадлежности признака предмету в рамках всего класса в целом и отдельных его элементов или членов. В рассмотренном выше примере свойство электропроводности, присущее всем металлам, переносилось на конкретного представителя этого класса - медь. С равным успехом это свойство можно было перенести на некоторую группу или вид металлов, например, медь, железо, никель и тд. Поскольку термины силлогизма представляют собой понятия, то отношения между их объемами можно выразить с помощью концентрических кругов, причем средним будет круг, изображающий средний термин М, а крайними - круги, представляющие объемы субъекта и предиката.

На рис.1 видно, что класс, который характеризуется предикатом Р, включает в свой объем классы М и S, а класс М содержит класс S.

Таким образом, в силлогизме выражаются отношения совместимости и несовместимости между родами и видами вещей по какому-либо их свойству или признаку, а эти отношения графически можно представить как отношения между соответствующими кругами.

Правила силлогизма обеспечивают получение истинного заключения при истинности посылок. Они относятся, во-первых, к терминам силлогизма и, во-вторых, к его посылкам.

Правила терминов:

1) В любом силлогизме должно быть только три термина. Это требование вытекает из той роли, которую играет средний термин силлогизма: он логически связывает его крайние термины. Действительно, допустим - ради аргументации, - что существует два таких термина. Это будет означать, что объемы терминов (классов), которые он связывает, должны включаться в два различных класса, и поэтому остается неопределенным, как соотносятся между собой субъект и предикат в заключении. Иными словами, допущение лишнего среднего термина приводит к неопределенности, вследствие чего никакого однозначного заключения получить нельзя. Такого рода логическая ошибка получила название учетверения терминов. В правильном силлогизме должно быть только три термина: два крайних (субъект и предикат) и один средний. Учетверение терминов допускается нередко из-за того, что одному и тому же термину приписывается разное содержание. Например, в силлогизме: "Все металлы - элементы, латунь - металл, следовательно, латунь - элемент" ошибка происходит из-за того, что средний термин "металл" употребляется в двух смыслах. В большой посылке он обозначает химический элемент, что, конечно, совершенно верно, а в другом - сплав, ибо латунь вовсе не металл, а сплав меди и цинка. Обычно ошибка учетверения терминов возникает из-за нечеткого определения понятий, как в этом примере, когда не проводят ясного различия между металлами и сплавами, поскольку те и другие имеют ряд общих свойств.

2) Во всяком силлогизме средний термин должен быть распределен, хотя бы в одной из посылок. Напомним, что термин в суждении считается распределенным, если он является субъектом общеутвердительного либо предикатом отрицательного суждения. Если средний термин является нераспределенным в обеих посылках, тогда из них нельзя вывести никакого однозначного заключения. В самом деле, если средний термин не является распределенным в общеутвердительном суждении, то он не может быть субъектом в посылке, а с другой стороны он не может быть предикатом во второй посылке. В результате этого средний термин не связывает крайние посылки, и потому из них нельзя сделать правильного заключения. Например, в умозаключении "Все планеты светят отраженным светом, и данное небесное тело светит отраженным светом" нельзя вывести заключение, что "это тело является планетой". Известно, что спутники планет, например Луна, также светят отраженным светлом и тем не менее не являются планетами, а лишь их спутниками. Ошибочный вывод в этом случае возникает именно из-за нарушения правила о распределении среднего термина, поскольку и в общей, и в меньшей посылке он оказывается нераспределенным.

3) Если термин не распределен в посылках, то он не может быть распределен и в заключении. Если бы было иначе, то заключение утверждало бы больше, чем посылки. Например, из посылок "Все углы треугольника равны в сумме 180°" и "Данные углы - углы треугольника" нельзя сделать вывод, что в сумме они составят 180°, потому что могут быть взяты не три, а два угла треугольника, сумма которых будет меньше 180°. Ошибочное заключение основывается на нарушении распределенности термина во второй посылке.

Правила посылок основываются на характерном свойстве всякого силлогизма как дедуктивного умозаключения, в котором знание об общем переносится на частное. Это свойство, как мы уже знаем, сформулировано в аксиоме силлогизма. Поэтому в любом силлогизме одна посылка должна быть непременно общей, т.е. либо общеутвердительным, либо общеотрицательным суждением. В первом случае мы получим заключение о принадлежности свойства некоторой группе или одному - единственному элементу, классу, во втором - о непринадлежности. Эти простые соображения и лежат в основе употребления посылок в силлогизме.