Дифференциальные уравнения

Размещено на http://www.allbest.ru/

НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

МОСКОВСКИЙ ЭКОНОМИКО-ФИНАНСОВЫЙ ИНСТИТУТ

Специальность «Бухгалтерский учет, анализ и аудит»

Учебная дисциплина Математика

Курсовая работа

на тему: «Дифференциальные уравнения»

студентка: Соломонова Ю.С.

Город Ростов-на-Дону 2009

План

Ведение

1. Определение дифференциального уравнения (ДУ)

1.1 Существование решения дифференциального уравнения первого порядка

1.2 Дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными

1.3 Однородное дифференциальное уравнение первого порядка

1.4 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

2. Уравнение Бернулли

3. Динамические модели в экономике: модели Эванса и Солоу

4. Линейные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Заключение

Список использованной литературы

Приложение

Введение

Я выбрала тему «Дифференциальные уравнения», так как она актуальна и является фундаментом для построения научных трудов и функционально используется в производстве, что не маловажно для современной экономики.

Цель данной курсовой работы заключается в изучении дифференциальных уравнений.

Задачи:

1. Изучение ДУ первого порядка: ДУ с разделяющимися переменными, однородное ДУ первого порядка, линейное ДУ, уравнение Бернулли.

2. Раскрытие темы Динамические модели в экономике: модели Эванса и Солоу.

3. Изучение линейных ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.

Исследование поведения различных систем (технические, экономические, экологические и др.) часто приводит к анализу и решению уравнений, включающих как параметры системы, так и скорости их изменения, аналитическим выражением которых являются производные. Такие уравнения, содержащие производные, называются дифференциальными. Для раскрытия актуальности вышесказанной темы, рассмотрим следующий пример из области рекламного дела.

При организации продажи нового товара торговым предприятиям зачастую приходится прибегать к услугам рекламы. Для того, чтобы последняя была успешной и современной, необходимо знать закон распространения информации о новом товаре среди ее потенциальных покупателей. Найдем вид указанной закономерности при следующих предположениях относительно рассматриваемого процесса.

Пусть N - общее число потенциальных покупателей нового товара, x(t) - число покупателей, знающих к моменту времени t о поступлении в продажу нового товара, [N-x(t)] - число покупателей еще не имеющих информации о товаре.

Предположим, что информация о товаре распространяется среди покупателей посредством их общения между собой. Будем считать, что в течение достаточно малого промежутка времени возможна встреча лишь двух покупателей, и вероятность этой встречи считаем равной P. Вероятность того, что при встрече покупатель, знающий о товаре, встретиться с покупателем, еще не имеющем информации о товаре, равна (N-x)/N. Тогда скорость изменения величины x(t) в момент t равняется px(N-x)/N систематическому ожиданию числа покупателей впервые узнавших о товаре. Таким образом, получаем уравнение

или .

Данное уравнение содержит величину x и ее производную , т.е. является дифференциальным. Решая полученное уравнение, найдем вид зависимости величины x от t:

,

где параметр A подбирается, исходя из условия x=x0 в некоторый момент t=t0. Например, если при t=0 величина x(0)=N ( - доля покупателей, обладающих информацией о товаре к началу рассматриваемого процесса), то . На рис. 1 показан график искомой функции x=x(t). В экономической литературе график известен как логистическая кривая.

Отметим, что логистическая кривая дает также представление о процессе распространения технологических новшеств, эпидемий и даже слухов.

В качестве второго примера рассмотрим задачу представления в виде уравнения однопараметрического семейства кривых, обладающих некоторым общим свойством.

Пусть однопараметрическое семейство кривых задается уравнением Ф(X,Y,C)=0, где C - параметр. Составим дифференциальное уравнение, которое описывает общее свойство присущее всем кривым данного семейства. Предположим, что отдельная кривая семейства заданных функций y=f(x,c). Тогда подставляя ее в общее уравнение семейства получаем тождество .

Предполагая дифференцируемость функции Ф(X,Y,C) и дифференцируя Ф(x,f(x,c),c) по x, получаем

.

Рассматривая последнее вместе с уравнением Ф(x,y,c)=0, т.е. рассматривая систему

,

и исключая в ней параметр C, в результате получим дифференциальной уравнение

,

описывающее свойство присущее всем кривым семейства.

Например, пусть семейство кривых представляет семейство гипербол xy=c.

Дифференцируя данное уравнение по x, получаем .

Так как при этом автоматически произошло исключение параметра c, то последнее уравнение, являясь дифференциальным, представляет семейство вышеуказанных гипербол.

1. Определение дифференциального уравнения (ДУ)

Уравнение, связывающее функцию y, ее аргумент x и ее производные, называется обыкновенным дифференциальным уравнением.

Обыкновенное дифференциальное уравнение символически можно записать в виде

или . (1)

Определение. Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Например:

А) является дифференциальным уравнением 1-го порядка;

Б) является дифференциальным уравнением 2-го порядка;

В) является дифференциальным уравнением n-го порядка.

Определение. Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y=f(x), которая, будучи подставлена в уравнение, обращает его в тождество.

Например, пусть дано дифференциальной уравнение .

Тогда любая функция вида y=c₁sinx+c₂cosx, где c₁, c₂ - произвольные постоянные, является решением этого уравнения.

Действительно, дифференцируя уравнение y=c₁sinx+c₂cosx дважды по x получаем . Подставляя выражения для и y в левую часть исходного дифференциального уравнения получаем .

Процесс решения дифференциального уравнения называют интегрированием. Поэтому само решение называют еще интегралом уравнения.

Как правило, дифференциальному уравнению отвечает множество решений (смотрите вышеприведенный пример), задаваемых семейством функций y=f(x,c) в явном виде или Ф(x,y,c)=0 в неявном виде. В этих уравнениях с-параметр семейства. Таких параметров, вообще говоря, может быть несколько.

В общем случае обыкновенному дифференциальному уравнению n-го порядка

отвечает семейство решений, содержащих n параметров.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется функция y=f(x, c₁, c₂, …, c_n), зависящая от аргумента x и n произвольных постоянных c₁, c₂, …, c_n, которая будучи подставлена в уравнение обращает его в тождество.

Отметим, что эта функция может задаваться и неявным образом, тогда она представляется уравнением Ф(x , y,c₁, c₂, …, c_n)=0.

Общее решение дифференциального уравнения называется также общим интегралом.

Чтобы из общего уравнения выделить некоторое конкретное частное решение дифференциального уравнения, необходимо задать значения для параметров c₁, c₂ , …, c_n. Обычно значения этих произвольных постоянных c₁, c₂ , …, c_n определяются заданием начальных условий: y(x₀)=y₀, . Эти начальные условия дают соответственно n уравнений

,

,

,

,

решая которые относительно c₁, c₂ , …, c_n находят значения этих постоянных.

Например, для дифференциального уравнения 1-го порядка общее решение имеет вид y=f(x,c). Тогда начальное условие y(x₀)=y₀ выделяет из всего семейства интегральных кривых кривую, проходящую через точку M(x₀,y₀).

Геометрическая интерпретация.

Геометрическое представление решения дифференциального уравнения рассмотрим на примере уравнения 1-го порядка вида .

В плоскости введем декартову систему координат с осями x и y. Каждой точке M(x,y) плоскости поставим в соответствие вектор , отложенный от точки M.

Таким образом дифференциальное уравнение порождает в плоскости XOY поле направлений (естественно, указанное поле существует только в области определения функции f(x,y)). Тогда решением дифференциального уравнения будет такая кривая, которая в каждой точке касается вектора поля направляющей.

Действительно, пусть y=h(x) уравнение указанной выше кривой. Тогда в каждой точке кривой касательная к ней имеет направление, где - угол наклона касательной к оси x. Из (условие касания кривой с вектором ) и равенства абсцисс векторов и вытекает тождество , выполняющееся в точках кривой y=h(x). Последнее означает, что y=h(x) является решением уравнения .

И обратно, если y=h(x) решение дифференциального уравнения , то . Последнее соотношение означает, в каждой точке кривой y=h(x) направление ее касательной совпадает с вектором поля направлений, т.е. в каждой точке кривая y=h(x) касается вектора поля направлений.

В качестве иллюстрации возьмем уравнение .

Для построения поля направлений удобно использовать метод изоклин. Изоклина это линия в каждой точке которой вектор поля направлений одинаков. Таким образом, изоклины даются уравнением f(x,y)=, и каждой точке изоклины соответствует вектор .

Для рассматриваемого дифференциального уравнения изоклины задаются уравнением или y=-x.Как видно, изоклинами являются прямые, проходящие через точку начала координат. На рис. 2 изображены изоклины отвечающие значениям , черточками изображены направления векторов в таких изоклин. Из рис. 2 видно, что интегральные кривые уравнения напоминают гиперболы. Действительно, как будет показано ниже, общее решение рассматриваемого дифференциального уравнения имеет вид yx=c, т.е. задает семейство гипербол. Параметрам c>0 отвечают гиперболы I и III координатных узлов, значениям c<0 отвечают гиперболы II и IV координатных узлов.

1.1 Существование решения дифференциального уравнения первого

порядка

Задано дифференциальное уравнение вида

или, иначе, .

Пусть y=y(x) - решение данного уравнения, удовлетворяющее начальному условию y(x₀)=y₀. Тогда из следует, что f(x,y(x)) - производная функции y(x) и, следовательно, y(x) - первообразная для f(x,y(x)). Если F(x) - некоторая другая первообразная для f(x,y(x)), то , как известно, y(x)=F(x)+c₀. Из y(x₀)=y₀, y(x₀)=F(x₀)+c₀ получаем c₀=y₀-F(x₀), т.е. y(x)=F(x)-F(x₀)+y₀.

Семейство всех первообразных для f(x,y(x)) представляется неопределенным интегралом . Тогда разность F(x)-F(x₀) равна значению определенного интеграла , следовательно, получаем

,

т.е. y(x) является решением интегрального уравнения

Задача поиска решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию y(x₀)=y₀, получила в литературе название задачи Коши.

Первое доказательство существования и единственности решения дифференциального уравнения было получено в 1820-1830 г.г. и связано с именем Коши (1789-1857).

Теорема. Пусть задано уравнение и начальные значения x₀,y₀.

Тогда если

А) функция f(x,y) непрерывна по обеим переменным x и y в замкнутой области ;

Б) функция f(x,y) удовлетворяет в областиR по переменной y условию Липшица, т.е. , где L - постоянная;то существует единственное решение y=y(x) указанного уравнения, удовлетворяющее начальному условию y(x₀)=y₀ и являющееся непрерывно дифференцируемым в интервале , где .

Доказательство теоремы приводить не будем, укажем лишь, что может быть осуществлено методом последовательных приближений Пикара (1856-1941), использующего ранее приведенное интегральное уравнение.

Последовательность функций, дающих приближенное решение уравнения, строится по правилу:

,

,

Далее можно показать, что функция дает единственное решение дифференциального уравнения в промежутке .

Выше был рассмотрен случай дифференциального уравнения первого порядка разрешенного относительно производной y^/.

Более общим видом является случай уравнения вида , не разрешимого относительно производной y^/.

Допустим, что данное уравнение может быть разрешено относительно y^/, и в общем случае это дает несколько вещественных уравнений (k=1,2,…,m).

Если при этом каждая из функций (k=1,2,…,m) удовлетворяет теореме существования и единственности решения, то через точку (x₀,y₀) будет проходить m интегральных кривых уравнения . Пусть при этом каждая точка кривой имеет свой наклон касательной, отличный от других кривых. В этом случае также говорят, что задача Коши имеет единственное решение. Общим решением уравнения называют совокупность всех общих решений каждого из уравнений (k=1,2,…,m), т.е. решения y=Y_k(x,c) (k=1,2,…,m).

Пример. Рассматривается дифференциальное уравнение вида . Разрешая его относительно y^/ получаем два уравнения y^/=1 и y^/=-1, т.е. через каждую точку плоскости xOy проходят две интегральные кривые, касательные к которым имеют два разных угла наклона к оси Ox в 45⁰ и 135⁰. Общим решением уравнения будет семейство интегральных кривых y=x+c и y=-x+c.

Особым решением дифференциального уравнения

или

называется решением y=y(x), которое во всех своих точках не обладает свойством единственности. Через каждую точку такого решения проходит не менее двух интегральных кривых, имеющих одинаковое направление касательной.

Отметим, что из сказанного выше следует, что дифференциальное уравнение может иметь решения не являющиеся ни частными, ни особыми, а именно, если эти решения получаются склеиванием кусков из частных и особых решений.

Особые решения дифференциального уравнения

Пусть рассматривается дифференциальное уравнение первого порядка общего вида F(x,y,y^/)=0.

Тогда существование его особого решения прежде всего может быть связано с условием , не обеспечивающим представление y^/ как неявной функции переменных x и y, задаваемой уравнением F(x,y,y^/)=0.

Таким образом, формируя систему уравнений

,

и исключая из нее переменную y^/, получаем функцию y=y(x), которая может дать особое решение дифференциального уравнения F(x,y,y^/)=0.

Определение. Кривая, получаемая исключением параметра p из системы уравнений

,

называется дискретной кривой уравнения F(x,y,y^/)=0.

Для того, чтобы дискретная кривая давала особое решение дифференциального уравнения, остается проверить, что она удовлетворяет уравнению F(x,y,y^/)=0, и что через каждую ее точку проходит хотя бы одна интегральная кривая общего решения этого уравнения, т.е. проверить, что в точках дискретной кривой нарушается свойство единственности решения дифференциального уравнения.

1.2 Дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися

переменными

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка

(2)

называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде или .Разнося переменные x и y и их дифференциалы в разные стороны такого уравнения, оно может быть записано в виде

(отсюда происходит название данного типа уравнения).

Можно следующую интерпретацию происхождения данного уравнения.

Пусть величина Z является с одной стороны функцией величины y, т.е. z=M(y). С другой стороны величина Z является функцией величины x, т.е. z=g(x). Например, если Z-объем выпуска продукции, то с одной стороны z зависит от величины y - объема основных фондов, с другой стороны z может рассматриваться зависимой от величины x - объема затрачиваемых трудовых ресурсов. Таким образом, через соотношения z=H(y) и z=G(x) одна из величин y или x представляется функцией другой величины x или, соответственно, y. Исходное дифференциальное уравнение отображает эту функциональную связь через дифференциалы функций H(y) и G(x), уравнивая их, т.е. dz=dH(y)=dG(x). Отсюда можно считать, что

.

Таким образом, чтобы найти эту функциональную связь в виде y=y(x),x=x(y) или f(x,y)=0, надо проинтегрировать каждую из частей дифференциального уравнения, получая

,

и затем приравнять их H(y)+c₁=G(x)+c₂ (имея в виду z=H(y)+c₁, z=G(x)+c₂, и затем z исключается). Вместо двух постоянных c₁ и c₂ обычно берется одна c=c₂-c₁, и тогда общее решение дифференциального уравнения записывается в видеH(y)=G(x)+c.Если это возможно, из него одна из величин может быть представлена явно функцией другой y=y(x) или x=x(y).

Пример . Решить дифференциальное уравнение ,

Найти его частное решение при условии .Разрешая уравнение относительно y^/, видим, что оно является уравнением с разделяющимися переменными

.Разнося переменные по разные стороны уравнения получаем

.Интегрируя каждую из частей этого уравнения, получаем следующее общее решение исходного дифференциального уравнения

или .Используя начальное условие , определяем значение константы c для искомого частного решения

.

Искомое частное решение дается уравнением .

1.3 Однородное дифференциальное уравнение первого порядка

Функция f(x,y) называется однородной степени m, если .(3)

Функция f(x,y) называется однородной нулевой степени, если

.

Например, функция является однородной второй степени. Действительно,

.

Функция однородная нулевой степени, так как .

Всякая однородная функция нулевой степени может быть представлена в виде функции от отношения y/x (или отношения x/y). Действительно, пусть f(x,y) - однородная функция нулевой степени, тогда, взяв в качестве , имеем

,

где может рассматриваться как функция отношения y/x, т.е. .

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка F(x,y,y^/)=0, называется однородным, если оно может быть представлено в виде y^/=f(x,y) или ., где f(x,y) - однородная функция нулевой степени.Решение однородного дифференциального уравнения сводится к решению уравнения с разделяющимися переменными заменой y/x=u или y=ux, где u-функция от x.

Подставляя в исходное уравнение и , получаем уравнение вида или , являющиеся с разделяющимися переменными. Если u=g(x,c) или Ф(x,u,c)=0 является его общим решением, то y=xg(x,c) или Ф(x,y/x,c)=0 будет общим решением исходного уравнения.

Пример 1. Рассматривается уравнение

(x²-y²)dx+2xydy=0.

Перепишем его в виде . Справа стоит функция однородная нулевой степени.

Действительно,

.

Итак, преобразованное уравнение является однородным дифференциальным уравнением. Решаем его заменой y=ux. Получаем

или , т.е. .

Разделяя переменные приходим к уравнению

.

Интегрируем левую и правую части этого уравнения:

.

Приравнивая найденные интегралы, получаем общее решение вспомогательного дифференциального уравнения относительно переменных x и u

или , где c>0.

Потенциируя последнее выражение, общее решение получает вид , где c - произвольная постоянная.

Заменяя u=y/x, получаем общий интеграл исходного дифференциального уравнения или y²+x²=cx,

Последнее выражение приводится к виду

.

Таким образом, семейством интегральных кривых исходного уравнения является семейство окружностей с центрами в точках , лежащих на оси x, и радиусами . Очевидно, все эти окружности касаются оси y в точке начала координат.

1.4 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Общий вид:

y`+ P(x)y=Q(x) ( 4)

P(x), Q(x)- функции от переменной х. P(x) и Q(x) не равны 0, иначе получается уравнение с разделяющимися Переменными.

Решение уравнения (2) ищется в виде: y=uv ; u=u(x) v=v(x).Найдём y`:

y`=u`v+uv`.Подставим значения y и y` в уравнение (2) получаем:

u`v+uv`+P(x)uv=Q(x) или uv`+u(v`+P(x)v)=Q(x)

Пусть (v`+P(x)v)=0

dv/dx=P(x)v; dv/v=-Q(x)dx ; lnv=- ?e^-?P(x)dx u`v=Q(x); (du/dx) *e ^-?P(x)dx =Q(x);

du= ?Q(x) e ^-?P(x)dx dx+C

2. Уравнение Бернулли

Общий вид уравнения:

y`+ P(x)y=Q(x)yⁿ (5)

n не равно 0 и 1 Разделим (5) на yⁿ ; yⁿ y`+ P(x)y<sup>1-n</sup>=Q(x). Введём новую переменную Z=y<sup>1-n</sup>Продифференцируем выражение. В итоге получится: z`=(1-n) y^-n y` ;z`/(1-n)+P(x)=Q(x)-полученное уравнение- линейное уравнение первого порядка.При помощи замены z= y^1-n мы находим y.

3. Динамические модели в экономике: модели Эванса и Солоу

Неоклассическая модель роста Р. Солоу.

Неоклассические модели роста преодолевали ряд ограничений кейнсианских моделей и позволяли более точно описать особенности макроэкономических процессов. Р. Солоу показал, что нестабильность динамического равновесия в кейнсианских моделях была следствием невзаимозаменяемости факторов производства. Вместо функции Леонтьева он использовал в своей модели производственную функцию Кобба--Дугласа, в которой труд и капитал являются субститутами. Другими предпосылками анализа в модели Солоу являются: убывающая предельная производительность капитала, постоянная отдача от масштаба, постоянная норма выбытия, отсутствие инвестиционных лагов.

Взаимозаменяемость факторов (изменение капиталовооруженности) объясняется не только технологическими условиями, но и неоклассической предпосылкой о совершенной конкуренции на рынках факторов.

Необходимым условием равновесия экономической системы является равенство совокупного спроса и предложения. Предложение описывается производственной функцией с постоянной отдачей от масштаба: Y=F(K,L) и для любого положительного z верно: zF(K,L)= F(zK, zL). Тогда если z=1/L, тоY/L=F(K/L,1). Обозначим (Y/L) через у, а (K/L) через к и перепишем исходную функцию в форме взаимосвязи между производительностью и фондовооруженностью (капиталовооруженностью): у=?(k) (см. рис. 1). Тангенс утла наклона данной производственной функции соответствует предельному продукту капитала (МРК), который убывает по мере роста фондовооруженности (k). Совокупный спрос в модели Солоу определяется инвестициями и потреблением:

у=i+с (6),

где i и с - инвестиции и потребление в расчете на одного занятого. Доход делится между потреблением и сбережениями в соответствии с нормой сбережения, так что потребление можно представить как с=(1-s)y, где s -норма сбережения (накопления), тогда у=с+i=(1-s)y+i, откуда i=sy. В условиях равновесия инвестиции равны сбережениям и пропорциональны доходу.

Условия равенства спроса и предложения могут быть представлены как ?(k)= с+i или ?(k)= i/s. Производственная функция определяет предложение на рынке товаров, а накопление капитала - спрос на произведенный продукт.

Динамика объёма выпуска зависит от объёма капитала (в нашем случае - капитала в расчете на одного занятого, или капиталовооруженности). Объём капитала меняется под воздействием инвестиций и выбытия: инвестиции увеличивают запас капитала, выбытие - уменьшает.

Инвестиции зависят от фондовооруженности и нормы накопления, что следует из условия равенства спроса и предложения в экономике: i=s?(k). Норма накопления определяет деление продукта на инвестиции и потребление при любом значении k (рис. 1): у=?(k), i=s?(k), с=(1-s)?(k).

Амортизация учитывается следующим образом: если приять, что ежегодно вследствие износа капитала выбывает его фиксированная часть d (норма выбытия), то величина выбытия будет пропорциональна объёму капитала и равна dk. На графике эта связь отражается прямой, выходящей из точки начала координат, с угловым коэффициентом d (рис. 2).

Влияние инвестиций и выбытия на динамику запасов капитала можно представить уравнением: Дk=i-dk, или, используя равенство инвестиций и сбережений, Дk=s?(k)-dk. Запас капитала (k) будет увеличиваться (Дk>0) до уровня, при котором инвестиции будут равны величине выбытия, т.е. s?(k)=dk. После этого запас капитала на одного занятого (фондовооруженность) не будет меняться во времени, поскольку две действующие на него силы уравновесят друг друга (Дk=0). Уровень запаса капитала, при котором инвестиции равны выбытию, называется равновесным (устойчивым) уровнем фондовооруженности труда и обозначается k*. При достижении k* экономика находится в состоянии долгосрочного равновесия.

Равновесие является устойчивым, поскольку независимо от исходного значения к экономика будет стремиться к равновесному состоянию, т.е. к k*. Если начальное k1 ниже k*, то валовые инвестиции (s?(k) будут больше выбытия (dk) и запас капитала будет возрастать на величину чистых инвестиций. Если k2>k*, это означает, что инвестиции меньше, чем износ, а значит запас капитала будет сокращаться, приближаясь к уровню k* (см. рис. 2).

Норма накопления (сбережения) непосредственно влияет на устойчивый уровень фондовооруженности. Рост нормы сбережения с s1 до s2 сдвигает кривую инвестиций вверх из положения s1?(k) до s2(k) (см. рис. 3).

В исходном состоянии экономика имела устойчивый запас катала k1*, при котором инвестиции равнялись выбытию. После повышения нормы сбережения инвестиции выросли на(i?1-i1) , а запас капитала (k1*) и выбытие (dk1) остались прежними. В этих условиях инвестиции начинают превышать выбытие, что вызывает рост запаса капитала до уровня нового равновесия k2*, которое характеризуется более высокими знаниями фондовооруженности и производительности труда (выпуск на одного занятого, у).

Таким образом, чем выше норма сбережения (накопления), тем более высокий уровень выпуска и запаса капитала может быть достигнут в состоянии устойчивого равновесия. Однако повышение нормы накопления ведёт к ускорению экономического роста в краткосрочном периоде, до тех пор, пока экономика не достигнет точки нового устойчивого равновесия.

Очевидно, что ни сам процесс накопления, ни увеличение нормы сбережения не могут объяснить механизм непрерывного экономического роста. Они показывают лишь переход от одного состояния равновесия к другому.

Для дальнейшего развития модели Солоу поочередно снимаются две предпосылки: неизменность численности населения и его занятой части (их динамика предполагается одинаковой) и отсутствие технического прогресса.

Предположим, население растёт с постоянным темпом n. Это новый фактор, влияющий вместе с инвестициями и выбытием на фондовооруженность. Теперь уравнение, показывающее изменение запаса капитала на одного работника, будет выглядеть как:

?k=i-dk-nk или ?k=i-(d+n)k.

Рост населения аналогично выбытию снижает фондовооруженность, хотя и по-другому - не через уменьшение наличного запаса капитала, а путем распределения его между возросшим числом занятых. В данных условиях необходим такой объем инвестиций, который не только бы покрыл выбытие капитала, но и позволил бы обеспечить капиталом новых рабочих в прежнем объёме. Произведение nk показывает, сколько требуется дополнительного капитала в расчете на одного занятого, чтобы капиталовооруженность новых рабочих была на том же уровне, что и старых. (Рис. 4;Рис.5) k k?* k? (капитал на эффективную единицу труда).

Условие устойчивого равновесия в экономике при неизменной фондовооруженности k* можно будет записать теперь так:

?k=s?(k)-(d+n)k=0 или s?(k)=(d+n)k (7)

Данное состояние характеризуется полной занятостью ресурсов (рис.4).

В устойчивом состоянии экономики капитал и выпуск на одного занятого, т.е. фондовооруженность (k) и производительность (у) труда остаются неизменными. Но, чтобы фондовооруженность оставалась постоянной и при росте населения, капитал должен возрастать с тем же темпом, что и население, т.е.:

?Y/Y=?L/L=?K/K=n. (8)

Таким образом, рост населения становится одной из причин непрерывного экономического роста в условиях равновесия.

Отметим, что с увеличением темпа роста населения возрастает угловой коэффициент кривой (d+n)k , что приводит к уменьшению равновесного уровня фондовооруженности (k?*), следовательно, к падению у.

Учет в модели Солоу технологического прогресса видоизменяет исходную производственную функцию. Предполагается трудосберегающая форма технологического прогресса, Производственная функция будет представлена как Y=F(K,LE), где E- эффективность труда, а LE - численность условных единиц труда с постоянной эффективностью Е. Чем выше Е, тем больше продукции может быть произведено данным числом работников. Предлагается, что технологический прогресс осуществляется путем роста эффективности труда Е с постоянным темпом g. Рост эффективности труда в данном случае аналогичен по результатам росту численности занятых: если технологический прогресс имеет темп g=2%, то, например, 100 рабочих могут произвести столько же продукции, сколько ранее производили 102 рабочих. Если теперь численность занятых (L) растет с темпом n, а Е растет с темпом g, то (LЕ) будет увеличиваться с темпом (n+g).

Включение технологического прогресса несколько меняет и анализ состояния устойчивого равновесия, хотя ход рассуждений сохраняется. Если определить k' как количество капитала в расчете на единицу труда с постоянной эффективностью, т.е. k'=K/LE, а y'=Y/LE, то результаты роста эффективных единиц труда аналогичны росту численности занятых (увеличение количества единиц труда с постоянной эффективностью снижает величину капитала, приходящегося на одну такую единицу). В состоянии устойчивого равновесия (рис. 5) уровень фондовооруженности k'* уравновешивает, с одной стороны, влияние инвестиций, повышающих фондовооруженность, а, с другой стороны, воздействие выбытия, роста числа занятых и технологического прогресса, снижающих уровень капитала в расчете на эффективную единицу труда: s?(k?)=(d+n+g)k?.

В устойчивом состоянии (k?*) при наличии технологического прогресса общий объём капитала (К) и выпуска (У), будут расти с темпом (n+g). Но в отличие от случая роста населения, теперь будут расти с темпом g фондовооруженность (K/L) и выпуск (Y/L) в расчете на одного занятого; последнее может служить основой для повышения благосостояния населения. Технологический прогресс в модели Солоу является, следовательно, единственным условием непрерывного роста уровня жизни, поскольку лишь при его наличии наблюдается устойчивый рост выпуска на душу населения (у).

Характеристика основных переменных модели Солоу в состоянии устойчивого равновесия

При отсутствии роста населения и технологического прогресса	При росте населения с темпом n	При росте населения с темпом n и технологическом прогрессе с темпом g
Переменная	Темп роста	Переменная	Темп роста	Переменная	Темп роста
L	0	L	n	L	N
				LE	n+g
K	0	K	n	K	n+g
				k?=K/LE	0
k=K/L	0	k=K/L	0	k=K/L	G
Y	0	Y	n	Y	n+g
				y?=Y/LE	0
y=Y/L	0	y=Y/L	0	y=Y/L	g

Таким образом в модели Солоу найдено объяснение механизма непрерывного экономического роста в режиме равновесия при полной занятости ресурсов.Как известно, в кейнсианских моделях норма сбережения задавалась экзогенно и определяла величину равновесного темпа роста дохода. В неоклассической модели Солоу при любой норме сбережения рыночная экономика стремится к соответствующему устойчивому уровню фондовооруженности (k*) и сбалансированному росту, когда доход и капитал растут с темпом (n+g). Величина нормы сбережения (накопления) является объектом экономической политики и важна при оценке различных программ экономического роста.

Поскольку равновесный экономический рост совместим с различными нормами сбережения (как мы видели, увеличение s лишь на короткое время ускоряло рост экономики, в длительном периоде экономика возвращалась к устойчивому равновесию и постоянному темпу роста в зависимости от значения n и g), возникает проблема выбора оптимальной нормы сбережения.

Оптимальная норма накопления, соответствующая "золотому правилу" Э. Фелпса, обеспечивает равновесный экономический рост с максимальным уровнем потребления. Устойчивый уровень фондовооруженности, соответствующий этой норме накопления, обозначим k**, а потребления - с**.

Уровень потребления в расчете на одного занятого при любом устойчивом значении фондовооруженности k* определяется путем ряда преобразований исходного тождества: у=с+i. Выражаем потребление с через у и i и подставляем значения данных параметров, которые они принимают в устойчивом состоянии:

с=у-i, с*=?(k*)-dk* (9),

где с* - потребление в состоянии устойчивого роста, а i=s?(k)=dk по определению устойчивого уровня фондовооруженности. Теперь из различных устойчивых уровней фондовооруженности (k*), соответствующих разным значениям s, необходимо выбрать такой, при котором потребление достигает максимума (рис. 6).Если выбрано k*<k**, то объём выпуска увеличивается в большей степени, чем величина выбытия (линия ?(k*) на графике круче, чем dk*), а значит разница между ними, равная потреблению, растет. При k*>k** увеличение объема выпуска меньше роста выбытия, т.е. потребление падает. Рост потребления возможен лишь до точки k**, где оно достигает максимума (производственная функция и кривая dk* имеют здесь одинаковый наклон). В этой точке увеличение запаса капитала на единицу даст прирост выпуска, равный предельному продукту капитала (МРК), и увеличит выбытие на величину d (износ на единицу капитала). Роста потребления не будет, если весь прирост выпуска будет использован на увеличение инвестиций для покрытия выбытия. Таким образом, при уровне фондовооруженности, соответствующем "золотому правилу" (k**), должно выполняться условие: МРК=d (предельный продукт капитала равен норме выбытия), а с учетом роста населения и технологического прогресса:

МРК=d+n+g. (10)

Если экономика в исходном состоянии имеет запас капитала больший, чем следует по "золотому правилу", необходима программа по снижению нормы накопления. Эта программа обусловливает увеличение потребления и снижение инвестиций. При этом экономика выходит из состояния равновесия и вновь достигает его при пропорциях, соответствующих "золотому правилу".

Если экономика в исходном состоянии имеет запас капитала меньше, чем k**, необходима программа, направленная на повышение нормы сбережения. Эта программа первоначально приводит к росту инвестиций и падению потребления, но по мере накопления капитала с определенного момента потребление вновь начинает расти. В результате экономика достигает нового равновесия, но уже в соответствии с "золотым правилом", где потребление превышает исходный уровень. Данная программа обычно считается непопулярной в связи с наличием "переходного периода", характеризующегося падением потребления, поэтому её принятие зависит от межвременных предпочтений политиков, их ориентации на краткосрочный или долгосрочный результат.

Рассмотренная модель Солоу позволяет описать механизм долгосрочного экономического роста, сохраняющий равновесие в экономике и полную занятость факторов. Она выделяет технический прогресс как единственную основу устойчивого роста благосостояния и позволяет найти оптимальный вариант роста, обеспечивающий максимум потребления.

Представленная модель не свободна и от недостатков. Модель анализирует состояния устойчивого равновесия, достигаемые в длительной перспективе, тогда как для экономической политики важна и краткосрочная динамика производства и уровня жизни. Многие экзогенные переменные модели Солоу - s, d, n, g - было бы предпочтительнее определять внутри модели, поскольку они тесно связаны с другими ее параметрами и могут видоизменять конечный результат. Модель не включает также целый ряд ограничителей роста, существенных в современных условиях - ресурсных, экологических, социальных. Используемая в модели функция Кобба--Дугласа, описывая лишь определенный тип взаимодействия факторов производства, не всегда отражает реальную ситуацию в экономике. Эти и другие недостатки пытаются преодолеть современные теории экономического роста.

В неоклассической модели роста объём выпуска в устойчивом состоянии растет с темпом (n+g), а выпуск на душу населения -- с темпом g, т.е. устойчивый темп роста определяется экзогенно. Современные теории эндогенного роста пытаются определить устойчивый темп роста в рамках модели, эндогенно, связывая его со всеми возможными количественными и качественными факторами: ресурсными, институциональными и др.

Сторонники концепции "экономики предложения" полагают, что увеличение темпов роста при полной занятости возможно прежде всего путём сокращения регулирующего вмешательства извне в рыночную систему.

Модель Эванса

В модели Эванса предполагается - «цена изменяется в зависимости от соотношений между спросом и предложением» (В.И.Малыгин, «Математика в экономике», 2002, стр.192). Более конкретно:

p=(d-s)t (11)

Здесь p - цена, d - спрос, а s - предложение. То есть изменение цены за какой-то промежуток времени пропорционально разности спроса и предложения (а также величине этого промежутка времени). Или, если записать это соотношение в виде дифференциального уравнения, устремляя промежуток t к нулю:

(точка над p означает дифференцирование по времени).

Итак, словами: производная цены товара по времени прямо пропорциональна разности между спросом и предложением этого товара (с коэффициентом пропорциональности ). Чем больше этот коэффициент, тем быстрее при изменении спроса или предложения цена «срелаксирует» к своему новому значению.

Вспомним, что, вообще говоря, и спрос, и предложения являются функциями цены:

d=a-bp

s=+p

С учетом этого и уравнение, и его решение записываются так:

 (12)

где C - произвольная постоянная. Итак, это уравнение фактически описывает процесс линейной релаксации или затухания некоторой величины (в данном случае цены). Аналогичными уравнениями описываются затухающие процессы в электрических цепях, например перезарядка конденсатора. В данном случае так называемое время релаксации - это величина, обратная к (b+). Время релаксации - это время, за которое экспоненциально затухающее слагаемое уменьшится в e раз (то-есть примерно в 2,7 раз).

Вот как происходит «жизнь цен» по этой модели: пусть коэффициенты a,b, и , входящие в выражения для спроса и предложения определены и неизменны во времени. Цена, выйдя на постоянный уровень (a-)/(b+), и в дальнейшем остается неизменной. Но вот из-за каких-то случайных факторов спрос или предложение изменились (например, произошла война). В нашей модели это можно учесть скачкообразным изменением коэффициента a (в случае спроса) или (в случае предложения). После этого цена начинает «релаксировать» к новому стационарному значению. И после того, как истечет «время релаксации», цену снова можно считать постоянной.

4. Линейные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка имеет следующий общий вид

F(x,y,y^/,y^//)=0 или .

Наше знакомство с дифференциальными уравнениями второго порядка будет ограничено рассмотрением линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Определение. Линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

y^//+py^/+qy=h(x), (13)

где p и q - числа, h(x) - некоторая функция от x.

Если в этом уравнении , то оно называется однородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка.

Рассмотрим решение однородного уравнения

.

Этому явлению может быть поставлено в соответствие квадратное уравнение вида ,

Называемое характеристическим. Его корни, как известно, определяются формулами

.

Возможны следующие три случая для вида корней этого уравнения: 1) корни уравнения - действительные и различные; 2) корни - действительные и равные; 3) корни уравнения - комплексно-сопряженные. Для каждого из этих случаев однородное дифференциальное уравнение имеет свой вид общего интеграла.

Случай 1. Дискриминант характеристического уравнения положителен, т.е. p²-4q>0. Тогда оба корня действительные и различные. В этом случае общее решение однородного уравнения имеет вид

,

где c₁, c₂ - произвольные постоянные.

Действительно, если , то , . Подставляя выражения для y,y^/ и y^// в уравнение получим

.

Случай 2. Дискриминант характеристического квадратного уравнения равен нулю, т.е p²-4q=0.

Тогда оба корня действительные и равные, т.е. .

В этом случае общее решение однородного уравнения имеет вид

.

Случай 3. Дискриминант характеристического квадратного уравнения отрицателен, т.е. p²-4q<0.

Тогда говорят, что квадратное уравнение не имеет действительных корней (или что оба корня являются комплексно-сопряженными). В этом случае, обозначая , общее решение однородного уравнения дается в виде

.

Рассмотрим теперь решение неоднородного уравнения

y^//+py^/+g(y)\h(x),

где h(x) - некоторая функция от x.

Пусть в этом уравнении q=0, тогда, используя подстановку y^/=z, y^//=z^/, приходим к решению линейного дифференциального уравнения первого порядка z^/+pz=h(x).

Заключение

В результате проведенной работы была раскрыта тема «Дифференциальные уравнения», поставленная цель достигнута в полном объёме ,выполнены следующие задачи:

1. Изучены ДУ первого порядка: ДУ с разделяющимися переменными, однородное ДУ первого порядка, линейное ДУ, уравнение Бернулли.

2. Раскрыты темы Динамических моделей в экономике: модели Эванса и Солоу.

3. Изучены линейные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.

В заключении по написанию данной курсовой работы хотелось бы отметить, что будущее экономики непосредственно зависит от исследований в разделе «Дифференциальные уравнения»(высшей математики).Актуальность данной проблемы можно наблюдать как в модели Эванса,где непосредственно используются ДФ, так и в современном производстве, зависящем от взаимодействия спроса и предложения. На мой вгляд, самым лучшим решением, в борьбе с цикличностью в развитии национальных хозяйств, являются научные изыскания в области дифференциальных уравнений, с целью дальнейшего их внедрения в экономику, т.е. в процесс производства.

Используемая литература:

1. Бугров Я.С. Никольский С.М. Высшая математика/ Под ред.Садовничего В.А.-Дрофа 2005

2. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов. Учебник. -М.: ЮНИТИ, 2003.

3. Ильин В.А. Высшая математика. Учебник. - М.: Проспект,2002.

4. Антосенков Е.Г. и др. Экономический рост и подъем народного благосостояния/Под ред. Е.Г. Антосенкова. - М.: Экономика, 1987. - 206 с.

5. Борисов Е.Ф.. Экономическая теория. - М., 1993. -320с.

6. Гальперин В.М., Гребенников П.И., Леусский А.И., Тарасевич Л.С., Макроэкономика. - Спб.: 1994.-105 с.

7. Долан Э.Дж. Макроэкономика. - Спб.: 1994. с. 200.

8. Кузнецова Н.П. Экономический рост: история и современность: Учеб. пособие/Н.П. Кузнецова. - СПб.: Сентябрь, 2001. -143 с.

9. Куранов Г., Засов О. Факторы экономического роста: оценки и прогноз // Экономист №1, 2003. с. 23.

10. Курс экономической теории. Учебное пособие. - Киров, 1995 г.

11. Мэнкью Н.Г. Макроэкономика. - М.: 1994. с. 123.

12. Овчинников Г.П. Макроэкономика. - Спб.: 1993.с. 120.

13. Черников Д. Макроэкономическая теория. //Российский экономический журнал. -1993. - № 1, 5, 6.

14. Эванс Дж.Б. Берман. Маркетинг. - М., 1990. с. 650.

15. Эклунд К. Эффективная экономика. -М., Экономика, 1991. с. 250.

дифференциальный уравнение модель экономика

Приложение

Рис.1 Рис.2

Рис.3 Рис.4

Рис.5 Рис.6

Размещено на Allbest.ru