Решение тригонометрических уравнений с параметрами

Размещено на http://www.allbest.ru/

Решение тригонометрических уравнений с параметрами

1 Введение

тригонометрический уравнение переменная упрощение

В настоящее время ученики и учителя стали уделять повышенное внимание задачам с параметрами. Традиционно на выпускных экзаменах по математике на степень бакалавра одно из заданий представляет собой уравнение или неравенство, содержащее параметр. Эти задачи требуют к себе особенного подхода по сравнению с остальными заданиями.

Они представляют собой для учеников определенную сложность в техническом и логическом плане, так как представляют собой задачи на исследование. При их решении используются не только типовые алгоритмы решения, но и нестандартные методы, упрощающие решения. При этом необходимо учитывать психологический аспект: возникновение неуверенности ученика в способность решения данных задач. В связи с этим на первом этапе работы по этой теме ученикам предлагаются одношаговые и двушаговые, простые по алгоритму решения задачи, с последующим усложнением задач.

2 Подходы решений тригонометрических уравнений с параметрами

Рассмотрим некоторые общие подходы при решении определенных типов тригонометрических уравнений с параметрами. В дальнейшем будем обозначать вектор параметров уравнения через a.

2.1 Введение дополнительных переменных

Введение дополнительных переменных позволяет упростить выражения присутствующие в заданиях и позволяет упростить выполнение задания. Этот подход может быть применен в следующих случаях.

В уравнениях вида

можно вводить дополнительную переменную и применять следующие подстановки

В уравнениях вида

можно вводить дополнительную переменную и применять следующие подстановки

В уравнениях вида

можно вводить дополнительную переменную и применять следующие подстановки

В уравнениях вида

можно вводить дополнительную переменную , где

и применять следующие подстановки

Ниже приведены несколько примеров решения задач описанными методами.

Пример 1

При каких значениях параметра уравнение

имеет на интервале более одного решения.

Решение: Обозначим , тогда (при )

и .

Нам нужно, чтобы уравнение имело более одного корня на интервале (0,1), т.е.

Ответ: .

Пример 2

В зависимости от значений параметра а решить уравнение

Решение:

При получаем , или , или .

Теперь предположим, что .

Делим обе части уравнения на и получаем

, где

и , то есть . Из полученного уравнения видно, что . Значит, если то , , .

Ответ: при , ,

При

при решений нет.

2.2 Разделение области возможных значений переменных и параметров

Область возможных значений переменных или параметров или некоторых выражений разделяется на дизъюнктные подмножества. Это позволяет упростить задание, или перевести задание в новую форму, более легкую для решения.

Пример 1

В зависимости от параметра решить уравнение

.

Решение: Очевидно, что будет всегда решением.

Если , то получим . Если , то решений нет, если , то , . Учитывая, что получаем: при , и при , .

Пусть теперь , тогда . Если , то решений нет, если , то , . Учитывая, что получаем: при , и при

, .

Теперь можем записать ответ.

Ответ : при x = 0,

при , , ,

при , , .

Пример 2

В зависимости от значений параметров и решить неравенство .

Решение: , ,

Если , то получаем , откуда

Получаем, что если и ,то любое число, если и ,то .

Пусть теперь , тогда получаем

, , если и

, , если .

Ответ: при ,

при , ,

при , , любое число

при ,

2.3 Вспомогательные преобразования

Выполнение вспомогательных преобразований, приводящих к упрoщению выражений задания, либо делает возможным применение подходов 2.1 и 2.2.

Пример 1

Найти а при котором имеет по крайней мере одно решение уравнение

Решение: Преобразуем это уравнение, используя формулы сокращенного умножения и основное тригонометрическое тождество:

Разделим обе части уравнения на 4:

.

В левой части уравнения вынесем за скобки и получим:

.

При , значит решений нет.

При получаем .

Зная, что , следовательно , значит

.

Из последней системы мы можем записать ответ.

Ответ: при

2.4 Применение классических формул

Решение многих уравнений может быть значительно упрощено применением классических тождеств, неравенств, свойств и теорем. Приведем пример решения такого уравнения.

Пример

Найти наибольшее значение функции

, где .

Решение: Найдем наибольшее значение квадрата этой функции

.

С учетом того, что имеем

.

Выражение примет наибольшее значение тогда, когда наибольшее значение будет иметь подкоренное выражение.

Имеем .

Если сумма двух положительных переменных постоянна, то произведение этих переменных имеет наибольшее значение, когда оба сомножителя принимают одинаковые значения.

.

Если , то , , .

В этом случае каждое из подкоренных выражений равно (1+a)/2 и

Если , то значение функции будет 2.

Ответ: .

3 Заключение

Мы представили несколько подходов для решений тригонометрических уравнений. Использование этих методов может намного упростить решение многих сложных заданий. Используя шаблон каждого метода, ученик может быстро распознать и применить к нему соответствующий метод. Представленные примеры могут быть использованы на факультативных занятиях. Это поможет ученикам приобрести опыт в решении задач данных типов.

Размещено на Allbest.ru