Теория дифференциальных включений

1

Размещено на http://www.allbest.ru/

2

Размещено на http://www.allbest.ru/

ВВЕДЕНИЕ

Возникновение первых публикаций по теории дифференциальных включений относится к тридцатым годам 20 века. Первыми исследованиями в этом направлении стали работы А.Маршо и С.Зарембы, в которых была предпринята попытка обобщить существовавшие в то время результаты по теории дифференциальных уравнений на более общий случай.

При исследовании систем дифференциальных уравнений в качестве решения в зависимости от свойств функции выбирались непрерывно дифференцируемые или абсолютно непрерывные функции. А.Маршо и С.Заремба в качестве решения рассмотрели непрерывные функции, но при этом вместо производной рассмотрели некоторые ее обобщения.

Паратингенцией функции в точке будем называть множество

Контингенцией функции в точке будем называть множество

Пример. Пусть тогда При имеем

Рассматривая уравнения с многозначной правой частью, С.Заремба ввел понятие дифференциального уравнения в паратингенциях



а А.Маршо - понятие дифференциального уравнения в контингенциях

где

Определение 1. Непрерывная функция определенная при называется решением дифференциального уравнения в паратингенциях (контингенциях), если включение (соответственно ) справедливо для всех

Ниже в основном рассматриваются дифференциальные уравнения с многозначной правой частью в форме дифференциальных включений

Следующие 25 лет работы в данном направлении не публиковались за исключением статей А.Д.Мышкиса.

В начале 60-х годов появится цикл работ Т.Важевского и А.Ф.Филиппова, в которых были получены принципиальные результаты по существованию и свойствам решений дифференциальных включений. Одним из важнейших результатов этих работ было установление связи дифференциальных включений с задачами оптимального управления, что привело к бурному развитию теории дифференциальных включений. Интерес к проблемам управления в те годы был связан с острыми потребностями новых технологий, авиации, космонавтики, энергетики. Именно в этот период возникают такие общие методы решения оптимизационных проблем управления, как принцип максимума Понтрягина, метод динамического программирования Беллмана и др.

Математическое описание управляемой системы с обратной связью можно свести к соотношениям типа

где функция характеризует динамику системы, - её траектория, а - управляющий параметр, который в каждый момент времени выбирается из соответствующего множества допустимых управлений , зависящего от времени и от состояния системы.

В общем случае, если пара задаёт траекторию системы и реализующее её управление, то траектория является решением дифференциального включения

Однако обратный переход от включения к системе совсем не очевиден.

Тот факт, что для каждого решения включения найдется такая измеримая управляющая функция , которая реализует его как траекторию системы , устанавливается с помощью теоремы А. Ф. Филиппова.

Дифференциальные включения являются удобным аппаратом для описания неявных дифференциальных уравнений и дифференциальных неравенств. В самом деле, соотношения вида:

или

могут быть записаны в виде дифференциальных включений

,

где многозначное отображение определено как

или, соответственно, .



Следует отметить, что исследование динамики любых реальных процессов с помощью дифференциальных уравнений с однозначной правой частью соответствует идеальной модели, которая не учитывает воздействия случайных помех, ошибок измерений при задании коэффициентов, погрешностей при задании функций, входящих в правые части дифференциальных уравнений. Учет случайных факторов при известных вероятностных характеристиках модели осуществляется с помощью стохастических дифференциальных уравнений, теория которых активно развивается и широко применяется на практике. Дифференциальные включения, являясь естественным обобщениям дифференциальных уравнений, позволяют описывать динамику недетерминированных процессов, не используя вероятностных характеристик модели, что во многих случаях позволяет избежать априорных предположений относительно этих характеристик. Результаты исследования модели с использованием аппарата дифференциальных включений позволяет непосредственно оценить сверху все результаты вероятностных моделей, что иногда является достаточным для приложений. В этом случае соответствующее описание достигается, например, с помощью соотношений вида

где - единичный шар с центром в 0.

Еще одним важным применением, которое нашли дифференциальные включения, является их использование для изучения систем, описываемых дифференциальными уравнениями с разрывной правой частью. В классической теории дифференциальных уравнений правая часть, как правило, непрерывна по фазовым переменным. Если же правая часть разрывная, то уравнение может не иметь решение уже в простейших случаях. Например, задача Коши

как легко видеть, не имеет решения в обычном виде (в классе непрерывно-дифференцируемых функций).

Однако дифференциальные уравнения с разрывными правыми частями естественно возникают во многих приложениях. Большое число задач механики и электротехники приводят к уравнениям такого рода, поскольку многие физические соотношения описываются с помощью разрывных функций, таких, например, как сила сухого трения или скачкообразные характеристики многих электронных устройств. В терминах разрывных систем формулируется инженерно-технические задачи, связанные, например, с движением летательных аппаратов, распространением сейсмических колебаний, протеканием ударных и взрывных процессов, управлением манипуляторами. Разрывные системы широко используются в экономике, химической технологии, теории автоматического управления, теории систем с переменной структурой и других отраслях науки. Еще одной мотивацией для рассмотрения разрывных правых частей является то обстоятельство, что если правая часть непрерывна, но достаточно сложна, то бывает полезно аппроксимировать её простыми разрывными функциями, типа кусочно-постоянных или кусочно-линейных.

В качестве примера рассмотрим одномерную модель автопилота. Пусть - угол между желаемым направлением самолёта и реальным. Если этот угол достаточно мал, то угловое движение самолёта описывается дифференциальным уравнением

,

где - вращающий момент, создаваемый стабилизирующим устройством по простому принципу:

Один из подходов, предложенный для изучения разрывных дифференциальных уравнений состоит в следующем: заменить разрывную правую часть на многозначную, определяемую формулой

Нетрудно видеть, что операция такого рода не изменяет значения , если - точка непрерывности, но “заклеивает дыры” в точках разрыва: так, например, указанная выше функция после данного преобразования принимает значение при .

Естественно называть решение дифференциального включения

обобщенным решением исходного дифференциального уравнения с разрывной правой частью

Данный подход оказался чрезвычайно плодотворным. Дело в том, что в случае ограниченной правой части многозначное отображение оказывается полунепрерывным сверху независимо от класса функций , что даёт возможность применять для соответствующего дифференциального включения технику теорем существования и другие методы.

Дифференциальные включения и связанные с ними задачи естественным образом возникают не только при описании технических или транспортных систем. Приведём пример из сферы математический экономики, рассмотрев модель экономической динамики типа Неймана - Гейла.

Пусть состояние экономики на данный момент характеризуется некоторым - мерным вектором . Компонентами вектора являются количества всевозможных продуктов, имеющихся в данный момент в системе. Пусть для каждого состояния экономики в момент задано множество состояний, в которые экономика может перейти в момент времени . Таким образом, данная экономическая модель задаётся некоторым многозначным отображением , характеризующим производственные возможности системы (здесь - совокупность всех непустых множеств из ). Последовательность состояний системы в моменты времени называется технологически возможной траекторией системы, если

для всех

Теперь перейдём от данной дискретной модели к модели, функционирующей в непрерывном времени. Предполагаем, что процесс переработки продуктов происходит равномерно, т.е. в любой момент , состояние экономики может характеризоваться любым из векторов множества . Тогда

Переходя к пределу при , получаем дифференциальное включение, описывающее непрерывную динамику экономической системы

Начавшееся в 60-е годы бурное развитие теории дифференциальных включений и её приложений продолжаются и поныне. К настоящему времени разработаны такие её разделы, которые являются традиционными в общей теории дифференциальных уравнений - теоремы существования решений, качественные свойства решений, включая непрерывную зависимость от начальных данных и параметров, устойчивость, существование решений периодических и более общих краевых задач и т.д. В то же время выявились интересные специфические проблемы, к числу которых можно отнести, например, вопросы соотношений множеств решений исходной задачи и задачи с “овыпукленной'' правой частью, описание управляемых систем с помощью дифференциальных включений и другие.

Основные результаты теории дифференциальных уравнений с многозначной правой частью изложены в работах А.Ф.Филиппова, Т.Важевского, В.И.Благодатских, А.И.Панасюка, В.А.Плотникова, А.А.Толстоногова, О.П.Хапаева, М.М.Филатова, J.P.Aubin, H.Frankovska, M.Kisielewicz и др.



1. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И НЕПРЕРЫВНОЙ ЗАВИСИМОСТИ РЕШЕНИЙ ОТ ПАРАМЕТРА

Рассмотрим дифференциальное включение

где промежуток положительной или бесконечной меры, область. Обозначим область определения дифференциального включения.

Определение 1. Функция называется абсолютно непрерывной, если для любого существует такое, что если семейство попарно непересекающихся промежутков имеет суммарную длину то справедливо неравенство

дифференциальный уравнение система функция

Если функция определена на промежутке (конечном или бесконечном), то она называется абсолютно непрерывной, если ее сужение на любой отрезок оказывается абсолютно непрерывной функцией.

Как известно из теории функций вещественной переменной, абсолютно непрерывная функция почти всюду по имеет классическую производную, при этом значение функции восстанавливаются по формуле Ньютона - Лейбница

где

Более того, интеграл с переменным верхним пределом от локально интегрируемой по Лебегу функции является абсолютно непрерывной функцией верхнего предела.

Определение 2. Функция где промежуток (отличный от точки), называется обычным решением дифференциального включения , если

1) для всех

2) почти всюду по t на

Если в области определения D(F) фиксирована точка то любое решение дифференциального включения , которое удовлетворяет начальному условию называется решением задачи Коши

В общем случае решение задачи Коши не единственно по вполне понятным причинам: в каждой точке из области определения задано множество допустимых скоростей из расширенного фазового пространства.

Обозначим через множество обычных решений задачи Коши .

Различные теоремы существования решений для дифференциальных включений в конечномерном пространстве с выпуклозначной правой частью были получены в работах В.Г.Задорожного, Ш. Кастена, Дж.Дэви, Н. Кикучи, А. Ласоты и З. Опиала, А. Плиша и др. в шестидесятые годы 20 века.

Для дифференциальных включений с невыпуклой правой частью первая теорема существования была доказана А.Ф.Филипповым при условии, что правая часть удовлетворяет условию Липшица. Затем им же была получена теорема существования для дифференциальных включений с непрерывной правой частью. Этот результат был обобщен в работе Ч.Олеха. Для дифференциальных включений с полунепрерывной снизу невыпуклой правой частью первые результаты были получены А.Брессаном и С.Лоясевичем. Впоследствии разработанный Брессаном метод направленных сечений позволил развить единый подход к изучению дифференциальных включений с полунепрерывной снизу и полунепрерывной сверху правой частью.

Определение 3 [Благодатских В.И., Филиппов А.Ф.]. Говорят, что многозначное отображение удовлетворяет условиям Каратеодори, если

1. измеримо на интервале для любого фиксированного ;

2. непрерывно на для почти всех фиксированных ;

3. существует суммируемая функция такая, что , для .

теорема 1 [Благодатских В. И., Филиппов А. Ф.]. Пусть многозначное отображение , где удовлетворят условиям Каратеодори. Тогда при существует обычное решение задачи (14), где и .

Доказательство. Пусть ближайшая к началу координат точка множества В силу выпуклости многозначного отображения функция в области измерима по при любом фиксированном непрерывна по при почти всех и удовлетворяет оценке

Следовательно, функция удовлетворяет условиям Каратеодори, поэтому существует абсолютно непрерывное решение задачи Коши для дифференциального уравнения Каратеодори

определенное при , где и . Таким образом, существует обычное решение задачи Коши .

Рассмотрим теперь теорему существования и непрерывной зависимости от параметра решений задачи Коши .

Теорема 2 (теорема А.Ф.Филиппова). Пусть многозначное отображение удовлетворяет следующим условиям:

1. измеримо по для любого фиксированного ;

2. удовлетворяет условию Липшица по с постоянной т.е.

3. существует суммируемая функция такая, что ;

4. абсолютно непрерывная функция график которой содержится в удовлетворяет неравенству

при всех

где функция суммируема.

Тогда на отрезке существует решение задачи Коши такое, что где функция является решением задачи Коши

т.е.



число таково, что и .

Доказательство. Построим две последовательности функций где

измеримая однозначная ветвь многозначного отображения такая, что

В силу выбора все функции определены при , абсолютно непрерывны и их графики содержатся в области так как

для всех . Согласно , и условию 4 теоремы имеем:



при почти всех .

Так как функция абсолютно непрерывна, то имеет место равенство

следовательно, из при и , получим неравенство

при .

Поскольку многозначное отображение удовлетворяет условию Липшица по фазовой переменной , то из , получим

при почти всех . Отсюда, используя , получим



Используя метод полной математической индукции, покажем, что имеют место оценки

При неравенства и переходят в и соответственно. Оценим, используя

для почти всех . Полученная оценка совпадает с заменой на Далее с учетом имеем:



Полученная оценка совпадает с заменой на Таким образом, соотношения и доказаны для любого натурального

Покажем, что последовательность непрерывных функций сходится равномерно на отрезке к некоторой непрерывной функции. Рассмотрим вспомагательный функциональный ряд

который мажорируется сходящимся числовым рядом

В силу признака Вейерштрасса функциональный ряд , а следовательно, и последовательность функций сходится равномерно на отрезке к некоторой непрерывной функции Аналогично показывается, что последовательность измеримых функций сходится равномерно на отрезке к некоторой измеримой функции Переходя в к пределу при , получим связь между предельными функциями

где последнее включение получает предельным переходом из

Более того, предельная функция является абсолютно непрерывной в силу . Таким образом, решение задачи Коши .

Осталось показать, что имеет место оценка На основании и имеем

что и требовалось доказать.

Данная теорема является частным случаем более общего утверждения, которое примем без доказательства.

Теорема 3 (теорема А.Ф.Филиппова). Пусть многозначное отображение удовлетворяет следующим условиям:

1. измеримо по для любого фиксированного ;

2. для любого при для почти всех имеем где функция удовлетворяет условиям Каратеодори и

3. абсолютно непрерывная функция график которой содержится в удовлетворяет неравенству

при всех

где функция суммируема.

Тогда на отрезке существует решение задачи Коши такое, что при почти всех где функция является решением задачи Коши

любое такое, что при

Следствие 1. Пусть для многозначных отображений выполняются условия 1 и 2 теоремы 3 и справедливо неравенство

при всех

где функция суммируема. Тогда для любого решения задачи

существует решение задачи Коши такое, что выполняется неравенство где функция определена в . Обратно, для любого решения задачи существует решение задачи Коши такое, что выполняется неравенство

Из теоремы 3 можно получить одну из формулировок теоремы о существовании решения задачи Коши для дифференциальных включений с невыпуклой правой частью.

Теорема 4. Пусть многозначное отображение удовлетворяет условиям 1 и 2 теоремы 3. Тогда на отрезке существует решение задачи Коши .

2. РАЗЛИЧНЫЕ ПОНЯТИЯ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ВКЛЮЧЕНИЯ

Известно, что в теории дифференциальных уравнений переход от дифференциального уравнения к интегральному и наоборот является эквивалентным. Для дифференциальных включений это не является верным, т.е. решение задачи Коши является решением интегрального включения

но не все решения интегрального включения являются решениями задачи Коши .

Пример 1. Пусть и пусть

Очевидно, что не является решением дифференциального включения

на , т.к. для имеем , но является решением соответствующего интегрального включения так как и для .

Поэтому в теории дифференциальных включений рассматривают другой вид интегральных включений, для которых можно получить результат, аналогичный результату, имеющемуся в теории дифференциальных уравнений.

Определение 3 [Dawidowski M.]. Непрерывная функция , определенная на промежутке , называется обобщённым решением задачи Коши , если интегральное включение

справедливо для всех .

Обозначим через множество обобщенных решений задачи Коши .

Лемма 1. Если многозначное отображение удовлетворяет условиям Каратеодори, то для любой измеримой функции многозначное отображение измеримо.

Доказательство.

Теорема 1 [Dawidowski M.]. Пусть удовлетворяет условиям Каратеодори, тогда .

Доказательство. Пусть - обычное решение задачи Коши . Введем в рассмотрение многозначное отображение , которое в силу леммы 1 является измеримым на и ограничено по модулю суммируемой функцией

В силу определения обычного решения, имеем

для почти всех . Таким образом, является однозначной ветвью многозначного отображения , а значит, по определению интеграла Ауманна имеем для всех таких, что . Таким образом, включение

справедливо для всех .

Следовательно, является обобщенным решением задачи Коши , т.е. .

Докажем обратное включение. Пусть - обобщенное решение задачи Коши . Тогда непрерывно и для всех таких, что .

В силу определения модуля множества и свойств интеграла Ауманна

для всех таких, что .

Введем в рассмотрение функцию . Так как суммируема на , то абсолютно непрерывна на как интеграл с переменным верхним пределом. Следовательно, для любого существует такое, что для любого натурального и любых таких, что справедливо неравенство .

Таким образом, в силу

то есть функция абсолютно непрерывна.

Пусть расстояние от точки до множества Тогда для любых , и имеет место неравенство

Доказательство следует из неравенства треугольника и свойств минимума:

Положив в имеем



для всех и .

Абсолютно непрерывная функция дифференцируема почти всюду, поэтому при для почти всех . Так как многозначное отображение абсолютно непрерывно на , то в силу [Hukuhara M.] дифференцируемо для почти всех , причем Следовательно, для почти всех имеем

Устремляя в к 0, получаем, что почти всюду на . Поэтому почти всюду на .

Таким образом - обычное решение задачи Коши и утверждение теоремы доказано.

Замечание 1. Утверждение теоремы будет неверно, если в определении обобщенного решения зафиксировать (пример 1).

Определение 5 [Kikuchi N.].Функция , определённая на , называется квазирешением задачи Коши , если существует последовательность функций такая, что

1) абсолютно непрерывны на ;

2) , где функция суммируема на ;

3)

4) почти всюду на .

Множество квазирешений задачи Коши обозначим через .

Теорема 2 [Wazewski T.]. Пусть удовлетворяет условиям Каратеодори, тогда

Доказательство. Пусть обычное решение задачи Коши на промежутке Тогда квазирешение задачи Коши , так как в качестве последовательности можно взять

Пусть теперь квазирешение задачи Коши на промежутке Тогда квазирешение задачи Коши

так как первые три пункта определения квазирешения не зависят от правой части дифференциального включения, а последний выполняется в силу того, что

Покажем, что любое квазирешение задачи Коши является обычным решением задачи Коши . Пусть квазирешение задачи Коши на промежутке Тогда существует последовательность абсолютно непрерывных на функций сходящаяся к такая, что и почти всюду на Из непрерывности многозначного отображения по при каждом фиксированном следует непрерывность многозначного отображения по при каждом фиксированном [Благодатских В.И.]. Тогда при

Для каждого определим множество

При имеем Так как в силу леммы 1 многозначное отображение а значит и многозначное отображение измеримо по на , то в силу теоремы А.Ф.Филиппова существует измеримая функция такая, что при Положим

которые удовлетворяют включению почти всюду на

Пусть абсолютно непрерывная функция, для которой и почти всюду на Тогда обычное решение задачи Коши

Так как выпукло и удовлетворяет условиям Каратеодори, то в силу теоремы 2 является обобщенным решением задачи Коши , то есть

для всех

Так как при то абсолютно непрерывная функция удовлетворяет включению



для всех то есть является обобщенным, а значит в силу теоремы 2 и обычным решением задачи Коши . Следовательно, имеем для почти всех В силу произвольности и компактности множества получаем, что для почти всех то есть является обычным решением задачи Коши .

Таким образом,

Теперь осталось доказать, что любое обычное решение задачи Коши является квазирешением задачи Коши .

Пусть обычное решение задачи Коши на промежутке Тогда функция абсолютно непрерывна на и почти всюду на Многозначное отображение измеримо на в силу леммы 1, следовательно, по теореме Егорова существует система непересекающихся подынтервалов а также множество нулевой меры такие, что и многозначное отображение непрерывно на Разбиение сегмента можно выбрать так, что для произвольного натурального будут справедливы неравенства

Определим функцию и многозначное отображение следующим образом:



Тогда для почти всех Определим последовательность функций следующим образом:

Тогда:

1) функции абсолютно непрерывны на промежутке как сумма постоянного вектора и интеграла с переменным верхним пределом от суммируемой функции;

2)

3) для почти всех в силу и ;

4) для почти всех так как для почти всех имеем

Оценим

то есть при и

Так как



и непрерывно по при каждом фиксированном то почти всюду на Таким образом, квазирешение задачи Коши .

Следовательно, и равенство доказано.

Следствие 1. При предположениях теоремы имеем

.

Определение 6 [Kikuchi N.]. Функция , определённая на , называется римановым решением задачи Коши , если интегрируема по Риману и для всех .

Обозначим через множество всех римановых решений задачи Коши .

Определение 7 [Kikuchi N.]. Непрерывно-дифференцируемая функция , определённая на , называется классическим решением задачи Коши , если для всех .

Обозначим множество всех классических решений задачи Коши через

Непосредственно из определения следует, что и

3. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ

Дифференциальное включение является обобщением дифференциального уравнения, поэтому в теории дифференциальных включений возникают все проблемы, присущие обыкновенным дифференциальным уравнениям. Это теоремы существования решения, продолжимости решения, ограниченности, непрерывной зависимости от начальных условий и параметров и др. В то же время у дифференциального включения из каждой начальной точки выходит уже целое семейство траекторий. Эта многозначность порождает свои специфические вопросы, такие, как замкнутость, выпуклость семейства решений, существование граничных решений, выделение решений с заданными свойствами и многие другие.

Определение 8. Функция называется функцией Камке, если она непрерывна по , измерима по , , для любого и при единственным решением задачи является функция .

Например, если функция суммируема, то - функция Камке.

Теорема 4 (А. Ф. Филиппова). Пусть многозначное отображение, где , удовлетворяет следующим условиям:

1) - измеримо по при любом фиксированном ;

2) для любого при для почти всех имеем

где непрерывна по , измерима по , , , .

Пусть при функция абсолютно непрерывна, её график содержится в и при почти всех



где

Тогда для любой точки найдется такое решение задачи

что

при почти всех . Здесь-верхнее решение задачи

- любое такое, что при .

Замечание 2. Если в данной теореме вместо условия (21) выполняется условие Липшица, т.е. существует суммируемая на отрезке такая, что справедливо неравенство

то от требования выпуклости правой части можно отказаться, а в (23)

где , таково, что .

Определение 9. Интегральной воронкой точки (или множества) называется множество точек, лежащих на графиках всех решений, проходящих через точку (соответственно через точки множества ).

Сечение воронки точки есть множество достижимости в момент, т.е. множество точек, в которые можно попасть в момент , двигаясь по всевозможным решениям, выходящим в момент из точки.

Теорема 5 [4, 20]. Пусть в компактной области выполнены следующие условия:

1) множество - непустое, замкнутое и выпуклое;

2) , функция суммируема на ;

3) - полунепрерывно сверху на;

4) - измеримо на .

Если все решения (14) на отрезке существуют и содержатся в , то множество таких решений является компактом в пространстве непрерывных на функций.

То же справедливо для множества всех решений с всевозможными начальными условиями - компакт,. Если - связный компакт (в частности, если - точка), то множество связно.

Замечание 3. Если множество не выпукло, то воронка и множество достижимости могут быть незамкнутыми.

Пример 2 [17]. Рассмотрим систему

Здесь множество есть дуга параболы

,



то есть не выпукло ( и - проекции точек множества на оси координат).

Рассмотрим при множество решений с начальными условиями . Если , то всюду, . Если не тождественно равно нулю (), то ; при этом на тех интервалах, где . Следовательно, для всех решений, значит точка не принадлежит графикам решений и не принадлежит отрезку интегральной воронки.

Рассмотрим решение , для которого .

Тогда

тогда

Следовательно, сколь угодно близко к точке имеются точки графиков решений с нулевыми начальными условиями, а сама эта точка не лежит на графике такого решения. Итак, множество этих точек и отрезок воронки не замкнуты.

Уравнения (24) можно рассматривать, как уравнения управляемой системы, то есть системы, движением которой можно управлять, выбирая произвольно функцию в указанных пределах. Из сказанного следует, что эту систему за единицу времени нельзя перевести из состояния в состояние , но можно перевести в состояние, сколь угодно близкое к , меняя достаточно быстро функцию от 1 до -1 и обратно (скользящий режим).

При отказе от требования выпуклости множества соотношения между множествами решений включения и включения

изучались, в частности, в [16, 29].

Теорема 6[18, 28]. Пусть многозначное отображение удовлетворяет следующим условиям:

1) множество непустое и замкнутое;

2) , функция суммируема;

3) измеримо по при каждом фиксированном;

4) для любого при для почти всех имеем

,

где - функция Камке.

Тогда каждое решение включения (25) с начальным условием является пределом равномерно сходящийся последовательности решений включения с тем же начальным условием.

При этом такой предел может не быть решением включения , если множество не выпукло. Например, если , а множество состоит из двух точек 1, -1, то последовательность решений (рис. 1) равномерно сходится к функции , которая не является решением включения



1

Размещено на http://www.allbest.ru/

2

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.1

Условие 4) нельзя отбросить [28] и заменить его условием Гельдера.

Пример 3 [28]. Пусть множество не зависит от и состоит из двух точек и . Тогда - отрезок, соединяющий эти точки. Вектор -функция удовлетворяет включению , но не удовлетворяет включению . В [28] показано, что ни одна последовательность решений включения не имеет своим пределом , которое является решением включения .

Размещено на Allbest.ru