Рішення лінійних та нелінійних задач

Размещено на http://www.allbest.ru/

Дипломна робота:

Рішення лінійних та нелінійних задач

Зміст

1. Лінійна виробнича задача

2. Двоїста задача

3. Задача про «Розшивку вузьких місць виробництва»

4. Транспортна задача

5. Розподіл капітальних вкладень

6. Динамічна задача керування запасами

7. Аналіз прибутковості й ризику фінансових операцій

8. Оптимальний портфель цінних паперів

Висновок

Література

1.Лінійна виробнича задача

Лінійна виробнича задача - це задача про раціональне використання наявних ресурсів, для рішення якої застосовують методи лінійного програмування. У загальному виді задача може бути сформульована в такий спосіб:

Припустимо, підприємство або цех може випускати видів продукції, використовуючи видів ресурсів. При цьому відомо кількість кожного виду ресурсу, витрата кожного виду ресурсу на випуск кожного виду продукції, прибуток, одержуваний з одиниці випущеної продукції. Потрібно скласти такий план виробництва продукції, при якому прибуток, одержуваний підприємством, була б найбільшою.

Приймемо наступні позначення:

	Номер ресурсу (i=1,2,…,m)
	Номер продукції (j=1,2,…,n)
	Витрата i-го ресурсу на одиницю j-ой продукції
	Наявна кількість i-го ресурсу
	Прибуток на одиницю j-ой продукції
	Планована кількість одиниць j-ой продукції
	Шуканий план виробництва

Таким чином, математична модель задачі полягає в тому, щоб знайти виробничу програму яка максимізує прибуток:

При цьому, яка б не була виробнича програма , її компоненти повинні задовольняти умові, що сумарне використання даного виду ресурсу, при виробництві всіх видів продукції не повинне перевищувати наявна кількість даного виду ресурсу, тобто

, де

А тому що компоненти програми - кількість виробів, то вони не можуть бути виражені негативними числами, отже додається ще одна умова:

, де

Припустимо, що підприємство може випускати чотири види продукції ( ), використовуючи для цього три види ресурсів ( ). Відома технологічна матриця витрат будь-якого ресурсу на одиницю кожної продукції, вектор об'ємів ресурсів і вектор питомого прибутку:

Тоді математична модель задачі буде мати вигляд:

Знайти виробничу програму яка максимізує прибуток:

(1.1)

при обмеженнях по ресурсах:

(1.2)

де за змістом задачі: , , ,

Таким чином, одержали задачу на знаходження умовного екстремуму. Для її рішення введемо додаткові ненегативні невідомі:

, , остача ресурсу певного виду (не використовувана кількість кожного ресурсу)

Тоді замість системи нерівностей (1.2), одержимо систему лінійних алгебраїчних рівнянь:

(1.3)

де серед всіх рішень, що задовольняють умові незаперечності:

, , , , , ,

треба знайти рішення, при якому функція (1.1) прийме найбільше значення. Цю задачу будемо вирішувати методом послідовного поліпшення плану - симплексним методом.

Скористаємося тим, що праві частини всіх рівнянь системи (1.3) ненегативні, а сама система має вигляд - додаткові змінні є базисними. Дорівнявши до нуля вільні змінні x₁, x₂, x₃, x₄, одержуємо базисне ненегативне рішення:

, , , , , ,

перші чотири компоненти якого представляють виробничу програму , по якій поки нічого не виробляється.

З вираження (1.1) видно, що найбільше вигідно починати робити продукцію третього виду, тому що прибуток на одиницю випущеної продукції тут найбільша, тому в системі (1.3) приймаємо змінну x₃ за розв'язну й перетворимо цю систему до іншого виду. Для чого становимо відносини правих частин рівнянь до відповідних позитивних коефіцієнтів при обраної невідомій і знаходимо найбільше значення x₃, що вона може прийняти при нульових значеннях інших вільних невідомих, зберігши праві частини рівнянь ненегативними, тобто

Воно відповідає першому рівнянню в системі (1.3), і показує яка кількість виробів третього виду підприємство може виготовити з урахуванням об'ємів сировини першого виду. Отже, у базис уводимо невідому x₃, а виключаємо від туди невідому x₅. Тоді приймаємо перше рівняння в системі (1.3) за розв'язне, а розв'язним елементом буде a₁₃=6.

Застосувавши формули виключення, переходимо до нового виду системи з відповідним базисним припустимим рішенням.

Повний процес рішення наведений у таблиці 1, де в останньому рядку третьої таблиці немає жодного негативного відносного оцінного коефіцієнта

, де , де ,

Таким чином виконується критерій оптимальності для функції (1.1).

Таблиця 1
C	Базис	H	30	11	45	6	0	0	0	Пояснення
0		150	3	2	6	0	1	0	0	x3 - розв'язна змінна x3 у базис. перший рядок - розв'язна x5 з базису. розв'язний елемент = 6
0		130	4	2	3	5	0	1	0
0		124	4	3	2	4	0	0	1
	0		-30	-11	-45	-6	0	0	0
45		25			1	0		0	0	x1 - розв'язна змінна другий рядок - розв'язна розв'язний елемент =
0		55		1	0	5		1	0
0		74	3		0	4		0	1
	1125			4	0	-6		0	0
45		14	0		1	-1			0	Всі
30		22	1		0	2			0
0		8	0		0	-2			1
	1290		0	7	0	9	6	3	0

При цьому кожний елемент симплексної таблиці має певний економічний зміст. Наприклад, у другій симплексній таблиці:

У стовпці :
	Показує, на скільки варто зменшити виготовлення виробу третього виду, якщо заплановано випуск одного виробу першого виду.
; 3	Показують, скільки буде потрібно сировини другого й третього виду, при включенні в план одного виробу першого виду.
Таким чином при включенні в план одного виробу першого виду, буде потрібно зменшення випуску продукції третього виду на 0.5 одиниць, а також будуть потрібні додаткові витрати 2.5 одиниць сировини другого виду й 3 одиниці сировини третього виду, що приведе до збільшення прибутку підприємства на 7.5 грошових одиниць.
У стовпці :
; ;	Показують, що збільшення об'єму сировини першого виду на одиницю дозволило б збільшити випуск продукції третього виду на . що одночасно зажадало б  одиниці сировини другого виду й  одиниці сировини третього виду.

Так як в останньому рядку третьої таблиці 1 немає жодного негативного відносного оцінного коефіцієнта, те виробнича програма, при якій одержувана підприємством прибуток має найбільше значення, знайдена, тому що, наприклад, коефіцієнт при змінній показує, що якщо зробити одну одиницю продукції другого виду, то прибуток зменшиться на 7 грошових одиниць.

Таким чином, одержали виробничу програму:

, , ,

яка є оптимальною й забезпечує підприємству найбільший можливий прибуток:

При цьому перший і другий ресурси будуть використані повністю, тобто перший і другий ресурси утворять «вузькі місця виробництва»:

,

а третій ресурс буде мати остача:



Крім цього в третій симплексній таблиці отриманий звернений базис, що відповідає оптимальній виробничій програмі:

тоді можна перевірити виконання співвідношення :

а тому що із третьої симплексної таблиці:

, отже, співвідношення виконується.

2. Двоїста задача

Задача, двоїста лінійній виробничій задачі, наприклад, може полягати в оцінці вигоди від продажу сировини, використовуваного у виробництві, на сторону.

Наприклад, у попередньому п.1. розглянуто лінійну виробничу задачу по випуску чотирьох видів продукції з використанням трьох видів ресурсів по заданих технологіях. Припустимо, якийсь підприємець, що займається виробництвом інших видів продукції з використанням трьох таких же видів ресурсів, пропонує «поступитися» йому всі наявні ресурси й обіцяє платити y₁ грошових одиниць за кожну одиницю першого ресурсу, y₂ грошових одиниць за кожну одиницю другого ресурсу й y₃ грошових одиниць за кожну одиницю третього ресурсу. Виникає питання: при яких значеннях y₁, y₂, y₃ можна погодитися із пропозицією цього підприємця.

Так як у попередній задачі технологічна матриця витрат будь-якого ресурсу на одиницю кожної продукції, вектор об'ємів ресурсів і вектор питомого прибутку мали вигляд:

виходить, для виробництва, наприклад, першого виду продукції, підприємство повинне затратити 3 одиниці ресурсу першого виду, 4 одиниці ресурсу другого виду й 4 одиниці ресурсу третього виду, за що воно дістане прибуток 30 грошових одиниць. Отже, погодитися із пропозицією підприємця можна, якщо він заплатить не менше, тобто в цінах y₁, y₂, y₃ ця умова буде мати вигляд:

Аналогічно й із продукцією другого, третього й четвертого виду, при цьому, за всі наявні ресурси, підприємець повинен заплатити не менше:

 грошових одиниць.

Отже, підприємець буде шукати такі значення y₁, y₂, y₃, при яких ця сума була б якнайменше. При цьому мова йде про ціни, які залежать не від цін по яких ці ресурси були колись придбані, а про ціни залежних від застосовуваних у виробництві технологій, об'ємів ресурсів і прибутку, що можливо одержати за зроблену продукцію.

Таким чином, задача визначення розрахункових оцінок ресурсів приводить до задачі лінійного програмування: знайти вектор двоїстих оцінок

Яка мінімізує загальну оцінку всіх ресурсів

за умови, що по кожному виді продукції сумарна оцінка всіх ресурсів, затрачуваних на виробництво одиниці продукції, не менше прибутку, одержуваної від реалізації одиниці цієї продукції, тобто:

причому оцінки ресурсів не можуть бути негативними, тобто: , ,

Рішення отриманої задачі можна знайти за допомогою другої теореми подвійності: дефіцитний (надлишковий) ресурс, повністю (неповністю) використовуваний за оптимальним планом виробництва, має позитивну (нульову) оцінку, і технологія, застосовувана з ненульовий (нульовий) інтенсивністю, має нульову (позитивну) оцінку.

Таким чином для оптимальних рішень і пари двоїстих задач необхідно й досить виконання умов:



Раніше в п.1. було знайдено, що , , а й , тоді:

Але тому що третій ресурс був надлишковим (див. п.1.), те по другій теоремі подвійності, його двоїста оцінка дорівнює нулю, тобто . Тоді переходимо до нової системи рівнянь:

від куди одержуємо: ,

Таким чином, одержали двоїсті оцінки ресурсів:

, ,

тоді загальна оцінка всіх ресурсів дорівнює:

Те ж саме рішення значень двоїстих оцінок утримується в останньому рядку симплексної таблиці 1 і має певний економічний зміст:

	Показує, що додавання однієї одиниці першого ресурсу забезпечить приріст прибутку в 6 грошових одиниць.
	Показує, що додавання однієї одиниці другого ресурсу забезпечить приріст прибутку в 3 грошові одиниці.

Одночасно технологічні оцінки з того ж рядка симплексної таблиці:

	Показує, що якщо зробити одну одиницю продукції другого виду (не вхідну в оптимальну виробничу програму), те це зменшить прибуток на 7 грошових одиниць
	Показує, що якщо збільшити випуск продукції четвертого виду на одну одиницю, те це зменшить прибуток на 9 грошових одиниць

3. Задача про «Розшивку вузьких місць виробництва»

Задача про «розшивку вузьких місць виробництва» полягає в тім, що, наприклад, коли в процесі виробництва відбувається зміна об'єму якого-небудь ресурсу, використовуваного у виробництві, те, відповідно змінюється план виробництва й прибуток підприємства, одержувана від реалізації готової продукції. Це може відбуватися по різних причинах, наприклад: зламався верстат, постачальник пропонує сировину в більшій кількості й т.п.

Тому, коли який-небудь ресурс використовується повністю, те зменшення об'єму цього ресурсу, може вплинути на всю структуру плану виробництва й прибуток підприємства. Отже, такий ресурс, що утворить «вузькі місця виробництва», бажано мати з деяким запасом, тобто замовляти додатково, щоб зберегти структуру плану виробництва одержати можливість збільшити прибуток підприємства.

Для приклада візьмемо дані й результати обчислень із п.1. і п.2., де визначено, що перший і другий ресурс використовуються повністю, і, відповідно, саме їх потрібно замовляти додатково. Але в таких об'ємах, щоб зберегти структуру раніше знайденої програми виробництва, і з умовою, що від постачальника можна одержати додатково не більше однієї третини спочатку виділеного об'єму ресурсу будь-якого виду. Отже, задача зводитися до знаходження об'ємів придбання додаткових ресурсів, що задовольняють зазначеним умовам, і обчисленню додаткового можливого прибутку.

Тоді, нехай - вектор додаткових об'ємів ресурсів:

при цьому, для збереження структури виробничої програми, повинне виконуватися умова стійкості двоїстих оцінок:

Так як , те завдання полягає в тім, щоб знайти вектор:

сумарний приріст прибутку:

(3.1)

за умови збереження структури виробничої програми:

(3.2)

припускаючи, що можна сподіватися одержати додатково не більше однієї третини первісного об'єму ресурсу кожного виду, тобто:

(3.3)

причому додаткові об'єми ресурсів, за змістом задачі, не можуть бути негативними, тобто:

, (3.4)

Так як нерівності (3.2) і (3.3) повинні виконуватися одночасно, те їх можна переписати у вигляді однієї системи нерівностей:

		(3.5)

Таким чином, отримана задача лінійного програмування: максимізувати функцію (3.1) при умовах (3.4) і (3.5).

Цю задачу із двома змінними можна вирішити графічно:

Графік 1

На графіку видно, що система лінійних нерівностей (3.4), (3.5), утворить область припустимих рішень, обмежену прямими:

, , ,

при цьому лінії рівня функції (3.1) перпендикулярні вектору-градієнту й утворять сімейство паралельних прямих (градієнт указує напрямок зростання функції). Найбільшого значення функція (3.1) досягає в крапці перетинання прямих:

і

Координати цієї крапки й визначають шукані об'єми додаткових ресурсів. Отже, програма «розшивки вузьких місць виробництва має вигляд:

, ,

і приріст прибутку складе:

Зведення результатів по пунктах 1-3 наведені в таблиці 2.

Таблиця 2.
	30	11	45	6	B
	3	2	6	0	150	0	6	50
	4	2	3	5	130	0	3
	4	3	2	4	124	8	0	0
	22	0	14	0	1290
	0	7	0	9

4. Транспортна задача

Транспортна задача - це задача про мінімізацію транспортних витрат, пов'язаних із забезпеченням пунктів споживання певною кількістю однорідної продукції, виробленої (збереженої) у декількох пунктах виробництва (зберігання). У загальному виді задача може бути сформульована в такий спосіб:

Однорідний продукт, зосереджений у пунктах виробництва (зберігання), необхідно розподілити між пунктами споживання. Вартість перевезення одиниці продукції відома для всіх маршрутів. Необхідно скласти такий план перевезень, при якому запити всіх пунктів споживання були б задоволені за рахунок наявних продуктів у пунктах виробництва й загальні транспортні витрати по доставці продуктів були б мінімальними.

Приймемо наступні позначення:

	Номер пункту виробництва (зберігання) (i=1,2,…,m)
	Номер пункту споживання (j=1,2,…,n)
	Кількість продукту, наявні в i-ом пункті виробництва
	Кількість продукту, необхідне для j-го пункту споживання
	Вартість перевезення одиниці продукту з i-го пункту відправлення в j-ий пункт призначення
	Кількість вантажу, планованого до перевезення від i-го пункту відправлення в j-ий пункт призначення

Тоді, при наявності балансу виробництва й споживання:



математична модель транспортної задачі буде виглядати в такий спосіб:

знайти план перевезень

, де ;

Яка мінімізує загальну вартість всіх перевезень

за умови, що з будь-якого пункту виробництва вивозитися весь продукт

, де (4.1)

і будь-якому споживачеві доставляється необхідне кількості вантажу

, де (4.2)

причому, за змістом задачі

, …,

Для рішення транспортної задачі найчастіше застосовується метод потенціалів, при якому вводять позначення вектора симплексних множників або потенціалів:

Тоді:

, де ;

Звідки треба:

, де ;

При цьому один з потенціалів можна вибирати довільно, тому що в системі (4.1) і (4.2) одне рівняння лінійно залежить від інших, а інші потенціали перебувають, що для базисних значень .

Припустимо, що однорідний продукт, що перебуває в трьох пунктах виробництва (m=3), необхідно доставити в чотири пункти споживання (n=4). При цьому матриця транспортних витрат на перевезення одиниці продукту з будь-якого пункту відправлення в будь-який пункт призначення, вектор об'ємів запасів продукту в пунктах виробництва й вектор об'ємів продукту, необхідних пунктам споживання, мають вигляд:

Тоді виходить, що загальний об'єм продукту в пунктах виробництва

більше, ніж потрібно всім споживачам , тобто маємо відкриту модель транспортної задачі.

Для того щоб перетворити відкриту модель транспортної задачі в закриту, необхідно ввести фіктивний пункт споживання з об'ємом споживання

одиниць,

при цьому тарифи на перевезення продукту в цей пункт споживання будуть дорівнюють нулю, тому що фактичного переміщення продукту не відбувається.

Тоді, перше базисне припустиме рішення легко побудувати за правилом «північно-західного кута». А тому що оцінки базисних кліток транспортної таблиці дорівнюють нулю, те, прийнявши, що , перша транспортна таблиця й потенціали мають вигляд:

		30	11	45	36	28
50	30	11	9	*
70			36	34
30				2	28

Так як найбільша позитивна оцінка всіх вільних кліток транспортної таблиці, відповідає клітці 14, то будуємо цикл перерахування: 14-13-23-24 і робимо перерозподіл поставок уздовж циклу прерахунку:

	9	*					0	9
	36	34					45	25

Те одержуємо друге базисне припустиме рішення й знаходимо нові потенціали, думаючи :

		30	11	45	36	28
50	30	11		9
70		*	45	25
30				2	28

Размещено на http://www.allbest.ru/

Так як тепер найбільша позитивна оцінка всіх вільних кліток транспортної таблиці, відповідає клітці 22, то будуємо цикл перерахування: 22_ 12_ 14_ 24 і робимо перерозподіл поставок уздовж циклу прерахунку:



	11	9					0	20
	*	25					11	14

Звідси одержуємо третє базисне припустиме рішення й знаходимо нові потенціали, приймаючи :

		30	11	45	36	28
50	30			20
70	*	11	45	14
30				2	28

Размещено на http://www.allbest.ru/

Так як найбільша позитивна оцінка всіх вільних кліток транспортної таблиці, тепер відповідає клітці 21, то будуємо цикл перерахування: 21-11-14-24 і робимо перерозподіл поставок уздовж циклу прерахунку:



	30	20					16	34
	*	14					14	0

Одержуємо четверте базисне припустиме рішення й знаходимо нові потенціали, приймаючи :

		30	11	45	36	28
50	16			34
70	14	11	45
30			*	2	28

Размещено на http://www.allbest.ru/

Так як найбільша позитивна оцінка всіх вільних кліток транспортної таблиці, відповідає клітці 33, то будуємо цикл перерахування: 33-23-21-11_ 14_ 34 і робимо перерозподіл поставок уздовж циклу прерахунку:

	16		34						14		36
	14	45							16	43
		*	2							2	0

Одержуємо п'яте базисне припустиме рішення й знаходимо нові потенціали, знову приймаючи :

		30	11	45	36	28
50	14			36
70	16	11	43		*
30			2		28

Размещено на http://www.allbest.ru/

Тепер найбільша позитивна оцінка всіх вільних кліток транспортної таблиці, відповідає клітці 25, звідси будуємо цикл перерахування: 25-23-33- і робимо перерозподіл поставок уздовж цього циклу прерахунку:

	43	*					15	28
	2	28					30	0

Одержуємо п'яте базисне припустиме рішення й знову знаходимо нові потенціали, приймаючи :

		30	11	45	36	28
50	14			36
70	16	11	15		28
30			30

Размещено на http://www.allbest.ru/

Знаходимо оцінки всіх вільних кліток таблиці:

	Всі , де ;

Так як одержали таблицю для якої немає ні однієї позитивної оцінки, отже, знайдене оптимальне базисне припустиме рішення:

при якому транспортні витрати по забезпеченню продуктом всіх чотирьох пунктов споживання будуть найменшими.

При цьому із другого пункту виробництва товар буде вивезений не повністю, тобто там залишиться остача продукту 28 одиниць.

5. Розподіл капітальних вкладень

Задача про розподіл капітальних вкладень - це нелінійна задача розподілу ресурсів між підприємствами одного виробничого об'єднання або галузі.

Припустимо, що зазначено пунктів, де потрібно побудувати або реконструювати підприємства однієї галузі, для чого виділена певна сума. При цьому відомий приріст потужності або прибутку для кожного підприємства, залежно від суми капітальних вкладень у це підприємство. Потрібно знайти такий розподіл капітальних вкладень між підприємствами, що максимізує сумарний приріст потужності або прибутку всієї галузі.

Приймемо наступні позначення:

Номер підприємства (j=1,2,…,n)

Загальна сума капітальних вкладень

Сума капітальних вкладень в j-ое підприємство

Приріст потужності або прибутку j-го підприємства, якщо воно одержить x_j грошових одиниць капітальних вкладень

Тоді, завдання полягає в тім, щоб знайти такі значення , , …, , при яких значення сумарного приросту прибутку або потужності всієї галузі:

було б найбільшим, при обмеженні загальної суми: , причому будемо вважати, що всі змінні приймають тільки цілі ненегативні значення, тобто:

=0 або 1, або 2, або 3, …;

Цю задачу можна вирішити методом динамічного програмування. Для цього необхідно ввести параметр стану й функцію стану :

Деяка кількість підприємств, для яких визначається параметр і функція стану ( )

Сума капітальних вкладень, виділювана декільком підприємствам ( )

Максимальний приріст прибутку або потужності на перших підприємствах, якщо вони разом одержать капітальних вкладень

Тоді, якщо із грошових одиниць k- підприємство одержить грошових одиниць, то остача коштів необхідно розподілити між підприємствами від першого до так, щоб був отриманий максимальний приріст прибутку або потужності . Отже, приріст прибутку або потужності k підприємств буде дорівнює й потрібно вибрати таке значення між 0 і , щоб збільшення прибутку або потужності k підприємств було б максимальним, тобто:

, де .

Якщо ж k=1, то:

Допустимо, що виробниче об'єднання складається із чотирьох підприємств (n=4). Загальна сума капітальних вкладень дорівнює 700 грошових одиниць (b=700), при цьому суми виділювані підприємствам кратні 100 грошовим одиницям. Значення функцій наведені в таблиці 3:

Таблиця 3.
	0	100	200	300	400	500	600	700
	0	42	58	71	80	89	95	100
	0	30	49	63	68	69	65	60
	0	22	37	49	59	68	76	82
	0	50	68	82	92	100	107	112

Для заповнення таблиці 5 необхідно в таблиці 4 скласти значення функції зі значеннями й на кожній північно-східній діагоналі вибрати найбільше число (відзначене зірочкою), указавши відповідне значення :



Таблиця 4.
		0	100	200	300	400	500	600	700
		0	42	58	71	80	89	95	100
0	0	0	42*	58	71	80	89	95	100
100	30	30	72*	88	101	110	119	125
200	49	49	91*	107*	120	129	138
300	63	63	105	121*	134*	143*
400	68	68	110	126	139
500	69	69	111	127
600	65	65	107
700	60	60

Таблиця 5.
	0	100	200	300	400	500	600	700
	0	42	72	91	107	121	134	143
	0	0	100	200	200	300	300	300

Для заповнення таблиці 7 необхідно в таблиці 6 скласти значення функції зі значеннями й на кожній північно-східній діагоналі вибрати найбільше число (відзначене зірочкою), указавши відповідне значення :

Таблиця 6.
		0	100	200	300	400	500	600	700
		0	42	72	91	107	121	134	143
0	0	0	42*	72*	91	107	121	134	143
100	22	22	64	94*	113*	129*	143	156
200	37	37	79	109	128	144*	158*
300	49	49	91	121	140	156
400	59	59	101	131	150
500	68	68	110	140
600	76	76	118
700	82	82

Таблиця 7.
	0	100	200	300	400	500	600	700
	0	42	72	94	113	129	144	158
	0	0	0	100	100	100	200	200

Тепер, у таблиці 8, необхідно скласти значення функції зі значеннями , але тільки для значення , тобто заповнити тільки одну діагональ:

Таблиця 8.
		0	100	200	300	400	500	600	700
		0	42	72	94	113	129	144	158
0	0								158
100	50							194
200	68						197*
300	82					195
400	92				186
500	100			172
600	107		149
700	112	112

Найбільше число цієї діагоналі показує максимально можливий сумарний приріст прибутку всіх чотирьох підприємств даного виробничого об'єднання, при загальній сумі капітальних вкладень в 700 грошових одиниць, тобто: грошових одиниць

причому четвертому підприємству повинне бути виділене:

грошових одиниць

Тоді третьому підприємству повинне бути виділене (див. табл. 7.):

грошових одиниць

другому підприємству повинне бути виділене (див. табл. 5.):

грошових одиниць

на частку першого підприємства залишається:

грошових одиниць

Таким чином, найкращим є наступний розподіл капітальних вкладень по підприємствах:

яке забезпечує виробничому об'єднанню найбільший можливий приріст прибутку:

грошових одиниць

6. Динамічна задача керування запасами

Задача керування запасами - це задача про підтримку балансу виробництва й збуту продукції підприємства, які мінімізують витрати підприємства на виробництво й зберігання продукції.

Припустимо, що підприємство, що робить партіями деяку продукцію, одержало замовлення на n місяців. Розміри замовлень значно міняються від місяця до місяця, тому іноді краще виконувати замовлення відразу декількох місяців, а потім зберігати готову продукцію, поки вона не буде потрібно, чим виконувати замовлення саме в той місяць, коли це замовлення повинен бути відправлений. Тому необхідно скласти план виробництва на ці n місяців з урахуванням витрат на виробництво й зберігання виробів.

Приймемо наступні позначення:

Номер місяця (j=1,2,…,n)

Число виробів, вироблених в j-ом місяці

Величина запасу до початку j-го місяця

Число виробів, які повинні бути відвантажені в j-ом місяці

Витрати на зберігання й виробництво виробів в j-ом місяці

Тоді, завдання полягає в тім, щоб знайти план виробництва компоненти якого задовольняють умовам матеріального балансу:

, де

і мінімізують сумарні витрати за весь планований період:

причому за змістом задачі , , при

Так як об'єм зробленої продукції на етапі j може бути настільки великий, що запас може задовольнити попит всіх наступних етапів і при цьому не має змісту мати величину запасу більше сумарного попиту на всіх наступних етапах, те змінна повинна задовольняти обмеженням:

Отриману задачу можна вирішити методом динамічного програмування, для чого необхідно визначити параметр стану й функцію стану :

Наявний запас продукції наприкінці k-го місяця ( )

Мінімальні витрати за перші місяців:

Тоді, мінімальні витрати за один перший місяць ( ):

Отже, мінімальні витрати при :

, де

Якщо при цьому функція витрат на зберігання й виробництво виробів в j-ом місяці має вигляд:

, де

, при й , при

Витрати на оформлення замовлення (переналагодження встаткування) в j-ом місяці



Витрати на зберігання одиниці продукції, що переходить із j_ го місяця на місяць j+1

Витрати на виробництво (закупівлю) одиниць продукції в j_ ом місяці

те мінімальні витрати за один перший місяць ( ):

якщо ввести позначення:

те отже, мінімальні витрати при :

, де

Допустимо, що підприємство уклало договори на поставку своєї продукції на три місяці. Вихідні дані наведені в таблиці 9. При цьому вихідний запас товару на складі становить дві одиниці, тобто

Таблиця 9.
Період k	1	2	3
Попит ( )	3	2	3
Витрати на оформлення замовлення ( )	4	2	3
Витрати на зберігання одиниці запасу ( )	1	1	1

Передбачається, що витрати на придбання продукції становлять 5 руб. за кожну одиницю для перших трьох одиниць і 7 руб. за кожну додаткову одиницю, тобто

Покладемо , тоді:

Тоді, тому що параметр стану може приймати значення на відрізку:

Таким чином , при цьому кожному значенню параметра стану відповідає певна область зміни змінної :

Однак на першому етапі обсяг виробництва не може бути менше однієї одиниці, тому що попит , а вихідний запас , при цьому з балансового рівняння треба, що обсяг виробництва пов'язаний з параметром стану співвідношенням:



Таким чином кожному значенню відповідає єдине значення , тому:

, тоді:

Значення функції стани наведені в таблиці 10.:

Таблиця 10.
	0	1	2	3	4	5
	9	15	21	29	37	45
	1	2	3	4	5	6

Покладемо , тоді:

, де:

Тут мінімум береться по змінної , котра може змінюватися в межах:

де верхня границя залежить від параметра стану , що приймає значення на відрізку:

Таким чином , при цьому з балансового рівняння треба, що залишок товару на початок другого місяця пов'язаний з обсягом виробництва й з параметром стану співвідношенням:

Тоді:

( )			* *

Найменші з отриманих значень , є , тобто:

причому мінімум досягається при й , тобто:

і

ці значення вказуємо в результуючій таблиці 11.

Аналогічно:

( )			*
( )			*
( )			*

У такий спосіб:

Таблиця 11.
	0	1	2	3
	21	27	34	41
	0	2	3	3	3

Тепер покладемо, що , тоді:

, де:

Якщо залишати продукцію до кінця третього періоду не потрібно, тоді параметр стану приймає єдине значення , отже, змінна може змінюватися в межах:



а з балансового рівняння треба, що залишок товару на початок третього місяця пов'язаний з обсягом виробництва співвідношенням:

Тоді:

( )			*

Отже, одержуємо:

причому мінімум досягається при , тобто:

Таким чином, одержали мінімальні загальні витрати на виробництво й зберігання продукції й останній компонент оптимального рішення:

Для знаходження інших компонентів оптимального рішення, необхідно скористатися звичайними правилами динамічного програмування.

Тоді тому що , те, звідки , отже, з таблиці 11.:

або

Аналогічно тому що , те або , звідки або , отже, з таблиці 10.:

або

Отже, отриманий оптимальний план виробництва, що має два варіанти:

при цьому, кожний варіант оптимального плану виробництва забезпечує мінімальні загальні витрати на виробництво й зберігання продукції в розмірі 39 грошових одиниць.

7. Аналіз прибутковості й ризику фінансових операцій

Фінансової називається операція, початковий і кінцевий стан якої мають грошову оцінку й ціль проведення якої полягає в максимізації доходу у вигляді різниці між кінцевою й початковою оцінками. При цьому практично всі фінансові операції проходять в умовах невизначеності й, отже, їхній результат неможливо пророчити заздалегідь. Тому при проведенні фінансової операції можливе одержання як прибутку, так і збитку.

Тому задача аналізу прибутковості й ризику фінансової операцій полягає в оцінці фінансової операції з погляду її прибутковості й ризику. Найпоширенішим способом оцінки фінансової операцій є подання доходу операції як випадкової величини й оцінка ризику операції як середнього квадратичного відхилення цього випадкового доходу.

Наприклад, якщо дохід від проведення деякої фінансової операції є випадкова величина , те середній очікуваний дохід - це математичне очікування випадкової величини :

, де їсти ймовірність одержати дохід

Так як середнє квадратичне відхилення:

, де

це міра розкиданості можливих значень доходу навколо середнього очікуваного доходу, те його можна вважати кількісною мірою ризику операції й позначити як :

Допустимо, що по чотирьох фінансових операціях , , , ряди розподілу доходів і ймовірностей одержання цих доходів мають вигляд:

	2	6	8	4			2	3	4	10
	0	1	2	8			0	4	6	10

Тоді тому що , те середній очікуваний дохід кожної операції має вигляд:



Так як , те ризики кожної фінансової операції мають вигляд:

Нанесемо середні очікувані доходи й ризики кожної операції на площину (див. графік 2.).

Тоді, чим правіше крапка на графіку, тим більше дохідна операція, чим крапка вище - тим більше вона ризикова.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Для визначення операції оптимальної по Парето, необхідно на графіку знайти крапку, що не домінує ніяка інша крапка.

Тому що крапка домінує крапку , якщо й , те із графіка 2. видно, що 3-а операція домінує 2-у операцію, а 1-а операція домінує 3-у й 2-у операції. Але 1-а й 4-а операції непорівнянні, тому що прибутковість 4-ой операції більше, але й ризик її теж більше, ніж прибутковість і ризик 1-ой операції, отже, 1-я операція є оптимальною по Парето. Для знаходження кращої операції можна застосувати формулу, що зважує, що для пар дає одне число, по якому можна визначити кращу операцію. Допустимо, що формулою, що зважує, буде , тоді:

Звідси видно, що 1-а фінансова операція - краща, а 2-а - гірша.

8. Оптимальний портфель цінних паперів

Задача про формування оптимального портфеля цінних паперів - це задача про розподіл капіталу, що учасник ринку хоче витратити на покупку набору цінних паперів, по різних видах цінних паперів, що задовольняють можливість одержання деякого доходу.

З характеристик цінних паперів найбільш значимі дві: ефективності й ризикованість. Так як ефективність - це деякий узагальнений показник доходу або прибутку, те її вважають випадковою величиною, а її математичне очікування позначають як . Ризикованість цінних паперів ототожнюють із середнім квадратичним відхиленням, при цьому дисперсію звичайно називають варіацією й позначають як , тобто:

, де

Приймемо наступні позначення:

Номер виду цінних паперів

Частка капіталу, витрачена на закупівлю цінних паперів i-го виду (сума всіх часток дорівнює одиниці)

Ефективність цінних паперів i-го виду, що коштують одну грошову одиницю

Математичне очікування ефективності

Коваріація цінних паперів i-го й j-го видів

Варіація (дисперсія) ефективності

Ризикованість цінних паперів i-го виду

Ефективність портфеля (набору) цінних паперів

Тоді, математичне очікування ефективності портфеля цінних паперів:

варіація портфеля цінних паперів:



ризик портфеля цінних паперів:

Отже, математична формалізація задачі формування оптимального портфеля цінних паперів:

Знайти такий розподіл часток капіталу, що мінімізує варіацію ефективності портфеля, при заданій очікуваній ефективності портфеля .

Тоді, якщо оптимальне рішення позначити як *, те:

означає рекомендацію вкласти частку капіталу в цінні папери i_ го виду

Означає можливість проведення операції “short sale”, тобто короткострокового вкладення частки капіталу в більше дохідні цінні папери

Якщо на ринку є без ризикові цінні папери, то рішення задачі про формування портфеля цінних паперів здобуває нова якість.

Нехай:

Ефективність без ризикових цінних паперів

Частка капіталу, вкладеного в без ризикові цінні папери

Середня очікувана ефективність ризикової частини портфеля

Варіація ризикової частини портфеля

Середнє квадратичне відхилення ефективності ризикової частини портфеля

Тоді в ризикову частину портфеля вкладена частина всього капіталу, а тому що вважається, що без ризикові цінні папери не корельовані з іншими, те очікувана ефективність усього портфеля цінних паперів:



варіація портфеля цінних паперів:

ризик портфеля цінних паперів:

Допустимо, що завдання полягає в знаходженні розподілу капіталу, при формуванні оптимального портфеля цінних паперів заданої ефективності, що складає із трьох видів цінних паперів: без ризикових ефективності 3 і ризикових, з очікуваною ефективністю 5 і 9, ризики яких рівні 4 і 6, тобто:

, , , ,

Тоді, варіації не корельованих ризикових цінних паперів першого й другого виду:

Отже, матриця коваріацій ризикових видів цінних паперів і вектор _ стовпець очікуваної ефективності ризикових видів цінних паперів мають вигляд:

задача лінійний двоїстий динамічний прибутковість

Нехай - двомірний вектор-стовпець, компоненти якого рівні 1, тобто:

Тоді значення вектора-стовпця оптимальних значень часток, вкладених у ризикову частину портфеля цінних паперів:

Де:

Таким чином:

Таким чином, частки ризикових цінних паперів в оптимальному портфелі:

,

Отже, частка без ризикових цінних паперів в оптимальному портфелі:

Так як необхідність проведення операції “short sale” виникає, коли , те в цьому випадку, необхідність проведення операції “short sale” виникає, коли :

, тобто коли .

Висновок

У дипломній роботі були ретельно проаналізовані основні типи лінійних та нелінійних задач, які широко застосовані у економічної діяльності. Усі задачі мають різні цілі, але усі вони направлені на мінімізацію ризиків та отримання прибутків.

При використанні цих алгоритмів треба передбачати і інші економічні умови, однак ці алгоритми перевірені часом і успішно застосовуються у фінансовій діяльності.

Література

1.Матвєєв В.А. Кінцеві ігри й рівноваги. - К., 2004

2.Аладьєв В.З., Богдявичюс М.А. MAPLE 6: Рішення математичних, статистичних і физико - технічних задач - К., 2006

3.Петросян Л.А., Зенкевич Н.А., Семина Е.А. Теорія ігор. - К., 2003

4. Акулич І.Л. Математичне програмування в прикладах і задачах. - К., 1993.

5.Воробйов Н.Н. Основи теорії ігор. - К., 1984.

6.Прохоров Г.В., Колбєєв В.В., Желнов К.І., Леденев М.О..Математичний пакет Maple V Release 4. - К., 1998

Размещено на Allbest.ru