Вивчення клітинного простору
Основні поняття клітинної структури топології, її специфіка. Основна сутність теорем, що свідчать про корисність поняття клітинного простору для гомотопичної топології. Топологія як основа для систематизації знань по багатьом розділам вищої математики.
| Рубрика | Математика |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 28.01.2011 |
| Размер файла | 1,3 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
3
Размещено на http://www.allbest.ru/
Курсова робота
Вивчення клітинного простору
Зміст
Введення
1. Основні визначення
1.1Термінологічні зауваження
1.2 Коментарі до визначення клітинного простору
2. Клітинні розбивки класичних просторів
2.1 Сфери й кулі
2.2 Проективні простори
2.3 Різноманіття Грассмана
2.4 Різноманіття прапорів
2.5 Класичні поверхні
3. Гомотопічнее властивості клітинних просторів
3.1 Теорема Борсука про продовження гомотопій
3.2 Наслідки з теореми Борсука
3.3 Теорема про клітинну апроксимацію
3.4 Доказ леми про вільну крапку
3.5 Перші застосування теореми про клітинну апроксимацію
Висновок
Список джерел
Введення
клітинна топологія вища математика
У системі вищої освіти досить значну роль грає гомотопична топологія, що майже ніколи не розглядає зовсім довільних топологічних просторів. Звичайно вона вивчає простори з тією або іншою додатковою структурою, причому із часів основоположника топології Анри Пуанкаре розглядають структури двох типів. Перший тип - структури аналітичного походження: диференціальна, ріманова, симплектична й т.д. Структури другого, більше важливого для нас типу - комбінаторні структури. Вони полягають у тім, що простір розчленований на більш-менш стандартні, і вивчення простору зводиться до вивчення взаємного розташування цих частин.
Одна з найважливіших з комбінаторних структур - клітинна структура. У гомології вона є ефективним обчислювальним засобом.
Дана робота присвячена вивченню клітинної структури, приведенню деяких теорем, що свідчать про корисність поняття клітинного простору для гомотопичної топології., а так само підтверджувальну необхідність вивчення розглянутої теми й всієї топології в цілому, як основи для систематизації знань по багатьом розділам вищої математики.
1. Основні визначення
Клітинний простір - це топологічний простір ДО, представлене у вигляді об'єднання попарно непересічних множин ("кліток") таким чином, що для кожної клітки існує відображення q-мірної кулі в ДО (характеристичне відображення, що відповідає клітці ), звуження якого на внутрішність Int кулі являє собою гомеоморфізм Int ?. При цьому передбачаються виконаними наступні аксіоми.
(С) Границя = ? клітки втримується в об'єднанні кінцевого числа кліток з r < q.
(W) Множина F До замкнуто тоді й тільки тоді, коли для будь-якої клітки замкнуте перетинання F .
(Іноді характеристичні відображення вважаються фіксованими, тобто розглядаються як елемент структури. Зрозуміло, така модифікація визначення буде явно обмовлятися)
1.1 Термінологічні зауваження
1. Термін "клітинний простір" не є абсолютно загальноприйнятим: говорять також "клітинну розбивку" або "клітинний комплекс" або " CW-Комплекс". Вираження "клітинна розбивка" ми будемо вживати як синонім вираження "розбивка простору на клітки"; термін же "комплекс" буде в нас уживатися винятково в алгебраїчному значенні.
2. Позначення аксіом (З) і (W) є стандартними; вони походять від англійських слів "closure finite" і "weak topology".
Клітинний підпростір клітинного простору K - це замкнута його підмножина, складена й цілих кліток; клітинні підпростори є самостійними клітинними просторами. Найважливіші клітинні підпростори клітинного простору - його кістяки: n-й ост є об'єднання всіх кліток розмірності n (по визначенню, розмірність клітки дорівнює q). Стандартні позначення для n-го кістяка простору або X. До речі, деякі говорять " n-мірний кістяк", але це неправильно: розмірність клітинного простору визначається як верхня грань його кліток, і, мабуть, розмірність n-го кістяка менше або дорівнює n. Клітинний простір називається кінцевим (рахунковим), якщо воно складається з кінцевого (рахункового) числа кліток.
Помітимо, що для кінцевих клітинних просторів аксіоми (З) і (W) перевіряти не потрібно: вони виконуються автоматично.
1.2 Коментарі до визначення клітинного простору
1. Замикання клітки може не бути клітинним простором. Приклад: розбивка букета на клітки , і ( ) - робить його клітинним простором, але якщо а не є відзначена крапка окружності , то замикання останньої клітки не є підпростором (див. мал.1).
Мал.1
2. З (W) не треба (З). Розбивка диска D2 на внутрішність Int D2 і окремі крапки граничної окружності задовольняє аксіомі (W) (тому що завжди F Int D 2 = F), але не задовольняє аксіомі (З).
3. З (З) не треба (W). Візьмемо нескінченне сімейство ¦б=1,2,…копій відрізка I, ототожнимо нульові кінці й множину, що вийшла, за допомогою метрики: відстань між крапками , дорівнює , якщо , і дорівнює , якщо . Розбивка побудованого простору на множини й крапки, що залишилися, не задовольняє, з умов, що входять у визначення клітинного простору, тільки аксіомі (W): крапки становлять послідовність, що сходиться до 0, і, виходить, незамкнута множина, але перетинання цієї послідовності із замиканням будь-якої клітки замкнуто.
До речі, якщо, як це тільки що було, розбивка простору на клітки задовольняє всім умовам з визначення клітинного простору, крім аксіоми (W), те можна послабити в цьому просторі топологію, визначивши нову топологію за допомогою аксіоми (W). Ця процедура називається "клітинним ослабленням топології".
2. Клітинні розбивки класичних просторів
2.1 Сфери й кулі
При кінцевому n є дві канонічних клітинних розбивки сфери . Перше складається із двох кліток: крапки (кожної, скажемо, (1,0,... ..., 0)) і множини (мал.2а). Характеристичне відображення , що відповідає другій клітці, - це звичайне "згортання" сфери з кулі; годиться, наприклад, відображення, що діє по формулі , де (мал.3).
Мал.2
Мал.3
Інша канонічна клітинна розбивка сфери складається з 2n +2 кліток : клітка складається із крапок , у яких і (мал.2б). Піклуватися про характеристичні відображення тут не доводиться: замикання кожної клітки очевидним образом гомеоморфно кулі відповідної розмірності.
Помітимо, що обоє описані клітинні розбивки сфери виходять із єдиної можливої розбивки сфери (двокрапки) за допомогою застосування канонічної конструкції клітинної розбивки надбудови: у першому випадку потрібно брати надбудову над сферою як над простором з відзначеною крапкою, а в другому випадку - звичайну надбудову.
Існує, звичайно, маса інших клітинних розбивок сфери : її можна розбити на 3n+1 - 1 кліток як границю (n+1) - мірного куба, на кліток - як границю (n+1) - мірного симплекса й т.п. .
Всі описані клітинні розбивки, крім найпершого, годяться для сфери .
Клітинна розбивка кулі можна одержати з будь-якої клітинної розбивки сфери шляхом приєднання однієї клітки Int з характеристичним відображенням id: . Найбільш ощадлива клітинна розбивка кулі складається, таким чином, із трьох кліток. Правда, жодне із цих розбивок не годиться для кулі .
2.2 Проективні простори
При ототожненні діаметрально протилежних крапок сфери клітки - клітинної розбивки склеюються між собою й виходить (n+1) - клітинна розбивка простору R , по одній клітці в кожній розмірності q?n. Ця ж розбивка можна описати так:
R ¦ .
Ще один опис цієї розбивки: є ланцюжок включень
R R R R ,
і ми думаємо eq = R - R . Характеристичним відображенням для eq служить композиція канонічної проекції Dq R і включення R R . При n= наша конструкція доставляє клітинну розбивку простору R , що містить по одній клітці кожної розмірності. Конструкція має також комплексний, кватернионні аналоги. Вона дає: розбивку простору З на клітки розмірностей 0, 2, 4,..., 2n; розбивка простору H на клітки розмірностей 0, 4, 8,..., 4n; розбивка простору СаР2 на клітки розмірностей 0,8,16; клітинні розбивки просторів С и H , що містять по одній клітці в кожній розмірності, що ділиться, відповідно, на 2 і 4. Наприклад, простір З розбивається на клітки
С:
с характеристичними відображеннями
C С.
2.3 Різноманіття Грассмана
Описуване нижче клітинна розбивка різноманіть Грассмана дуже важливо для геометрії й топології (особливо для теорії характеристичних класів). Тридцятилітні його клітки називаються клітками Шуберта, а саме воно називається шубертовським.
Нехай - довільна кінцева (можливо, порожня) не зростаюча послідовність цілих позитивних чисел, що не перевершують k, причому s ? n - k. Позначимо через e ( ) підмножина простору G (n,k), складене з підпросторів простору R , що задовольняють наступним умовам (ми думаємо =0):
R при m ? k - m ;
codim ( R ) =про при ;
R при m ? k + s + 1
(ми вважаємо, що Ra R при a < b: ). Приведемо інше, більше простий опис множини e ( ). Нагадаємо, що діаграма Юнга набору - це фігура, що рисується на картатому папері, як показано на мал.4а (стовпці мають довжини ).
Число кліток діаграми Юнга дорівнює . Можна вважати, що клітки простору G (n,k) відповідають діаграмам Юнга, що вміщається в прямокутник k (n - k) (мал.4а). Розглянемо діаграму Юнга набору й розташуємо неї, як показано на мал.4б. Товста лінія на цьому малюнку являє собою графіка деякої неубутної функції , і множина e ( ) задається умовою dim ( R ) = (m). Через наявність такого простого опису, множина e ( ) позначають іноді через е ( ), де - позначення для діаграми Юнга набору ( ). Ще раз помітимо, що розмірність клітки е ( ) дорівнює числу кліток діаграми .
Лема. Множина e ( ) гомеоморфно R .
Доказ. Розчленуємо діаграму Юнга набору ( ), як показано на мал.4в. Поставимо в клітках уздовж косих ліній одиниці, у Заштриховані клітки - довільні числа й в інші місця - нулі. Вийде k n-матриця, рядки якої становлять базис деякого k-мірного підпростору простору R . Легко зрозуміти, що цей підпростір належить e ( ) і що всякий підпростір, що належить e ( ), має єдиний базис зазначеного виду. Одержуємо параметризацію клітки e ( ) наборами із чисел (числа в заштрихованих клітках).
Мал.4
Насправді вірно більше: множини e ( ) становлять клітинну розбивку простору G (n, k). Для доказу потрібно побудувати характеристичні відображення, тобто продовжити побудовані гомеоморфізми Int R e ( ) до безперервних відображень G (n, k), що відображають сферу в об'єднання кліток менших розмірностей.
Чудова властивість шубертовських кліток полягає в тому, що при природних вкладеннях G (n, k) в G (n+1, k) верб G (n+1, k+1) клітка e ( ) гомеоморфно накладається на клітку того ж найменування. Отже, простір G ( ,k) розбивається на клітки Шуберта, що відповідають діаграмам Юнга, що втримується в горизонтальній напівсмузі висоти k, а простір G ( , ) розбивається на клітки, що відповідають усім без винятку діаграмам Юнга. У всіх випадках розмірності кліток дорівнюють числам кліток діаграм Юнга.
Комплексні аналоги шубертовських кліток очевидні; зрозуміло, розмірності комплексних і кватернионних аналогів кліток Шуберта відповідно в 2 і 4 рази перевершують числа кліток відповідних діаграм Юнга.
2.4 Різноманіття прапорів
Клітки простору F (n; ) відповідають наборам цілих чисел, що приймають значення 1,…,s+1,причому рівно із цих чисел рівні j (j=1,…,s+1;ми вважаємо, що k =0 і k =n). Клітка е [ ], що відповідає набору ( ), складається із прапорів V V , у яких
dim {
(ми вважаємо, що V =0 і V є весь простір R ) або, інакше,
dim (V R ) = card {р ? i¦kp ? j }.
Розмірність клітки е [ ] дорівнює числу пар (i, j), для яких i<j, > .
Зокрема, різноманіття F (n; 1,...,n-1) повних прапорів розбите на n! кліток, що відповідають звичайним перестановкам чисел 1,..., n, причому розмірність клітки дорівнює числу інверсій у перестановці.
Якщо різноманіття прапорів є різноманіття Грассмана G (n, k), то s = 1 і набір складається з k одиниць і n-k двійок. Побудуємо по цьому наборі n-звену ламану на площині, що починається в крапці (0, k) і кінчається в крапці (n-k, 0). Усе ланки ламаної мають довжину 1, причому i-e ланка спрямована долілиць, якщо = 1, і вправо, якщо = 2. Ця ламана обмежує (разом з координатними осями) деяку діаграму Юнга , і легко зрозуміти, що е [ ] = е ( ).
Помітимо на закінчення, що клітки е [ ] (і їх комплексні аналоги) можуть бути описані чисто груповим образом: це - орбіти групи нижніх трикутних n n-матриць із одиницями на діагоналі, що природно діє в різноманітті прапорів. Саме, клітка е [ ] є орбіта прапора, i-е простір якого породжене координатними векторами, номера р яких задовольняють нерівності < i.
2.5 Класичні поверхні
Клітинні розбивки поверхонь S2 і RP2 нами вже побудовані. Клітинні розбивки інших поверхонь без краю автоматично виходять при склеюванні цих поверхонь із багатокутників: двовимірна клітка виходить із
внутрішності багатокутника, одномірні клітки - з його (відкритих) ребер, нульмерні клітки - з його вершин. Канонічна клітинна розбивка кожної класичної поверхні має одну двовимірну й одну нульмерну клітку. Крім того, сфера з g ручками має 2g одномірних кліток (див. мал.5), проективна площина з g ручками має 2g +1 одномірну клітку й пляшка Клейна з g ручками має 2g +2 одномірних кліток.
Мал.5
3. Гомотопічнее властивості клітинних просторів
3.1 Теорема Борсука про продовження гомотопій
Визначення. Пари (X, А) називається парою Борсука (або корасслоением), якщо для будь-якого простору Y і будь-якого безперервного відображення F: Х Y усяка гомотопія ft: А Y, така, що f = F¦ А, може бути продовжена до гомотопій Ft: Х Y, у якої F0 = F.
Теорема Борсука. Якщо X - клітинний простір і А - його клітинний підпростір, то (X, А) - пари Борсука.
Доказ. Нам дані відображення Ф: А I Y (гомотопія ft) і F: X 0 Y, причому F ¦ = Ф¦ . Продовжити гомотопію ft до гомотопій Ft - це значить продовжити відображення F до відображення F': X I Y, такого, що F' ¦ = Ф. (Продовження ми зробимо індуктивне по розмірності кліток простору X, що не входять в А. Початковим кроком індукції служить продовження відображення Ф на (A X ) I:
F' (x, t)
={
Допустимо тепер, що відображення F' уже визначене на (A X ) I. Візьмемо довільну (n+ 1) - мірну клітку e Х - A. По припущенню, F' задано на множині ( ) I, тому що границя = клітки втримується в X по визначенню клітинного простору. Нехай f: D X - характеристичне відображення, що відповідає клітці . Нам треба продовжити F' на внутрішність "циліндра" f (D ) I з його "стінки" f (S ) I і "дна" f (D ) 0. Але з визначення клітинного простору ясно, що це однаково, що продовжити відображення F' f: (S I) (D 0) Y до безперервного відображення ': D I Y.
Нехай : D I (S I) (D 0) - проектування циліндра D I із крапки, що лежить поза циліндром поблизу верхньої підстави D I (див. Мал.6); це відображення тотожно на (S I) (D 0). Відображення ' ми визначаємо як композицію
D I (S I) (D 0) Y.
Цю процедуру можна проробити незалежно для всіх (n + 1) - мірних кліток простору X, і ми одержуємо продовження відображення F' на (A X ) I.
Мал.6
Так, ост за кістяком, ми будуємо бажане продовження відображення Ф до відображення F: X I Y. Підкреслимо, що якщо простір X, та наша індуктивна побудова буде складатися з нескінченного числа кроків; у цьому випадку безперервність остаточного відображення буде випливати з аксіоми (W). Теорема доведена.
3.2 Наслідки з теореми Борсука
Наслідок 1. Нехай X - клітинний простір і А - його клітинний підпростір. Якщо А тягнемо по собі в крапку, то X/А ~ X.
Доказ. Позначимо через проектування X Х/А. Тому що А тягнемо, то існує гомотопія ft: А А, така, що відображення f0: А А тотожно й f (A) є крапка. У силу теореми Борсука, існує гомотопія Ft: Х Х, така, що F0 = id і Ft¦A =ft. B частковості F (A) =* (крапка). Це означає, що можна розглядати як відображення, задане на Х/А, точніше, що F = q p, де q: Х/А X - деяке безперервне відображення. По побудові, F ~F0, тобто q p ~ id .
Далі, Ft (А) А (при будь-якому t), тобто р Ft (А) = *. Отже, р Ft = = qt р, де qt: Х/А Х/А - деяка гомотопія. При цьому q = id иq = р q; отже, р q ~ id .
Наслідок доведений.
Наслідок 2. Якщо X - клітинний простір і А - його клітинний підпростір, то Х/А ~ X СА, де СА - конус над А.
Доказ. Х/А = (X СА) /СА ~Х СА; останнє випливає з попереднього наслідку, застосованого до клітинного простору X СА і його клітинному підпростору, що стягається, СА.
Зауваження. Обоє доведених пропозиції можна розглядати не як наслідки з теореми Борсука, а як самостійні теореми, тільки припущення про клетковість X і А потрібно тоді замінити в першому випадку припущенням, що (X, А) - пари Борсука, а в другому випадку - припущенням, що (X СА, СА) - пари Борсука.
3.3 Теорема про клітинну апроксимацію
Теорема. Усяке безперервне відображення одного клітинного простору в інше гомотопно клітинному відображенню.
Ми будемо доводити наступне, більше сильне твердження ("відносний варіант" нашої теореми).
Теорема. Нехай f - безперервне відображення клітинного простору X у клітинний простір Y, причому на клітинному підпросторі А простору X відображення f клеточно. Тоді існує таке клітинне відображення g: X Y, що g¦A =f¦A і, більше того, f~g relA.
Пояснимо запис f~g relA (читається: f гомотопно g відносно А), що ми будемо користуватися й далі. Вона застосовується в ситуації, коли безперервні відображення f, g: X Y збігаються на підпросторі А простору X і означає, що існує гомотопія h : Х Y, що з'єднує f с g и нерухлива на А, тобто така, що ht (а) не залежить від t при а А. Звичайно, з f~ g relА треба, що f ~ g, але не навпаки. Приклад: f,g: I S , f - "навернення" відрізка на окружність, g - відображення в крапку; ці відображення гомотопні, але не гомотопні rel (0 1).
Доказ теореми. Припустимо, що відображення f уже зроблене клітинним не тільки на всіх клітках з А, але й на всіх клітках з X, що мають розмірність < р. Візьмемо р-мірну клітку ер X - А. Її образ f (ep) перетинається лише з кінцевим числом кліток простору Y (це треба з компактності f ( p)). Виберемо серед цих кліток простору Y клітку найбільшої розмірності, скажемо, , dim = q. Якщо q? р, те нам із кліткою ер робити нема чого. У випадку ж q >р нам буде потрібно наступна лема.
Лема про вільну крапку. Нехай U - відкрита підмножина простору Rp і : U IntDq - таке безперервне відображення, що множина V = (dq) U, де dq - деяка замкнута кулька в IntD , компактно. Якщо q> р, то існує безперервне відображення : U Int Dq, що збігається з поза
V і таке, що його образ не покриває всього кулі dq.
Доказ цієї леми (і обговорення її геометричного значення) ми відкладемо до наступного пункту; обмежимося лише важливим зауваженням, що відображення автоматично буде гомотопним відносно U - V: досить взяти єднальну з "прямолінійну" гомотопію, при якій крапка (u) рівномірно рухається до (u) крапки по прямолінійному відрізку, що з'єднує (u) з (u).
Завершимо доказ теореми. З леми про вільну крапку випливає, що звуження f¦ гомотопно rel (A X ) відображенню f': A X е р Y, такому, що f' (ep) зачіпає ті ж клітки, що й f (e р), але свідомо f' (ep) не містить всю клітку . Справді, нехай h: Dp Х, k: Dp Y - характеристичні відображення, що відповідають кліткам ер, . Покладемо U= h (f ( ) ер) і визначимо відображення : U Int Dq як композицію:
u x y = (u)
U e f ( ) Int Dq Позначимо через dq (замкнутий) концентричний підшар кулі Dq. Множина V= (dq) компактно (як замкнута підмножина кулі Dp). Нехай : U IntDq - відображення, що доставляється лемою про вільну крапку. Відображення f' визначимо як співпадаюче з f поза h (U) і як композицію
x u y = f' (x)
h (U) U Int Dq Y
на h (U). Ясно, що відображення f' безупинно (воно збігається з f на "буферній множині" h (U - V)) і гомотопно f¦ rel (A X ), і навіть rel (A X (e -h (V)))) (це випливає з гомотопності ~ rel (U - V)). Ясно також, що f' (ep) не покриває eq.
Подальше міркування зовсім просто. По-перше, нерухливу на A Х гомотопію між f¦ і f' ми можемо поширити, по теоремі Борсука, на всі X, і це дозволяє вважати, що відображення f', що володіє всіма перерахованими вище властивостями, визначено на всім X. Після цього ми беремо крапку в0 , не приналежну f' (ер), і піддаємо f'¦ "радіальної гомотопії": якщо крапка x ep не належить f' ( ),To f' (x) стоїть на місці, а якщо f' (x) , те f' (x) рухається по відрізку, що йде із крапки в0 на границю клітки (точніше кажучи, по k-образі прямолінійного відрізка, що починається в крапці k (в0) минаючі через крапку k (f' (x)) k (в0) і кулі, що кінчається на граничній сфері S, Dq). Цю гомотопію ми продовжуємо до гомотопії відображення f'¦ (нерухливої поза ер) і - по теоремі Борсука - до гомотопії всього відображення f': Х Y. відображення, Що Виходить, f'' гомотопно f ге1 (A Х ) і володіє тим властивістю, що f'' (ep) зачіпає q-мірних кліток на одну менше, ніж f (р р) (і, як і f (ep), не зачіпає кліток розмірності >q). Застосувавши цю процедуру потрібне число раз, ми прогомотопируємо відображення f до відображення, клітинному на A Х ep, причому гомотопія буде нерухливої на A Х.
Тепер помітимо, що "виправлення" відображення f, що ми проробили для клітки ер, можна дослівно так само проробити одночасно для всіх р-мірних кліток з X - А. Тоді ми прийдемо до відображення, клітинному на A Хр і гомотопному f rel (A Х ).
Нерухливу на А гомотопію, що зв'язує відображення f із клітинним відображенням, ми одержимо, якщо проробимо послідовно побудовані гомотопії при р = 0, 1,2,... Правда, число цих гомотопії може бути нескінченно, але це не лихо: р-ю гомотопію ми робимо на відрізку 1 - 2 ?t? 1 - 2 . Безперервність всієї гомотопії забезпечується аксіомою (W): для кожної клітки е з X гомотопія буде нерухливої, починаючи з деякого te < 1. Теорема доведена.
3.4 Доказ леми про вільну крапку
Для людини, не зіпсованого популярною математичною літературою, сама формулювання леми здалося б безглуздої: як же безперервний образ простору меншої розмірності може покрити простір більшої розмірності? Але хто ж не знає, що це буває: крива Пеано, розпропагована нітрохи не менше, ніж, скажемо, пляшка Клейна, здійснює безперервне (і навіть взаємно однозначне) відображення відрізка на квадрат. Тому лему доводиться доводити, і справа ускладнюється тим, що геометрична інтуїція допомогти отут не може, вона завзято повторює своє: таке взагалі неможливо. З подібними труднощами зіштовхуються щораз, коли "строге" визначення того або іншого поняття (у цьому випадку - -визначення безперервності) не цілком відповідає вихідному інтуїтивному поданню: доводиться вникати в пристрій не реального об'єкта, а химери. Але нічого не поробиш - довести лему треба.
В основі другого доказу леми лежить поняття тріангуляції. Нагадаємо, що q-мірний евклідів симплекс є підмножину простору R , n ? q, що є опуклою оболонкою q + 1 крапок, що не лежать в одній (q - 1) - мірної площини. (Евклідові симплекси розмірностей 0, 1, 2, 3: крапка, відрізок, трикутник, тетраедр.) Ці q+ 1 крапок називаються вершинами симплекса. Подсимплекси, тобто опуклі оболонки різних підмножин множини вершин, називаються гранями нашого симплекса; це - симплекси розмірності ?q. Нульмерна грань - це вершина. Чудова властивість симплекса полягає в тім, що його лінійне відображення в будь-який простір Rm визначається своїми значеннями на вершинах, причому ці значення можуть бути зовсім довільні. Кінцева тріангуляція підмножини евклідова простору - це таке його кінцеве покриття евклідовими симплексами, що будь-які два симплекси або не перетинаються зовсім, або перетинаються по цілій грані. Зручно вважати, що грані симплексів тріангуляції також належать до числа симплексів тріангуляції.
Барицентричний підрозділ q-мірного симплекса полягає в тому, що цей симплекс розбивається на (q + 1) ! більше дрібних q-мірних симплексів. Вершини нових симплексів - це центри ваги граней старого симплекса (у тому числі - його самого). Множина {х0, х ,..., xq) цих центрів є множиною вершин деякого симплекса барицентричного підрозділу, якщо відповідні грані 0, ,..., q можна скласти в ланцюжок послідовно вкладених друг у друга, див. мал.7. (По-іншому барицентричний підрозділ q-мірного симплекса можна описати так: спочатку піддаються барицентричному підрозділу всі його (q - 1) - мірні грані, а потім над всіма побудованими симплексами, що лежать на границі симплекса , будуються конуси з вершиною в центрі цього симплекса; почати це індуктивне визначення можна з q = 0: з нульмерним симплексом при підрозділі нічого не відбувається. Ще по-іншому: симплекс - його сукупність крапок виду , де - вершини, t ? 0 і t = 1; симплекси підрозділу відповідають перестановкам (i0, i ,..., iq) чисел 0, 1,..., q; симплекс, що відповідає цій перестановці, складається із крапок
t с.
Барицентричний підрозділ тріангуляції - це тріангуляція, складена із симплексів барицентричних підрозділів симплексів вихідної тріангуляції (мал.8).
Звернемося тепер до нашого відображення . Насамперед ми побудуємо в кульці d = dq концентричні кульки d , d2, d3, d радіусів /5, 2/5, З /5,4/5, де -радіус кульки d. Далі, покриємо V кінцевим числом р-мірних симплексів, що втримуються в U, і об'єднання до цих симплексів (об'єднання кінцевого числа як завгодно пересічних евклідових симплексів в Rp має кінцеву тріангуляцію). Застосувавши до цієї тріангуляції достатнє число
Мал.7 Мал.8
раз барицентричний підрозділ, ми можемо домогтися того, щоб для будь-якого симплекса тріангуляції виконувалася нерівність diam ( ) < /5. Нехай K1 - об'єднання симплексів побудованої тріангуляції нашої множини ДО, -образи яких перетинаються з d4. Тоді d4 < (U) (K1) d. Розглянемо відображення ': К1 d, що збігається з на вершинах тріангуляції й лінійне на кожному симплексі. Відображення ¦K і ' гомотопні - вони з'єднуються прямолінійної гомотопією t: K1 d, 0= ¦K, 1 = '. Тепер "зшиємо" відображення й ' у відображення : U IntDq:
(u), якщо (u) d3, (u) = ' (u), якщо (u) d2, 3-5 (u) (u), якщо (u) d3-d2.
Тут (u) - відстань від крапки (u) до центра кулі d. (Див. мал.9)
Мал. 9
Відображення безупинно, збігається з на U - V і його образ перетинається з d1 по кінцевому числу шматків р-мірних площин, тобто всього кулі d1 (а виходить, і всього кулі d) не покриває.
Лема доведена.
3.5 Перші застосування теореми про клітинну апроксимацію
Теорема. Якщо X - клітинний простір з єдиною вершиною (= нульмерной кліткою), що не має інших кліток розмірності <q, a Y - клітинний простір розмірності <q, то всяке відображення Y X гомотопно відображенню, що переводить всі Y у крапку. Таке ж твердження справедливо в категорії просторів з відзначеними крапками (у клітинній ситуації зручно вважати, що відзначеними крапками є нульмерні клітки).
Це прямо треба з теореми про клітинну апроксимацію: якщо f: Y X - клітинне відображення, те тому що q-й ост простору Y є всі Y, а q-й ост простору X є крапка, то f (Y) - крапка.
Зокрема, якщо m < q, те (Sm, Sq) = b (Sm, Sq) = 0 (тобто складається з одного елемента).
Простір X називається n-зв'язковим, якщо при q ? n множина (Sq, X) складається з одного елемента (тобто якщо будь-які два відображення Sq X з q ? n гомотопні).
Теорема. Усякий п-зв'язний клітинний простір еквівалентний клітинному простору з єдиною вершиною й без кліток розмірностей 1, 2,..., n.
Доказ. Виберемо в нашім просторі X вершину е0 і з'єднаємо з нею інші вершини шляхами. Це можна зробити, тому що простір n-складно й, зокрема, лінійно складно. (Шляхи можуть перетинатися) Використовуючи теорему про клітинну апроксимацію, ми можемо домогтися того, щоб ці шляхи лежали в одномірному кістяку простору X. Нехай si - шлях, що з'єднує вершину е0 з вершиною еi. Приклеїмо при кожному i до X двовимірний диск по відображенню нижнього півкола в X за допомогою шляху si (мал.10).
Мал.10
Одержимо новий клітинний простір X, що буде містити X і, крім того, клітки е , е (верхні півкола й внутрішності приклеєних писків). Те, що границі кліток е лежать в одномірному кістяку, випливає з того, що цією властивістю володіють шляхи si. Ясно, що X є деформаційний ретракт в : кожний диск можна зім'яти на нижнє півколо.
Позначимо через Y об'єднання замикань кліток еi1. Очевидно, Y тягнемо; отже, /Y ~ ~ X. Але в /Y усього одна вершина.
Подальше міркування зовсім аналогічно. Припустимо, що X ~ X', причому X' має єдину вершину й не має кліток розмірностей 1,2,..., k - 1, де k?n. У цьому випадку замикання кожної k-мірної клітки ставши собою k-мірну сферу. Через n X (і, отже, X') включення цієї сфери в X' триває до безперервного відображення (k + 1) - мірної кулі, образ якого, через теорему про клітинну апроксимацію, можна вважати лежачої в (k + 1) - м кістяку простору X'. По цьому відображенню (яке ми вважаємо відображенням нижньої півсфери (k + 1) - мірної сфери) ми приклеюємо до X'. куля Dk+2, і подібним чином ми надходимо для кожної k-мірної клітки простору X'. Отриманий клітинний простір ' гомотопічне еквівалентно X' і містить стягається подпространство, ЩОМ, Y - об'єднання замикань всіх знову приклеєних (k + 1) - мірних кліток (верхніх півсфер приклеєних куль), що містить всі k-мірні клітки. Маємо: ' /Y ~ ' ~ X' ~ X, ' /Y має єдину вершину й не має кліток розмірностей 1,2,...,k.
Наслідок. Якщо клітинний простір X п-складно, а клітинний простір Y n-розмірно, то множина (Y, X) складається з одного елемента. Це ж вірно для b (Y, X), якщо X і Y мають відзначені крапки, що є вершинами.
Зауваження. Використана в доказі останньої теореми процедура знищення k-мірних кліток припускає приєднання кліток розмірності k + 2. У випадку, якщо задане n-зв'язний простір було (n + 1) - розмірно, це могло привести до збільшення розмірності. У дійсності можна довести, що всяке n-зв'язний клітинний простір розмірності n + 1 гомотопічне еквівалентно букету (n + 1) - мірних сфер.
Остання теорема має відносний варіант, для формулювання якого необхідне поняття n-зв'язної пари. Топологічна пара (X, А) називається n-зв'язковий, якщо всяке відображення (Dn, Sn-1) (X, А) гомотопно (як відображення пар) відображенню, що заганяє всі Dn в А.
Висновок
У даній курсовій роботі був зібраний і узагальнений матеріал, що стосується питань, пов'язаних з найважливішою комбінаторною структурою топології - клітинною структурою.
Ціль курсової роботи - вивчення основних понять клітинної структури топології, з'ясування її значимості - була досягнута.
Для досягнення мети була пророблена література, розглянуті визначення клітинного простору, клітинні розбивки класичних просторів, а також деякі теореми про клітинні простори.
Результати проробленої роботи можуть бути використані студентами фізико-математичних факультетів при вивченні розділів топології, а також для аналізу й систематизації курсів математичного аналізу, диференціальних рівнянь, диференціальної геометрії й інших дисциплін.
Список джерел
1. Болтянський В.Г., Охрімович В.А. Наочна топологія. - К., 2004
2. Борисович, Ю.Г. Введення в топологію. - К., 2003
3. Гарднер, М. Математичні дозвілля. - К., 2005
4. Зейферт Г., Трельфалль В. Топологія. - К., 2004
5. Куратовський, К. Топологія. - К., 2004
6. Рохлін, В.В., Фукс Д.Б. Початковий курс топології. Геометричного глави. - К., 2006
7. Спеньер, Е. Алгебраїчна топологія. - К., 2001
Размещено на Allbest
Подобные документы
Поняття відносини залежності, розгляд відносин залежності на різних множинах. Теорема довільних та транзитивних просторів залежності. Зв'язок транзитивних відносин залежності з операторами замикання. Поняття простору залежності, транзитивності, матроїда.
курсовая работа [293,3 K], добавлен 20.01.2011Бази топології і системи околів. Замикання множини. Аксіоми численності. Збіжні послідовності. Прямий добуток, компактність і неперервні відображення топологічних просторів. Математичний аналіз лема Бореля-Лебега. Розкриття поняття секвенційних просторів.
курсовая работа [358,3 K], добавлен 14.02.2016Математичний аналіз властивостей геометричних об'єктів, відкритих і замкнених множин. Основні приклади, спеціальні метрики та топологія повних метричних просторів. Теорема Бера про вкладені кулі. Визначення границі числової послідовності та повноти.
дипломная работа [2,3 M], добавлен 28.05.2019Поняття і сутність нарисної геометрії. Геометричні фігури як формоутворюючі елементи простору. Розв'язання метричних задач шляхом заміни площин проекцій. Плоскопаралельне переміщення та обертання навколо ліній рівня. Косокутне допоміжне проектування.
контрольная работа [324,9 K], добавлен 03.02.2009Визначення поняття математики через призму іонійського раціоналізму. Основні властивості правильних багатокутників і правильних багатогранників. Загальна характеристика внеску в розвиток головних засад сучасної математики видатних давньогрецьких вчених.
реферат [91,5 K], добавлен 15.02.2010Поняття та зміст математики як наукового напрямку, предмет та методи її вивчення. Характеристика праць та біографічні відомості вчених. Аналіз потенціальних можливостей вітчизняної науки. Метод радикального сумніву у філософії та механіцизму у фізиці.
презентация [761,5 K], добавлен 04.11.2013Теоретичні основи формування математичних понять. Поняття, як логіко-гносеологічна категорія. Об’єкт, поняття. Схожість їх і різниця. Суттєві і несуттєві властивості понять. Прийоми їх виявлення. Зміст і об’єм поняття, зв'язок між ними. Види понять.
дипломная работа [328,4 K], добавлен 21.07.2008Вивчення теорем Чеви та Менелая на площині та в просторі, доведення нетривіальних наслідків цих теорем та розв’язання задач за їх допомогою. Застосування Теореми Менелая при доведенні теорем (наприклад, теорем Дезарга, Паппа, Паскаля, Гаусса та інших).
дипломная работа [4,0 M], добавлен 12.08.2010Характеристика сферичної геометрії як галузі математики. Зв'язок між величинами сторін та кутів прямокутного сферичного трикутника. Використання теорем косинусів та синусів. Значення стереографічной сітки Вульфа. Розвиток поняття про геометричний простір.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 29.11.2014Характер давньогрецької математики та джерела. Характер давньогрецької математики та її джерела. Виділення математики в самостійну теоретичну науку. Формулювання теорем про площі і обсяги складних фігур і тіл. Досягнення олександрійських математиків.
курсовая работа [186,2 K], добавлен 22.11.2011
