Дифференциальные уравнения

Размещено на http://www.allbest.ru/

10

Содержание

Введение 2

Глава 1. Основные понятия и определения 5

1.1 Общие понятия 5

1.2 Геометрическая интерпретация 7

Глава 2. Решение дифференциального уравнения 10

2.1 Существование решения диф. уравнения первого порядка 10

2.2 Особое решение дифференциальных уравнений 13

2.3 Дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными 14

Заключение 23

Список использованной литературы 24

Введение

Исследование поведения различных систем (технические, экономические, экологические и др.) часто приводит к анализу и решению уравнений, включающих как параметры системы, так и скорости их изменения, аналитическим выражением которых являются производные. Такие уравнения, содержащие производные, называются дифференциальными. Рассмотрим следующий пример из области рекламного дела.

При организации продажи нового товара торговым предприятиям зачастую приходится прибегать к услугам рекламы. Для того, чтобы последняя была успешной и современной, необходимо знать закон распространения информации о новом товаре среди ее потенциальных покупателей. Найдем вид указанной закономерности при следующих предположениях относительно рассматриваемого процесса.

Пусть N - общее число потенциальных покупателей нового товара, x(t) - число покупателей, знающих к моменту времени t о поступлении в продажу нового товара, [N-x(t)] - число покупателей еще не имеющих информации о товаре.

Предположим, что информация о товаре распространяется среди покупателей посредством их общения между собой. Будем считать, что в течение достаточно малого промежутка времени возможна встреча лишь двух покупателей, и вероятность этой встречи считаем равной P. Вероятность того, что при встрече покупатель, знающий о товаре, встретиться с покупателем, еще не имеющем информации о товаре, равна (N-x)/N. Тогда скорость изменения величины x(t) в момент t равняется px(N-x)/N систематическому ожиданию числа покупателей впервые узнавших о товаре. Таким образом, получаем уравнение

 или .

Данное уравнение содержит величину x и ее производную , т.е. является дифференциальным. Решая полученное уравнение, найдем вид зависимости величины x от t:

,

где параметр A подбирается, исходя из условия x=x0 в некоторый момент t=t0. Например, если при t=0 величина x(0)=N ( - доля покупателей, обладающих информацией о товаре к началу рассматриваемого процесса), то . На рис. 1 показан график искомой функции x=x(t). В экономической литературе график известен как логистическая кривая.

Отметим, что логистическая кривая дает также представление о процессе распространения технологических новшеств, эпидемий и даже слухов.

В качестве второго примера рассмотрим задачу представления в виде уравнения однопараметрического семейства кривых, обладающих некоторым общим свойством.

Пусть однопараметрическое семейство кривых задается уравнением Ф(X,Y,C)=0, где C - параметр. Составим дифференциальное уравнение, которое описывает общее свойство присущее всем кривым данного семейства. Предположим, что отдельная кривая семейства заданных функций y=f(x,c). Тогда подставляя ее в общее уравнение семейства получаем тождество . Предполагая дифференцируемость функции Ф(X,Y,C) и дифференцируя Ф(x,f(x,c),c) по x, получаем

.

Рассматривая последнее вместе с уравнением Ф(x,y,c)=0, т.е. рассматривая систему

,

и исключая в ней параметр C, в результате получим дифференциальной уравнение

,

описывающее свойство присущее всем кривым семейства.

Например, пусть семейство кривых представляет семейство гипербол xy=c.

Дифференцируя данное уравнение по x, получаем .

Так как при этом автоматически произошло исключение параметра c, то последнее уравнение, являясь дифференциальным, представляет семейство вышеуказанных гипербол.

Глава 1. Основные понятия и определения

1.1 Общие понятия

Определение. Уравнение, связывающее функцию y, ее аргумент x и ее производные, называется обыкновенным дифференциальным уравнением.

Обыкновенное дифференциальное уравнение символически можно записать в виде

или .

Определение. Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение. Например:

А) является дифференциальным уравнением 1-го порядка;

Б) является дифференциальным уравнением 2-го порядка;

В) является дифференциальным уравнением n-го порядка.

Определение. Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y=f(x), которая, будучи подставлена в уравнение, обращает его в тождество. Например, пусть дано дифференциальной уравнение . Тогда любая функция вида y=c₁sinx+c₂cosx, где c₁, c₂ - произвольные постоянные, является решением этого уравнения.

Действительно, дифференцируя уравнение y=c₁sinx+c₂cosx дважды по x получаем . Подставляя выражения для и y в левую часть исходного дифференциального уравнения получаем

.

Процесс решения дифференциального уравнения называют интегрированием. Поэтому само решение называют еще интегралом уравнения.

Как правило, дифференциальному уравнению отвечает множество решений (смотрите вышеприведенный пример), задаваемых семейством функций y=f(x,c) в явном виде или Ф(x,y,c)=0 в неявном виде. В этих уравнениях с-параметр семейства. Таких параметров, вообще говоря, может быть несколько.

В общем случае обыкновенному дифференциальному уравнению n-го порядка отвечает семейство решений, содержащих n параметров.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется функция y=f(x, c₁, c₂, …, c_n), зависящая от аргумента x и n произвольных постоянных c₁, c₂, …, c_n, которая будучи подставлена в уравнение обращает его в тождество.

Отметим, что эта функция может задаваться и неявным образом, тогда она представляется уравнением Ф(x , y,c₁, c₂, …, c_n)=0.

Общее решение дифференциального уравнения называется также общим интегралом.

Чтобы из общего уравнения выделить некоторое конкретное частное решение дифференциального уравнения, необходимо задать значения для параметров c₁, c₂ , …, c_n. Обычно значения этих произвольных постоянных c₁, c₂ , …, c_n определяются заданием начальных условий: y(x₀)=y₀, . Эти начальные условия дают соответственно n уравнений

,

,

,

………………………………

,

решая которые относительно c₁, c₂ , …, c_n находят значения этих постоянных.

Например, для дифференциального уравнения 1-го порядка общее решение имеет вид y=f(x,c). Тогда начальное условие y(x₀)=y₀ выделяет из всего семейства интегральных кривых кривую, проходящую через точку M(x₀,y₀).

1.2 Геометрическая интерпретация

Геометрическое представление решения дифференциального уравнения рассмотрим на примере уравнения 1-го порядка вида .

В плоскости введем декартову систему координат с осями x и y. Каждой точке M(x,y) плоскости поставим в соответствие вектор , отложенный от точки M.

Таким образом дифференциальное уравнение порождает в плоскости XOY поле направлений (естественно, указанное поле существует только в области определения функции f(x,y)). Тогда решением дифференциального уравнения будет такая кривая, которая в каждой точке касается вектора поля направляющей.

Действительно, пусть y=h(x) уравнение указанной выше кривой. Тогда в каждой точке кривой касательная к ней имеет направление, где - угол наклона касательной к оси x. Из (условие касания кривой с вектором ) и равенства абсцисс векторов и вытекает тождество , выполняющееся в точках кривой y=h(x). Последнее означает, что y=h(x) является решением уравнения .

И обратно, если y=h(x) решение дифференциального уравнения , то . Последнее соотношение означает, в каждой точке кривой y=h(x) направление ее касательной совпадает с вектором поля направлений, т.е. в каждой точке кривая y=h(x) касается вектора поля направлений.

В качестве иллюстрации возьмем уравнение

.

Для построения поля направлений удобно использовать метод изоклин. Изоклина это линия в каждой точке которой вектор поля направлений одинаков. Таким образом, изоклины даются уравнением f(x,y)=, и каждой точке изоклины соответствует вектор .

Для рассматриваемого дифференциального уравнения изоклины задаются уравнением

или y=-x.

Как видно, изоклинами являются прямые, проходящие через точку начала координат. На рис. 2 изображены изоклины отвечающие значениям , черточками изображены направления векторов в таких изоклин. Из рис. 2 видно, что интегральные кривые уравнения напоминают гиперболы. Действительно, как будет показано ниже, общее решение рассматриваемого дифференциального уравнения имеет вид yx=c, т.е. задает семейство гипербол. Параметрам c>0 отвечают гиперболы I и III координатных узлов, значениям c<0 отвечают гиперболы II и IV координатных узлов.

Глава 2. Решение дифференциального уравнения

2.1 Существование решения дифференциального уравнения первого порядка

уравнение дифференциальный математический

Задано дифференциальное уравнение вида

или, иначе, .

Пусть y=y(x) - решение данного уравнения, удовлетворяющее начальному условию y(x₀)=y₀. Тогда из следует, что f(x,y(x)) - производная функции y(x) и, следовательно, y(x) - первообразная для f(x,y(x)). Если F(x) - некоторая другая первообразная для f(x,y(x)), то , как известно, y(x)=F(x)+c₀. Из y(x₀)=y₀, y(x₀)=F(x₀)+c₀ получаем c₀=y₀-F(x₀), т.е. y(x)=F(x)-F(x₀)+y₀.

Семейство всех первообразных для f(x,y(x)) представляется неопределенным интегралом . Тогда разность F(x)-F(x₀) равна значению определенного интеграла ,

И, следовательно, получаем

,

т.е. y(x) является решением интегрального уравнения

.

Задача поиска решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию y(x₀)=y₀, получила в литературе название задачи Коши.

Первое доказательство существования и единственности решения дифференциального уравнения было получено в 1820-1830 г.г. и связано с именем Коши (1789-1857).

Теорема. Пусть задано уравнение и начальные значения x₀,y₀.

Тогда если

А) функция f(x,y) непрерывна по обеим переменным x и y в замкнутой области ;

Б) функция f(x,y) удовлетворяет в областиR по переменной y условию Липшица, т.е. , где L - постоянная;

То существует единственное решение y=y(x) указанного уравнения, удовлетворяющее начальному условию y(x₀)=y₀ и являющееся непрерывно дифференцируемым в интервале , где .

Доказательство теоремы приводить не будем, укажем лишь, что может быть осуществлено методом последовательных приближений Пикара (1856-1941), использующего ранее приведенное интегральное уравнение.

Последовательность функций, дающих приближенное решение уравнения, строится по правилу:

,

,

………………………………

.

Далее можно показать, что функция дает единственное решение дифференциального уравнения в промежутке .

Выше был рассмотрен случай дифференциального уравнения первого порядка разрешенного относительно производной y^/.

Более общим видом является случай уравнения вида , не разрешимого относительно производной y^/.

Допустим, что данное уравнение может быть разрешено относительно y^/, и в общем случае это дает несколько вещественных уравнений (k=1,2,…,m).

Если при этом каждая из функций (k=1,2,…,m) удовлетворяет теореме существования и единственности решения, то через точку (x₀,y₀) будет проходить m интегральных кривых уравнения . Пусть при этом каждая точка кривой имеет свой наклон касательной, отличный от других кривых. В этом случае также говорят, что задача Коши имеет единственное решение. Общим решением уравнения называют совокупность всех общих решений каждого из уравнений (k=1,2,…,m), т.е. решения y=Y_k(x,c) (k=1,2,…,m).

Пример. Рассматривается дифференциальное уравнение вида . Разрешая его относительно y^/ получаем два уравнения y^/=1 и y^/=-1, т.е. через каждую точку плоскости xOy проходят две интегральные кривые, касательные к которым имеют два разных угла наклона к оси Ox в 45⁰ и 135⁰. Общим решением уравнения будет семейство интегральных кривых y=x+c и y=-x+c.

2.2 Особое решение дифференциальных уравнений

Особым решением дифференциального уравнения

или

называется решением y=y(x), которое во всех своих точках не обладает свойством единственности. Через каждую точку такого решения проходит не менее двух интегральных кривых, имеющих одинаковое направление касательной.

Отметим, что из сказанного выше следует, что дифференциальное уравнение может иметь решения не являющиеся ни частными, ни особыми, а именно, если эти решения получаются склеиванием кусков из частных и особых решений.

Особые решения дифференциального уравнения.

Пусть рассматривается дифференциальное уравнение первого порядка общего вида F(x,y,y^/)=0.

Тогда существование его особого решения прежде всего может быть связано с условием , не обеспечивающим представление y^/ как неявной функции переменных x и y, задаваемой уравнением F(x,y,y^/)=0.

Таким образом, формируя систему уравнений

,

и исключая из нее переменную y^/, получаем функцию y=y(x), которая может дать особое решение дифференциального уравнения F(x,y,y^/)=0.

Определение. Кривая, получаемая исключением параметра p из системы уравнений

,

называется дискретной кривой уравнения F(x,y,y^/)=0.

Для того, чтобы дискретная кривая давала особое решение дифференциального уравнения, остается проверить, что она удовлетворяет уравнению F(x,y,y^/)=0, и что через каждую ее точку проходит хотя бы одна интегральная кривая общего решения этого уравнения, т.е. проверить, что в точках дискретной кривой нарушается свойство единственности решения дифференциального уравнения.

Пример 1. Дано уравнение .

Как было указано выше его особое решение дается уравнениями y=x+c и y=-x+c. Опреляя для него дискретную кривую имеем систему уравнений

.

Очевидно, данная система решения не имеет, поэтому рассматриваемое дифференциальное уравнение особых решений не имеет.

2.3 Дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка

называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде

 или .

Разнося переменные x и y и их дифференциалы в разные стороны такого уравнения, оно может быть записано в виде

(отсюда происходит название данного типа уравнения).

Можно следующую интерпретацию происхождения данного уравнения.

Пусть величина Z является с одной стороны функцией величины y, т.е. z=M(y). С другой стороны величина Z является функцией величины x, т.е. z=g(x). Например, если Z-объем выпуска продукции, то с одной стороны z зависит от величины y - объема основных фондов, с другой стороны z может рассматриваться зависимой от величины x - объема затрачиваемых трудовых ресурсов. Таким образом, через соотношения z=H(y) и z=G(x) одна из величин y или x представляется функцией другой величины x или, соответственно, y. Исходное дифференциальное уравнение отображает эту функциональную связь через дифференциалы функций H(y) и G(x), уравнивая их, т.е. dz=dH(y)=dG(x). Отсюда можно считать, что

.

Таким образом, чтобы найти эту функциональную связь в виде y=y(x),x=x(y) или f(x,y)=0, надо проинтегрировать каждую из частей дифференциального уравнения, получая

,

и затем приравнять их H(y)+c₁=G(x)+c₂ (имея в виду z=H(y)+c₁, z=G(x)+c₂, и затем z исключается). Вместо двух постоянных c₁ и c₂ обычно берется одна c=c₂-c₁, и тогда общее решение дифференциального уравнения записывается в виде

H(y)=G(x)+c.

Если это возможно, из него одна из величин может быть представлена явно функцией другой y=y(x) или x=x(y).

1. Однородное дифференциальное уравнение первого порядка.

Функция f(x,y) называется однородной степени m, если .

Функция f(x,y) называется однородной нулевой степени, если .

Всякая однородная функция нулевой степени может быть представлена в виде функции от отношения y/x (или отношения x/y). Действительно, пусть f(x,y) - однородная функция нулевой степени, тогда, взяв в качестве , имеем

,

где может рассматриваться как функция отношения y/x, т.е.

.

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка F(x,y,y^/)=0, называется однородным, если оно может быть представлено в виде

y^/=f(x,y) или .,

где f(x,y) - однородная функция нулевой степени.

Решение однородного дифференциального уравнения сводится к решению уравнения с разделяющимися переменными заменой y/x=u или y=ux, где u-функция от x.

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка.

Определение. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида y^/+g(x)y=h(x).

Такое название ему дано в связи с тем, что относительно переменных y и y^/ его можно рассматривать как линейное.

Если , то уравнение принимает простой вид y^/=h(x), и сводится к нахождению неопределенного интеграла . Его общее решение тогда имеет вид

.

Если , то уравнение называется однородным линейным. Оно приобретает вид , и, как нетрудно видеть, сводится к решению уравнения с разделяющимися переменными

 и далее .

Его общее решение имеет вид

,

где - некоторая первообразная для функции g(x).

Предположим теперь, что , функции g(x) и h(x) являются непрерывными. Пусть y=f(x,c) - искомое общее решение линейного дифференциального уравнения.

Представим исходное уравнение в виде

,

и подставим в выражение, стоящее в квадратных скобках, , т.е. как бы полагая в общем решении . Тогда вышеприведенное уравнение примет вид

,

являясь линейным однородным дифференциальным уравнением (в нем вместо y взята для удобства переменная z, чтобы не возникло путаницы решений этого уравнения с исходным).

Таким образом, показано, что общее решение линейного дифференциального уравнения



Представляется в виде y=u(x,c)v(x), где v(x) - частное решение однородного уравнения , решаемое при c=1, u(x,c) - общее решение уравнения u^/v(x)=h(x).

Нетрудно видеть, что в обоих случаях приходится решать уравнение с разделяющимися переменными.

Заметим, что хотя при решении однородного уравнения бралось частное решение V(x) однородного уравнения v^/+g(x)v=0,

Являющегося уравнением с разделяющимися переменными.

На втором этапе определяется решение u(x,c) дифференциального уравнения u^/v(x)=h(x),

Также являющегося уравнением с разделяющимися переменными. После их решений общее решение исходного линейного уравнения представляется в виде

Y=u(x,c)v(x).

Дифференциальное уравнение первого порядка в полных дифференциалах.

Определение. Пусть дифференциальное уравнение первого порядка представлено в виде

M(x,y)dx+N(x,y)dx=0,

Где M(x,y) и N(x,y) - функции двух переменных x и y. Тогда, если левая часть уравнения есть полный дифференциал некоторой функции U(x,y), т.е.

dU(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy,

то такое уравнение называется уравнением в полных дифференциалах.

Уравнение в полных дифференциалах кратко можно представить в виде

dU(x,y)=0,

а поэтому общий интеграл (решение) такого уравнения имеет вид U(x,y)=0.

Дифференциальное уравнение такого типа возникает, когда поведение системы подчинено условию сохранения некоторой величины U(энергии, массы, стоимости и т.д.).

Отметим следующий признак, позволяющий определить является ли рассматриваемое уравнение уравнением в полных дифференциалах.

dU(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy,

тогда функции M(x,y) и N(x,y) должны быть для U(x,y) частными производными первого порядка, соответственно, по переменным x и y, т.е.

.

Предполагая функции M(x,y) и N(x,y) непрерывными и имеющими непрерывные частные производные, соответственно, по y и x, т.е. выполнение соотношений

,

из тождества

получаем, что для M(x,y) и N(x,y) должно выполняться условие

.

Полученное условие является не только необходимым, но и достаточным для того, чтобы уравнение M(x,y)dx+N(x,y)dy=0

Было уравнением в полных дифференциалах.

Нахождение общего решения уравнения в полных дифференциалах проводится в два этапа. На первом этапе функция U(x,y) рассматривается как функция только аргумента x, переменная y получает как бы фиксированное значение . Но так как решение уравнения зависит от y, то в общем решении постоянная c является функцией y, т.е. c=h(y). Следовательно, общее решение предыдущего дифференциального уравнения, снимая с y условие закрепления его значения, имеет вид

U(x,y)=g(x,y)+h(y).

На втором этапе находится вид функции h(y).

4. Дифференциальные уравнения второго порядка. Обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка имеет следующий общий вид

F(x,y,y^/,y^//)=0 или .

Рассмотрение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Определение. Линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

y^//+py^/+qy=h(x),

где p и q - числа, h(x) - некоторая функция от x.

Если в этом уравнении , то оно называется однородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка.

Рассмотрим решение однородного уравнения

.

Этому явлению может быть поставлено в соответствие квадратное уравнение вида ,

Называемое характеристическим. Его корни, как известно, определяются формулами

.

Возможны следующие три случая для вида корней этого уравнения: 1) корни уравнения - действительные и различные; 2) корни - действительные и равные; 3) корни уравнения - комплексно-сопряженные. Для каждого из этих случаев однородное дифференциальное уравнение имеет свой вид общего интеграла.

Заключение

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) широко используются для математического моделирования процессов и явлений в различных областях науки и техники. Переходные процессы в радиотехнике, кинетика химических реакций, динамика биологических популяций, движение космических объектов, модели экономического развития исследуются с помощью ОДУ.

Список использованной литературы

Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1975, ГЛ.2. §12.

Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969, Гл.1. §3.

Лизоркин Г.И. Курс обыкновенных дифференциальных и интегральных уравнений. М.: Наука, 1981, Гл.7. §6.

Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969, Гл.1. §5.

Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974, Гл.2. §16.

Эльсгольц Г.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969, Гл.2. §7.

Размещено на Allbest.ru