Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ «ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА»

Курсова робота

на тему: «Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами»

Виконав:

ст. гр. ПМ-51

Горон Р.

Перевірив:

Львів 2009

Анотація

В даній курсовій роботі наведено означення ермітових сплайнів з нелінійними за параметрами виразами в ланках і ермітових сплайнів з многочленами у ланках. Виведено формули для параметрів ермітових сплайнів з експоненціальними і кубічними ланками. Програмно реалізовано алгоритм рівномірного наближення ермітовими сплайнами.

Зміст

Вступ

1. Постановка задачі

2. Означення ермітових сплайнів з нелінійним за параметрами виразами в ланках

3. Виведення формул для параметрів ермітових сплайнів з експоненціальними ланками

4. Виведення формул для параметрів ермітових сплайнів з кубічними ланками

5. Рівномірне наближення ермітовими сплайнами

6. Визначення похибки наближення ермітовими сплайнами з нелінійними ланками виду

Список використаної літератури

Вступ

Наближення функцій необхідне для практичних розрахунків під час проведення наукових досліджень і в багатьох областях техніки. Аналітично задані функції, які представлені складним виразом, часто необхідно замінити простішим виразом, так, щоб зберігались їх властивості. Це потрібно під час обчислення функцій на ЕОМ.

Методи інтерполювання многочленом Лагранжа або Ньютона на відрізку при використанні великої кількості вузлів інтерполяції часто призводять до поганого наближення, що пояснюється значним накопиченням похибки під час обчислень. Крім цього, через розбіжність процесу інтерполяції збільшення числа вузлів не обов'язково приводить до підвищення точності.

Ще одним із способів інтерполювання на відрізку є інтерполювання з використанням сплайн функцій. Сплайн функцією або сплайном називають кусково-поліноміальну функцію, що визначена на відрізку разом з певним числом неперервних похідних.

Перевага сплайнів над звичайною інтерполяцію є, по-перше, їх збіжність і, по-друге, стійкість процесу обчислення.

Ряд задач вимагає наближення не тільки самої функції, а й її похідних. Для цього використовують ермітові сплайни. З метою покращення точності наближення функцій сплайнами як ланки можна використовувати не тільки многочлени, а й нелінійні за параметрами вирази .

1. Постановка задачі

На множині задані значення функції та її похідних до -го порядку включно. Потрібно побудувати ермітовий сплайн (тобто вирази для параметрів ланки) з експоненціальною ланкою:

(1)

і кубічною ланкою:

(2)

Де: - параметри ланки сплайна; - кількість параметрів .

Мета роботи - побудувати ермітові сплайни з експоненціальними ланками і порівняти їх з кубічними ермітовими сплайнами. Побудувати алгоритми рівномірного наближення ермітовими сплайнами.

2. Означення ермітових сплайнів з нелінійним за параметрами

виразами в ланках

Наведемо означення ермітових сплайнів з нелінійними за параметрами виразами в ланках(далі нелінійні ермітові сплайни) з парною і непарною кількістю параметрів.

Означення 1. Нехай . На множині задані значення функції та її похідних до -го порядку включно.

Нелінійним ермітовим сплайном з парною кількістю параметрів називатимемо функцію:

(3)

Яка задовольняє систему рівнянь

(4)

Де: ? параметри сплайна на -й ланці; ? функція Хевісайда:

Із системи (4) випливає, що . Вираз називається ланкою ермітового сплайна. Похибка наближення функції за допомогою ермітового сплайна характеризується зваженою віддаллю(функцією похибки)

(5)

Означення 2. Нехай . На множині задані значення функції та її похідних до -го порядку включно, а на множині задані значення функції . Нелінійним ермітовим сплайном з непарною кількістю параметрів називатимемо функцію виду (3), яка задовольняє систему рівнянь

 (6)

Із означень випливає, що для визначення параметрів кожної ланки конкретного нелінійного ермітового сплайна необхідно розв'язати систему рівнянь (4) або (6).

3. Виведення формул для параметрів ермітових сплайнів з

експоненціальними ланками

Сімейство цих ермітових сплайнів має ланку, яку подано виразом (2). Оскільки наближаючий вираз (2) не змінює знака, то цим виразом можна наближати функції, що не змінюють знака. Припустимо для конкретності, що . Побудуємо ланки ермітового сплайна при .

При отримаємо ермітовий сплайн з парною кількістю параметрів .

Ланка такого сплайна має вигляд

(7)

Згідно означення 1 параметри ланки ермітового сплайна (3) з ланкою (7) задовольняють системі рівнянь (4)

(8)

Де: - ліва, а - права границі ланки; ,. Розв'яжемо систему (8) щодо невідомих .

Із першого і третього рівнянь системи знаходимо вирази для параметра :

(9)

Прирівнюємо між собою вирази для і отримаємо вираз для

(10)

Підставляємо перший вираз для і вираз для в друге рівняння системи (8) і отримаємо

(11)

Підставляємо другий вираз для і вираз для в четверте рівняння системи (8) і отримаємо

(12)

Ми отримали систему двох лінійних рівнянь (11) і (12) щодо двох невідомих . Розв'язавши її, отримаємо

 (13)

Із формул (9), (10), (13) для параметрів випливає, що необхідною умовою існування наближення ермітовим сплайном з ланкою (7) є виконання умови.

При отримаємо ермітовий сплайн з непарною кількістю параметрів . Ланка такого сплайна має вигляд

(14)

Згідно з означенням 2 параметри ланки (14) ермітового сплайна (3) задовольняють системі рівнянь (6):

(15)

Де: . Розв'яжемо систему (15) щодо невідомих . Із першого, третього і четвертого рівнянь системи (15) знайдемо вирази для

. (16)

Прирівняємо вирази для (16) із першого і четвертого та першого і третього рівнянь системи (15), отримаємо два вирази для

(17)

(18)

Прирівнявши між собою вирази для із (17) і (18), отримаємо рівняння

(19)

Де:

Підставивши перший вираз для (16) і перший вираз для (17) в друге рівняння системи (15) отримаємо рівняння

(20)

Де:

Підставивши третій вираз для (16) і перший вираз для (17) в п'яте рівняння системи (15) отримаємо рівняння

(21)

Де:

Ми отримали систему трьох лінійних рівнянь (19-21) щодо трьох невідомих . Розв'язавши її отримаємо

(22)

Із формул (16), (17), (18) і (22) для параметрів випливає, що необхідною умовою існування наближення ермітовим сплайном з ланкою (14) є виконання умови .

4. Виведення формул для параметрів ермітових сплайнів з

кубічними ланками

ермітовий сплайн наближення функція похибка

При отримаємо ермітовий сплайн з парною кількістю параметрів .

Ланка такого сплайна має вигляд

 (23)

Означення 3. Нехай . На множині задані значення функції та її похідної. Кубічним ермітовим сплайном з парною кількістю параметрів називатимемо функцію з ланкою (23)

(24)

Яка задовольняє систему рівнянь

(25)

Де: - параметри сплайна на -й ланці;

Згідно означення 3 параметри ланки ермітового сплайна (24) з ланкою (23) задовольняють системі рівнянь (25)

(26)

Де ? ліва, а - права границі ланки; ,. Розв'яжемо систему (26) щодо невідомих .Отримаємо формули для обчислень значень параметрів:



При отримаємо ермітовий сплайн з непарною кількістю параметрів . Ланка такого сплайна має вигляд

(27)

Згідно з означенням 2 параметри ланки (27) ермітового сплайна (3) задовольняють системі рівнянь (6):

(28)

Де: . Розв'яжемо систему (28) щодо невідомих . . Із першого, третього і четвертого рівнянь системи (28) знайдемо вирази для

. (29)

Прирівняємо вирази для (16) із першого і четвертого та першого і третього рівнянь системи (15), отримаємо два вирази для

 (30)

(31)

Прирівнявши між собою вирази для із (17) і (18), отримаємо рівняння

(32)

Де:

Підставивши перший вираз для (29) і перший вираз для (30) в друге рівняння системи (28) отримаємо рівняння

(33)

Де:

Підставивши третій вираз для (29) і перший вираз для (30) в п'яте рівняння системи (28) отримаємо рівняння

(34)

Де:

Ми отримали систему трьох лінійних рівнянь (32-34) щодо трьох невідомих . Розв'язавши її отримаємо

(35)

Із формул (26), (27), (28) і (32) для параметрів випливає, що необхідною умовою існування наближення ермітовим сплайном з ланкою (24) є виконання умови .

5. Рівномірне наближення ермітовими сплайнами

Наближення функції ермітовим сплайном називаємо рівномірним наближенням з заданою похибкою , якщо

Де: - вага наближення,

Алгоритм рівномірного наближення ермітовими сплайнами з заданою похибкою. Алгоритм не залежить від виду сплайна.

1. Будуємо ланку нелінійного ермітового сплайна на всьому інтервалі . Ліва границя права

2. Знаходимо похибку наближення .

3. Якщо, то наближення побудоване. Кінець.

4. Якщо , то зсуваємо праву границю інтервалу вліво, поки похибка на даному інтервалі не стане меншою від заданої похибки . Допустимо, що при -му зсуві границі вліво (т. )похибка рівна , а на попередньому кроці (права границя ). Тоді можна знайти таку праву границю , при якій похибка буде як завгодно мало відрізнятися від заданої . Точку можна знайти одним із відомих способів, наприклад методом ділення відрізка навпіл або методом хорд.

5. Запам'ятовуємо границі ланки і параметри ермітового сплайна.

6. Лівою границею наступної ланки є права границя попередньої ланки. Правою границею можна завжди вважати т. , але можна також екстраполювати точкою де - довжина попередньої ланки.

7. Будуємо сплайн і знаходимо похибку.

8. Якщо , то переходимо до пункту 4.

9. Якщо і , то і переходимо до пункту 7. В протилежному випадку, при , запам'ятовуємо границі та параметри нелінійного ермітового сплайна. Рівномірне наближення з заданою похибкою знайдено.

Очевидно, що описаний алгоритм приводить до єдиного рішення, якщо наближувана функція і сплайн такі що функція похибки є неспадною функцією від . Для цього достатньо, щоб ядро наближення при .

Другий алгоритм

Із означення ермітового сплайна можна запропонувати інший алгоритм знаходження його параметрів. При (парна кількість параметрів) параметри визначаються із тих же рівнянь, що й у випадку фіксованих вузлів, до яких додаються рівняння для точки екстремумуі правої границі .

(36)

Потрібно знайти залежність від . Для деяких вузлів ланок (1) ермітових сплайнів, а саме ланок у вигляді многочлена, відношення многочлена до лінійної функції, добутку степеневої і експоненціальної функцій, степеневого виразу від многочлена параметри сплайна знаходяться в аналітичному вигляді із перших чотирьох рівнянь системи (36).

Вони залежать від і значень функції та її похідної в цих точках. Коефіцієнти можна підставити в п'яте і шосте рівняння системи. В результаті система шести рівнянь з шістьома невідомими зводиться до системи двох рівнянь з двома невідомими :

(37)

Система (37) є системою трансцендентних рівнянь. Її можна розв'язати, використовуючи відомі наближені методи знаходження коренів трансцендентних систем.

6. Визначення похибки наближення ермітовими сплайнами з

нелінійними ланками виду

Максимальна похибка рівномірного наближення нелінійними ермітовими сплайнами з непарною кількістю параметрів у ланці має вигляд

, (38)

а для ермітових сплайнів з непарною кількістю параметрів

(36)

де: - кількість ланок сплайна на інтервалі , ? вагова функція, - ядро похибки наближення, - дефект ермітового сплайна,

.

Для ермітового сплайна з ланкою (14) кількість параметрів , дефект сплайна за означенням , величина .

Щоб скористатись формулами (35) і(36), потрібно мати вираз для ядра похибки наближення , який би не залежав від параметрів ланки сплайна . Вирази для конкретних ядер можна знайти, використовуючи властивості ядер похибок, які випливають із обмінних теорем.

Властивість 1. Нехай при . Тоді:



Доведення. Із теорем 1 і 2 випливає, що наближення функції на ермітовим сплайном з ланкою може бути знайдено через наближення функції на цьому проміжку ермітовим сплайном з ланкою . При цьому із формули (29) випливає, що максимальна відносна похибка першого наближення виражається через максимальну абсолютну похибку другого наближення.

Список використаної літератури

1. Пізюр Я.В., Попов Б.О. Рівномірне наближення ермітовими сплайнами з парною кількістю параметрів. // Контрольно-вимірювальна техніка. ? 1993. - №50. - С. 8-13.

2. Пізюр Я.В. Наближення функцій ермітовими сплайнами з експоненціальними ланками. // Вісник НУ «Львівська політехніка». Фізико-математичні науки. - 2006. ? №566. - С. 68-75.

3. Зав'ялов Ю.С., Квасов Б.И., Мірошниченко В.Л. Методи сплайн функцій. - М.: Наука, 1980. - 352 с.

Размещено на Allbest.ru