Комплексные числа

Размещено на http://www.allbest.ru/

Гомельская научно-практическая конференция

учащихся по естественнонаучным направлениям Поиск

ГУО Средняя общеобразовательная школа № 43

Учебно-исследовательская работа

Комплексные числа

Гомель, 2010

Введение

Решение многих задач физики и техники приводит к квадратным уравнениям с отрицательным дискриминантом. Эти уравнения не имеют решения в области действительных чисел. Но решение многих таких задач имеет вполне определенный физический смысл. Значение величин, получающихся в результате решения указанных уравнений, назвали комплексными числами. Комплексные числа широко использовал отец русской авиации Н.Е. Жуковский (1847-1921) при разработке теории крыла, автором которой он является. Комплексные числа и функции от комплексного переменного находят применение во многих вопросах науки и техники.

Понятие о комплексных числах

Для решения алгебраических уравнений недостаточно действительных чисел. Поэтому естественно стремление сделать эти уравнения разрешимыми, что в свою очередь приводит к расширению понятия числа. Например, для того чтобы любое уравнение имело корни, положительных чисел недостаточно и поэтому возникает потребность ввести отрицательные числа и нуль.

Древнегреческие математики считали, что и только натуральные числа, но в практических расчетах за два тысячелетия до наше эры в Древнем Египте и Древне Вавилоне уже применялись дроби. Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было введение отрицательных чисел - это было сделано китайскими математиками за II века до нашей эры. Отрицательные числа применял в III веке нашей эры Древнегреческим математик Диофант, знавший уже правила действий над ними, а в VII веке нашей эры эти числа подробно изучили индийские ученые, которые сравнивали такие числа с долгом. С помощью отрицательных чисел можно было единым образом описывать изменение величин. Уже в 8 веке нашей эры было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значение - положительное и отрицательное, а из отрицательных числе квадратные корни извлечь нельзя: нет такого числа , чтобы . В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В формуле для решения кубических уравнений содержатся кубические и квадратные корни. Это формула безотказно действует в случае, когда уравнение имеет один действительный корень (например, для уравнения ), а если оно имело три действительных корны (например, ), то под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число. Получалось, что путь к этим 3 корням уравнения ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа.

Чтобы объяснить получившийся парадокс, итальянский алгебраист Дж. Кардано в 1545 предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система уравнений , не имеющая решений в множестве действительных чисел, имеет решение всегда , , нужно только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и считать, что . Кардано называл такие величины «чисто отрицательными» и даже «софистически отрицательными», считая их бесполезными и стремился не применять их. В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразите не результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение этой величины. Но уже в 1572 г. Вышла книга итальянского алгебраиста Р.Бомбелли, в котором были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней.

В течение XVII века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимостей, возможности дать им геометрическое истолкование. Постепенно развивалось техника операций над комплексными числами на рубеже XVII-XVIII в.в. была построена общая теория корней n-й степени сначала из отрицательных, а впоследствии и из любых комплексных чисел.

В конце VXIII века французский математик Ж.Лагранж смог сказать, что математический анализ уже не затрудняют мнимые величины. С помощью комплексных чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянным коэффициентом. Такие уравнения встречаются, например, в теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде.

Я.Бернулли применил комплексные числа для вычисления интегралов. Хотя в течение XVIII века с помощью комплексных чисел были решены многие вопросы, в том числе и прикладные задачи, связанные с картографией, гидродинамикой и т.д., однако еще не было строго логического обоснования теории этих чисел. Поэтому французский ученый П.Лаплас считал, что результаты, получаемые с помощью мнимых чисел, - только наведение, приобретающие характер настоящих истин лишь после подтверждения прямыми доказательствами. В конце XVIII-начале IXX в.в. было получено геометрическая истолкование комплексных чисел. Датчанин Г.Вессель, француз Ж.Арган и немец К.Гаусс независимо друг от друга предложили изображать комплексное число точкой М (а, b) на координатной плоскости. Позднее оказалось, что еще удобнее изображать число не сомой точкой М, а вектором ОМ, идущим в эту точку из начала координат. При таком истолковании в сложению и вычитанию комплексных чисел соответствуют эти же операции над векторами.

Геометрические истолкования комплексных чисел позволили определить многие понятия, связанные с функциями комплексного переменного, расширило область их применения. Стало ясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело с величинами, которые изображаются векторами на плоскости: при изучении течения жидкости, задач теории упругости, в теоретической электротехники.

Большой вклад в развитие теории функций комплексного переменного внесли русские и советские ученые: Р.И.Мусхелишвили занимался ее приложениями к теории упругости, М.В.Келдыш и М.А.Лаврентьев -- к аэродинамики и гидродинамики, Н.Н.Боголюбов и В.С.Владимиров -- к проблемам квантовой теории поля.

Исторический генезис комплексных чисел

Одна из причин введения рациональных чисел обусловлена требованием, чтобы всякое линейное уравнение (где ) было разрешимо. В области целых чисел линейное уравнение разрешимо лишь в том случае, когда b делится нацело на a.

Одна из причин расширения множества рациональных чисел до множества действительных чисел была связана с разрешимостью квадратных уравнений, например, уравнения вида . На множестве рациональных чисел это уравнение не разрешимо, так как среди рациональных нет числа, квадрат которого равен двум. Как известно, -число иррациональное. На множестве же действительных чисел уравнение разрешимо, оно имеет два решения и .

И все же нельзя считать, что на множестве действительных чисел разрешимы все квадратные уравнения. Например, квадратное уравнение x2 = - 1 на множестве действительных чисел решений не имеет, так как среди действительных чисел нет такого числа, квадрат которого отрицателен.

Таким образом, действительных чисел явно недостаточно, чтобы построить такую теорию квадратных уравнений, в рамках которой каждое квадратное уравнение было бы разрешимо. Это соображение приводит к необходимости вводить новые числа и расширять множество действительных чисел до множества комплексных чисел, в котором было бы разрешимо любое квадратное уравнение.

Вспомним о едином принципе расширения числовых систем и поступим в соответствии с этим принципом.

Если множество А расширяется до множества В, то должны быть выполнены следующие условия:

1. Множество А есть подмножество В.

2. Отношения элементов множества А (в частности, операции над ними) определяются также и для элементов множества В; смысл этих отношений для элементов множества А, рассматриваемых уже как элементы множества В, должен совпадать с тем, какой они имели в А до расширения.

3. В множестве В должна выполняться операция, которая в А была невыполнима или не всегда выполнима.

4. Расширение В должно быть минимальным из всех расширений данного множества А, обладающих первыми тремя свойствами, причем это расширение В должно определяться множеством А однозначно (с точностью до изоморфизма).

Итак, расширяя множество действительных чисел до множества новых чисел, названных комплексными, необходимо, чтобы:

а) комплексные числа подчинялись основным свойствам действительных чисел, в частности, коммутативному, ассоциативному и дистрибутивному законам;

б) в новом числовом множестве были разрешимы любые квадратные уравнения.

Множество действительных чисел недостаточно обширно, чтобы в нем были бы разрешимы все квадратные уравнения. Поэтому, расширяя множество действительных чисел до множества комплексных чисел, мы потребуем, чтобы в нем можно было бы построить полную и законченную теорию квадратных уравнений. Другими словами, мы расширим множество действительных чисел до такого множества, в котором можно будет решить любое квадратное уравнение. Так, уравнение не имеет решений во множестве действительных чисел потому, что квадрат действительного числа не может быть отрицательным. В новом числовом множестве оно должно иметь решение. Для этого вводится такой специальный символ i, называемый мнимой единицей, квадрат которого равен - 1.

Ниже будет показано, что введение этого символа позволит осуществить расширение множества действительных чисел, пополнив его мнимыми числами вида bi (где b - действительное число) таким образом, чтобы в новом числовом множестве (множестве комплексных чисел) при сохранении основных законов действительных чисел были разрешимы любые квадратные уравнения.

Основные определения

Операции над комплексными числами

1. Существует элемент i (мнимая единица) такой, что i2 = - 1.

2. Символ a + bi называют комплексным числом с действительной частью a и мнимой частью bi, где a и b - действительные числа, b - коэффициент мнимой части.

Комплексное число a + 0i отождествляется с действительным числом a, т.е. a + 0i = a, в частности, 0 + 0i = 0. Числа вида bi () называют чисто мнимыми.

Например, комплексное число 2 + 3i имеет действительную часть - действительное число 2 и мнимую часть 3i, действительное число 3 - коэффициент мнимой части.

Комплексное число 2 - 3i имеет действительную часть число 2, мнимую часть - 3i, число - 3 - коэффициент при мнимой части.

3. Правило равенства. Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны коэффициенты мнимых частей.

Т.е., если a + bi = c +di, то a = c, b = d: и, обратно, если a = c, b = d, то a + bi = c +di.

4. Правило сложения и вычитания комплексных чисел.

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.

Например:

(2 + 3i) + (5 + i) = (2 + 5) + (3 + 1)i = 7 + 4i;

(- 2 + 3i) + (1 - 8i) = (- 2 + 1) + (3 + (- 8))i = - 1 - 5i;

(- 2 + 3i) + (1 - 3i) = (- 2 + 1) + (3 + (- 3))i = - 1 + 0i = - 1.

Вычитание комплексных чисел определяется как операция, обратная сложению, и выполняется по формуле:

(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i.

Например:

(5 - 8i) - (2 + 3i) = (3 - 2) + (- 8 - 3)i = 1 - 11i;

(3 - 2i) - (1 - 2i) = (3 - 1) + ((- 2) - (- 2))i = 2 + 0i = 2.

5. Правило умножения комплексных чисел.

(a + bi)(c + di) = (aс + bd) + (ad + bc)i.

Из определений 4 и 5 следует, что операции сложения, вычитания и умножения над комплексными числами осуществляются так, как будто мы выполняем операции над многочленами, однако с условием, что i2 = - 1.

Действительно: (a + bi)(c + di) = ac + adi + bdi2 = (ac - bd) + (ad + bc)i.

Например:

(- 1 + 3i)(2 + 5i) = - 2 - 5i + 6i + 15i2 = - 2 - 5i + 6i - 15 = - 17 + i;

(2 + 3i)(2 - 3i) = 4 - 6i + 6i - 9i2 = 4 + 9 = 13.

Из второго примера следует, что результатом сложения, вычитания, произведения двух комплексных чисел может быть число действительное. В частности, при умножении двух комплексных чисел a + bi и a - bi, называемых сопряженными комплексными числами, в результате получается действительное число, равное сумме квадратов действительной части и коэффициента при мнимой части. Действительно:

(a + bi)(a - bi) = a2 - abi + abi - b2i2 = a2 + b2.

Произведение двух чисто мнимых чисел - действительное число.

Например:

; , и вообще .

6. Деление комплексного числа a + bi на комплексное число c + di № 0 определяется как операция обратная умножению и выполняется по формуле:



Формула теряет смысл, если c + di = 0, так как тогда c2 + d2 = 0, т. е. деление на нуль и во множестве комплексных чисел исключается.

Обычно деление комплексных чисел выполняют путем умножения делимого и делителя на число, сопряженное делителю.

Например:

;

.

Опираясь на введенные определения нетрудно проверить, что для комплексных чисел справедливы коммутативный, ассоциативный и дистрибутивный законы. Кроме того, применение операций сложения, умножения, вычитания и деления к двум комплексным числам снова приводит к комплексным числам. Тем самым можно утверждать, что множество комплексных чисел образует поле. При этом, так как комплексное число a + bi при b = 0 отождествляется с действительным числом a = a + 0i, то поле комплексных чисел включает поле действительных чисел в качестве подмножества.

Решение квадратных уравнений

Одна из причин введения комплексных чисел состояла в том, чтобы добиться разрешимости любого квадратного уравнения, в частности уравнения x2 = - 1.

Покажем, что расширив поле действительных чисел до поля комплексных чисел, мы получили поле, в котором каждое квадратное уравнение разрешимо, т.е. имеет решение. Так, уравнение x2 = - 1 имеет два решения: x1 = i, x2 = - i.

Это нетрудно установить проверкой: , .

Перейдем теперь к вопросу о решении полного квадратного уравнения. Квадратным уравнением называют уравнение вида:

(),

где x - неизвестная, a, b, c - действительные числа, соответственно первый, второй коэффициенты и свободный член, причем . Решим это уравнение, выполнив над ним ряд несложных преобразований.

Разделим все члены уравнения на и перенесем свободный член в правую часть уравнения:

К обеим частям уравнения прибавим выражение с тем, чтобы левая его часть представляла полный квадрат суммы двух слагаемых:

Извлечем корень квадратный из обеих частей уравнения:

Найдем значения неизвестной:

Теперь можно исследовать полученное решение. Оно зависит от значения подкоренного выражения, называемого дискриминантом квадратного уравнения.

Если , то есть действительное число и квадратное уравнение имеет действительные корни.

Если же то мнимое число, квадратное уравнение имеет мнимые корни.

Результаты исследования представлены ниже в таблице:

Итак, введение комплексных чисел позволяет разработать полную теорию квадратных уравнений. В поле комплексных чисел разрешимо любое квадратное уравнение.

Примеры.

1. Решите уравнение .

Решение. Найдем дискриминант .

Уравнение имеет два действительных корня:

; .

2. Решите уравнение .

Решение. , уравнение имеет два равных действительных корня:

3. Решите уравнение .

Решение. D = 16 - 4*1*5 = - 4 < 0, уравнение имеет мнимые корни:

;

;

Геометрическая интерпретация комплексных чисел

Известно, что отрицательные числа были введены в связи с решением линейных уравнений с одной переменной. В конкретных задачах отрицательный ответ истолковывался как значение направленной величины (положительные и отрицательные температуры, передвижения в противоположных направлениях, прибыль и долг и т.п.). Однако еще в ХVI веке многие математики не признавали отрицательных чисел. Только с введением координатной прямой и координатной плоскости отчетливо проявился смысл отрицательных чисел, и они стали такими же «равноправными» и понятными, как и натуральные числа. Аналогично обстоит дело с комплексными числами. Смысл их отчетливо проявляется при введении их геометрической интерпретации.

Геометрическая интерпретация комплексных чисел состоит в том, что каждому комплексному числу z = x + yi ставится в соответствие точка (x, y) координатной плоскости таким образом, что действительная часть комплексного числа представляет собой абсциссу, а коэффициент при мнимой части - ординату точки.

Таким образом, устанавливается взаимно однозначное соответствие между множеством комплексных чисел и множеством точек координатной плоскости. Подобным образом было установлено соответствие между множеством действительных чисел и множеством точек числовой прямой.

На рисунке 1 изображена координатная плоскость. Числу 2 + 3i соответствует точка A(2, 3) плоскости; числу 2 - 3i - точка B(2, - 3); числу - 2 + 3i - точка C(- 2, 3); числу - 2 - 3i - точка D(- 2; - 3). Числу 3i соответствует точка E(0, 3); а числу - 3i - точка F(0, - 3). Итак, каждому комплексному числу соответствует единственная точка координатной плоскости и, обратно, каждой точке координатной плоскости соответствует единственное комплексное число, при этом двум различным комплексным числам соответствуют две различные точки координатной плоскости. Ясно, что действительным числам x + 0i соответствуют точки оси абсцисс, а чисто мнимым числам 0 + yi, где y № 0 - точки оси ординат. Поэтому ось Oy называют мнимой, а ось Ox - действительной. Сопряженным комплексным числам соответствуют точки, симметричные относительно оси абсцисс (рис. 2).

Тригонометрическая форма комплексного числа

Точка координатной плоскости, соответствующая комплексному числу z = x + yi, может быть указана по-другому: ее координатами могут быть расстояние r от начала координат и величина угла j между положительной полуосью Ox и лучом Oz (рис. 3).

Расстояние r от начала системы координат до точки, соответствующей комплексному числу z, называют модулем этого числа. Тогда по теореме Пифагора (рис. 2) имеем: .

Отсюда найдем модуль комплексного числа как арифметическое (неотрицательное) значение корня:

Если комплексное число z изображается точкой оси абсцисс (т.е. является действительным числом), то его модуль совпадает с абсолютным значением. Все комплексные числа, имеющие модуль 1, изображаются точками единичной окружности - окружности с центром в начале системы координат, радиуса 1 (рис. 4).

Угол j между положительной полуосью Ox и лучом Oz называют аргументом комплексного числа z = x + yi (рис.3).

Сопряженные комплексные числа

имеют один и тот же

модуль и аргументы, отличающиеся знаком: j = - j.

В отличие от модуля аргумент комплексного числа определяется неоднозначно. Аргумент одного и того же комплексного числа может иметь бесконечно много значений, отличающихся друг от друга на число, кратное 360°. Например, число z (рис. 3) имеет модуль r, аргумент же этого числа может принимать значения j; j + 360°; j + 720°; j + 1080°; … или значения j - 360°; j -720°; j - 1080°. Данное значение модуля r и любое из приведенных выше значений аргумента определяют одну и ту же точку плоскости, соответствующую числу z.

Пусть точке с координатами (x; y) соответствует комплексное число z = x + yi. Запишем это комплексное число через его модуль и аргумент. Воспользуемся определением тригонометрических функций синуса и косинуса (рис. 3):

x = r cos j; y = r sin j.

Тогда число z выражается через модуль и аргумент следующим образом:

z = x + yi = r(cos j + i sin j).

Выражение z = r(cos j + i sin j) называют тригонометрической формой комплексного числа, в отличии от выражения z = x + yi, называемого алгебраической формой комплексного числа.

Приведем примеры обращения комплексных чисел из алгебраической формы в тригонометрическую:

Для числа i имеем r = 1, j = 90°, поэтому i = 1(cos 90° + i sin 90°);

Для числа - 1 имеем r = 1, j = 180°, поэтому - 1 = 1(cos 180° + i sin 180°);

Для числа 1 + i имеем поэтому

Для числа (рис. 4) имеем r = 1, j = 45°, поэтому

Для числа имеем r = 2, j = 120°, поэтому

Справедливость приведенных равенств нетрудно проверить путем подстановки в их правой части числовых значений тригонометрических функций. Итак, для того, чтобы комплексное число, заданное в алгебраической форме, обратить в тригонометрическую форму, необходимо найти его модуль r и аргумент j, пользуясь формулами:

комплексный число векторный уравнение

Комплексные числа и векторы

Существует и другой способ геометрической интерпретации комплексных чисел. Каждой точке (x , y) координатной плоскости, изображающей комплексное число

z = x + yi, соответствует единственный вектор, отложенный от начала системы координат и обратно (рис. 5). При этом двум различным точкам координатной плоскости будут соответствовать два таких различных вектора.

Таким образом, может быть установлено взаимно однозначное соответствие между множеством точек координатной плоскости (комплексными числами) и множеством векторов, отложенных от начала системы координат.

Если z = x + yi (рис. 5), то вектор ,отложенный от начала системы координат до точки, изображающей число z, будет иметь координаты (x; y). Известно, что равные векторы имеют равные координаты.

Итак, мы рассмотрели два способа интерпретации комплексных чисел: их можно изображать либо точками координатной плоскости, либо векторами, отложенными от начала системы координат. При этом любые два равных вектора (имеющих одно и то же направление и равные длины) изображают одно и то же комплексное число, а векторы, отличные либо длиной, либо направлением, изображают разные числа. На рисунке 6 с помощью векторов изображены различные комплексные числа: изображает число 2 + 0i; -число - 3 + 0i; - число 0 + i; - число 0 + 2i; - число 0 - 3i; - число 3 + 2i; - число - 1 - 2i.

Ясно, что любой ненулевой вектор, лежащий на оси Oy (или параллельный ей), изображает чисто мнимое число yi, причем y > 0, если направление вектора совпадает с направлением оси, y < 0, если направление вектора противоположно направлению оси. Вследствие этого ось Oy называют мнимой. Все векторы, лежащие на оси Ox (или параллельные ей) изображают действительные числа, поэтому ее называют действительной осью.

Векторная интерпретация комплексных чисел позволяет уяснить геометрический смысл операций над комплексными числами. Например, сумма двух комплексных чисел 2 + i и 1 + 4i равна 3 + 5i. Каждое из слагаемых изображает соответствующий вектор, отложенный от начала O координат :

; .

Сумма этих векторов - вектор , изображается диагональю параллелограмма, построенного на векторах.

Для того, чтобы лучше уяснить себе геометрический смысл умножения двух комплексных чисел, воспользуемся их тригонометрической формой. Пусть векторы и изображают соответственно комплексные числа:

соответственно модули этих чисел, а j1 и j2 - их аргументы. Найдем произведение этих чисел:

z1z2 = r1r2(cosj1 + i sin j1)(cos j2 + i sin j2) = r1r2(cos j1cos j2 - sin j1 sin j2) + i = (cos j1sin j2 + sin j1cos j2).

Воспользуемся известными из школы теоремами сложения синуса и косинуса:

cos j1cos j2 - sin j1 sin j2 = cos(j1 + j2);

cos j1sin j2 + sin j1cos j2 = sin(j1 + j2).

Тогда произведение данных комплексных чисел равно комплексному числу:

z1z2 = r1r2(cos(j1 + j2) + isin(j1 + j2)).

Последнее соотношение позволяет сформулировать правило умножения комплексных чисел: при умножении двух комплексных чисел их модули перемножаются, а их аргументы складываются. Это проиллюстрировано на рисунке 8.

Ясно, что произведение комплексных чисел связано с поворотом (вращением). Так, произведение z1z2 изображается вектором, представляющим собой образ вектора , повернутого на угол j2 (или образ вектора , повернутого на угол j1), при этом модуль вектора равен произведению модулей данных векторов.

Связь произведения комплексных чисел с вращением становится более наглядной, если рассматривать произведение различных комплексных чисел (векторов) на комплексное число i, у которого модуль равен 1, а аргумент 90°. Например, найдем произведение комплексных чисел z1 = 1 + i и z2 = i.

Числа z1 и z2 соответственно изображают векторы и (рис.9). Мы видим, что модуль комплексного числа z равен модулю числа z1:

Аргумент же комплексного числа z равен 45° + 90° = 135°, в то время, как аргумент комплексного числа z1 равен 45°. Т.е. вектор, изображающий число z, есть образ вектора, изображающего число z1 при повороте на 90°.

Заключение

Из курса математики известно, что отрицательные числа введены, прежде всего, для того, чтобы операция вычитания, обратная к операции сложения была всегда возможна. По аналогичной причине в математике появились комплексные числа. Если рассматривать только действительные числа, то операция извлечения квадратного корня, обратная к операции возведения в квадрат не всегда возможна, так как нельзя извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Этого, однако, недостаточно, чтобы заводить в математике новые числа. Оказалось, что если производить вычисления по обычным правилам над выражениями, в которых встречается корень квадратный из отрицательного числа, то можно придти к результату уже не содержащему корень квадратный из отрицательного числа. Но эти корни стали употреблять в математике. Поле действительных чисел было расширено до поля комплексных чисел.

Зная, способы извлечения корня квадратного из отрицательного числа в этой работе мы попытались вывести формулы решения квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом и ввести геометрическое изображение комплексных чисел. Так как комплексные числа были введены геометрическим образом то мы смогли ввести понятие вектора, изображающего комплексное число на плоскости. При этом привели классификация комплексных чисел и ввели понятие модуля комплексного числа.

В следующей работе мы хотели бы разобрать решение уравнений более высокого порядка в поле комплексных чисел, а также геометрическое изображение графиков некоторых функций в плоскости комплексных чисел.

Список использованных литературных источников

1.Т. А. Климов, Ю. М. Колягин, Ю. В Сидоров, Н. Е Федоров, М. И. Шабунин. Учебник для 8 классов по алгебре. - М.: Просвещение, 1994. - С. 134-139.

2.И. С. Петракова. Математические кружки в 8-10 классах. - М.: Просвещение, 1987. - С.50-52.

3.А. П. Савин. Энциклопедический словарь юного математика. - М.: Педагогика, 1989. - С 143. -147.

4.Алгебра: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений/ Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. - 7-е изд. - М.: Просвещение, 2000.

5.Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В., Шабунин М.Ш. Алгебра и начала анализа. Пробный учебник 9-10 классов средней школы. - М.: Просвещение, 1975.

6.Галицкий М.А., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа. - М.: Просвещение, 1989.

7.Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач: учебное пособие для 10 классов средней школы. - М.: Просвещение, 1989.

8.Яглом И.М. Комплексные числа и их приложения в геометрии. Изд. 2-е, стереотипное. - М.: Едиториал УРСС, 2004.

Размещено на Allbest.ru