Исчезновение фигур

Размещено на http://www.allbest.ru/

УО Речицкая государственная гимназия №1

Учебно-исследовательская работа

тема: Исчезновение фигур

Гомель, 2010

Введение

В этом году мы поступили в гимназию, где на нас сразу обрушилась «лавина» знаний. Каждый предмет важен и интересен, но интереснее и увлекательнее всего для нас стала математика. Каждую неделю мы решаем все новые и новые задачи, открываем для себя все новые и новые темы. Если раньше казалось, что математика скучна и сложна, то теперь мы открыли для себя, что математика решает задачи и проблемы, возникающие в жизни, нужно только перевести их на язык математики. Но самыми веселыми и неожиданными стали для нас математические фокусы, головоломки и парадоксы, которые мы учимся не только показывать, но и стараемся разобраться в их сути. Они научили нас, что не всегда нужно верить тому, что видишь глазами, нужно еще проверить, что есть на самом деле, а может быть, еще и доказать обратное увиденному. А помогает в этом математика. На внеклассных занятиях мы решаем головоломки и фокусы с числами, буквами. Но для своей исследовательской работы мы выбрали парадоксы с геометрическими фигурами, так как после изучения принципа возникновения парадокса, у нас появились возможности для творчества и создания своих собственных моделей. Мы поставили перед собой цели:

· разобрать принцип возникновения парадоксов,

· создать свои модели, основанные на этом принципе,

· учиться популярно объяснять результаты своей работы,

внести свой вклад в доказательство принципа, что математика - это не «ловкость рук и никакого мошенничества», а ловкость ума и никакого мошенничества!

Теоретическая часть

В близкой связи с парадоксами, рассмотренными в предыдущей главе, находится другой класс парадоксов, в котором «принципом скрытого перераспределения» объясняется таинственное исчезновение или появление площадей.

Шахматная доска разрезается наискось, как это изображено на левой половине рисунка, а затем часть В сдвигается влево вниз, как это показано на правой половине рисунка.

Если треугольник, выступающий в правом верхнем углу, отрезать ножницами и поместить на свободное место, имеющее вид треугольника в левом нижнем углу рисунка, то получится прямоугольник в 7Ч9 квадратных единиц. Первоначальная площадь равнялась 64 квадратным единицам, теперь же она равна 63. Куда исчезла одна недостающая квадратная единица?

Ответ состоит в том, что наша диагональная линия проходит несколько ниже левого нижнего угла клетки, находящейся в правом верхнем углу доски. Благодаря этому отрезанный треугольник имеет высоту, равную не 1, а , и, таким образом, высота равна не 9, а единицам. Увеличение высоты на единицы почти незаметно, но, будучи принято в расчет, оно приводит к требуемой площади прямоугольника в 64 квадратные единицы. Связь нашего парадокса с парадоксом вертикальных линий становится ясной, если проследить за клетками у линии разреза. При продвижении вдоль линии разреза вверх обнаруживается, что над линией части разрезанных клеток (на. рисунке они затемнены) постепенно уменьшаются, а под линией постепенно увеличиваются. На шахматной доске было пятнадцать затемненных клеток, а на прямоугольнике, получившемся после перестановки частей, их стало только четырнадцать. Кажущееся исчезновение одной затемненной клетки есть просто другая форма рассмотренного выше парадокса. Когда мы отрезаем и затем перемещаем маленький треугольничек, мы фактически разрезаем часть А шахматной доски на два куска, которые затем меняются местами вдоль диагонали. Для головоломки важны только клетки, прилежащие к линии разреза, остальные же никакого значения не имеют, играя роль оформления. Однако присутствие их меняет характер парадокса.

Парадокс с площадью

Вот еще один парадокс с площадью. Меняя положение частей А и С, как показано на рис., можно превратить прямоугольник площадью в 30 квадратных единиц в два меньших прямоугольника с общей площадью в 32 квадратные единицы, получая, таким образом, «выигрыш» в две квадратные единицы. Как и в предыдущем парадоксе, здесь играют роль только клетки, примыкающие к линии разреза. Остальные нужны лишь как оформление.

В этом парадоксе существуют два существенно различных способа разрезывания фигуры на части. Можно начать с большого прямоугольника размером 3Ч10 единиц, аккуратно проводя в нем диагональ, тогда два меньших прямоугольника будут на единицы короче своих кажущихся размеров. Но можно также начать с фигуры, составленной из двух аккуратно начерченных меньших прямоугольников размером 2Ч6 и 4Ч5 единиц; тогда отрезки, соединяющие точку X с точкой Y и точку Y с точкой Z, не будут составлять прямую линию. И только потому, что образуемый ими тупой угол с вершиной в точке Y весьма близок к развернутому, ломаная XYZ кажется прямой линией. Поэтому фигура, составленная из частей малых прямоугольников, не будет в действительности прямоугольником, так как эти части будут слегка перекрываться вдоль диагонали. Итак, объяснение каждого из парадоксов имеет два варианта: в одном из них парадокс получается за счет незначительного уменьшения или увеличения высоты (или ширины) фигур, в другом -- за счет прироста или потери площади вдоль диагонали, вызываемых либо перекрыванием фигур, как в только что рассмотренном случае, либо появлением пустых мест.

Вариант с квадратом

Возьмем два прямоугольника размером 3Ч8 и 5Ч8 единиц, которые будучи приставлены друг к другу, образуют обычную шахматную доску в 8Ч8 клеток. Эти прямоугольники разрезаются на части, которые после перераспределения образуют новый большой прямоугольник с кажущимся приростом площади в одну квадратную единицу.

Суть парадокса состоит в следующем. При аккуратном построении чертежа квадрата строгой диагонали большого прямоугольника не получается. Вместо нее появляется ромбовидная фигура, настолько вытянутая, что стороны ее кажутся почти слившимися. С другой стороны, при аккуратном проведении диагонали большого прямоугольника высота верхнего из двух прямоугольников, составляющих квадрат, будет чуть больше, чем это должно быть, а нижний прямоугольник -- чуть шире. Заметим, что неаккуратное смыкание частей фигуры при втором способе разрезывания больше бросается в глаза, чем неточности вдоль диагонали в первом; поэтому первый способ предпочтительнее.

Числа Фибоначчи

Оказывается, что длины сторон четырех частей, составляющих фигуры, являются членами ряда Фибоначчи, т. е. ряда чисел, начинающегося с двух единиц: 1, 1, каждое из которых, начиная с третьего, есть сумА двух предшествующих. Наш ряд имеет вид 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …

Расположение частей, на которые был разрезан квадрат, в виде прямоугольника иллюстрирует одно из свойств ряда Фибоначчи, а именно следующее: при возведении в квадрат любого члена этого ряда получается произведение двух соседних членов ряда плюс или минус единица. В нашем примере сторона квадрата равна 8, а площадь равна 64.

Восьмерка в ряду Фибоначчи расположена между 5 и 13. Так как числа 5 и 13 становятся длинами сторон прямоугольника, то площадь его должна быть равной 65, что дает прирост площади в одну единицу. Благодаря этому свойству ряда можно построить квадрат, стороной которого является любое число Фибоначчи, большее единицы, а затем разрезать его в соответствии с двумя предшествующими числами этого ряда.

Если, например, взять квадрат в 13Ч13 единиц, то три его стороны следует разделить на отрезки длиной в 5 и 8 единиц, а затем разрезать. Площадь этого квадрата равна 169 квадратным единицам. Стороны прямоугольника, образованного частями квадратов, будут 21 и 8, что дает площадь в 168 квадратных единиц. Здесь благодаря перекрыванию частей вдоль диагонали одна квадратная единица не прибавляется, а теряется.

Если взять квадрат со стороной 5, то тоже произойдет потеря одной квадратной единицы. Можно сформулировать и общее правило: приняв за сторону квадрата какое-нибудь число из «первой» подпоследовательности расположенных через одно чисел Фибоначчи (3, 8, …) и составив из частей этого квадрата прямоугольник, мы получим вдоль его диагонали просвет и как следствие кажущийся прирост площади на одну единицу. Взяв же за сторону квадрата какое-нибудь число из «второй» подпоследовательности (2, 5, 13, …), мы получим вдоль диагонали прямоугольника перекрывание площадей и потерю одной квадратной единицы площади.

Чем дальше мы продвигаемся по ряду чисел Фибоначчи, тем менее заметными становятся перекрывания или просветы. И наоборот, чем ниже мы спускаемся по ряду, тем они становятся более существенными. Можно построить парадокс даже на квадрате со стороной в две единицы. Но тогда в прямоугольнике 3Ч1 получается столь очевидное перекрывание, что эффект парадокса полностью теряется.

Используя для парадокса другие ряды Фибоначчи, можно получить бесчисленное множество вариантов. Так, например, квадраты, основанные на ряде 2, 4, 6, 10, 16, 26 и т. д., приводят к потерям или приростам площади в 4 квадратные единицы. Величину этих потерь или приростов можно узнать, вычисляя для данного ряда разности между квадратом любого его члена и произведением двух его соседних членов слева и справа. Ряд 3, 4, 7, 11, 18, 29 и т. д. дает прирост или потерю в пять квадратных единиц.

Обозначив какие-нибудь три последовательных числа Фибоначчи через А, В и С, а через X -- потерю или прирост площади, мы получим следующие две формулы:

Если подставить вместо X желаемый прирост или потерю, а вместо В число, которое принято за длину стороны квадрата, то можно построить квадратное уравнение, из которого найдутся два других числа Фибоначчи, хотя это, конечно, не обязательно будут рациональные числа. Оказывается, например, что, деля квадрат на фигуры с рациональными длинами сторон, нельзя получить прирост или потерю в две или три квадратные единицы. С помощью иррациональных чисел это, конечно, можно достигнуть. Так, ряд Фибоначчи дает прирост или потерю в две квадратные единицы, а ряд ]. приводит к приросту или потере в три квадратные единицы.

парадокс фибоначчи фигура исчезновение

Вариант с прямоугольником

Существует много способов, которыми прямоугольник можно разрезать на небольшое число частей, а затем сложить их в виде другого прямоугольника большей или меньшей площади. Подобно только что рассмотренному случаю с квадратом, выбор какого-нибудь числа Фибоначчи из «второй» подпоследовательности в качестве ширины первого прямоугольника (в рассматриваемом случае 13) приводит к увеличению площади второго прямоугольника на одну квадратную единицу.

Если же за ширину первого прямоугольника принять какое-нибудь число Фибоначчи из «дополнительной» подпоследовательности, то во втором прямоугольнике площадь уменьшится на одну единицу. Потери и приросты площади объясняются небольшими перекрываниями или просветами вдоль диагонального разреза второго прямоугольника. Другой вариант такого прямоугольника, показанный на рис. 11, при построении второго прямоугольника приводит к увеличению площади на две квадратные единицы. Если заштрихованную часть площади второго прямоугольника поместить над незаштрихованной частью, два диагональных разреза сольются в одну большую диагональ. Переставляя теперь части А и В, мы получим второй прямоугольник большей площади.

Еще один вариант парадокса

Это происходит за счет площадей заштрихованных частей: на верхней части рисунка имеется 15 заштрихованных квадратиков, на нижней -- 16. Заменяя заштрихованные куски двумя покрывающими их фигурами специального вида, мы приходим к новой форме парадокса. Теперь перед нами прямоугольник, который можно разрезать на 5 частей, а затем, меняя их местами, составить новый прямоугольник, причем, несмотря на то, что его линейные размеры остаются прежними, внутри появляется отверстие площадью в одну квадратную единицу. Возможность преобразования одной фигуры в другую, тех же внешних размеров, но с отверстием внутри периметра, основана на следующем. Если взять точку X точно в трех единицах от основания и в пяти единицах от боковой стороны прямоугольника, то диагональ через нее проходить не будет. Однако ломаная, соединяющая точку X с противоположными вершинами прямоугольника, будет так мало отклоняться от диагонали, что это будет почти незаметно. После перестановки треугольников В и С на нижней половине рисунка части фигуры будут слегка перекрываться вдоль диагонали.

С другой стороны, если в верхней части рисунка рассматривать линию, соединяющую противоположные вершины прямоугольника, как точно проведенную диагональ, то линия XW будет чуть длиннее трех единиц. И как следствие этого второй прямоугольник будет несколько выше, чем кажется. В первом случае недостающую единицу площади можно считать распределенной с угла на угол и образующей перекрывание вдоль диагоналей. Во втором случае недостающий квадратик распределен по ширине прямоугольника. Как мы уже знаем из предыдущего, все парадоксы такого рода можно отнести к одному из этих двух вариантов построения. В обоих случаях неточности фигур настолько незначительны, что они оказываются совершенно незаметными.

Наиболее изящной формой этого парадокса являются квадраты, которые после перераспределения частей и образования отверстия остаются квадратами.

Вариант с треугольником

Вернемся к первому примеру парадокса. Заметим, что большой треугольник А не меняет своего положения, в то время как остальные части перемещаются. Поскольку этот треугольник не играет существенной роли в парадоксе, его можно вообще отбросить, оставляя только правый треугольник, разрезанный на четыре части. Эти части можно затем перераспределить, получая при этом прямоугольный треугольник с отверстием, будто бы равный исходному.

Так же как и в ранее рассмотренных парадоксах, эти треугольники можно строить двумя способами: либо проводить их боковые стороны строго прямолинейно, тогда точка X не попадет на пересечение линий квадратной сетки, либо помещать точку X точно в пересечение, тогда боковые стороны будут слегка выпуклыми или вогнутыми. Последний способ, кажется, лучше маскирует неточности чертежа. Парадокс покажется еще более удивительным, если на частях, составляющих треугольник, нанести линии квадратной сетки, подчеркивая этим самым, что части изготовлялись с необходимой аккуратностью.

Квадраты из четырех частей

Все рассмотренные нами до сих пор виды парадоксов с изменением площади близко связаны между собой по способу построения. Однако существуют парадоксы, полученные и совершенно отличными методами. Можно, например, разрезать квадрат на четыре части одинаковой формы и размера, а затем составить их по-новому. При этом получается квадрат, размеры которого кажутся не изменившимися и в то же время с отверстием в середине. Подобным же образом можно разрезать прямоугольник с любым соотношением длин сторон. Любопытно, что точка А, в которой пересекаются две взаимно перпендикулярные линии разреза, может при этом находиться в любом месте внутри прямоугольника. В каждом случае при перераспределении частей появляется отверстие, причем размер его зависит от величины угла, образованного линиями разреза со сторонами прямоугольника. Этот парадокс отличается сравнительной простотой, однако он много теряет благодаря тому, что даже при поверхностном изучении видно, что стороны второго прямоугольника должны быть немного больше, чем стороны первого.

Более сложный способ разрезания квадрата на четыре части, при котором получается внутреннее отверстие. Он основан на парадоксе с шахматной доской. Заметим, что при перераспределении частей две из них нужно перевернуть обратной стороной кверху. Заметим также, что при отбрасывании части А мы получаем прямоугольный треугольник, составленный из трех частей, внутри которого можно образовать отверстие.

Заключение

1. Парадокс - явление, кажущееся невероятным и неожиданным. Так гласит одно из определений парадокса в толковом словаре русского языка. Мы убедились в том, это действительно явление, только кажущееся невероятным. На самом деле оно имеет объяснимое математическое решение.

2. Мы научились сами создавать новые геометрические модели, при трансформации которых возникает парадокс с появлением или исчезновением новых элементов или площадей.

3. На внеклассных мероприятиях мы продемонстрировали математические парадоксы. Самым интересным для нас оказалось объяснить суть парадокса нашим одноклассникам, чтобы они поняли, что математика - это не «ловкость рук и никакого мошенничества», а ловкость ума и никакого мошенничества!

4. Мы также приняли участие в «Бале науки», где защищали утверждение, что математика - важнейшая из наук!

5. Теперь, готовясь к математической олимпиаде, мы не только решаем отдельные задания, но стали тщательнее изучать теоретический материал по каждой теме, являющийся основой знаний.

Список использованных источников и литературы