Числовые множества

Размещено на http://www.allbest.ru/

Числовые множества

Основные понятия

Будем рассматривать множества, элементами которых являются числа. Такие множества называются числовыми. Числовые множества задаются на оси действительных чисел R. На этой оси выбирают масштаб и указывают начало отсчета и направление. Наиболее распространенные числовые множества:

· _ множество натуральных чисел;

· _ множество целых чисел;

· - множество рациональных или дробных чисел;

· _ множество действительных чисел.

Множество всех рациональных чисел является счетным множеством. Счетным является множество всех точек плоскости (пространства) имеющих рациональные координаты.

Множество всех действительных чисел является несчетным: оно имеет мощность, называемую континуумом.

Некоторое непустое подмножество множества действительных чисел называют ограниченным сверху (снизу), если существует действительное число такое, что выполняется неравенство ().

Всякое число с указанным свойством называют верхней (нижней) гранью множества .

Непустое подмножество множества действительных чисел называется ограниченным, если оно ограничено и сверху и снизу.

В противоположность этому определению, множество называется неограниченным сверху (снизу), если какое бы число мы бы не предложили в качестве верхней (нижней) границы множества , всегда найдется элемент этого множества, который будет больше (меньше) .

Множество, неограниченное как сверху, так и снизу, называется неограниченным множеством.

Наименьшую из верхних граней непустого подмножества множества действительных чисел называют точной верхней гранью этого множества и обозначают sup . Наибольшую из нижних граней непустого подмножества множества действительных чисел называют точной нижней гранью этого множества и обозначают inf . Символы sup и inf являются сокращениями от supremum (самый верхний) и infimum (самый нижний).

Примем без доказательства утверждение о том, что всякое ограниченное сверху (снизу) множество имеет точную верхнюю (нижнюю) грань.

Граничной точкой множества называется точка, у которой в любом содержащем ее открытом промежутке найдутся как точки, принадлежащие множеству, так и точки, не принадлежащие множеству. Сама граничная точка может, как принадлежать множеству, так и не принадлежать ему.

Граница множества - совокупность граничных точек множества:

· (множество натуральных чисел) ограниченно снизу (например, числом ) и не ограничено сверху;

· (множество действительных чисел) неограничено;

· множество отрицательных чисел неограничено снизу и ограничено сверху.

Соединения. Бином Ньютона

Рассмотрим совокупность различных элементов . Произвольная упорядоченная выборка из этих элементов:

 ( )называется соединением. Эта выборка может быть как без повторений, так и с повторениями.

Раздел элементарной математики, в котором для конечных множеств рассматриваются различные соединения элементов, такие, как сочетания, размещения, перестановки, а также все виды соединений с повторениями называется комбинаторика. Задачи комбинаторики впервые рассматривались в связи с возникновением теории вероятностей, где к задачам комбинаторики приводит подсчет вероятностей на основе гипотезы равновозможных элементарных событий.

Размещениями из элементов по () называют их соединения, каждое из которых содержит ровно различных элементов (выбранных из данных элементов) и которые отличаются либо сами элементами, либо порядком элементов.

Определим число размещений из элементов по .

Будем строить произвольное соединение последовательно. Сначала определим его первый элемент . Очевидно, что из данной совокупности элементов его можно выбрать различными способами. После выбора первого элемента , для второго элемента остается способов выбора и т.д. Так как каждый такой выбор дает новое размещение, то все эти выборы можно свободно комбинировать между собой. Для элементов формула приобретает вид:

Соединения из элементов, каждое из которых содержит все элементов, и которые отличаются лишь порядком элементов, называются перестановками .

Перестановки являются частным случаем размещений. Так как каждая перестановка содержит все элементов множества, то различные перестановки отличаются друг от друга только порядком элементов.

Сочетаниями из элементов по () называют такие их соединения, каждое из которых содержит ровно данных элементов, и которые отличаются хотя бы одним элементом.

Рассмотрим все допустимые сочетания элементов .

Делая в каждом из них возможных перестановок их элементов, очевидно, получим все размещения из элементов по :

.

Числа являются коэффициентами в формуле бинома Ньютона:

Свойства сочетаний:

1.

2.

3.

4.

5.

Свойства 1 и 2 очевидно следуют из определения , свойства 3 и 4 доказываются с помощью бинома Ньютона, полагая для свойства 3 что и , а для свойства 4 что и . Свойство 5 можно проверить следующим образом:

Это свойство позволяет последовательно вычислять биномиальные коэффициенты с помощью так называемого треугольника Паскаля:

Здесь каждое число, кроме крайних единиц, является суммой двух вышерасположенных.

Комплексные числа

В арифметике и алгебре рассматривают различные действия над числами: арифметические (сложение, вычитание, умножение, деление), возведение в степень, извлечение корня и т.д. Только два действия - сложение и умножение - безусловно, выполнимы в области натуральных чисел: сумма и произведение натуральных чисел - также натуральные числа. Однако в области арифметики натуральных чисел уже вычитание не всегда выполнимо - для возможности образования разности двух натуральных чисел множество нужно дополнить до множества целых чисел , введя в него ноль и целые отрицательные числа. Такие операции как деление и извлечение корня становятся выполнимыми только после расширения рассматриваемой числовой области: множество целых чисел должно быть, соответственно, дополнено вначале до множества за счет введения рациональных чисел, а потом и до множества действительных чисел за счет введения иррациональных чисел.

Этот процесс можно схематически изобразить цепочкой , где , , , обозначают соответственно множества натуральных, целых, рациональных и действительных чисел. Причем каждая последующая числовая система сохраняет все основные свойства предыдущей и обладает рядом новых полезных свойств. Так, в можно только складывать и умножать, в можно уже вычитать, в _ делить. Во множестве действительных чисел можно извлекать корни любой степени из положительных чисел, хотя в даже число не имеет смысла. Но и в множестве действительных чисел такое простое уравнение не имеет решений. Так как многие задачи практики приводят к алгебраическим уравнениям, требуется построить новое множество, содержащее множество действительных чисел и решение любого алгебраического уравнения. Символом , который называется мнимой единицей, обозначим корень уравнения , или . Множество , которое представляет собой множество всех двучленов вида , называется множеством комплексных чисел. Действительное число называется действительной частью комплексного числа , _ мнимой частью или коэффициентом при мнимой единице. Два комплексных числа и будут равны тогда и только тогда, когда . При этом действительные числа рассматриваются как частный случай комплексных чисел, мнимая часть которых равна нулю (). Комплексное число равно нулю тогда и только тогда, когда равны нулю его действительная и мнимая части.

Операции сложения, вычитания и умножения над числами вида производятся по обычным правилам алгебры с единственным дополнительным условием:

Операции над комплексными числами

Алгебраическую операцию сложения на множестве можно задать следующим образом:

.

Сложение комплексных чисел ассоциативно, т.е. и коммутативно, т.е. . Сумма чисел , поэтому число является противоположным числу , тем самым определена операция вычитания . Учитывая, что через обозначен корень уравнения , т.е. или , можно определить умножение комплексных чисел:

.

Умножение также ассоциативно и коммутативно. Произведение нескольких сомножителей вычисляется как последовательное умножение. Натуральная степень комплексного числа может быть найдена при помощи формулы бинома Ньютона. Поскольку , , , , , при возведении в любую натуральную степень , надо найти остаток от деления на 4 и возвести в степень, равную этому остатку.

Чтобы определить деление комплексных чисел, нужно определить число обратное числу . Для действительного числа обратным будет число .

Выражение запишем в стандартной форме. Для этого умножим числитель и знаменатель на комплексное число :

,

где .

Значит, для любого ненулевого комплексного числа существует обратное. Таким образом, операция деления определена как произведение делимого на число, обратное делителю.

Множество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел, любое действительное число можно записать в виде .

Число называется сопряженным числу и обозначается .

Сумма и произведение сопряженных чисел являются числами действительными:

;

.

Число называется модулем или абсолютной величиной комплексного числа . Очевидно, что .

Свойства сопряжения:

;

.

Каждому комплексному числу поставим в соответствие точку плоскости, координатами которой в прямоугольной системе координат являются числа и .

Рис. 3.1.

Тогда каждой точке плоскости будет соответствовать единственное комплексное число . В результате получается взаимно однозначное соответствие между множеством комплексных чисел C и множеством точек плоскости, которое позволяет отождествить произвольное комплексное число с точкой плоскости, имеющей в выбранной системе координат координаты . При этом точки горизонтальной координатной оси изображают действительные числа и поэтому эту ось называют действительной осью, а по вертикальной оси откладываются мнимые части комплексных чисел, поэтому вертикальная ось называется мнимой осью.

Расстояние от точки до начала координат есть действительное неотрицательное число , которое называется модулем комплексного числа и обозначается . Угол между положительным направлением действительной оси и радиус-вектором точки называется аргументом и обозначается . Для числа 0 аргумент не определен, для остальных комплексных чисел аргумент определяется с точностью до целых кратных , при этом положительные углы отсчитываются против часовой стрелки.

Пусть . Из рис. 3.1 ясно, что модуль числа находится по формуле . Аргумент числа определяется из равенств , .

Отсюда:

(3.1)

Запись числа в виде (3.1) называется тригонометрической формой комплексного числа.

Если воспользоваться формулой Эйлера,

(3.2)

то от тригонометрической формы записи комплексного числа (3.2) несложно перейти к его показательной форме записи:

.

Пусть и _ сопряженные числа. Если , то . Геометрически и являются точками, симметричными относительно действительной оси (рис. 3.2). Отсюда вытекают равенства .

Перемножать и делить комплексные числа удобнее, если они представлены в тригонометрической форме:

(3.3)

В показательной форме:

При умножении комплексных чисел их аргументы складываются, а модули перемножаются. Это правило верно для любого числа сомножителей.

Аналогично,

(3.4)

При выполнении деления комплексных чисел в тригонометрической форме их аргументы вычитаются, а модули нужно разделить.

Формула Муавра. Извлечение корня из комплексного числа

Используя формулу умножения комплексных чисел (3.3), получим формулу возведения комплексного числа в степень, называемую формулой Муавра:

(3.5)

Из нее следует, что для возведения комплексного числа в любую натуральную степень его модуль нужно возвести в эту степень, а аргумент умножить на показатель этой степени.

Перейдем к процедуре извлечения корней. Известно, что во множестве действительных чисел не из всякого действительного числа можно извлечь корень. Например, не существует. В множестве комплексных чисел дело обстоит иначе.

Пусть . Комплексное число называется корнем -й степени из , если , т.е.:

или

.

Модуль комплексного числа определяется однозначно, поэтому или (здесь имеется в виду арифметический корень).

Аргумент комплексного числа определяется с точностью до . Следовательно, , а .

Таким образом, комплексное число , которое является корнем -й степени из имеет вид:

(3.6)

Придавая различные значения, мы не всегда будем получать различные корни. Действительно, можно записать в виде , где . Тогда:

чиловой множество ньютон паскаль муавр

,

Т.е. значение аргумента при данном отличается от значения аргумента при на число, кратное . Следовательно, в формуле (2) можно ограничится лишь значениями . При таких значениях получаются различные корни, так как разность между их аргументами по абсолютной величине меньше .

Итак, для каждого ненулевого числа существует ровно корней -й степени из .

Пример. Вычислить .

Представим число, стоящее под знаком корня, в тригонометрической форме:

.

Извлечем далее корень третьей степени из этого комплексного числа:

.

Отсюда полагая, что , получим:

;

;

.

Размещено на Allbest.ru