Размещено на http://www.allbest.ru/

РЯДЫ

Основные понятия

Пусть _ последовательность действительных чисел. Рассмотрим последовательность , построенную следующим образом:

;

;

;

;

Последовательность удобно записывать в виде . Такую последовательность называют числовым рядом. Числа называют членами или элементами ряда. Числовой ряд задают обычно перечислением его элементов или указанием формулы, с помощью которой для заданного можно вычислить -й член ряда.

Пример. Ряд имеет -й член .

Поэтому

т.е. .

Рассмотрим ряд:

(1)

Сумму называют -й частной суммой ряда (1). Если последовательность частных сумм ряда (1) сходится, то ряд (1) называют сходящимся, а число называют суммой ряда. Если же последовательность не имеет конечного предела, то ряд (1) называют расходящимся.

Пример. Рассмотрим ряд . Для него , что представляет собой сумму первых членов геометрической прогрессии.

· Если , то и .

· Если , то и .

· Если , то и .

· Если ,

то

и не существует.

Таким образом, ряд при сходится и расходится при . Этот ряд называется геометрическим.

Пусть ряд (1) сходится и _ его сумма. Поскольку,

, (2)

то при получаем .

Откуда следует необходимое условие сходимости ряда: если ряд сходится, то:

. (3)

Если условие (3) не выполнено, то ряд расходится.

Пример. Ряд расходится, т.к. и .

Условие (3) не является достаточным для сходимости рядя. Даже если оно выполнено, ряд может расходиться. Покажем это на примере гармонического ряда . Для этого ряда при , т.е. условие (3) выполнено. В то же время:

,

.

Поэтому .

Предположим, что гармонический ряд сходится и _ его сумма, т.е. при . Поскольку , то при получаем _ противоречие. Значит, предположение о сходимости гармонического ряда было неверным.

Несколько первых членов ряда не влияют на его сходимость. Если у ряда (1) удалить несколько первых членов, то получим ряд , называемый остатком ряда (1). Сходимость ряда равносильна сходимости его любого остатка.

Положительные ряды

Среди числовых рядов выделяются ряды, все члены которых неотрицательны. Такие ряды называют положительными. У такого ряда последовательность его частных сумм является возрастающей и, поэтому для его сходимости достаточно, чтобы последовательность была ограниченной. Вывод о сходимости или расходимости положительного ряда может быть сделан на основании сравнения членов этого ряда с членами некоторого эталонного ряда, поведение которого (сходимость или расходимость) известно. Соответствующие теоремы называют признаками сравнения. Приведем некоторые из них.

Будем рассматривать два положительных ряда:

(4)

(5)

1. Пусть существует номер такой, что .

Если ряд (5) сходится, то сходится и ряд (4). Если ряд (4) расходится, то расходится и ряд (5).

Пример. Рассмотрим ряд . Сравним этот ряд с гармоническим рядом . Так как , то ряд расходится.

Пример. Рассмотрим ряд . Сравним его со сходящимся геометрическим рядом . Поскольку , то ряд сходится.

2. Пусть существует конечный или бесконечный предел .

· Если , то из сходимости ряда (5) следует сходимость ряда (4).

· Если , то из расходимости ряда (5) следует расходимость ряда (4).

Пример. Рассмотрим ряд . Сравним его с гармоническим рядом. Поскольку при , то ряд расходится.

Пример. Рассмотрим ряд . Сравним его со сходящимся геометрическим рядом . Так как при , то ряд сходится.

Для положительных рядов доказаны признаки, позволяющие сделать вывод о сходимости или расходимости ряда, изучая поведение при его -го члена.

v Признак Даламбера. Пусть существует предел .

· Если , то ряд сходится;

· Если , то ряд расходится.

Пример. Рассмотрим ряд . Для этого ряда при . По признаку Даламбера ряд сходится.

Пример. Рассмотрим ряд . Для этого ряда при . По признаку Даламбера ряд расходится.

v Признак Коши. Пусть существует предел .

· Если , то ряд сходится;

· Если , то ряд расходится.

Пример. Рассмотрим ряд . Для этого ряда: . По признаку Коши ряд сходится.

Пример. Рассмотрим ряд . Для этого ряда: . Значит, ряд расходится.

Заметим, то признаки Даламбера и Коши не дают ответа, когда или . В этом случае можно исследовать ряд с помощью других признаков.

v Интегральный признак. Пусть _ положительная неубывающая функция, такая что . Если последовательность , сходится, то сходится и ряд . Если последовательность расходится, то расходится и исходный ряд.

Пример. Рассмотрим ряд (этот ряд называют обобщенным гармоническим рядом).

Функция убывающая, положительная и , , .

Если , то . Так как при , то последовательность расходится, значит, расходится и ряд. Впрочем, при исследуемый ряд - гармонический, и его расходимость была доказана ранее.

Если , то .

При , ; при . Таким образом, последовательность сходится при и расходится при .

Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при .

Пример. Рассмотрим ряд .

Функция

;

при .

Значит, ряд расходится.

Если в признаке сравнения 2 в качестве эталонного использовать обобщенный гармонический ряд, то можно получить так называемый степенной признак сходимости положительных рядов. Этот признак дает ответ на вопрос о сходимости ряда в некоторых случаях, когда признаки Коши и Даламбера ответа не дают.

v Степенной признак. Пусть при , где . Тогда при ряд расходится. При ряд сходится (условие равносильно тому, что при . Говорят, что эквивалентен при ).

Пример. Рассмотрим ряд . Для этого ряда

,

значит, признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. Можно убедиться, что и признак Коши не приведет к желаемому результату.

В то же время, эквивалентен , так как при . Значит, в этом случае и, следовательно, ряд сходится по степенному признаку.

Пример. Ряд имеет -й член , который эквивалентен . Значит, ряд расходится.

Знакочередующиеся ряды

Ряд вида:

(6)

называют знакочередующимся.

v Признак Лейбница. Если последовательность стремится к нулю монотонно, то ряд (6) сходится.

Пример. Рассмотрим ряд . Для него , причем, , т.е. последовательность монотонно убывает и . Поэтому ряд сходится.

Для исследования монотонности последовательности удобно ввести некоторую вспомогательную (дифференцируемую) функцию такую, что , и исследовать функцию на монотонность, воспользовавшись критерием монотонности дифференцируемой функции.

Пример. Для ряда последовательность при . Для исследования монотонности последовательности рассмотрим вспомогательную функцию . Заметим, что . Поскольку . Для функция убывает. Значит, , т.е. . Следовательно, последовательность убывает и . По признаку Лейбница ряд сходится.

Абсолютная сходимость

Рассмотрим произвольный числовой ряд:

(7)

(никаких предположений о знаках членов не делаем). Ряд (7) называют абсолютно сходящимся, если сходится ряд

. (8)

Пример. Ряд не является абсолютно сходящимся (хотя и сходится), так как ряд расходится.

Пример. Ряд сходится абсолютно, т.к. ряд сходится.

Теорема. Если ряд сходится абсолютно, то он сходится (в обычном смысле).

Это означает, что если сходится ряд (8), то сходится и ряд (7). Поскольку ряд _ положительный, то для его исследования можно использовать любой признак сходимости положительных рядов.

Функциональные ряды

В каждой точке определения функций если принять , то функциональный ряд:

преобразуется в числовой ряд:

,

который может оказаться как сходящимся, так и расходящимся.

Совокупность значений при которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости этого ряда.

Суммой ряда называется функция , определенная в каждой точке области сходимости ряда.

По определению предела означает, что

.

В общем случае зависит как от , так и от . Интерес представляют ряды, для которых зависит только от .

Последовательность функций сходится равномерно к на множестве , если .

Ряд сходится равномерно на множестве X к сумме , если последовательность его частичных сумм сходится равномерно на множестве к функции .

Теорема. Для того чтобы ряд сходился равномерно на множестве X, необходимо и достаточно, чтобы .

Для установления на практике равномерной сходимости рядов пользуются достаточными признаками.

v Признак равномерной сходимости, основанный на сравнении функционального ряда со сходящимся числовым.

Теорема. Если члены ряда удовлетворяют неравенствам , где , а числа, не зависящие от , и, если ряд сходится, то ряд сходится равномерно на множестве X.

v Достаточные условия непрерывности суммы ряда.

Теорема. Если функции определены и непрерывны на множестве X и ряд сходится равномерно к сумме S(x) , то эта сумма будет непрерывна на множестве X.

v Свойства равномерно сходящихся рядов.

Теорема. Если функции определены и непрерывны на отрезке и ряд сходится равномерно на к сумме , то его можно почленно интегрировать на этом отрезке

.

Теорема. Если функции определены на отрезке и существуют непрерывные производные на интервале , а ряд сходится на и равномерно сходится ряд , то сумма ряда имеет на интервале непрерывную производную, причем, .

Таким образом, ряд можно почленно дифференцировать.

Степенной ряд

Степенным рядом называется ряд вида:

, (9)

где _ числовые коэффициенты, _ фиксированное число и _ переменная.

Если зафиксировать , то получится числовой ряд. Если этот числовой ряд сходится, то говорят, что степенной ряд (9) сходится в точке . Множество всех точек , в которых ряд (9) сходится, называют множеством сходимости ряда (9).

Пример. Ряд сходится абсолютно при , т.к. при сходится. Если же , то не стремится к нулю, т.е. не выполнено необходимое условие сходимости и ряд расходится. Таким образом, множеством сходимости ряда является .

Множество сходимости всякого ряда (9) есть промежуток, середина которого находится в точке . Промежуток сходимости может быть отрезком, полуинтервалом, интервалом, бесконечным промежутком или промежутком нулевой длины, т.е. точкой . Число , равное половине длины промежутка сходимости, называют радиусом сходимости. Радиус сходимости ряда (9) может быть вычислен следующим образом:

, если такой предел существует;

1. , если такой предел существует.

Если в формулах 2. и 3. пределы равны 0, то . Если пределы равны , то .

Если _ конечное число, то промежуток принадлежит множеству сходимости. В ряде случаев множеству сходимости могут принадлежать также точки и .

Пример. Ряд имеет радиус сходимости .

Значит, интервал входит в промежуток сходимости. Исследуем сходимость ряда на концах интервала . При получаем ряд , который сходится по признаку Лейбница. При получаем ряд , который расходится. Таким образом, промежуток сходимости ряда - полуинтервал .

Пример. Ряд имеет радиус сходимости . Значит, интервал сходимости .

Изучим сходимость ряда на концах этого интервала. При получаем ряд , который сходится абсолютно. При получаем ряд , который также сходится. Значит, промежуток сходимости - отрезок .

Если функция в точке имеет производные любого порядка, то для нее можно построить степенной ряд:

(10)

Этот ряд называется рядом Тейлора для функции в точке .

Множество сходимости ряда (10) не всегда совпадает с областью определения функции , а его сумма не обязательно равна . Если сумма ряда (10) совпадает с на множестве , то можно написать:

(11)

В этом случае говорят, что на множестве разложена в степенной ряд (11). Справедливы следующие разложения:

, .

,

, .

, .

, .

При разложении функций в степенные ряды бывает удобным использовать разложения .

Пример. Разложить по степеням функцию .

Если обозначить , то, используя разложение , получаем: .

Поскольку разложение справедливо для , то может быть любым действительным числом.

Пример. Разложить по степеням функцию .

Обозначив и использовав разложение , получим .

Это разложение справедливо для , поскольку может быть любым числом.

Ряды Фурье

Рассмотрим функциональные ряды, суммы которых, в отличие от степенных рядов, имеют непустое конечное множество точек разрыва в области задания.

Функция называется кусочно-непрерывной на отрезке , если она непрерывна всюду, кроме конечного числа точек разрыва первого рода. Другими словами, область ее определения можно разбить на конечное число частичных отрезков , на каждом из которых:

1. функция ограничена и непрерывна во внутренних точках;

2. На концах каждого отрезка существуют конечные односторонние пределы , .

Под интегралом функции понимается число .

Можно доказать, что для кусочно-непрерывной на отрезке функции существует обобщенная первообразная (, ), и, следовательно, .

Функция называется кусочно-дифференцируемой (или кусочно-гладкой) на , если производная кусочно-непрерывна на отрезке .

Пусть функции и кусочно-непрерывны на отрезке . Скалярное произведение этих функций можно определить как .

Можно показать, что произведение двух кусочно-непрерывных на отрезке функций есть функция кусочно-непрерывная на этом отрезке и, следовательно, ее определенный интеграл на этом отрезке существует.

Тогда , .

Число называется нормой функции .

Очевидны свойства скалярного произведения:

1. - свойство коммутативности или симметрии;

2. - свойство ассоциативности или сочетательности;

3. , причем .

Функции и называются ортогональными, если , при этом , .

Рассмотрим основную систему тригонометрических функций общего периода :

.

Функции , и , называются основными гармониками. Их графиками являются синусоиды с амплитудами соответственно и . Гармоника и поэтому не рассматривается.

Лемма. Основные тригонометрические функции попарно ортогональны на любом промежутке, длина которого равна общему периоду этих функций, т.е. для стандартного отрезка справедливы условия ортогональности:

I. при ;

II. при ;

III. .

Условия ортогональности проверяются непосредственным интегрированием, в ходе которого используются формулы тригонометрии:

1) ;

2) ;

3) .

Например, при :

1)

,

т.к. при целых значениях ;

2)

;

3)

Пусть - кусочно-непрерывная периодическая функция периода .

Можно попытаться провести т.н. гармонический анализ , т.е. представить эту функцию в виде суммы конечного или бесконечного числа гармоник того же периода :

,

Таким образом, можно прийти к тригонометрическому ряду Фурье:

.

Коэффициент нулевой гармоники обычно берется с множителем .

Исторически эта задача впервые возникла при математической обработке результатов наблюдения высоты приливной волны, которая периодически повторяется с течением времени. Гармонический анализ высоты приливной волны позволил дать долгосрочные предсказания ее величины, что было весьма важно для мореплавателей.

Предположим, что ряд:

сходится на отрезке и допускает почленное интегрирование, в результате которого получится следующее:



Так как из условий ортогональности:

при , то получается

.

Отсюда: .

Интересно отметить, что свободный член тригонометрического ряда Фурье представляет собой среднее значение периодической функции .

Если умножить левую и правую части ряда на и почленно проинтегрировать, то получится:

.

Предварительно, следует отметить, что:

,

т.е. .

Отсюда, в силу условий ортогональности, а также с учетом нормировки, получается:

.

Следовательно: , а значит, заменяя на (что по смыслу формул допустимо), можно получить:

Аналогично, умножая обе части ряда на и почленно интегрируя, получим:



.

В данном случае условие нормировки:

,

т.е. .

В силу условий ортогональности:

Следовательно, , а значит:

.

Числа и называются коэффициентами Фурье функции .

Тригонометрический ряд:

,

коэффициентами которого являются коэффициенты Фурье данной периодической функции называется ее тригонометрическим рядом Фурье, независимо от того, будет ли сумма этого ряда равна функции или нет. В последнем случае говорят, что функция порождает ряд Фурье:

,

где знак ~ означает «соответствует».

Теорема сходимости. Пусть периодическая функция , определенная на , кроме, может быть, точек ее разрывов, и имеющая период , является кусочно-дифференцируемой (или кусочно-гладкой) на любом промежутке, длина которого равна периоду этой функции.

Тогда:

1. Ее тригонометрический ряд Фурье сходится для любого значения , т.е. существует сумма ряда Фурье

;

2. Сумма ряда Фурье равна функции в точках ее непрерывности = и равна среднему арифметическому пределов функции слева и справа в точках разрыва функции, т.е.:

Поскольку, для точек непрерывности функции можно записать , то в общем случае:

.

Таким образом, для тригонометрического ряда Фурье функции имеем:

,

где коэффициенты и определяются по формулам:

.

Если принять, что период функции равен , т.е. , то расчетные формулы значительно упрощаются:

где .

Ряды Фурье четных и нечетных функций

Рассмотрим симметричный интеграл:

где - функция, непрерывная или кусочно-непрерывная на отрезке .

Делая в первом интеграле подстановку , и учитывая независимость определенного интеграла от обозначения переменной интегрирования, получим:

· Пусть функция - четная, т.е. . Тогда:

.

Таким образом, симметричный интеграл от четной функции равен удвоенному интегралу от этой функции, взятому по половинному промежутку интегрирования.

· Пусть функция - нечетная, т.е. . Тогда: .

Таким образом, симметричный интеграл от нечетной функции равен нулю.

Теорема.

1. Ряд Фурье четной периодической функции содержит только косинусы кратных дуг, т.е. в его состав входят только четные гармоники, включая свободный член;

2. Ряд Фурье нечетной периодической функции содержит только синусы кратных дуг, т.е. в его состав входят только нечетные гармоники.

Доказательство:

1. Пусть функция - четная и периодическая с периодом , а и - ее коэффициенты. На основании формулы для вычисления ее коэффициентов и учитывая, что - нечетные функции, имеем .

Поэтому

, где:

.

2. Пусть функция - нечетная и периодическая с периодом , а и - ее коэффициенты. На основании формулы для вычисления ее коэффициентов и учитывая, что - четные функции, имеем .

Поэтому

, где:

.

Теорема доказана.

Понятие о рядах Фурье непериодических функций

Кусочно-дифференцируемую непериодическую функцию , заданную на бесконечной оси , нельзя представить ее рядом Фурье, так как его сумма, будучи суммой гармоник с общим периодом , есть функция периодическая с тем же периодом и, следовательно, не может быть равен функции для всех . Однако можно построить представление этой функции в виде соответствующего ряда Фурье на любом конечном промежутке.

Пусть интересующий промежуток есть , т.е. симметричен относительно начала координат (этого всегда можно добиться параллельным сдвигом оси ).

Построим функцию периода такую, что при .

Предполагая, что функция удовлетворяет условиям теоремы о сходимости, имеем:

, где коэффициенты и определяются по формулам:

.

Отсюда на основании тождества получим:

, где:

.

Теперь необходимо подсчитать сумму ряда на концевых точках .

Согласно общей формуле:

на основании тождества между и , а также периодичности функции очевидно, что ,

Таким образом, получается, что:

Из периодичности функции следует, что .

Пусть теперь необходимо непериодическую функцию представить в виде ряда Фурье периода на полупериоде .

Полагая ,

где - произвольная кусочно-дифференцируемая функция, получаем бесконечное множество рядов Фурье:

ряд фурье сходимость

, (),

дающих представление функции на интервале .

В частности, полагая, что (), т.е. что функция - четная, получим:

, (),

где .

Аналогично, полагая, что (), т.е. что функция - нечетная, получим:

,

где .

Таким образом, кусочно-дифференцируемую функцию, заданную на полупериоде, можно разложить в соответствующий ряд Фурье бесчисленным множеством способов. В частности, по желанию эту функцию на данном полупериоде можно представить в виде суммы четных гармоник или в виде суммы нечетных гармоник.

Размещено на Allbest.ru