Размещено на http://www.allbest.ru/

ПОНЯТИЕ КРАТНОГО ИНТЕГРАЛА

Введение

В теории определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции вводится понятие интегральной суммы, пределом которой является определенный интеграл. Определенный интеграл существует для трех типов функций: непрерывных, кусочно-непрерывных и монотонных. Задача интегрирования может быть также сформулирована и для функции переменных, заданной в ограниченной области с измеримым объемом . В этом случае не удается ввести простого понятия первообразной и неопределенного интеграла. Кратный интеграл вводится аналогично определенному интегралу как суммирование бесконечного числа бесконечно малых величин, т.е. через понятие мерной интегральной суммы, пределом которой является мерный интеграл.

1. Интегрирование функций многих переменных

Понятие двумерной интегральной суммы, пределом которой является двойной интеграл, можно ввести на основе задачи об объеме тела.

Задача: Найти объем тела, ограниченного сверху непрерывной поверхностью , снизу - конечной замкнутой областью плоскости и с боков - прямой цилиндрической поверхностью, построенной на границе объекта и имеющей образующие, перпендикулярные плоскости .

Для этого разобьем основание на конечное число элементарных ячеек и в каждой из этих ячеек выберем точку . Объем такого элемента равен . Объем всей фигуры можно приближенно найти как сумму с любой степенью точности в зависимости от числа ячеек и, соответственно, их размера. Если предположить, что число элементарных ячеек бесконечно возрастает, а их диаметр при этом является величиной бесконечно малой, то можно получить точное выражение для объема всей фигуры:

Таким образом, двойной интеграл имеет простой геометрический смысл, он выражает объем криволинейного цилиндрического бруса, ограниченного сверху непрерывной поверхностью , снизу - конечной замкнутой областью плоскости и с боков - прямой цилиндрической поверхностью, построенной на границе объекта и имеющей образующие, перпендикулярные плоскости .

Двумерной интегральной суммой от данной функции , определенной на области называется сумма парных произведений площадей элементарных ячеек области на значения функции в точке .

Двойным интегралом от функции определенной на области называется предел соответствующей двумерной интегральной суммы при неограниченном возрастании числа элементарных ячеек и стремлении к нулю их наибольшего диаметра при условии, что этот предел существует и не зависит от способа разбиения области на элементарные ячейки и выбора точек в них.

Теорема. Если область с кусочно-непрерывной границей ограничена и замкнута, а функция непрерывна в области , то двойной интеграл

т.е. предел соответствующей двумерной интегральной суммы существует и не зависит от способа разбиения области на элементарные ячейки и выбора точек в них.

Так как значение двойного интеграла не зависит от вида элементарных ячеек, то в дальнейшем целесообразно пользоваться наиболее удобным для декартовой системы координат разбиением на прямоугольную сетку, образованную пересечением двух систем прямых, параллельных соответственно координатным осям и . В этом случае элементарными ячейками являются прямоугольники, со сторонами и . Таким образом, в обозначении интеграла можно учесть что . Тогда:

.

Для вычисления двойного интеграла применяется процедура повторного интегрирования.

Предположим для определенности, что область интегрирования представляет собой криволинейную трапецию:

, ,

где и - однозначные непрерывные функции на отрезке . Важно отметить, что вертикаль, проходящая через любую точку на отрезке оси , пересекает границу области интегрирования только в двух точках: в точке входа и в точке выхода . Такая область называется стандартной относительно оси .

Теорема. Если для функции определенной в области (стандартной относительно оси ), существует двойной интеграл и существует интеграл , то

При этом, интеграл называется повторным. Таким образом, вычисление двойного интеграла сводится к вычислению двух интегралов: вначале находится внутренний интеграл по переменной (при этом переменная рассматривается как постоянная величина); после этого полученное выражение повторно интегрируется по переменной .

Задача вычисления кратного интеграла может быть обобщена на мерный случай и аналогично решена путем сведения кратного интеграла к повторному. Пусть функция определена и ограничена в замкнутой области . Область разбивается на элементарных частей , таких что , пересечением любой пары элементарных частей будет множество точек, размерность которого не превышает .

В каждой элементарной части выбирается точка и составляется интегральная сумма:

, ,

где объемная мера области ;

объемная мера области .

Для того чтобы вычислить интегральную сумму, необходимо, чтобы элементарные части допускали исчисление объемной меры в достаточно простой и редуктируемой форме.

кратным интегралом функции по области называется предел интегральной суммы при и, соответственно, . - наибольшая протяженность элементарной области для данного разбиения.

Этот предел не должен зависеть от способов разбиения на части и от выбора точек в каждой из них. Указанный интеграл можно представить в следующим образом:

По форме этот интеграл сходен с определенным интегралом , который также является пределом интегральной суммы:

,

где , , , , .

Очевидно, что в кратном интеграле, как и в случае определенного интеграла, интегральные суммы ограничены снизу и сверху значениями сумм Дарбу и :

,

где , .

Свойствами одномерных сумм Дарбу обладают и мерные суммы. При этом для любой ограниченной функции:

и , .

Необходимым и достаточным условием интегрируемости функции является условие , что эквивалентно выражению:

 при .

Величина называется колебанием функции в элементарной области и является величиной положительной при любом .

В результате можно установить, что к числу интегрируемых функций будут относиться функции, непрерывные на замкнутой области . При вычислении кратный интеграл сводится к повторному интегралу, т.е. вычислению обычного интеграла от внутреннего интеграла кратности .

2. Свойства кратного интеграла

интегральный сумма дарбу

1. Интеграл по области, имеющей нулевую «объемную» меру в , равен нулю. При этом к областям с нулевой «объемной» мерой в , относятся разнообразные множества, которые заданы в пространстве , .

2. Если две функции и интегрируемы в , то сумма этих функций также интегрируема в и .

3. Если функция интегрируема в , а - постоянная величина, то функция также интегрируема в и .

4. Пусть область является объединением областей и , а пересечение этих областей есть множество , размерность которого меньше . Если функция интегрируема в , то она интегрируема в и и при этом .

5. Если функция определена и интегрируема в , и при этом (за исключением, быть может, некоторой части с размерностью меньше ), то .

6. Если две функции и определены и интегрируемы в , причем , то .

7. Если функция определена и интегрируема в , то также интегрируема в , причем .

8. Если функция является постоянной , то .

9. Если функция определена и интегрируема в и ограничена снизу и сверху значениями и , соответственно (, , ), то .

Размещено на Allbest.ru