Размещено на http://www.allbest.ru/

ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

1. Интегральные суммы

Пусть функция задана на сегменте , . Обозначим символом разбиение сегмента при помощи некоторых несовпадающих друг с другом точек на частичных сегментов , , , . Точки , , , будем называть точками разбиения . Пусть - произвольная точка частичного сегмента , а - разность , которую мы в дальнейшем будем называть длиной частичного сегмента .

Определение. Число , где:

называется интегральной суммой (или суммой Римана) функции , соответствующей разбиению сегмента и данному выбору промежуточных точек на частичных сегментах .

Геометрический смысл интегральной суммы - площадь ступенчатой фигуры.

Введем обозначение .

Определение. Число называется пределом интегральных сумм при , если для любого положительного можно указать такое число , что для любого разбиения сегмента , для которого максимальная длина частичных сегментов меньше , независимо от выбора точек , на сегментах выполняется неравенство

, т.е. .

Определение.: Функция называется интегрируемой (по Риману) на сегменте , если существует конечный предел интегральных сумм этой функции при . Указанный предел называется определенным интегралом функции по сегменту и обозначается следующим образом:

.

Числа и называются, соответственно, верхним и нижним пределом интегрирования, а отрезок - интервалом интегрирования. В случае определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции, границами которой являются: ось , линии и , а также график функции . Обозначим через и соответственно точную верхнюю и точную нижнюю грани этой функции на сегменте .



Определение: Суммы:

называют соответственно верхней и нижней суммами Дарбу функции для данного разбиения сегмента .

Очевидно, что любая интегральная сумма данного разбиения сегмента заключена между верхней и нижней суммой и этого разбиения.

Свойства верхних и нижних сумм:

1. Для любого фиксированного разбиения и для любого промежуточные точки на сегментах можно выбрать так, что интегральная сумма будет удовлетворять неравенствам . Точки на сегментах можно выбрать также и таким образом, что интегральная сумма будет удовлетворять неравенствам .

2. Если разбиение сегмента получено путем добавления новых точек к точкам разбиения этого сегмента, то для верхних и нижних сумм этих разбиений выполнены неравенства и .

3. Пусть и - любые два разбиения сегмента . Тогда если , и , - соответственно нижние и верхние суммы разбиений и , то и .

4. Множество верхних сумм данной функции для всевозможных разбиений сегмента ограничено снизу. Множество нижних сумм ограничено сверху.

Обозначим через точную нижнюю грань множества верхних сумм, а через - точную верхнюю грань множества нижних сумм .

Определение: Числа и называются соответственно верхним и нижним интегралами Дарбу от функции .

5. Пусть разбиение сегмента получено из разбиения добавлением к последнему новых точек, и пусть, если , и , - соответственно нижние и верхние суммы разбиений и . Тогда для разностей и может быть получена оценка, зависящая от максимальной длины частичных сегментов разбиения , числа добавленных точек и точных верхней и нижней граней и функции на сегменте . Именно и .

6. Лемма Дарбу: Верхний и нижний интеграл Дарбу и от функции по сегменту являются соответственно пределами верхних и нижних сумм при и, следовательно, :

, , и при этом .

2. Необходимое и достаточное условие интегрируемости

Теорема: Для того, чтобы ограниченная на сегменте функция была интегрируемой на этом сегменте, необходимо и достаточно, чтобы для любого нашлось такое разбиение сегмента , для которого .

Определение: Число называется колебанием функции на сегменте .

Так как , то . Далее запишем в следующей форме:

.

Теорема: Для того, чтобы ограниченная на сегменте функция была интегрируемой на этом сегменте, необходимо и достаточно, чтобы для любого нашлось такое разбиение сегмента , для которого .

Другими словами, необходимым и достаточным условием интегрируемости функции на промежутке является выполнение условия

, или , где .

3. Равномерно непрерывные функции

Определение: Функция называется равномерно непрерывной на множестве , если для любого числа можно указать такое , что для любых двух точек и множества , удовлетворяющих уравнению , выполняется неравенство .

Теорема (теорема Кантора о равномерной непрерывности): Функция , определенная и непрерывная на сегменте равномерно непрерывна на этом сегменте. Следствие: Пусть функция непрерывна на сегменте . Тогда для любого числа можно указать такое , что на каждом принадлежащем сегменту частичном сегменте , длина которого меньше , колебание функции меньше .

4. Интегрируемость непрерывных, разрывных и монотонных функций

Теорема: Непрерывная на сегменте функция интегрируема на этом сегменте.

Теорема: Если функция определена и ограничена на сегменте , и если для любого числа можно указать конечное число интервалов, покрывающих все точки разрыва этой функции и имеющих общую длину меньше , то интегрируема на сегменте .

Следствие: Ограниченная на сегменте функция , имеющая лишь конечное число точек разрыва первого рода, интегрируема на этом сегменте. В частности, кусочно-непрерывная на данном сегменте функция интегрируема на этом сегменте.

Теорема: Монотонная на сегменте функция интегрируема на этом сегменте.

5. Основные свойства определенного интеграла

1. Будем считать, что определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю (по определению):

.

2. Будем считать, что при перемене мест верхнего и нижнего пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:

.

3. Пусть функции и интегрируемы на сегменте , тогда функции , и также интегрируемы на этом сегменте, причем:

.

4. Если функция интегрируема на сегменте , то функция (=const) интегрируема на этом сегменте, причем:

.

5. Если функция интегрируема на сегменте , то эта функция интегрируема на любом сегменте , содержащемся в сегменте .

6. Пусть функция интегрируема на сегментах и . Тогда эта функция интегрируема на сегменте , причем:

.

6. Оценки интегралов. Формулы среднего значения

1. Пусть интегрируемая на сегменте функция неотрицательна на этом сегменте. Тогда:

.

2. Если функция интегрируемая на сегменте и , то:

.

3. Если функция непрерывна, неотрицательна и не равна тождественно нулю на сегменте , то:

.

Если функции и интегрируемы на сегменте и всюду на этом сегменте, то:

.

4. Если функция , интегрируемая на сегменте , то и функция также интегрируема на этом сегменте, причем:

.

5. Пусть функции и интегрируемы на сегменте и . Тогда, если и - точные грани на сегменте , то:

.

6. Пусть функция интегрируема на сегменте , и пусть и - точные грани на сегменте . Тогда найдется такое число , удовлетворяющее неравенствам , что .

7. Основные правила интегрирования

Теорема: Любая непрерывная на интервале функция имеет на этом интервале первообразную. Одной из первообразных является функция:

,

где - любая фиксированная точка интервала .

Так как две первообразные данной функции отличаются на постоянную, то согласно теореме, любая первообразная непрерывной на сегменте функции имеет вид:

где - некоторая постоянная.

Полагая в последней формуле сначала , затем , и используя первое свойства определенного интеграла, получим:

, .

Из этих равенств вытекает соотношение:

,

которое называется основной формулой интегрального исчисления или формулой Ньютона - Лейбница.

Пусть выполнены следующие условия:

1) Функция непрерывна на отрезке ;

2) отрезок является множеством значений некоторой функции , определенной на отрезке и имеющей на этом отрезке непрерывную производную;

3) , .

При этих условиях справедлива формула:

Указанная формула называется формулой замены переменной в определенном интеграле.

Пусть функции и имеют непрерывные производные на сегменте . Тогда имеет место следующая формула интегрирования по частям для определенных интегралов:

.

Так как и , то эту формулу можно записать следующим образом:

.

8. Приложения определенного интеграла. Площадь плоской фигуры

Определение: Плоская фигура - часть плоскости, ограниченная простой замкнутой кривой , при этом кривая называется границей фигуры .

Определение: Мы будем говорить, что многоугольник вписан в фигуру , если каждая точка этого многоугольника принадлежит фигуре или ее границе.

Определение: Если все точки плоской фигуры и ее границы принадлежат некоторому многоугольнику, то мы будем говорить, что указанный многоугольник описан вокруг фигуры .

Замечание: Площадь любого вписанного в фигуру многоугольника не больше площади любого описанного вокруг фигуры многоугольника.

Пусть - числовое множество площадей вписанных в плоскую фигуру многоугольников, а - числовое множество площадей описанных вокруг плоской фигуры многоугольников. Очевидно, что множество ограничено сверху (площадью любого описанного вокруг фигуры многоугольника), а множество ограничено снизу (например, числом нуль).

Обозначим через точную верхнюю грань множества , через точную нижнюю грань множества .

Числа и называются соответственно нижней площадью и верхней площадью фигуры

Замечание: Нижняя площадь фигуры не больше верхней площади , т. е. .

Определение. Плоская фигура называется квадрируемой, если верхняя площадь этой фигуры совпадает с ее нижней площадью. При этом число называется площадью фигуры .

Теорема: Для того чтобы плоская фигура была квадирируемой, необходимо и достаточно, чтобы для любого положительного числа можно было указать такой описанный вокруг фигуры многоугольник и такой вписанный в фигуру многоугольник, что разность площадей которых была бы меньше , .

Определение: Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком заданной на сегменте непрерывной и неотрицательной функции , ординатами, проведенными в точках и , и отрезком оси между точками и .

Теорема: Криволинейная трапеция представляет собой квадрируемую фигуру, площадь которой может быть вычислена по формуле:

.

9. Объемы тел вращения

Пусть - некоторое конечное тело. Рассмотрим всевозможные многогранники, вписанные в тело , и всевозможные многогранники, описанные вокруг тела .

Пусть - числовое множество объемов вписанных в тело , а - числовое множество объемов описанных вокруг многогранников. Множество ограничено сверху (объемом любого описанного многогранника), а множество ограничено снизу (например, числом нуль).

Обозначим через точную верхнюю грань множества , а через точную нижнюю грань множества .

Числа и называются соответственно нижним объемом и верхним объемом тела .

Замечание: Нижний объем тела не больше верхнего объема этого тела, т. е. .

Определение: Тело называется кубируемым, если верхний объем этот тела совпадает с нижним объемом . При этом число называется объемом тела .

Теорема: Для того чтобы тело было кубируемым, необходимо и достаточно, чтобы для любого положительного числа можно было указать такой описанный вокруг тела многогранник и такой вписанные в тело многогранник, разность объемов которых была бы меньше .

Теорема: Пусть функция непрерывна на сегменте . Тогда тело , образованное вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , ординатами в точках и , и отрезком оси между точками и , кубируемо и его объем может быть найден по формуле:

.

10. Несобственные интегралы

При рассмотрении задачи интегрирования непрерывных и кусочно-непрерывных функций предполагалось, что эти подынтегральные функции являются ограниченными на отрезке интегрирования , а сам отрезок является конечным. Постановка задачи интегрирования возможна, когда одно из этих условий или оба они нарушены. В этом случае интегралы называются несобственными, а задача интегрирования формулируется несколько иначе. Рассмотрим оба случая:

· Подынтегральная функция неограниченна;

· Промежуток интегрирования бесконечен.

11. Интегрирование неограниченных функций

Предположим, что функция определена и непрерывна на промежутке и стремится к бесконечности при . Точку называют особой, если функция не ограничена в любой окрестности этой точки, но ограничена на любом отрезке, заключенном в промежутке .

Определение: Пусть функция неограничена на отрезке , однако ограничена на любом меньшем отрезке , где . Тогда, если существует конечный предел , то его принимают за несобственный интеграл от неограниченной функции , т.е.:

,

а интеграл называется сходящимся. Если этого предела не существует, или он бесконечен, то интеграл называется расходящимся.

Если особой точкой является точка , то несобственный интеграл определяется аналогично:

.

Если единственной особой точкой является внутренняя точка , принадлежащая интервалу , то полагают, что:

при условии, что оба несобственных интеграла справа сходятся.

12. Интегрирование по бесконечному промежутку

Определение: Пусть функция интегрируема на каждом отрезке , т.е. существует определенный интеграл . Тогда за несобственный интеграл принимают предел . Если этот предел существует и конечен, то интеграл называется сходящимся. Если этого предела не существует, или он бесконечен, то интеграл называется расходящимся.

Аналогично можно определить несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом:

.

При рассмотрении интеграла с бесконечными верхним и нижним пределами выбирается произвольная промежуточная точка и используется свойство аддитивности:

.

Если оба несобственных интеграла справа сходятся, то говорят, что существует и несобственный интеграл . Нетрудно показать, что выбор точки не влияет на конечный результат.

Следует отметить важное свойство несобственных интегралов, отличающее их от определенных интегралов.

Известно, что для определенных интегралов справедливо утверждение: если существует , то существует и интеграл .

В случае несобственных интегралов имеет место следующее утверждение: из сходимости несобственного интеграла от следует сходимость несобственного интеграла от . В этом случае говорят об абсолютной сходимости . В то же время, сходимость не означает сходимости . В этом случае называется условно сходящимся.

13. Приближенное вычисление определенных интегралов

Задача вычисления определенного интеграла не всегда может быть сведена к первообразной, поэтому разработаны численные методы, которые позволяют найти значение интеграла с достаточно высокой точностью. Суть этих методов - в замене подынтегральной функции интерполяционным многочленом. При этом возникает альтернативный выбор: осуществить замену подынтегральной функции одним интерполяционным многочленом высокой степени, описывающим изменение функции на всем интервале интегрирования .

14. Формула прямоугольников

интегрирование сумма прямоугольник

Вычисление интеграла методом прямоугольников заключается в определении суммы площадей элементарных прямоугольников, на которые делится площадь под кривой при делении интервала интегрирования на участков. При этом точность вычисления будет тем больше, чем больше , однако при этом требуемое время вычисления также увеличится.

Если за высоту прямоугольника принимается левая ордината участка, то метод вычисления называется методом левых прямоугольников, а если правая - методом правых прямоугольников.



Метод прямоугольников можно пояснить наглядно.

Формула вычисления интеграла методом левых прямоугольников имеют вид:

, где

Аналогично для правых прямоугольников:

Начальные значения равны:

	- для метода левых прямоугольников;
	- для метода правых прямоугольников.

15. Формула трапеций

В методе трапеций выполняется линейное интерполирование функции . На каждом интервале разбиения участок кривой заменяется хордой, стягивающей концевые точки, а интеграл функции на участке разбиения - площадью трапеции:

.

Тогда:

Размещено на Allbest.ru