Размещено на http://www.allbest.ru/

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

1. Понятие неопределенного интеграла

Интегрирование - операция, обратная дифференцированию, которая позволяет определять функцию , для которой заданная функция является ее производной:

.

Другими словами, если операция дифференцирования состоит в нахождении производной, то интегрирование - это операция отыскания первообразной.

Функция называется первообразной для функции , на промежутке , если для каждой точки этого промежутка .

Теорема. Если и - любые две первообразные для данной функции на промежутке , то для всех выполняется равенство .

Доказательство:

Таким образом, все семейство первообразных для данной функции имеет вид , где одна из первообразных, а произвольная постоянная.

Совокупность всех первообразных для функции на промежутке называется неопределенным интегралом функции .

Неопределенный интеграл обозначается следующим образом:

,

где знак интеграла;

подынтегральная функция;

подынтегральное выражение.

В определении неопределенного интеграла не исключается возможность того, что подынтегральная функция является сложной, однако при проверке правильности нахождения первообразной это несущественно, поскольку дифференцировать следует лишь по переменной, стоящей под знаком дифференциала.

Можно показать, что достаточным условием интегрируемости функции на промежутке является ее непрерывность, в то время как для ее дифференцируемости непрерывность является лишь необходимым условием, но не достаточным.

2. Свойства неопределенного интеграла

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функцией:

2.

Эти свойства означают, что интегрирование и дифференцирование - взаимно обратные операции.

3. Если и - интегрируемые функции, т.е. на промежутке они имеют первообразные, то сумма функций также интегрируема и .

4. Если - интегрируемая функция, а постоянная величина, то - также интегрируемая функция и .

Таким образом, свойства 3 и 4 указывают на линейность операции интегрирования:

,

где постоянные;

интегрируемые функции.

5. Если , а также дифференцируемая функция, то

.

Простым обращением известных формул дифференцирования элементарных функций получается таблица простейших неопределенных интегралов.

Чтобы найти неопределенный интеграл от какой-либо функции, достаточно свести его к одному или нескольким табличным интегралам из вышеприведенной таблицы.

интеграл функция рационализация

3. Замена переменных

Для упрощения подынтегральной функции и, тем самым, для нахождения интеграла часто применяется так называемая подстановка или замена переменных.

Если обозначить и сделать соответствующие преобразования в заданном подынтегральном выражении, полученный интеграл при удачном выборе функции может оказаться более простым или даже табличным.

Для некоторых типов подынтегральных функций известны такие подстановки, которые приводят к цели. Ниже будут рассматриваться многие из них.

Например:

1. . Если применить замену ; , то получим:

.

2. . Применим замену ; . В результате получим:

.

3. Как и в предыдущем случае, применим замену ; . В результате получим:

.

4. .

Интегрирование этого выражения будет проведено позднее при подробном рассмотрении метода замены переменных.

Наряду с заменой переменных часто применяется метод разложения, который опирается на линейные свойства интегралов. Это можно проиллюстрировать следующим примером:

5.

4. Интегрирование по частям

Если функции и дифференцируемы на множестве и, кроме того, на этом множестве существует интеграл , то на нем существует и интеграл , причем . Действительно, если проинтегрировать формулу нахождения дифференциала произведения двух функций:

,

то можно получить следующее соотношение между первообразными от этих функций:

.

Такой способ нахождения интеграла называется интегрированием по частям. Этот способ целесообразно применять, если интеграл, стоящий в правой части проще исходного. При использовании метода интегрирования по частям задана левая часть равенства, т.е. функция и дифференциал . Таким образом, выбор функций и неоднозначен, причем не каждый способ выбора этих функций ведет к упрощению первоначального интеграла. Функции, интегрируемые по частям, можно схематично разделить на три группы.

1. Интегралы, подынтегральная функция которых содержит в качестве множителя одну из следующих функций: , , , , , , при условии, что оставшаяся часть подынтегральной функции представляет собой производную известной функции.

В случае если подынтегральная функция содержит в качестве множителя одну из перечисленных выше функций в степени , то операцию интегрирования по частям придется повторять раз.

2. Интегралы, подынтегральная функция которых содержит в качестве множителя одну из следующих функций: , , , a также, полином й степени :

.

Для вычисления интегралов второй группы нужно формулу интегрирования по частям применять раз, причем в качестве функции нужно брать многочлен соответствующей степени. После каждого интегрирования степень полинома будет понижаться на единицу.

3. Интегралы вида:

; ; .

Применение формулы интегрирования по частям может привести к ситуации, когда интеграл в правой части и интеграл в левой части равенства совпадают, т.е. получается равенство вида:

,

где исходный интеграл;

постоянная .

В этом случае применение метода интегрирования по частям позволяет получить уравнение первого порядка для , из решения которого находится исходный интеграл :

.

Причем, метод интегрирования по частям может применяться многократно и любой из сомножителей можно всякий раз принимать за .

Большое количество интегралов, не входящих в эти три группы, у которых невозможно выделить общий признак для группировки, также вычисляются методом интегрирования по частям. К таким интегралам можно отнести:

, , , ,

5. Интегрирование рациональных функций. Метод рационализации

Из курса линейной алгебры известно, что рациональной дробью называется выражение вида , где и - многочлены степени и , соответственно. Рациональная дробь называется правильной при . В противном случае, когда , рациональная дробь называется неправильной. Деление числителя на знаменатель позволяет от неправильной дроби перейти к правильной.

При интегрировании правильной рациональной дроби производится разложение этой дроби на простейшие, для чего предварительно разлагается на элементарные множители многочлен . Коэффициенты разложения определяются методом неопределенных множителей. Почленное интегрирование результатов разложения сводится к вычислению интегралов вида:

и .

Интегралы вида вычисляются следующим образом:

· ;

· ;

Для вычисления интегралов вида применяются метод замены переменных и метод интегрирования по частям:

·

;

·

Обозначим через , тогда . Введем новую переменную , тогда , .

;

.

.

Если ввести обозначение , то полученное выражение можно переписать в следующем виде:

Таким образом, происходит понижение порядка вычисляемого интеграла, и вычисление интеграла сводится к вычислению интеграла .

Зная с точностью до константы интеграл можно вычислить :

.

Таким образом, можно вычислить интеграл для любого натурального .

Вычисление

Во многих случаях интегрирование иррациональной функции удается выполнить, применив замену переменной интегрирования, преобразующую подынтегральную функцию в рациональную.

Если рациональная функция своих аргументов, а целые положительные числа, то интеграл:

приводится к интегралу от рациональной функции при помощи подстановки , где наибольшее общее кратное показателей корней .

Сходная подстановка рационализирует подынтегральную функцию и в более общем случае интегрирования выражений типа:

.

В этом случае также применяется подстановка , где, как и в рассмотренном выше случае, наибольшее общее кратное показателей корней .

Вычисление

Интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью одной из следующих подстановок:

· Если , то ;

· Если , то ;

· Если ,

то .

Здесь - новая переменная.

Интеграл находится подстановкой .

Интеграл находится подстановкой .

Интеграл находится подстановкой .

Пример: Вычислить .

Применим подстановку Эйлера . Возводя это равенство почленно в квадрат, получим . Дифференцируя обе части полученного выражения, получим . Отсюда , или . Таким образом, . Поскольку , то . Следовательно, .

Вычисление

Интеграл , где - рациональная функция, всегда сводится к интегралу от рациональной функции при помощи универсальной подстановки . При этом:

.

При вычислении таких интегралов можно использовать также и специальные подстановки, а именно: в случае, когда , можно использовать подстановку .

В случае неопределенного интеграла вида это соответствует нечетному значению .

Если , можно использовать подстановку .

Если , то можно использовать подстановку .

Вычисление

Интеграл от дифференциального бинома, т.е. интеграл , где рациональные числа, и постоянные, отличные от нуля, сводится к интегралу от рациональной функции в трех случаях:

· когда целое число, - разложением на слагаемые по формуле бинома Ньютона;

· когда целое число, - подстановкой , где знаменатель дроби ;

· когда целое число, - подстановкой .

Как мы видим, не существует сколько-нибудь общих приемов нахождения неопределенных интегралов от любой элементарной функции. Более того, доказано, что многие, порой очень простые на первый взгляд, интегралы не выражаются через элементарные функции, или, как говорят, не берутся. Например, к таким интегралам относятся:

.

В различных справочниках приводятся таблицы, в которых содержится большое количество неопределенных интегралов, как выражающихся, так и не выражающихся через элементарные функции.

Размещено на Allbest.ru