Размещено на http://www.allbest.ru/

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

1. Понятие евклидова пространства. N-мерные векторы

Декартово произведение множества действительных чисел само на себя состоит из всевозможных упорядоченных числовых пар. Это множество обозначают и его можно отождествить с плоскостью. Множество состоит из упорядоченных троек и представляет собой трехмерное пространство. Если осуществить декартово произведение на себя раз, можно получить множество всех точек -мерного пространства . Каждый элемент пространства представляет собой последовательность чисел и записывается в виде . Число называется первой координатой -мерного вектора , - второй координатой и т.д., а число - размерностью вектора . В ряде случаев в пространстве -мерных векторов также бывает возможно определить операцию скалярного произведения векторов и через операции над их координатами.

В общем случае и - это -мерные векторы, т.е. , и . Их скалярное произведение равно сумме попарных произведений их соответствующих координат, т.е. . Длиной -мерного вектора называется число

.

Скалярное произведение называется скалярным квадратом вектора и обозначается . Поскольку скалярный квадрат является суммой квадратов координат вектора , то его значение будет неотрицательным, причем тогда и только тогда, когда все координаты этого вектора равны нулю, т.е. вектор - нулевой.

Пространство -мерных векторов, в котором определена операция скалярного произведения, называется евклидовым пространством.

Теорема. Если и - это -мерные векторы евклидова пространства, то справедливо неравенство:

Доказательство: Рассмотрим вектор , где - любое действительное число. Поскольку , то на основании свойств скалярного произведения можно записать:

Если предположить, что , то справедливо следующее:

Доказанное неравенство называется неравенством Коши-Буняковского. Причем, равенство имеет место тогда и только тогда, когда векторы и линейно зависимы. В общем случае, угол между векторами и можно определить как решение уравнения:

.

Таким образом, в евклидовом пространстве -мерных векторов скалярное произведение любых двух векторов и равно:

.

Теорема. Ненулевые -мерные векторы и равны тогда и только тогда, когда угол между этими векторами равен нулю и длины их равны.

Доказательство:

Необходимость:

Достаточность:

Пусть и

2. Коллинеарные векторы

Два ненулевых -мерных вектора и называются коллинеарными, если угол между ними равен или .

Если , то коллинеарные векторы называются сонаправленными или одинаково направленными .

Если , то коллинеарные векторы называются противоположно направленными .

Если условие коллинеарности между векторами и не выполняется (т.е. ), то такие вектора называются неколлинеарными.

Теорема. Ненулевые векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда найдется такое ненулевое число , что .

Доказательство:

Необходимость:

1. .

2. .

Для этого случая аналогично доказывается, что , при .

Достаточность:

Число имеет только два значения: . Это означает, что или , соответственно. Таким образом, вектора и коллинеарны.

3. Размерность и базис векторного пространства

Определение. Вектор называется линейной комбинацией векторов векторного пространства R, если он равен сумме произведений этих векторов на произвольные действительные числа:

где - какие угодно действительные числа.

Определение. Векторы векторного пространства называются линейно зависимыми, если существуют, такие числа , не равные одновременно нулю, что:



В противном случае векторы называются линейно независимыми.

Из приведенных выше определений следует, что векторы линейно независимы, если равенство справедливо лишь при , и линейно зависимы, если это равенство выполняется, когда хотя бы одно из чисел отлично от нуля.

Можно показать, что если векторы линейно зависимы, то, по крайней мере, один из них линейно выражается через остальные. Верно и обратное утверждение о том, что если один из векторов выражается линейно через остальные, то все эти векторы в совокупности линейно зависимы. В противном случае векторы называются линейно независимыми.

Из приведенных выше определений следует, что векторы линейно независимы, если равенство (8.2) справедливо лишь при , и линейно зависимы, если это равенство выполняется, когда хотя бы одно из чисел отлично от нуля.

Примером линейно независимых векторов являются два неколлинеарных, т.е. не параллельных одной прямой, вектора и на плоскости. Действительно, условие (8.2) будет выполняться лишь в случае, когда , ибо если, например, , то и векторы и коллинеарны. Однако любые три вектора плоскости линейно зависимы.

Отметим некоторые свойства векторов линейного пространства.

I. Если среди векторов имеется нулевой вектор, то эти векторы линейно зависимы.

II. Если часть векторов являются линейно зависимыми, то и все эти векторы -- линейно зависимые.

Определение. Линейное пространство называется -мерным, если в нем существует линейно независимых векторов, а любые из векторов уже являются зависимыми. Другими словами, размерность пространства -- это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов. Число называется размерностью пространства и обозначается .

Определение. Совокупность линейно независимых векторов -мерного пространства называется базисом.

Справедлива следующая теорема.

Теорема. Каждый вектор линейного пространства можно представить и притом единственным способом в виде линейной комбинации векторов базиса :

Это равенство называется разложением вектора по базису , а числа -- координатами вектора относительно этого базиса. В силу единственности разложения каждый вектор однозначно может быть определен координатами в некотором базисе.

Очевидно, что нулевой вектор имеет все нулевые координаты, а вектор, противоположный данному, - противоположные по знаку координаты.

Теорема. Если - система линейно независимых векторов пространства и любой вектор линейно выражается через , то пространство является -мерным пространством , а векторы - его базисом.

Базисом векторного пространства называется любая независимая система линейно независимых -векторов этого пространства, количество которых равно , т.е. выбор системы базисных векторов векторного пространства неоднозначен, и может быть осуществлен большим числом способов.

Нередко приходится встречаться с заменой переменных, при которой старые переменные линейно выражаются через новые, например, при переходе от одного базиса пространства к другому. Такую замену переменных называют обычно их линейным преобразованием.

Линейным преобразованием переменных называется выражение системы переменных через новую систему переменных с помощью линейных однородных функций:

Линейное преобразование вполне определяется таблицей размером , составленной из коэффициентов при . Такая таблица, составленная из элементов называется матрицей , а само преобразование представляет собой пример матричной операции. Понятие матрицы требует более детального рассмотрения, что и будет сделано в следующем разделе.

4. Матрицы. Основные понятия

Прямоугольная таблица:

состоящая из строк и столбцов, называется матрицей размера или -матрицей.

Матрицу (9.1) будем обозначать или . Числа называются элементами матрицы, индекс обозначает номер строки, а индекс _ номер столбца, на пересечении которых расположен элемент.

Если , то матрица (9.1) называется квадратной матрицей порядка .

В квадратной матрице -го порядка диагональ, состоящая из элементов называется главной диагональю, состоящая из элементов _ побочной диагональю.

Квадратная матрица:

называется диагональной. Если в диагональной матрице все диагональные элементы равны, т.е. , то такая матрица называется скалярной. Скалярная матрица, у которой называется единичной и обозначается буквой . Например, единичная матрица третьего порядка:

.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается через 0.

Матрицы и называются равными, если их размеры одинаковы и элементы этих матриц, стоящие на одинаковых местах, равны.

5. Операции над матрицами

Суммой двух матриц и одинакового размера называется матрица того же размера с элементами, равными суммам соответствующих элементов слагаемых матриц, т.е. .

Сложение матриц обладает следующими свойствами:

1. Коммутативность, т.е. .

2. Ассоциативность, т.е. .

3. Для любых двух матриц и одинакового размера существует единственная матрица такая, что . Матрица обозначается и называется разностью матриц и . Уравнение имеет решение , получающаяся при этом матрица называется противоположной и обозначается .

Произведением матрицы на число называется матрица, все элементы которой равны соответствующим элементам матрицы , умноженным на число .

Умножение матрицы на действительное число обладает следующими свойствами:

1. ;

2. ;

3. ;

4. (ассоциативность);

5. (дистрибутивность);

6. (дистрибутивность).

Матрица называется согласованной с матрицей , если число столбцов матрицы равно числу строк матрицы . В этом случае произведением матрицы на матрицу называется матрица , где , т.е. элемент, стоящий в -той строке и -том столбце матрицы произведения равен сумме произведений элементов -той строки матрицы на соответствующие элементы -го столбца матрицы .

Свойства умножения:

1. Если матрица согласована с матрицей , а матрица согласована с матрицей , то _ ассоциативность умножения;

2. _ свойство дистрибутивности;

3. Умножение матриц не коммутативно, т.е., как правило, .

Транспонированием матрицы называется операция замены местами строк и столбцов с сохранением порядка их следования, т.е. -я строка матрицы становится -тым столбцом транспонированной матрицы. Матрица, транспонированная к матрице обозначается .

Свойства транспонирования:

1.

2.

3.

4.

6. Определитель матрицы

Далее будем рассматривать только квадратные матрицы. Каждой квадратной матрице ставится в соответствие действительное число, называемое определителем матрицы и вычисляемое по определенному правилу.

Определитель матрицы естественно возникает при решении систем линейных уравнений, или в свернутой форме

,

или в свернутой форме . Предыдущая формула получается разложением определителя по первой строке.

7. Понятие линейного оператора. Переход к новому базису

Пусть в пространстве R имеются два базиса: старый и новый . Каждый из векторов нового базиса можно выразить в виде линейной комбинации векторов старого базиса:

Полученная система означает, что переход от старого базиса к новому задается матрицей перехода:

,

причем, коэффициенты разложения новых базисных векторов по старому базису образуют столбцы этой матрицы.

Матрица -- неособенная, так как в противном случае ее столбцы (а следовательно, и базисные векторы) оказались бы линейно зависимыми. Обратный переход от нового базиса к старому базису осуществляется с помощью обратной матрицы .

Найдем зависимость между координатами вектора в разных базисах. Пусть рассматриваемый вектор имеет координаты относительно старого базиса и координаты относительно нового базиса, т.е.:

Подставив значения из системы в левую часть этого равенства, получим после преобразований:

т.е. в матричной форме: или

8. Линейное преобразование переменных

Линейным преобразованием переменных называется выражение системы переменных через новую систему переменных с помощью линейных однородных функций:



Линейное преобразование вполне определяется матрицей размером , составленной из коэффициентов при . Эту матрицу называют матрицей линейного преобразования или матрицей линейного оператора.

Пусть и - два линейных пространства размерности и соответственно. Отображение называется линейным оператором, если:

1.

2.

Линейное преобразование переменных с квадратной матрицей называется невырожденным, если матрица невырожденная и вырожденным, если матрица вырожденная.

Теорема. Для всякого невырожденного линейного преобразования переменных с квадратной матрицей существует обратное преобразование, которое является также линейным, и его матрица равна .

9. Собственные значения и собственные вектора матриц

Число называется собственным значением (или характеристическим числом) квадратной матрицы порядка , если можно подобрать такой -мерный ненулевой вектор , что .

Для того, чтобы найти собственные значения матрицы , рассмотрим матрицу:

Если раскрыть определитель матрицы , то получится многочлен -й степени:

Этот многочлен называется характеристическим многочленом матрицы . Его коэффициенты зависят от элементов матрицы . Понятие многочлена будет подробно разобрано в следующем разделе.

Следует отметить, что , . Уравнение называется характеристическим уравнением матрицы .

Теорема. Множество всех собственных значений матрицы совпадает с множеством всех решений характеристического уравнения матрицы .

Доказательство:

,

- ненулевой набор чисел, - вырожденная матрица - решение уравнения:

.

Собственным вектором квадратной матрицы порядка , принадлежащим ее собственному значению называется -мерный вектор , для которого .

Множество всех собственных векторов матрицы , принадлежащих ее собственному значению , обозначим через . Отыскание собственных векторов сводится к решению однородной системы линейных уравнений.

Теорема. Множество всех собственных векторов матрицы порядка , принадлежащих ее собственному значению , совпадает с множеством всех решений однородной системы линейных уравнений , где .

Доказательство:

В развернутом виде равенство записывается как система уравнений:

Если зафиксировано число , то задача нахождения собственного вектора матрицы сводится к поиску ненулевого решения системы линейных однородных уравнений с неизвестными , которые являются координатами вектора . Эта система имеет ненулевое решение только тогда, когда выполняется условие:

,

т.е. число является собственным числом матрицы .

Знание всех собственных векторов матрицы позволяет решить задачу диагонализации этой матрицы, то есть нахождения треугольной или диагональной матрицы, имеющий такие же собственные значения.

Теорема. Предположим, что квадратная матрица -го порядка имеет линейно независимых собственных векторов. Тогда если взять эти векторы в качестве столбцов матрицы , то матрица будет диагональной матрицей, у которой на диагонали стоят собственные значения матрицы , т.е.:

Теорема. Если и - два различных собственных значения симметрической матрицы , то соответствующие им собственные векторы и удовлетворяют соотношению , т.е. они ортогональны.

Таким образом, собственные значения симметрической матрицы различны, а, значит, если пронормировать соответствующие им собственные векторы, то система собственных векторов матрицы станет ортонормированной, а матрица , столбцами которой будут эти векторы, станет ортогональной.

Ортогональной называется вещественная квадратная матрица, у которой соответствующая ей система векторов-столбцов является ортонормированной системой евклидова пространства.

Теорема. Матрица является ортогональной тогда и только тогда, когда .

В соответствии с этой теоремой , и преобразование эквивалентно преобразованию

При определении характеристических чисел матрицы было введено новое понятие характеристического многочлена. Подробный анализ понятия многочлена приводится в следующем разделе.

Возьмем теперь квадратную матрицу -го порядка

Для записи определителя -го порядка матрицы будем применять обозначения . При матрица состоит из одного элемента и ее определитель равен этому элементу. При получаем определитель .

Минором элемента матрицы называют определитель матрицы -го порядка, получаемого из матрицы вычеркиванием -той строки и -го столбца.

Пример 7. Найти минор матрицы:

.

По определению, минор элемента есть определитель матрицы, получаемой из матрицы вычеркиванием первой строки и второго столбца. Следовательно, .

Алгебраическим дополнением элемента матрицы называется минор , взятый со знаком . Алгебраическое дополнение элемента обозначается , следовательно, .

Пример 8. Найти алгебраическое дополнение элемента матрицы из примера 7.

.

Определителем квадратной матрицы -го порядка называется число:

где _ элементы первой строки матрицы (9.2), а их алгебраические дополнения.

Запись по формуле (9.3) называется разложением определителя по первой строке.

Рассмотрим свойства определителей.

Свойство 1. При транспонировании матрицы ее определитель не меняется.

Это свойство устанавливает равноправность строк и столбцов определителя, поэтому определение определителя можно сформулировать так:

Определителем квадратной матрицы -го порядка называется число:

где _ элементы первого столбца матрицы (9.2), а их алгебраические дополнения.

Свойство 2. Если поменять местами две строки или два столбца матрицы , то ее определитель изменит знак на противоположный.

Свойства 1 и 2 позволяют обобщить формулы (9.3) и (9.4) следующим образом:

Определитель квадратной матрицы -го порядка (будем в дальнейшем говорить определитель -го порядка) равен сумме попарных произведений любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

, или .

Свойство 3. Определитель, у которого две строки или два столбца одинаковы, равен нулю.

Действительно, поменяем в определителе две одинаковые сроки местами. Тогда, по свойству 2 получим определитель , но с другой стороны, определитель не изменится, т.е. . Отсюда .

Свойство 4. Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) определителя умножить на число , то определитель умножится на .

.

Умножим элементы -той строки на . Тогда получим определитель:

.

Следствие 1. Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

Следствие 2. Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) равны нулю, то определитель равен нулю.

Свойство 5. Определитель, у которого две строки (два столбца) пропорциональны, равен нулю. Пусть -я строка пропорциональна -ой строке. Вынося коэффициент пропорциональности за знак определителя, получим определитель с двумя одинаковыми строками, который по свойству 3 равен нулю.

Свойство 6. Если каждый элемент строки (столбца) определителя есть сумма двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей: у одного из них -той строкой (столбцом)служат первые слагаемые, а у другого - вторые. Разложив определитель по -той строке получим:

.

Свойство 7. Определитель не изменится, если к элементам какой-нибудь строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число. Прибавив к элементам -той строки определителя соответствующие элементы -ой строки, умноженные на число , получим определитель . Определитель равен сумме двух определителей: первый есть , а второй равен нулю, так как у него -тая и -тая строки пропорциональны.

Свойство 8. Определитель диагональной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали, т.е.:

Свойство 9. Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна нулю.

Рассмотрим вспомогательный определитель , который получается из данного определителя заменой -той строки -той строкой. Определитель равен нулю, так как у него две одинаковые строки. Разложив его по -той строке получим:

.

Большое значение имеет следующий критерий равенства определителя нулю. Определитель квадратной матрицы равен нулю тогда и только тогда когда его строки (столбцы) линейно зависимы.

Строки (столбцы) матрицы называются линейно зависимыми, если одна (один) из них является линейной комбинацией с действительными коэффициентами остальных.

Теорема об определителе произведения двух квадратных матриц. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей этих квадратных матриц, т.е. .

10. Ранг матрицы

Рангом матрицы называется наибольший порядок ее миноров, отличных от нуля. Ранг матрицы обозначают или .

Если все миноры порядка данной матрицы равны нулю, то все миноры более высокого порядка данной матрицы также равны нулю. Это следует из определения определителя. Отсюда вытекает алгоритм нахождения ранга матрицы.

Если все миноры первого порядка (элементы матрицы ) равны нулю, то . Если хотя бы один из миноров первого порядка отличен от нуля, а все миноры второго порядка равны нулю, то . Причем, достаточно просмотреть только те миноры второго порядка, которые окаймляют ненулевой минор первого порядка. Если найдется минор второго порядка отличный от нуля, исследуют миноры третьего порядка, окаймляющие ненулевой минор второго порядка. Так продолжают до тех пор, пока не придут к одному из двух случаев: либо все миноры порядка , окаймляющие ненулевой минор -го порядка равны нулю, либо таких миноров нет. Тогда .

Пример 10. Вычислить ранг матрицы .

Минор первого порядка (элемент ) отличен от нуля. Окаймляющий его минор тоже не равен нулю.

Далее рассмотрим миноры, окаймляющие минор :

;

.

Все эти миноры равны нулю, значит .

Приведенный алгоритм нахождения ранга матрицы не всегда удобен, поскольку связан с вычислением большого числа определителей. Наиболее удобно пользоваться при вычислении ранга матрицы элементарными преобразованиями, при помощи которых матрица приводится к столь простому виду, что очевидно, чему равен ее ранг.

Элементарными преобразованиями матрицы называют следующие преобразования:

Ш умножение какой-нибудь строки (столбца) матрица на число, отличное от нуля;

Ш прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на произвольное число.

Полужордановым преобразованием строк матрицы:

с разрешающим элементом называется следующая совокупность преобразований со строками матрицы:

Ш к первой строке прибавить ю, умноженную на число и т.д.;

Ш к последней строке прибавить ю, умноженную на число .

После выполнения этих преобразований получается матрица:

Полужордановым преобразованием столбцов матрицы с разрешающим элементом называется следующая совокупность преобразований со столбцами матрицы:

Ш к первму столбцу прибавить й, умноженный на число и т.д.;

Ш к последнему столбцу прибавить й, умноженный на число .

После выполнения этих преобразований получается матрица:

Полужорданово преобразование строк или столбцов квадратной матрицы не изменяет ее определителя.

Элементарные преобразования матрицы не изменяют ее ранга. Покажем на пример, как вычислить ранг матрицы, пользуясь элементарными преобразованиями.

Пример 11. Вычислить ранг матрицы .

Применим к матрице элементарные преобразования: первую строку матрицы, умноженную на (-3) прибавим ко второй и третьей и ее же вычтем из последней.

Вычитая далее вторую строку из третьей и последней, имеем:

Последняя матрица содержит отличный от нуля минор третьего порядка, определитель же самой матрицы равен нулю. Следовательно, .

Отметим два важных свойства ранга матрицы:

· Ранг матрицы не меняется при ее транспонировании;

· Если ранг матрицы равен , то любые ее строк (столбцов) линейно зависимы.

11. Обратная матрица

Пусть - квадратная матрица порядка . Матрица называется обратной матицей к матрице , если выполняются равенства , где _ единичная матрица порядка .

Теорема 1. Если для данной матрицы существует обратная матрица, то она единственная.

Пусть и _ матрицы, обратные к матрице . Тогда , с другой стороны, .

Откуда . Обратную матрицу к матрице обозначают .

Теорема 2. Матрица имеет обратную матрицу тогда и только тогда, когда . Пусть имеет обратную матрицу. Тогда и, применяя теорему об умножении определителей, получаем или . Следовательно, . Пусть . Укажем явное выражение матрицы через элементы матрицы , а именно: если , то:

здесь _ алгебраическое дополнение к элементу . Матрица (9.5) получается из матрицы следующим образом. Сначала вместо каждого элемента пишется его алгебраическое дополнение, затем полученная матрица транспонируется и получается т.н. присоединенная матрица. Для получения обратной матрицы присоединенная матрица умножается на величину, обратную .

Непосредственное умножение на матрицу (9.5) слева и справа дает единичную матрицу, что подтверждает, что (9.5) - матрица, обратная к .

Пример 12. Найти обратную матрицу к матрице .

Так как , то существует. Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы :

,	,
,	,
,	,
,	,
.

Матрицу находим в два приема, согласно формуле (9.5). Сначала запишем матрицу , состоящую из алгебраических дополнений элементов . Затем матрица транспонируется и умножается на число обратное , в данном случае - на (-1). Окончательно получаем:

.

Матрица называется неособенной или невырожденной, если ее определитель не равен нулю. Отметим свойства обратных матриц. Если и _ невырожденные матрицы одинакового порядка, то:

,

,

,

.

12. Многочлены. Основные понятия

Многочленом от переменной степени называется выражение вида:

,

где _ действительные или комплексные числа, называемые коэффициентами, _ натуральное число, _ переменная величина, принимающая произвольные числовые значения.

Если коэффициент при многочлена отличен от нуля, а коэффициенты при более высоких степенях равны нулю, то число называется степенью многочлена, - старшим коэффициентом, а - старшим членом многочлена. Коэффициент называется свободным членом. Если все коэффициенты многочлена равны нулю, то многочлен называется нулевым и обозначается 0. Степень нулевого многочлена не определена.

Два многочлена называются равными, если они имеют одинаковую степень и коэффициенты при одинаковых степенях равны.

Суммой многочленов и , называется многочлен , где

Произведением многочленов и называется многочлен:

где .

Легко проверить, что сложение и умножение многочленов ассоциативно, коммутативно и связаны между собой законом дистрибутивности.

Многочлен называется делителем многочлена , если существует многочлен такой, что .

13. Теорема о делении с остатком

Для любых многочленов существуют многочлены и , такие, что причем степень меньше степени или . Многочлены и определены однозначно.

Многочлены и называются соответственно частным и остатком. Если делит то остаток .

Число называется корнем многочлена , если .

14. Теорема Безу

Число является корнем многочлена тогда и только тогда, когда делится на

Пусть _ корень многочлена , т.е. Разделим на , где степень меньше степени , которая равна Значит, степень равна , т.е. . Значит, , . Так как , то из последнего равенства следует, что т.е. .

Обратно, пусть делит , т.е. . Тогда .

Следствие. Остаток от деления многочлена на равен .

Многочлены первой степени называются линейными многочленами. Теорема Безу показывает, что разыскание корней многочлена равносильно разысканию его линейных делителей со старшим коэффициентом 1.

Многочлен можно разделить на линейный многочлен с помощью алгоритма деления с остатком, но существует более удобный способ деления, известный под названием схемы Горнера.

Пусть и пусть , где . Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях неизвестной с левой и правой частях последнего равенства, имеем:

	, откуда		(11.1)

Число называется корнем кратности многочлена , если делит , но уже не делит .

Чтобы поверить, будет ли число корнем многочлена и какой кратности, можно воспользоваться схемой Горнера. Сначала делится на затем, если остаток равен нулю, полученное частное делится на и т.д. до получения не нулевого остатка.

Число различных корней многочлена не превосходит его степени.

Большое значение имеет следующая основная теорема.

Основная теорема. Всякий многочлен с числовыми коэффициентами ненулевой степени имеет хотя бы один корень (может быть комплексный).

Следствие. Всякий многочлен степени имеет в C (множестве комплексный чисел) столько корней, какова его степень, считая каждый корень столько раз, какова его кратность.

где _ корни , т.е. во множестве C всякий многочлен разлагается в произведение линейных множителей. Если одинаковые множители собрать вместе, то:

,

где уже различные корни , _ кратность корня .

Если многочлен , , с действительными коэффициентами имеет корень , то число также корень

Значит, у многочлена с действительными коэффициентами комплексные корни входят парами.

Следствие. Многочлен с действительными коэффициентами нечетной степени имеет нечетное число действительных корней.

Пусть и корни Тогда делится на и но так как у и нет общих делителей, то делится на прозведение .

Утверждение 2. Многочлен с действительными коэффициентами степени всегда разлагается на множестве действительных чисел в произведение линейных многочленов, отвечающих его вещественным корням, и многочленов 2-ой степени, отвечающих паре сопряженных комплексных корней.

При вычислении интегралов от рациональных функций нам понадобится представление рациональной дроби в виде суммы простейших.

Рациональной дробью называется дробь где и _ многочлены с действительными коэффициентами, причем многочлен . Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя. Если рациональная дробь не является правильной, то, произведя деление числителя на знаменатель по правилу деления многочленов, ее можно представить в виде , где и - некоторые многочлены, а - правильная рациональная дробь.

Лемма 1. Если - правильная рациональная дробь, а число является вещественным корнем кратности многочлена , т.е. и , то существует вещественное число и многочлен с вещественными коэффициентами, такие, что где дробь также является правильной.

При этом несложно показать, что полученное выражение является рациональной дробью с вещественными коэффициентами.

Лемма 2. Если - правильная рациональная дробь, а число (и - вещественные, ) является корнем кратности многочлена , т.е. и , и если , то существуют вещественные числа и и многочлен с вещественными коэффициентами, такие, что где дробь также является правильной.

Рациональные дроби вида , , , , _ трехчлен с действительными коэффициентами, не имеющий действительных корней, называются простейшими (или элементарными) дробями.

Всякая правильная рациональная дробь представима единственным образом в виде суммы простейших дробей.

При практическом получении такого разложения оказывается удобным так называемый метод неопределенных коэффициентов. Он состоит в следующем:

· Для данной дроби пишется разложение, в котором коэффициенты считаются неизвестными ;

· После этого обе части равенства приводятся к общему знаменателю и у получившихся в числителе многочленов приравниваются коэффициенты.

При этом если степень многочлена равна , то в числителе после приведения к общему знаменателю получается многочлен степени , т.е. многочлен с коэффициентами.

Число неизвестных также равняется : .

Таким образом, получается система уравнений с неизвестными. Существование решения у этой системы следует из приведенной выше теоремы.

15. Квадратичные формы. Понятие квадратичной формы

Первоначально теория квадратичных форм использовалась для исследования кривых и поверхностей, задаваемых уравнением второго порядка, содержащими две или три переменные, Позднее эта теория нашла и другие приложения. В частности, при математическом моделировании экономических процессов целевые функции могут содержать квадратичные слагаемые. Многочисленные приложения квадратичных форм потребовали построения общей теории, когда число переменных равно любому , а коэффициенты квадратичной формы не всегда являются вещественными числами.

Квадратичной формой от неизвестных называется сумма, каждое слагаемое которой является либо квадратом одного из неизвестных, либо произведением двух разных неизвестных.

Пример. Сумма является квадратичной формой от трех неизвестных .

Каждую квадратичную форму можно записать в стандартном виде. Для этого сначала приводятся подобные в квадратичной форме, затем коэффициенты при обозначаются через , а коэффициенты при через , причем Член записывается в виде . После этих преобразований квадратичную форму можно записать в виде:

Матрица:

называется матрицей квадратичной формы . Так как , то - симметричная матрица.

С учетом правила умножения матриц можно вывести матричную форму записи квадратичной формы.

,

где - матрица квадратичной формы, - матрица-столбец неизвестных:

Приведенные выкладки показывают, в частности, что если - симметрическая матрица, то выражение является квадратичной формой от неизвестных , т.е. квадратичная форма является результатом скалярного произведения матриц и . Матричная форма записи квадратичной формы имеет вид . Если - произвольный - мерный вектор, то после подстановки в квадратичную форму вместо получится число , которое называется значением квадратичной формы на векторе .

вектор матрица линейный

16. Канонический базис квадратичной формы

Принято считать, что квадратичная форма имеет канонический вид, если все коэффициенты при произведениях различных переменных равны нулю, т.е. при . При этом квадратичная форма представляет собой сумму квадратов переменных с соответствующими коэффициентами , т.е.:

.

В этом случае матрица квадратичной формы имеет диагональный вид:

Очевидно, что изучение свойств квадратичной формы, записанной в каноническом виде, значительно упрощается. В связи с этим возникает задача приведения произвольной квадратичной формы к каноническому виду. В основе многих известных методов приведения квадратичной формы к каноническому виду лежит следующая теорема.

Теорема. Всякая квадратичная форма с помощью невырожденного линейного преобразования может быть приведена к каноническому виду.

Метод ортогональной матрицы использует особенности собственных значений и собственных векторов симметрической матрицы.

Пусть дана квадратичная форма , Поскольку - симметрическая матрица, для нее существует диагонализирующая ортогональная матрица , такая что:



где - собственные значения матрицы .

Применим к квадратичной форме линейное преобразование , где - матрица-столбец новых переменных ; - матрица, обратная к .

Таким образом, квадратичную форму всегда можно представить в каноническом виде с коэффициентами, равными собственным значениям матрицы квадратичной формы.

Канонический вид квадратичной формы определяется неоднозначно. В то же время можно доказать, что все канонические формы, к которым приводится данная квадратичная форма, содержат одинаковое число отрицательных, положительных и нулевых коэффициентов при квадратах новых переменных.

Наиболее удобным для исследования является канонический вид, в котором коэффициенты при новых переменных равны +1
или -1, т.е. квадратичная форма имеет вид:

.

Такую запись называют нормальным видом квадратичной формы. В нем общее число квадратов равно рангу квадратичной формы.

Квадратичная форма может быть приведена к нормальному виду многими различными преобразованиями. При этом справедлива следующая теорема.

Теорема. Число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде, к которому приводится данная вещественная квадратичная форма вещественным невырожденным линейным преобразованием, не зависит от выбора этого преобразования. Эту теорему называют законом инерции квадратичных форм. Базис пространства называется каноническим базисом квадратичной формы , если в этом базисе квадратичная форма имеет канонический вид, т.е. при . Если - канонический базис , то выражение:

,

называется каноническим видом в базисе , где - новый набор неизвестных.

Теорема. Если - разложение вектора по каноническому базису квадратичной формы , то значение на векторе вычисляется по формуле

, .

Доказательство:

Эта теорема утверждает, что если известны канонический базис квадратичной формы и ее канонический вид в этом базисе, то для вычисления значения квадратичной формы на векторе достаточно:

1. разложить вектор по каноническому базису :

;

2. коэффициенты разложения подставить вместо неизвестных в канонический вид квадратичной формы:

.

Квадратичная форма имеет много разных канонических базисов. Процесс построения канонического базиса называется приведением квадратичной формы к сумме квадратов.

Наиболее часто используются: канонический базис из собственных векторов матрицы и канонический базис Якоби.

17. Канонический базис из собственных векторов матрицы квадратичной формы

Теорема. Ортонормированный базис пространства , состоящий из собственных векторов симметрической матрицы , , является каноническим базисом квадратичной формы , а выражение - ее каноническим видом в базисе .

Доказательство:

, если , так как - ортогональная система векторов - канонический базис квадратичной формы .

, так как векторы системы нормированы, то , .

18. Канонический базис Якоби квадратичной формы

Будем говорить, что матрица удовлетворяет условию Якоби, если определители:

, ,

называемые угловыми минорами матрицы , не равны нулю. Очевидно, что , .

Обозначим через матрицу:

.

Вычислим определитель этой матрицы, разлагая ее по последнему столбцу, затем также по последнему столбцу разложим полученный определитель и т.д.

Из условия , следует, что и, значит, каждая система уравнений , , где - -й вектор диагональной системы, имеет единственное решение , . Система векторов называется системой векторов Якоби матрицы , которая удовлетворяет условию Якоби.

Теорема. Если матрица квадратичной формы удовлетворяет условию Якоби, то система векторов Якоби матрицы является каноническим базисом квадратичной формы , а выражение:

-

ее каноническим видом в базисе .

19. Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы

Квадратичная форма называется положительно определенной, если значение на каждом ненулевом значении больше нуля, т.е.:

, если ,

Если же на каждом , то квадратичная форма называется отрицательно определенной.

Теорема. Дана квадратичная форма , - ее канонический базис, а выражение , канонический вид в базисе . Тогда справедливы следующие утверждения:

1. Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда , ,…,.

2. Квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда , ,…,.

Доказательство:

Необходимость. Дано, что - положительно определенная форма. Так как , то и поэтому .

Достаточность. Дано, что в каноническом виде все коэффициенты , ,…,. Нужно доказать, что положительно определена. Рассмотрим произвольный ненулевой вектор и разложим его по базису :

Так как , то в разложении не все коэффициенты равны нулю. Следовательно , так как , ,…, и среди чисел хотя бы одно отлично от нуля.

Аналогично доказывается и второе утверждение.

Эта теорема дает два наиболее употребляемых критерия положительной и отрицательной определенности квадратичной формы.

Теорема. Дана квадратичная форма . Тогда справедливы следующие утверждения:

1. Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы положительны.

2. Квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы отрицательны.

Доказательство:

Докажем первое утверждение. Рассмотрим ортонормированный базис пространства , состоящий из собственных векторов симметрической матрицы , и пусть , . Тогда - канонический базис квадратичной формы , а выражение - ее канонический вид в базисе . Теперь первое утверждение этой теоремы вытекает из первого предложения предыдущей теоремы.

Второе предложение доказывается аналогично.

Лемма. Если какой-нибудь угловой минор матрицы равен нулю, то найдется такой ненулевой вектор , что .

Теорема (Критерий Сильвестра). Справедливы следующие утверждения:

1. Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда главные миноры матрицы положительны.

2. Квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда главные миноры матрицы четного порядка положительны, а главные миноры матрицы нечетного порядка отрицательны.

Доказательство: Докажем первое утверждение.

Необходимость. Дано, что положительно определена. Покажем, что все угловые миноры матрицы отличны от нуля. Допустим обратное, и пусть . Тогда согласно Лемме найдется такой ненулевой вектор , что . Однако это противоречит положительной определенности квадратичной формы.

Итак, матрица удовлетворяет условию Якоби, поэтому можно построить систему векторов Якоби , которая является каноническим базисом , причем выражение - ее канонический вид в базисе . Теперь из положительной определенности квадратичной формы и первого утверждения доказанной ранее теоремы следует, что , и значит, что .

Достаточность. Если , то угловые миноры матрицы отличны от нуля, и можно построить канонический базис квадратичной формы , в котором - канонический вид квадратичной формы . Поскольку , то положительно определена.

Аналогично доказывается второе утверждение теоремы.

20. Применение квадратичных форм к исследованию кривых второго прядка

В общем случае кривая второго порядка в базисе описывается уравнением . Ее первые три слагаемые образуют квадратичную форму с матрицей:

.

Задача о приведении кривой к каноническому виду сводится к задаче о приведении к каноническому виду квадратичной формы этой кривой.

Пусть и - собственные значения матрицы , а и - ортонормированные собственные векторы матрицы , соответствующие собственным значениям и .

Ортонормированные векторы и называются главными направлениями этой кривой.

Пусть является матрицей перехода от ортонормированного базиса к ортонормированному базису .

Тогда ортогональное преобразование:

приводит квадратичную форму к каноническому виду , а уравнение кривой - к виду в прямоугольной декартовой системе координат , оси которой направлены вдоль векторов , а начало совпадает с точкой системы координат .

Выделив в этом уравнении полные квадраты, получим , где - некоторые числа. Осуществив параллельный перенос системы координат в новое начало , получим канонический вид уравнения в системе координат . В зависимости от чисел эта кривая будет эллипсом, гиперболой, параболой, парой прямых, точкой или мнимой кривой.

21. Системы линейных уравнений

Для исследования процессов функционирования экономики, при построении математических моделей конкретных задач, возникающих перед менеджером в процессе его деятельности, в ряде случаев используются системы линейных уравнений. Так, например, при межотраслевом анализе - изменение объема выпуска отрасли при фиксированном коэффициенте прямых затрат в случае изменения спроса необходимо искать путем решения системы линейных уравнений, которая является моделью изучаемого процесса.

Нахождение решений системы линейных уравнений может быть осуществлено различными методами. Выбор метода зависит от рассматриваемой задачи и соответствующей математической модели.
В ряде случаев необходимо лишь знать - существует ли решение рассматриваемой системы.

Цель данного раздела - исследовать совместность системы линейных уравнений и дать некоторые методы их решения. Эти методы позволяют найти точное решение системы. Кроме этого, существуют методы, позволяющие находить приближенные решения, например, метод Якоби, метод Гаусса-Зейделя, метод пошагового агрегирования. В этом разделе они не рассматриваются.

Рассмотрим совокупность уравнений:



где _ действительные числа, а _ неизвестные. Эту совокупность называют системой линейных уравнений с неизвестными, числа _ коэффициенты системы (1), _ свободные члены. Упорядоченный набор действительных чисел называется решением системы (13.1), если после подстановки в каждое из уравнений (13.1) вместо чисел , это уравнение превращается в тождество.

Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если не имеет ни одного решения.

Система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если у нее есть, по крайней мере, два различных решения.

Две системы с неизвестными называются эквивалентными, если множества их решений совпадают.

Матрица , составленная из коэффициентов системы (13.1), называется матрицей системы.

Обозначив через , систему (13.1) можно записать в виде матричного уравнения:



Матрица , полученная приписыванием к матрице справа столбца свободных членов системы (13.1), называется расширенной матрицей системы (13.1).

При исследовании системы (13.1) ищут ответ на следующие три вопроса:

когда система совместна;

если система совместна, то определена ли она;

как отыскать ее решения.

22. Критерий совместности системы линейных уравнений

Ответ на первый вопрос дает теорема Кронекера-Капелли - критерий совместности системы линейных уравнений.

Теорема. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы.

23. Правило Крамера решения систем линейных уравнений

Рассмотрим невырожденные системы линейных уравнений, т.е. системы, у которых и определитель матрицы системы отличен от нуля. Определитель матрицы называется определителем системы. Следующая теорема, называемая правилом Крамера, отвечает на второй вопрос.

Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными:



Коэффициенты этой системы составляют квадратную матрицу второго порядка:

Решим систему (13.3). Для этого умножим первое уравнение системы на , второе - на и вычтем из первого уравнения второе:

.

Аналогично, исключая , получим .

Если , то найдем единственное решение системы: .

Общий знаменатель значений неизвестных и , обозначаемый через , называется определителем матрицы . Это определитель второго порядка. Числителями неизвестных и являются определители тоже второго порядка . Откуда .

Мы получили правило Крамера решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Правило Крамера. Если определитель системы линейных уравнений с неизвестными отличен от нуля, то система имеет единственное решение: , где
_ определитель, получаемый из заменой -го столбца столбцом свободных членов.

Невырожденную систему линейных уравнений можно решить и иным способом.

Поскольку матрица _ невырожденная, то для нее существует единственная обратная матрица . Умножив обе части уравнения слева на матрицу , получим , откуда .

Мы ответили на три вопроса относительно систем линейных уравнений. Однако применение теоремы Крамера, которая позволила дать этот ответ, приводит к слишком громоздким вычислениям. Практически для решения систем линейных уравнений чаще всего применяется метод Гаусса.

24. Метод Гаусса

Метод Гаусса основан на теореме: если к некоторому уравнению системы прибавить другое уравнение этой системы, умноженное на любое действительное число, или умножить любое уравнение системы на отличное от нуля действительное число, то полученная система будет эквивалентна исходной.

Метод Гаусса называют также методом последовательного исключения неизвестных, осуществляя его за несколько итераций. На каждой итерации выбирается разрешающее уравнение и базисное неизвестное. В качестве разрешающего уравнения можно взять любое уравнение системы, которое ранее не было выбрано разрешающим и не все коэффициенты которого равны нулю. За базисное неизвестное выбирают неизвестное, коэффициент при котором в разрешающем уравнении, называемый разрешающим коэффициентом, не равен нулю.

Алгоритм метода следующий:

1. Выбирают разрешающее уравнение и базисное неизвестное.

2. Делят обе части разрешающего уравнения на разрешающий коэффициент и исключают базисное неизвестное из всех уравнений системы, кроме разрешающего. Отбрасывают, если они появились, уравнения, все коэффициенты и свободный член в котором равны нулю. Если получилось уравнение, в котором коэффициенты нулевые, а свободный член не нуль, то система несовместна, конец. Если таких уравнений нет, то шаг 1. Если все уравнения были использованы в качестве разрешающих, то шаг 3.

3. Если нет, то шаг 1.

4. Базисные неизвестные оставляют слева, а небазисные (назовем их свободными, так как они могут принимать любые значения) переносят вправо. Тем самым получено общее решение системы. Конец.

25. Однородные системы уравнений

Линейное уравнение называется однородным, если его свободный член равен нулю, и неоднородным в противном случае. Система, состоящая из однородных уравнений, называется однородной и имеет общий вид:

Очевидно, что всякая однородная система совместна и имеет нулевое (тривиальное) решение. Поэтому применительно к однородным системам линейных уравнений часто приходится искать ответ на вопрос о существовании ненулевых решений. Ответ на этот вопрос можно сформулировать в виде следующей теоремы.

Теорема. Однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее ранг меньше числа неизвестных.

Доказательство: Допустим, система, ранг которой равен, имеет ненулевое решение. Очевидно, что не превосходит . В случае система имеет единственное решение. Поскольку система однородных линейных уравнений всегда имеет нулевое решение, то именно нулевое решение и будет этим единственным решением. Таким образом, ненулевые решения возможны только при .

Следствие 1: Однородная система уравнений, в которой число уравнений меньше числа неизвестных, всегда имеет ненулевое решение.

Доказательство: Если у системы уравнений , то ранг системы не превышает числа уравнений , т.е. . Таким образом, выполняется условие и, значит, система имеет ненулевое решение.

Следствие 2: Однородная система уравнений с неизвестными имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю.

Доказательство: Допустим, система линейных однородных уравнений, матрица которой с определителем , имеет ненулевое решение. Тогда по доказанной теореме , а это значит, что матрица вырожденная, т.е. .

26. Разрешенные системы линейных уравнений

Переменная называется разрешенной, если какое-нибудь уравнение системы содержит с коэффициентом, равным единице, а во все остальные уравнения системы переменная не входит, т.е. входит с коэффициентом, равным нулю.