Если функция получает приращение при приращении аргумента на , то называется относительным приращением функции, а - относительным приращением аргумента.

Эластичностью функции называется предел отношения относительного приращения функции к относительному приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю, т.е.:

.

Эластичность функции дает приближенный процентный прирост функции при приращении аргумента на 1%.

Будем считать, что функции дифференцируемы, т.е. имеют производные . Тогда:

1. Функция дифференцируема и ;

2. Если _ постоянная, то функция дифференцируема и ;

3. Из 1 и 2 следует, что ;

4. Функция дифференцируема и ;

5. Из 4 следует, что ;

6. Если определена и дифференцируема, то .

7. Таблица производных

функция производный дифференцируемость

Основные элементарные функции дифференцируемы всюду, где они определены. Производные этих функций могут быть вычислены по определению, т.е. по формуле:

и с помощью правил дифференцирования.

Полученные значения производных основных элементарных функций приведем в таблице.

Использование таблицы производных и правил дифференцирования позволяет вычислять производные арифметических комбинаций основных элементарных функций.

8. Производная сложной функции

Пусть и . Тогда можно определить сложную функцию . Если функция дифференцируема в точке , а функция дифференцируема в точке , то сложная функция дифференцируема в точке , и ее производная может быть вычислена по правилу цепочки:

.

Или более кратко .

Правило можно записать также в виде:

.

Пример 4. . Вычислить .

Обозначим . Тогда .

.

Пример 5. . Вычислить .

.

Пример 6. . Вычислить .

.

9. Производная обратной функции

Пусть функция задана на множестве , а - множество ее значений. Тогда каждому ставится в соответствие единственное значение . С другой стороны, каждому будет соответствовать одно или несколько значений . В случае, когда отображение является биективным, т.е. каждому значению соответствует только одно значение , для которого , на множестве можно определить функцию , множеством значений которой является , которая будет называться обратной по отношению к функции . Функции и называются взаимообратными.

Пусть функция удовлетворяет условиям существования обратной функции и в точке имеет конечную производную . Тогда обратная функция в точке также имеет конечную производную, равную

10. Дифференциал

Дифференцируемость функции в точке означает, что ее приращение представимо в виде:

.

Величина при малых мала по сравнению с величиной . Поэтому представляет собой главную часть приращения , называемую дифференциалом функции в точке . Дифференциал функции обозначают обычно символами:

Если _ независимая переменная, то и поэтому .

Вычисление дифференциалов проводят по правилам 1 _ 6 дифференцирования с заменой символа (штрих) на символ . Например:

;

.

Таким образом, приращение функции в точке при малых значениях приблизительно в пять раз больше, чем , а приращение функции в точке приблизительно в 14 раз больше, чем .

11. Приближенные вычисления

Тот факт, что дифференциал функции является главной частью приращения функции, используют при различных приближенных вычислениях. При этом заменяют приращения функции ее приближенным значением . Таким образом:

.

Пример 8. Вычислить .

Рассмотрим функцию . Заметим, что . Возьмем . Тогда по формуле (2):

.

12. Свойства дифференцируемых функций

Теорема Ферма. Если функция дифференцируема в точке , т.е. существует , и всюду в некоторой окрестности этой точки , т.е. является наибольшим (наименьшим) значением функции в этой окрестности, то .

Теорема Ролля. Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале и , то в некоторой точке интервала ее производная равна нулю.

Геометрический смысл теоремы Ролля заключается в том, что в найдется точка, в которой касательная к кривой будет горизонтальна.

Теорема Лагранжа. Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале , то найдется точка для которой .

Следствие. Теорема Лагранжа является обобщением теоремы Ролля для случая . Тогда .

Теорема Коши. Если функции и определены и непрерывны на отрезке , дифференцируемы на интервале и при этом , то найдется точка , для которой .

13. Правила Лопиталя

Пусть и - функции, определенные и дифференцируемые в окрестности точки a, где a - конечное число или (если , то под окрестностью точки a понимаем какой-нибудь луч ; если , то окрестность - луч ). В самой точке a функции могут быть не определены. Пусть при .

I правило. Если:

1.

2. Существует конечный или бесконечный предел . Тогда: .

II правило. Если:

1. ;

2. Существует конечный или бесконечный предел Тогда: .

Правила Лопиталя позволяют раскрывать неопределенности вида или . Однако, они могут быть использованы и при раскрытии неопределенностей других видов: . Для этого исследуемое выражение преобразуют так, чтобы получилась неопределенность вида или .

Примеры:

1. .

2. .

3. .

4. .

Вычислим:

Поэтому, .

14. Производные высших порядков

Если функция , определенная в , имеет производную во всех точках , то эту производную можно рассматривать как новую функцию , .

К этой функции применимы все предельные законы, в том числе и дифференцирование.

Если , определенная в , имеет конечную производную в точке , то значение этой производной является второй производной функции .

Аналогично вычисляются производные более высоких порядков.

Размещено на Allbest.ru