Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача 1

Малое предприятие имеет два цеха - А и В. Каждому установлен месячный план выпуска продукции. Известно, что цех А свой план выполняет с вероятностью 0,4. Вероятность выполнения плана цехом В при условии, что цех А выполнит свой план, равна 0,25. Известно также, что с вероятностью 0,2 может сложиться ситуация, когда ни один из цехов свой план не выполнит.

Если оба цеха выполнят свои планы в предстоящий месяц, то предприятие увеличит свой счёт в банке на 5 единиц; если оба не выполнят - снимет со счёта 4 единицы; если цех А выполнит, а цех В не выполнит - увеличит счёт только на 2 единицы; если же цех А не выполнит, а цех В выполнит - сократит свой счёт на 1 единицу.

Требуется:

определить вероятность выполнения плана цехом В;

выяснить, зависит ли выполнение плана цехом А от того, выполнит или не выполнит свой план цех В;

найти вероятность того, что предприятию придётся снимать деньги со счёта в банке;

определить, на сколько и в какую сторону (увеличения - уменьшения) изменится в среднем счёт предприятия в банке по результатам работы в предстоящем месяце (ожидаемое изменение счёта в банке).

Решение:

Указанные в задаче событии необходимо представить графически с помощью диаграммы Эйлера-Венна (рисунок 1).

Рисунок 1. Диаграмма Эйлера-Венна

1) По условию задачи дано: Р(А) = 0,4; Р_А(В) = 0,25; Р= 0,2.

Так как Р= 1 - Р(А+В), а

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) - Р= Р(А) + Р(В) - Р(А)Р_А(В),

тогда

Р= 1 - Р(А+В) = (Р(А) + Р(В) - Р(А)Р_А(В)) = 1 - Р(А) - Р(В) + Р(А)Р_А(В),

Р(В) = 1 - Р(А) - Р+ Р(А)Р_А(В).

Получим вероятность выполнения плана цехом В:

Р(В) = 1 - 0,4 - 0,2 + 0,4 0,25 = 1 - 0,6 + 0,1 = 0,5.

2) Найдем условные вероятности Р_В (А) и :

Р_В (А) =

=

так как Р_В (А) , то выполнение плана цехом А зависит от того, выполнит или не выполнит свой план цех В.

3) Предприятию придется снимать деньги со счета в банке при наступлении событий: и . Найдем вероятности этих событий:

Р() = Р(В) - Р(АВ) = 0,5 - 0,1 = 0,4; Р= 0,2 - дано по условию задачи.

Тогда вероятность того, что предприятию придется снимать деньги со счета в банке, равна Р() + Р= 0,4 + 0,2 = 0,6.

4) Из условия задачи следует, что по своему характеру случайная величина Х (изменение счета предприятия в банке) является дискретной. Множество ее возможных значений конечно и состоит их четырех элементов, которые целесообразно расположить в порядке возрастания и обозначить соответственно через х₁ = -4; х₂ = -1; х₃ = 2; х₄ = 5.

р₁ = Р= 0,2;

р₂ = Р() = 0,4;

р₃ = = Р(А) - Р(АВ) = 0,4 - 0,1 = 0,3;

р₄ = Р= 0,1.

В итоге ряд распределения случайной величины Х распределен полностью:

Зная ряд распределения случайной величины Х, ее математическое ожидание найдем по формуле:

Значит, в среднем предприятие уменьшит свой счет в банке на 0,1 единицу.

Задача 2

Оптовая база заключает договоры с магазинами на снабжение товарами. Известно, что от каждого магазина заявка на обслуживание на очередной день может поступить на базу с вероятностью 0,25, причём независимо от других магазинов.

Требуется:

определить минимальное количество магазинов (n_0,85), с которыми база должна заключить договоры, чтобы с вероятностью не менее 0,85 от них поступала хотя бы одна заявка на обслуживание на очередной день;

при найденном в пункте 1) значении п_0,85 определить:

а) наиболее вероятное число заявок (т₀) на обслуживание на очередной день и вероятность поступления такого количества заявок;

вероятность поступления не менее (п -- 1) заявок;

математическое ожидание и дисперсию числа заявок на обслуживание на очередной день.

Решение:

1) Вероятность того, что в данной серии испытаний событие А наступит хотя бы один раз, определим по формуле:

Получим:

2) n_0,85 = 7.

а) Наиболее вероятное значение m₀ случайной величины Х найдем из условия:

Є [np - q; np + q]

При n=7 и р= 0,25; q = 1-p=0,75 получаем:

Є [7]=

Отсюда =2, тогда

Р(Х=2) = .

b) n-1 = 7-1 = 6, поэтому вероятность поступления не менее (n-1)=6 заявок равна:

с) Для случайной величины Х, распределенной по биномиальному закону с параметрами n и р, ее математическое ожидание и дисперсия определяются по формулам:

m_x = np, D_x = npq.

При n=7, и р=0,25 получаем:

Задача 3

математический дисперсия гистограмма

Торговая фирма располагает разветвлённой сетью филиалов и есть основания считать, что её суммарная дневная выручка X является нормально распределённой случайной величиной. Выявленные значения этой величины по 100 рабочим дням представлены в виде следующего интервального ряда:

Требуется:

построить гистограмму относительных частот;

определить несмещённые оценки для неизвестных математического ожидания т_х и дисперсии случайной величины X;

найти 95-процентные доверительные интервалы для т_х и

Решение:

1) В условиях данной задачи необходимо исходить из того, что наблюдаемая величина Х - дневная выручка торговой формы - имеет непрерывное распределение вероятностей. Статистическим аналогом графика плотности распределения такой случайной величины является гистограмма. Она представляет собой совокупность прямоугольников, построенных на выделенных интервалах наблюдаемых значений случайной величины Х как на основаниях. Площадь каждого i-ого прямоугольника равна относительной частоте i-ого интервала, определяемой по формуле:

Отсюда высота i-ого прямоугольника вычисляется как

,

где - длина i-ого интервала (в данной задаче ==5).

Полная площадь гистограммы, таким образом, будет равна единице. На основании изложенного для построения гистограммы составим следующую таблицу:

Таблица 4 - Расчетная таблица для построения гистограммы

Вид этой гистограммы позволяет считать рассматриваемое распределение вероятностей нормальным.

2) Несмещенные оценки и найдем по формулам:

где x_i - середина i-ого интервала.

Все необходимые вычисления для удобства и наглядности проведем в рамках следующей таблицы:

Таблица 5 - Расчет математического ожидания и дисперсии

Исходя из формулы

получаем: условных денежных единиц

получаем:

Доверительный интервал для неизвестного имеет вид:

где =0,95; а .

Так как выборка взята из нормальной совокупности с известным средним квадратическим отклонением, то величина определяется по формуле:

где = ; n = 100, а есть аргумент функции Лапласа F(х), при котором

По таблице приложения 2 в [2] находим x_г = 1,96.

Тогда

,

Доверительный интервал для имеет вид:

где s = 8,2, а величина q определяется по таблице приложения 4 в [2] по и q = 0?143/

Тогда

Задача 4

По результатам n = 18 замеров времени X изготовления детали определены выборочное среднее и исправленная дисперсия s²=18. Полагая распределение случайной величины X нормальным, на уровне значимости а = 0,01 решить, можно ли принять а₀= 90 в качестве нормативного времени изготовления детали.

Пояснение: Основную гипотезу проверить при альтернативной гипотезе Н_а, указанной в исходных данных для решения задач Н_а:

Решение:

1.

2.

3. По виду Н_о, Н_а и К заключаем, что критическая общность в данном случае будет двусторонней.

4. Тогда правую критическую точку определим по таблице критических точек распределения Стьюдента из приложении 6 в [2] по уровню значимости и числу степеней свободы. С степенями свободы

При этом используем нижнюю строку таблицы <уровень значимости (односторонняя критическая область)>. Получим == 2,57;

5. Вычислим наблюдаемое значение критерия К:

~ S (t, n).

6. Так как , то гипотезу следует отвергнуть.

Список использованных источников

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 2004. - 479 с.

2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высшая школа, 2004 - 404 с.

3. Карасев А.И. Аксютина 3.М, Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов. М.: Высшая школа, 1982, ч.2. - 405 с.

4. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ЮНИТИ, 2000. - 378 с.

Размещено на Allbest.ru