Главная Коллекция "Otherreferats" Математика Вычисление уравнений по высшей математика

Вычисление уравнений по высшей математика

Общее уравнение и уравнение прямой, проходящей через две точки. Вычисление угла между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Дифференционная функция с одной переменной. Понятие о вариационных рядах. Гипербола, парабола, их уравнение.

Рубрика	Математика
Вид	контрольная работа
Язык	русский
Дата добавления	23.12.2010
Размер файла	981,3 K

посмотреть текст работы

скачать работу можно здесь

полная информация о работе

весь список подобных работ

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

1. Обратная матрица

2. Решение СЛУ методом Гаусса

3. Вектор, действия с векторами. Скалярное произведение и его свойства

4. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Общее уравнение прямой

5. Вычисление угла между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых

6. Гипербола и её уравнение. Парабола и её уравнение

7. Уравнение прямой в пространстве. Уравнение плоскости. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей

8. Числовые последовательности. Предел последовательности. Бесконечномалые и бесконечнобольшие последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. Производная. Геометрический и физический смысл производной. Формулы дифференцирования

9. Асимптоты и графика функции. Исследования функции и построение графиков. Понятие функции с несколькими переменными

10. Дифференционная функция с одной переменной

11. Применение дифференциала к приближенным вычислениям

12. Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства

13. Определённый интеграл и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница

14. Вычисление площадей при помощи определённого интеграла. Физическое применение интеграла

15. Случайный опыт, случайное событие, вероятность события. Теоремы сложения и умножения

16. Случайные величины. Закон распределения случайной величины. Дисперсия

17. Среднее квадратическое отклонение

18. Понятие о вариационных рядах, их построение и графическое изображение

уравнение прямая вариационный гипербола парабола

1. Обратная матрица

Матрица - прямоугольная таблица чисел. Матрицы обозначаются заглавными латинскими буквами- A.

Пример:

размер 2х3

Каждая матрица имеет свою размерность: число строк и столбцов.

Матрица квадратная.

Пример:

Единичная матрица

Обратная матрица.

(обратная матрица) для , если

, где - единичная матрица

Обратная матрица находится по формуле:

, где - определитель матрицы

Пример:

Найти обратную матрицу матрицы “A”:

1) Вычислим ?:

= -5

Можно убедиться, что найденная матрица действительно удовлетворяет определению

Проверка:

2. Решение СЛУ методом Гаусса

Пример:

1	1	-1	-7
3	1	-2	-13
5	-2	1	3
2	-2	1	8
	-7	6	38
	34	-7	-56
	-34	12	76
	3	5	20

1. По 3-ей формуле из таблицы находим “z”:

По 2-ой формуле из таблицы находим “y”:

, при

По 1-ой формуле из таблицы находим “x”:

, при

Ответ: (-1; -2; 4).

3. Вектор. Действия с векторами. Скалярное произведение и его свойства

Вектор

Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок прямой, т. е. отрезок, у которого одна из ограничивающих его точек принимается за начало, а другая - за его конец.

Векторы удобно обозначать двумя буквами со стрелкой или линейкой над ними, причём первая - его начало, а вторая буква - конец.

Длиной или модулем вектора АВ называется длина отрезка АВ и обозначается .

Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым вектором. Модуль нулевого вектора равен 0. Нулевой вектор не имеет направления. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они одинаково или противоположно направлены.

Ненулевые векторы называются компланарными, если они параллельны одной и той же плоскости.

Два вектора называются равными, если они одинаково направлены и имеют одну и ту же длину. Так, равны векторы АВ и СD, изображенные на рисунке, т. е. АВ=СD .

Действия с векторами

Сложение векторов. Пусть даны векторы а и b(см. рис.). Из произвольной точки О построим вектор ОА=а, а затем из точки А построим вектор АВ=b. Вектор с=ОВ, соединяющий начало вектора а, с концом вектора b, называется суммой векторов а и b и обозначается a+b. Таким образом, c=a+b. Это равенство называется правилом треугольника сложения вектора.

Вычитание векторов. Для любого вектора АВ противоположным ему называется вектор ВА. Вектор, противоположный вектору а, обозначается «- а». Из определения следует, что противоположные векторы имеют одинаковую длину и противоположные направления (см. рис.).

Пусть, а=АВ, тогда - а = ВА. Так как АВ+ВА=АА=0, то а+ (- а)=0. Вектор с = а +( - b) называется разностью векторов а и b и обозначается с=а-b.

Итак, по определению

Отсюда следует: чтобы из вектора а вычесть вектор b, нужно к вектору а прибавить вектор -b, противоположный вектору b .

Скалярное произведение векторов.

Скалярным произведением векторов, отличных от нуля, называют число, равное произведению длин этих векторов на косинус между ними. Скалярное произведение векторов а и b обозначается a·b, или ab. Итак, по определению

4. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Прямую можно задать различными способами. Уравнение

называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k. Любая прямая, не перпендикулярная оси OX, может быть определена этим уравнением. Прямая же, перпендикулярная оси абсцисс, задается уравнением . Отметим, что вертикальная прямая не является графиком функции.

Итак, уравнением можно описать не любую прямую. График прямой x=3

Этого недостатка нет у так называемого общего уравнения прямой

Если

- получаем уравнение вертикальной прямой. Если же

Таким образом, угловой коэффициент прямой в этой системе обозначений задается как

Зафиксируем на графике линейной функции точку . Пусть - произвольная точка графика. Из легко увидеть, что . Уравнение называется уравнением прямой с заданным угловым коэффициентом, проходящей через данную точку.

Зафиксируем теперь на графике линейной функции две точки: . Из следует, что Таким образом, уравнение задает

прямую, проходящую через две заданные точки.

5. Вычисление угла между прямыми, условия параллельности и перпендикулярности прямых

Углом между прямыми в пространстве будем называть любой из смежных углов, образованных двумя прямыми, проведёнными через произвольную точку параллельно данным.

Пусть в пространстве заданы две прямые:

Очевидно, что за угол между прямыми можно принять угол между их направляющими векторами . Так как, , то по формуле для косинуса угла между векторами получим

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых равносильны условиям параллельности и перпендикулярности их направляющих векторов :

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты пропорциональны, т.е. тогда и только тогда, когда

Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма произведений соответствующих коэффициентов равна нулю:

Угол между двумя прямыми

Пусть две пересекающиеся в точке M прямые заданы уравнениями:

Пусть прямая образует с осью OX угол , угол . Найдем угол . Из рисунка видно, что

. Так как

6.Гипербола и её уравнение. Парабола и её уравнение

Гипербола

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами. Обозначим фокусы через расстояние между ними через 2с, а модуль разности расстояний от каждой точки гиперболы до фокусов через 2a. По определению 2a < 2с, т. е. a < c. Для вывода уравнения гиперболы выберем систему координат так, чтобы фокусы лежали на оси , а начало координат совпало с серединой отрезка (см. рис. 53). Тогда фокусы будут иметь координаты

Пусть -- произвольная точка гиперболы. Тогда согласно определению гиперболы

т.е.

После упрощений, как это было сделано при выводе уравнения эллипса, получим каноническое уравнение гиперболы

Тогда последнее равенство принимает такой вид

Или

Гипербола есть линия второго порядка.
Уравнение 11.9 является каноническим уравнением гиперболы.

Установим форму гиперболы, пользуясь каноническим уравнением:

1. Уравнение (11.9) содержит только в четных степенях. Следовательно, гипербола симметрична относительно осей , А также относительно точки , которую называют центром гиперболы.

2. Найдем точки пересечения гиперболы с осями координат. Положив в уравнении

(11.9), находим две точки пересечения гиперболы с осью . Положив в (11.9), получаем , чего быть не может. Следовательно, гипербола ось не пересекает. Точки называются вершинами гиперболы, а отрезок действительной осью, отрезок -действительной полуосью гиперболой.

Отрезок , соединяющий точки называется мнимой осью, число “b”- мнимой полуосью. Прямоугольник, со сторонами называется основным прямоугольником гиперболы.

3. Из уравнения (11.9) следует, что уменьшаемое не меньше единицы, т. е. что . Это означает, что точки гиперболы расположены справа от прямой (правая ветвь гиперболы) и слева от прямой (левая ветвь гиперболы).

4. Из уравнения (11.9) гиперболы видно, что когда . Это следует из того, что разность сохраняет постоянное значение, равное единице. Из сказанного следует, что гипербола имеет форму, изображенную на рисунке 54 (кривая, состоящая из двух неограниченных ветвей).

Асимптоты гиперболы

Прямая L называется асимптотой неограниченной кривой K, если расстояние d от точки M кривой K до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки M вдоль кривой K от начала координат. На рисунке 55 приведена иллюстрация понятия асимптоты: прямая L является асимптотой для кривой К.

Покажем, что гипербола имеет две асимптоты:

Так как прямые (11.11) и гипербола (11.9) симметричны относительно координатных осей, то достаточно рассмотреть только те точки указанных линий, которые расположены в первой четверти.

Возьмем на прямой точку N имеющей ту же абсциссу Х, что и точка на гиперболе (см.рис. 56), и найдем разность МН между ординатами прямой и ветви гиперболы:

Как видно, по мере возрастания х знаменатель дроби увеличивается; числитель -- есть постоянная величина. Стало быть, длина отрезка МН стремится к нулю. Так как МН больше расстояния d от точки М до прямой, то d и подавно стремится к нулю. Итак, прямые являются асимптотами гиперболы (11.9). При построении гиперболы (11.9) целесообразно сначала построить основной прямоугольник гиперболы (см. рис. 57), провести прямые, проходящие через противоположные вершины этого прямоугольника, -- асимптоты гиперболы и отметить вершины гиперболы.

Парабола

Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой. Расстояние от фокуса F до директрисы называется параметром параболы и обозначается через p (p > 0). Для вывода уравнения параболы выберем систему координат Оху так, чтобы ось Ох проходила через фокус F перпендикулярно директрисе в направлении от директрисы к F, а начало координат О расположим посередине между фокусом и директрисой (см. рис. 60). В выбранной системе фокус F имеет координаты , а уравнение директрисы имеет вид , или . Пусть -- произвольная точка параболы. Соединим точку М с F. Проведем отрезок МН перпендикулярно директрисе. Согласно определению параболы MF = МН. По формуле расстояния между двумя точками находим:

Следовательно,

Возведя обе части уравнения в квадрат, получим

(11.12)

Уравнение (11.12) называется каноническим уравнением параболы.

Парабола есть линия второго порядка.

Исследование форм параболы по ее уравнению

1. В уравнении (11.12) переменная у входит в четной степени, значит, парабола симметрична относительно оси Ох; ось Ох является осью симметрии параболы.

2. Так как с > 0, то из (11.12) следует, что . Следовательно, парабола расположена справа от оси Оу.

3. При имеем у = 0. Следовательно, парабола проходит через начало координат.

4. При неограниченном возрастании x модуль у также неограниченно возрастает. Парабола имеет вид (форму), изображенный на рисунке 61. Точка О(0; 0) называется вершиной параболы, отрезок FM = r называется фокальным радиусом точки М.

Уравнения также определяют параболы, они изображены на рисунке 62:

Нетрудно показать, что график квадратного трехчлена , где , В и С любые действительные числа, представляет собой параболу в смысле приведенного выше ее определения.

Общие уравнения прямой в пространстве

Уравнение прямой может быть рассмотрено как уравнение линии пересечения двух плоскостей.

плоскость в векторной форме может быть задана уравнением: , где N- нормаль плоскости, r- радиус-вектор произвольной плоскости

Пусть в пространстве заданы две плоскости:

векторы нормали имеют координаты: (A₁, B₁, C₁), (A₂, B₂, C₂); (x, y, z).

Тогда общие уравнения прямой в векторной форме:

Общие уравнения прямой в координатной форме:

Практическая задача часто состоит в приведении уравнений прямых в общем виде к каноническому виду.

Для этого надо найти произвольную точку прямой и числа m, n, p.

При этом направляющий вектор прямой может быть найден как векторное произведение векторов нормали к заданным плоскостям.

Каноническое уравнение прямой в пространстве:

Вышеуказанное уравнение является также каноническим уравнением, или уравнением прямой, проходящей через данную точку параллельно заданному вектору.

Пример. Найти каноническое уравнение, если прямая задана в виде:

Для нахождения произвольной точки прямой, примем ее координату х=0, а затем подставим это значение в заданную систему уравнений.

Находим компоненты направляющего вектора прямой.

Тогда канонические уравнения прямой:

Уравнение плоскости в пространстве

Общее уравнение плоскости в декартовой системе координат записывается следующим образом:

ax + by + cz + d = 0.

Если известно, что плоскость проходит через точку с координатами (x₀, y₀, z₀), то ее уравнение можно привести к виду a (x - x₀) + b (y - y₀) + c (z - z₀) = 0

Уравнение:

называется уравнением плоскости в отрезках на осях.

Нормаль к плоскости имеет координаты

Угол между плоскостями

Угол между двумя плоскостями легко вычисляется по формуле скалярного произведения. Если эти плоскости задаются уравнениями a₁x + b₁y + c₁z + d₁ = 0 и a₂x + b₂y + c₂z + d₂ = 0, то угол между плоскостями равняется

Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей

На основе полученной выше формулы для нахождения угла между плоскостями можно найти условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Для того, чтобы плоскости были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы косинус угла между плоскостями равнялся нулю. Это условие выполняется, если:

Плоскости параллельны, векторы нормалей коллинеарные: . Это условие выполняется, если:

Последовательности.

Числовой последовательностью называется числовая функция, заданная на множестве натуральных чисел или на множестве первых натуральных чисел.

Для числовых последовательностей вместо обычно пишут ,саму последовательность обозначают , общий член последовательности обозначают . Числа называются членами последовательности: -- первый член последовательности, -- второй член последовательности, --ый член последовательности и т.д.

Числовая последовательность определена, если указан закон, по которому каждому натуральному числу ставиться в соответствие действительное число.

Числовая последовательность может быть определена заданием ее -го члена формулой, позволяющей найти любой член последовательности простой подстановкой номера искомого члена в эту формулу. Такой способ задания последовательности называется явным.

Закон образования числовой последовательности может состоять в задании нескольких первых членов последовательности и рекуррентной формулы, с помощью которой каждый следующий член выражается через предыдущий (или несколько предыдущих). Такой способ задания последовательности называется рекуррентным.

Числовая последовательность называется возрастающей, если в ней каждый следующий член больше предыдущего.

Числовая последовательность называется убывающей, если в ней каждый следующий член меньше предыдущего.

Числовая последовательность называется ограниченной, если существует такое натуральное число, что для любого натурального .

Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства.

Определение (бесконечно малая последовательность). Бесконечно малая последовательность -- последовательность, предел которой равен 0. То есть lim_{n ® Ґ} x_n= 0 или более подробно с учетом определения предела " e>0 $ N: " n>N |x_n| < e Ю x_n.

Пример:

x_n= 1/n - является бесконечно малой последовательностью.

Определение (бесконечно большая последовательность). x_n - бесконечно большая последовательность, если " c>0 $ N: " n>N |xⁿ|>c.

Пример: Последовательности n, 2ⁿ являются бесконечно большими.

Следует различать неограниченную и бесконечно большую последовательности. Всякая бесконечно большая последовательность является неограниченной, однако неограниченная не обязательно является бесконечно большой. Рассмотрим следующий пример.

Пример:

Пусть x_n = 1,1/2,3,1/3,5,1/4,..., нетрудно заметить, что данная последовательность состоит из двух составляющих, а именно x_2k-1= 2k-1, x2k = 1/(k+1). Данная последовательность неограниченная, так как содержит неограниченную составляющую x2k-1 = 2k-1, но не является бесконечно большой, так как содержит вторую часть x^2k = 1/(k+1).

Очевидно следующее утверждение.

Лемма 1. Если a_n -- бесконечно малая последовательность, то 1/ a_n --бесконечно большая последовательность.

Пример:

Пусть a_n = 1/n, которая является бесконечно малой, тогда последовательность b_n = 1/a _n = n будет бесконечно большой.

Теорема 5. Для того чтобы последовательность {x_n} имела предел, равный A необходимо и достаточно, чтобы ее члены имели вид x_n = A+ a_n, где lim _{n ® Ґ an}= 0.

Справедливы следующие свойства бесконечно малых последовательностей, которые легко получить из определения бесконечно малой последовательности.

Теорема 6. (свойства бесконечно малых последовательностей)

Сумма и разность двух бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность является бесконечно малой последовательностью.

Следствие 1. Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Предел функции

Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки a. Предположим, что независимая переменная x неограниченно приближается к числу a. Это означает, что мы можем придавать х значения сколь угодно близкие к a, но не равные a. Будем обозначать это так x > a. Для таких x найдем соответствующие значения функции. Может случиться, что значения f(x) также неограниченно приближаются к некоторому числу b.Тогда говорят, что число b есть предел функции f(x) при x > a.

Введем строгое определение предела функции.

Функция y=f(x) стремится к пределу b при x > a, если для каждого положительного числа е, как бы мало оно не было, можно указать такое положительное число д, что при всех x ? a из области определения функции, удовлетворяющих неравенству |x - a| < д, имеет место неравенство |f(x) - b| < е. Если b есть предел функции f(x) при x > a, то пишут или f(x) > b при x > a.

Проиллюстрируем это определение на графике функции. Т.к. из неравенства |x - a| < д должно следовать неравенство |f(x) - b| < е, т.е. при x О (a - д, a + д) соответствующие значения функции f(x) О (b - е, b + е), то, взяв произвольное е > 0, мы можем подобрать такое число д, что для всех точек x, лежащих в д - окрестности точки a, соответствующие точки графика функции должны лежать внутри полосы шириной 2е, ограниченной прямыми y = b - е и y = b + е.

Несложно заметить, что предел функции должен обладать теми же свойствами, что и предел числовой последовательности, а именно и если при x > a функция имеет предел, то он единственный.

Первый замечательный предел lim_{x® 0}(sin x)/x = 1

Доказательство.

Покажем, что cos ²x^<(sin x)/x<1 при 0<|x|<p/2.

Так как cos²x,(sin x)/x - четные функции, то достаточно рассмотреть случай 0<x<p/2. Из рис. 15 и определения функций cos x и sin x, сравнивая площади сектора OCD, треугольника D OAB и сектора OAB, найдем

Разделив эти неравенства на (1/2) x, получим требуемый результат.

Из выше полученного результата следует, что |sin x|Ј|x| " xО R.

Из 2) по теореме о предельном переходе в неравенствах вытекает, что lim _{x® 0}sin x = 0.

Теперь покажем, что lim_{x® 0}(sin x)/x = 1.

Cчитая, что |x|<p/2, в силу полученного в 1) неравенства имеем 1-sin²x<sin x/x<1.

Но lim_{x® 0}(1-sin²x) = 1, значит, по теореме о предельном переходе в неравенствах следует, что lim_{x® 0}(sin x)/x = 1.

Следствие 1.

lim_{x ® 0}(tgx)/x = 1

lim_{x ® 0}(arcsin x)/x = 1

lim_{x ® 0}(arctgx)/x = 1

Пример. Найти lim_{x® 0}(sin 6x)/4x; lim_{x® 0}(1-cos x)/x2.

Решение.

lim_{x® 0}(sin 6x)/4x = (3/2) lim_{x® 0(}sin 6x)/6x = 3/2;

lim_{x® 0}(1-cos x)/x² = lim_{x® 0}(2sin² x/2)/x² = (1/2)lim_{x® 0}(sin²x/2)/(x/2)² = 1/2.

Второй замечательный предел

e = lim_{x ® Ґ}(1+1/x)^x

Как получена данная формула можно найти в книге Зорича В.А.

"Математический анализ" ч.1.

Если в данной формуле положить y = 1/x, то получим вторую запись данной формулы.

lim_{x ® 0}(1+x)1/x = e.

lim_{x® Ґ}(1+5/x)3x;

lim_{x® 0}(1-3x)2/x.

Решение.

lim_{x® Ґ}(1+5/x)3x = lim_{x® Ґ}(1+5/x)(x/5)^(5/x)(3x)= lim_{x® Ґ}(1+5/x)(x/5)¹⁵ = e¹⁵;

lim_{x® 0}(1-3x)2/x = lim_{x® 0}(1-3x)(-1/(3x))^{(-3x) · (2/x)}= lim_{x® 0}(1-3x)(-1/(3x))^(-6)= e^-6.

Производная

Пусть функция y = f(x) определена в промежутке X. Производной функции y = f(x) в точке х_oназывается предел

Если этот предел конечный, то функция f(x) называется дифференцируемой в точке xo; при этом она оказывается обязательно и непрерывной в этой точке.

Если же рассматриваемый предел равен ? (или -? ), то при условии, что функция в точке х_oнепрерывна, будем говорить, что функция f(x) имеет в точке х_o бесконечную производную.

Производная обозначается символами

y ' , f ' (x_o), ,

Нахождение производной называется дифференцированием функции.

Геометрический смысл производной состоит в том, что производная есть угловой коэффициент касательной к кривой y=f(x) в данной точке х_o;

физический смысл - в том, что производная от пути по времени есть мгновенная скорость движущейся точки при прямолинейном движении s = s(t) в момент t₀.

Исследование функций на асимптоты не имеет прямого отношения к понятию производной и дифференциала. Но поскольку это исследование обычно проводится в рамках полного анализа функций (в том числе, и по первой и второй производной), то рассмотрим этот вопрос в данном разделе.

Пусть для функции y = f(x) существует такая прямая, что расстояние от точки М(x,f(x)) графика функции до этой прямой стремится к 0 при бесконечном удалении точки М от начала координат. Такая прямая называется асимптотой графика функции.

Для существования вертикальной асимптоты x = a необходимо и достаточно, чтобы Непрерывные функции не имеют вертикальных асимптот. Если же x в точке М стремится к +? или -?, то асимптота задается уравнением: y = kx + b, причем

Пример. Найти асимптоты графика функции

Решение. Вертикальных асимптот график данной функции не имеет. Найдем его наклонную асимптоту:

следовательно, y= x-3 - асимптота графика функции.

Общая схема исследования функции:

Для построения графика можно исследовать функцию по следующей схеме:

Найти область существования функции.

Исследовать на четность - нечетность.

Исследовать на периодичность и выявить, если есть, период.

Найти точки пересечения с осями координат.

Используя производную, отыскать точки экстремума, участки возрастания и убывания функции.

Исследовать функцию на выпуклость и вогнутость и найти её точки перегиба.

Найти вертикальные асимптоты графика функции.

Исследовать поведение функции на бесконечности и найти её горизонтальные и наклонные асимптоты.

10. Дифференционная функция с одной переменной

Понятие производной

Рассмотрим задачу, которая приводит к понятию производной. Пусть функция u(t) выражает количество произведенной продукции за время t. Найдем производительность труда в момент t0. За период от t₀ до t₀+D t количество продукции изменится от u(t₀) до u₀+D u = u(t₀+D t). Тогда средняя производительность труда за этот период z = D u/D t, поэтому производительность труда в момент t0 z = limD_{t® 0}D u/D t.

Определение 1 (производная). Производной функции y = f(x) в фиксированной точке x называется предел limD _{x® 0}D y/D x при условии существования этого предела.

Производная обозначается следующим образом f'(x) или y'.

Пример 1. Вычислить производную функции y = sin x. Найдем приращение функции:

D y = sin(x+D x)-sin x = 2sin(D x/2) cos (x+D x/2).

По определению производной (sin x)' = limD_{x® 0}D y/D x = limD _{x® 0}(cos (x+D x/2)(sin D x/2)/(D x/2)) = =cos x, так как limD _{x® 0}cos (x+D x/2) = cos x.

Таким образом, (sin x)' = cos x.

Определение 2. Правой (левой) производной называется правый (левый) предел

limD _{x® 0} + 0D y/D x

limD_{x® 0} - 0D y/D x ,

если эти пределы существуют.

Для обозначения правой (левой) производной используют символ: f'(x+0) f'(x-0). Необходимым и достаточным условием существования производной является равенство f'(x+0) = f'(x-0).

Пример 2. Доказать, что f(x) = 3|x|+1 не имеет производной в точке x = 0. Составим D y = 3(0+D x)+1-1=3D x при D x>0. При D x<0 D y = -3(0+D x)+1-1=-3D x, значит, limD _{x® 0}-0D y/D x =-3, limD _{x® 0}+0D y/D x = 3.

Поэтому данная функция не имеет производной в точке x = 0.

Геометрический смысл производной

Рассмотрим график функции y = f(x), определенной и непрерывной на (a,b). Зафиксируем произвольную точку x на (a,b), и зададим приращение D x№ 0, причем x+D x О (a,b). Пусть точки M,P - точки на графике f(x), абсциссы которых равны x, x+D x. Координаты точек M и P имеют вид M(x,f(x)), P(x+D x,f(x+D x). Прямую, проходящую через точки M, P графика функции f(x) будем называть секущей. Обозначим угол наклона секущей MP к оси ОX через f (D x).

Определение 3. Если существует предельное положение секущей MP при стремлении точки N к точке M вдоль графика функции при D x® 0), то это предельное положение называется касательной к графику функции f(x) в данной точке M этого графика.

Из данного определения следует, что для существования касательной к графику f(x) в точке M достаточно, чтобы существовал предел lim_{D x® 0f}(D x) = f ₀, который равен углу, образованному касательной с положительным направлением оси OX.

11. Применение дифференциала к приближенным вычислениям

Как уже известно, приращение ?у функции у=ѓ(х) в точке х можно представить в виде ?у=ѓ'(х)*?х+б*?х, где б>0 при ?х>0, или ?у=dy+б*?х. Отбрасывая бесконечно малую б*?х более высокого порядка, чем ?х, получаем приближенное равенство ?у?dy причем это равенство тем точнее, чем меньше ?х.

Это равенство позволяет с большой точностью вычислить приближенно приращение любой дифференцируемой функции.

Дифференциал обычно находится значительно проще, чем приращение функции, поэтому формула широко применяется в вычислительной практике.

Найти приближенное значение приращения функции у=х3-2х+1 при х=2 и ?х=0,001.

Решение: Применяем формулу (24.3):

?у?dy=(х3-2х+1)'*?х=(3х2-2)*?х.

Итак, ?у» 0,01.

Посмотрим, какую погрешность допустили, вычислив дифференциал функции вместо ее приращения. Для этого найдем ?у:

?у=((х+?х)3-2(х+?х)+1)-(х3-2х+1)=х3+3х2*?х+3х*(?х)2+(?х)3-2х-2*?х+1-х3+2х-1=?х(3х2+3х*?х+(?х)2-2);

Абсолютная погрешность приближения равна

|?у-dy|=|0,010006-0,011=0,000006.

Подставляя в равенство (24.3) значения ?у и dy, получим ѓ(х+?х)-ѓ(х)ѓ'(х)?х или ѓ(х+?х)ѓ(х)+ѓ'(х)*?х.

Формула используется для вычислений приближенных значений функций.

12. Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства

Первообразная

Первообразной функции f на промежутке I называется функция F, такая, что

Неопределенный интеграл

где F - первообразная функции f (на промежутке); C - произвольная постоянная.

Основные свойства

Если , то

13. Определённый интеграл и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a, b]. Определенный интеграл от функции f (x) в пределах от a до b вводится как предел суммы бесконечно большого числа слагаемых, каждое из которых стремится к нулю:

Где

Свойства определенного интеграла

Ниже предполагается, что f (x) и g (x) - непрерывные функции на замкнутом интервале [a, b].

2. где k - константа;

5. Если для всех , то

8. Если в интервале [a, b], то .

Формула Ньютона-Лейбница

Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a, b]. Если F (x) - первообразная функции f (x) на [a, b], то

14. Вычисление площадей при помощи определённого интеграла. Физическое применение интеграла

Площадь фигуры, ограниченной осью 0x, двумя вертикальными прямыми x = a, x = b и графиком функции f (x), определяется по формуле

Пусть F (x) и G (x) - первообразные функций f (x) и g (x), соответственно. Если f (x) ? g (x) на замкнутом интервале [a, b], то площадь области, ограниченной двумя кривыми y = f (x), y = g (x) и вертикальными линиями x = a, x = b (рисунок 2), определяется формулой

15. Случайный опыт, случайное событие, вероятность события. Теоремы сложения и умножения

Теорема сложения вероятностей.

Рассмотрим теоремы, позволяющие вычислить вероятность появления события А или В в результате одного испытания, т.е. вероятность суммы этих событий А+В. Возможны два случая: события совместны и несовместны.

Теорема1: Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Доказательство:

Число всех исходов N, число исходов благоприятствующих событию А- К, событию В- L. Так как А и В несовместны, то ни один из этих исходов не может благоприятствовать А и В одновременно, т.е. А и В взаимно исключающие, следовательно число благоприятствующих исходов для события А+В равно К+L. Тогда вероятность равна

Теорема2: Вероятность суммы двух совместных событий А и В равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного появления, т.е. Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

Доказательство:

Всего исходов N, благоприятствующих событию А- К, событию В- L, совместному появлению А и В- М. Следовательно, благоприятных исходов для события А+В : K+L-M. Откуда вероятность события А+В:

Теорема умножения вероятностей.

Прежде чем познакомиться с теоремой, введем сопутствующие понятия: зависимые и независимые события. Рассмотрим примеры:

а) Два спортсмена стреляют по мишени. Событие А- попал первый стрелок, вероятность появления этого события Р(А) , В- попал второй стрелок, вероятность Р(В). Появление или не появление события, например, А не повлияет на вероятность появления события В.

б) Бросают два одинаковых кубика. Событие С- выпало 2 очка на первом кубике, вероятность этого события Р(С). Событие Д- 3 очка на втором кубике, вероятность - Р(Д). Появление события Д не повлияет на вероятность появления события С.

В данных примерах описаны независимые события.

Определение:

Два события А и В называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятности появления другого.

Рассмотрим другой пример:

В урне 2 белых и 2 черных шара. Событие А- вынут 1 белый шар, событие В- вынут 1 черный шар.

Вероятность их появления при испытании- из урны наудачу вынут один шар, одинакова и равна 1/2. Рассмотрим событие: первым вынут белый шар, т.е. происходит событие А, его вероятность 1/2, затем возвращается в урну и вторым вынимают черный шар, т.е. происходит событие В. Найдем вероятность события В в такой ситуации : Р(В)=2/4=1/2. Итак, появление события А не изменило появление события В.

Теперь изменим условия: вынутый первым белый шар не будем возвращать в урну, тогда вероятность события В будет равна Р(В)=2/3, сравнивая результаты 1/2 и 2/3 можно сделать вывод, что появление события А изменило вероятность появления события В. Такие события называются зависимыми , а вероятность события В, в данном случае называется условной вероятностью и обозначается РА(В), т.е. вероятность события В при условии, что А произошло.

Определения:

События А и В называются зависимыми, если появление одного из них изменяет вероятность появления другого.

Условной вероятностью РА(В) называется вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже произошло.

Теперь познакомимся с теоремами, которые позволяют вычислить вероятность совместного появления двух событий. В первой теореме речь идет о зависимых событиях, во второй- о независимых.

Теорема1: Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, в предположении, что первое уже произошло, т.е. Р(АВ)= Р(А)РА(В).

Доказательство:

Пусть в результате опыта возможны N исходов, из них М благоприятствуют появлению события А, их этихМ- К исходов благоприятствуют событию В. Одновременному появлению событий А и В благоприятствуют L исходов из К.. По классической формуле имеем: Р(АВ)=L/N.

Умножим и разделим на М:

Первая дробь- вероятность наступления события А, вторая- вероятность события В, при условии, что А уже произошло, т.е. условная вероятность события В, что и требовалось доказать.

Теорема2: Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению их вероятностей Р(АВ)=Р(А)Р(В).

Доказательство:

Т.к. события независимые, то верно равенство РА(В)=Р(В), тогда получим Р(АВ)=Р(А)Р(В).

Справедлива обратная теорема:

Если для событий А и В выполняется равенство Р(АВ)=Р(А)Р(В), то эти события независимы.

Решим задачи.

Пример1. По мишени стреляют три стрелка. Вероятности попадания соответственно равны 0,7; 0,8 и 0,9. Найти вероятность того, что попадут все три.

Решение:

Пусть событие А- попал 1-й, В- 2-й и С-3-й. Эти события независимые, тогда применяя соответствующую теорему получим, что вероятность совместного появления всех трех событий равна: Р(АВС)=Р(А)Р(В)Р(С)= 0,7·0,8·0,9=0,504.

Пример2. В урне находятся 3 белых, 2 черных и 4 синих шара. Какова вероятность того, что первым будет вынут белый шар, вторым- синий, третьим- черный. Шары не возвращаются.

Решение: Пусть события: А- вынут белый шар, В- вынут синий, С- черный. Вероятность, что первым вынут белый равна

Событие В происходит после события А, при этом условия меняются- общее количество шаров уменьшилось и стало равно 8, поэтому события А и В зависимые и речь идет об условной вероятности события В: РА(В)=4/8=1/2. Событие С происходит после событий А и В , поэтому вероятность его тоже условная РАВ(С)=2/7. Вероятность же их совместного появления :

16. Случайные величины. Закон распределения случайной величины. Дисперсия

1. Случайная величина

При рассмотрении случайных событий иногда мы сталкивались с событиями, состоящими в появлении того или иного числа. Например, при бросании игральной кости (кубика) могли появиться числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Наперед определить число выпавших очков невозможно, поскольку оно зависит от многих случайных причин, которые полностью не могут быть учтены. В этом смысле число очков есть величина случайная; числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6 есть возможные значения этой величины.

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Пример 1. Число родившихся мальчиков среди ста новорожденных есть случайная величина, которая имеет следующие возможные значения: 0, 1, 2, .... 100.

Пример 2. Расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия есть случайная величина. Действительно, расстояние зависит не только от установки прицела, но и от многих других причин (силы и направления ветра, температуры и т. д.), которые не могут быть полностью учтены. Возможные значения этой величины принадлежат некоторому промежутку (а, Ь).

Пример 3. Диаметр изготавливаемой детали на станке- случайная величина, т.к. возможны отклонения из-за возникающих погрешностей ввиду температурных изменений, силы трения, неоднородности материала и т.д.. Таким образом диаметр принадлежит некоторому промежутку (c, d).

Будем далее обозначать случайные величины прописными буквами X, Y, Z, а их возможные значения--соответствующими строчными буквами х, у, г.

Дисперсия (от лат. dispersio -- рассеяние), в математической статистике и теории вероятностей, наиболее употребительная мера рассеивания, т. е. отклонения от среднего. В статистическом понимании Д.

есть среднее арифметическое из квадратов отклонений величин xi от их среднего арифметического

В теории вероятностей Д. случайной величины Х называется математическое ожидание Е (Х -- mх)2 квадрата отклонения Х от её математического ожидания mх = Е (Х). Д. случайной величины Х обозначается через D (X) или через s2X. Квадратный корень из Д. (т. е. s, если Д. есть s2) называется средним квадратичным отклонением (см. Квадратичное отклонение).

Для случайной величины Х с непрерывным распределением вероятностей, характеризуемым плотностью вероятности р (х), Д. вычисляется по формуле

где

17. Среднее квадратическое отклонение

Квадратичное отклонение, квадратичное уклонение, стандартное отклонение величин x1, x2,..., xn от а -- квадратный корень из выражения

В этом случае К. о. может служить мерой рассеяния системы величин x1, x2,..., xn. Употребляют также более общее понятие взвешенного К. о.

числа p1,..., pn называют при этом весами, соответствующими величинам x1,..., xn. Взвешенное К. о. достигает наименьшего значения при а, равном взвешенному среднему:

(p1x1 +... + pnxn)/(p1 +...+ pn).

В теории вероятностей К. о. ох случайной величины Х (от её математического ожидания) называют квадратный корень из дисперсии .

18. Понятие о вариационных рядах, их построение и графическое изображение

Графическое изображение зависимости между величинами дает возможность представить эту зависимость наглядно. Графики могут служить основой для открытия новых свойств, соотношений и закономерностей.

Наиболее употребительными графиками для изображения вариационных рядов, т. е. соотношений между значениями признака и соответствующими частотами или относительными частотами, являются полигон, гистограмма и кумулята.

Полигон чаще всего используют для изображения дискретных рядов. Для построения полигона в прямоугольной системе координат на оси абсцисс в произвольно выбранном масштабе откладывают значения аргумента, т. е. варианты, а на оси ординат также в произвольно выбранном масштабе - значения частот или относительных частот. Масштаб выбирают такой, чтобы была обеспечена необходимая наглядность, и чтобы рисунок имел желательный размер. Далее в этой системе координат строят точки, координатами которых являются пары соответствующих чисел из вариационного ряда. Полученные точки последовательно соединяют отрезками прямой. Крайнюю "левую" точку соединяют с точкой оси абсцисс, абсцисса которой находится слева от рассматриваемой точки на таком же расстоянии, как абсцисса ближайшей справа точки. Аналогично крайнюю "правую" точку также соединяют с точкой оси абсцисс.

Пример построения полигона

Кумулята служит для графического изображения кумулятивного вариационного ряда. Для ее построения на оси абсцисс откладывают значения аргумента, а на оси ординат - накопленные частоты или накопленные относительные частоты. Масштаб на каждой оси выбирают произвольно. Далее строят точки, абсциссы которых равны вариантам (в случае дискретных рядов) или верхним границам интервалов (в случае интервальных рядов), а ординаты - соответствующим частотам (накопленным частотам). Эти точки соединяют отрезками прямой. Полученная ломаная и является кумулятой.

Гистограмму используют для изображения интервальных рядов. Для построения гистограммы по данным вариационного ряда с равными интервалами, как и для построения полигона, на оси абсцисс откладывают значения аргумента, а на оси ординат - значения частот или относительных частот. Далее строят прямоугольники, основаниями которых служат отрезки оси абсцисс, длины которых равны длинам интервалов, а высотами - отрезки, длины которых пропорциональны частотам или относительным частотам соответствующих интервалов.

В результате получают ступенчатую фигуру в виде сдвинутых друг к другу прямоугольников, площади которых пропорциональны частотам (или относительным частотам).

Если интервалы неравные, то на оси ординат следует откладывать в произвольно выбранном масштабе значения плотности распределения (абсолютной или относительной). Таким образом, высоты прямоугольников, которые мы строим, должны равняться плотностям соответствующих интервалов.

При графическом изображении вариационного ряда с помощью гистограммы плотность изображается так, как если бы она оставалась постоянной внутри каждого интервала. На самом деле, как правило, это не так. Если построить распределение по частям интервалов, то можно убедиться в том, что плотность распределения на различных участках интервала не остается постоянной. Плотность, полученная ранее, предствляла лишь некоторую среднюю плотность. Итак, гистограмма изображает не фактическое изменение плотности распределения, а лишь средние плотности распределения на каждом интервале.

Если построена гистограмма интервального распределения, то полигон того же распределения можно получить, если соединить прямолинейными отрезками середины верхних оснований прямоугольников.

Размещено на Allbest.ru

контрольная работа "Вычисление уравнений по высшей математика" скачать

Подобные документы

Уравнение линии на плоскости
Уравнения линии на плоскости, их формы. Угол между прямыми, условия их параллельности и перпендикулярности. Расстояние от точки до прямой. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола, их уравнения и главные геометрические свойства.

лекция [160,8 K], добавлен 17.12.2010
Аналитическая геметрия
Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно заданному нормальному вектору. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Условия пересечения, параллельности или совпадения двух прямых, заданных общими уравнениями.

презентация [13,8 M], добавлен 19.12.2022
Линейные функции
Общее уравнение прямой, переходящей через определенную точку. Условия перпендикулярности прямых. Условие перпендикулярности плоскостей. Свойства медианы треугольника. Нахождение направляющих векторов прямых. Условие параллельности прямой и плоскости.

контрольная работа [87,1 K], добавлен 07.09.2010
Способ задания плоскости
Уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной заданному вектору, плоскости в отрезках, проходящей через три точки. Общее уравнение плоскости. Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.

презентация [106,9 K], добавлен 21.09.2013
Прямая на плоскости
Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Биссектриса углов между прямыми. Деление отрезка в заданном отношении. Виды неполных уравнений. Понятие направляющего вектора. Расстояние от точки до прямой.

презентация [490,5 K], добавлен 10.11.2014
Прямая. Плоскость. Кривые и поверхности второго порядка
Нахождение координат треугольника по заданным вершинам. Условия перпендикулярности, параллельности и совпадения прямых. Уравнение плоскости, проходящей через точку. Составление канонических уравнений прямой, кривой второго порядка и поверхности.

контрольная работа [259,7 K], добавлен 28.03.2014
Уравнение линии
Способы задания прямой на плоскости. Уравнение с угловым коэффициентом. Рассмотрение частных случаев. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении. Построение графика прямой, проходящей через две точки. Рассмотрение примера.

презентация [104,9 K], добавлен 21.09.2013
Общий курс высшей математики
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Вычисление площади ромба. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители. Нахождение производной функции и асимптот графика. Правила дифференцирования частного произведения и сложной функции.

контрольная работа [158,8 K], добавлен 24.04.2009
Условия параллельности и перпендикулярности прямых
Общая характеристика примеров нахождения точки пересечения двух прямых. Знакомство с условиями параллельности и перпендикулярности прямых, рассмотрение особенностей решения уравнений. Анализ способов нахождения углового коэффициента искомой прямой.

презентация [97,6 K], добавлен 21.09.2013
Определение функции
Уравнение стороны треугольника и ее угловой коэффициент. Координаты точки пересечения медиан. Уравнение прямой, проходящей через точки. Область определения функции. Поиск производной и предела функции. Площадь фигуры, ограниченной заданными линиями.

контрольная работа [94,9 K], добавлен 12.05.2012

Другие документы, подобные "Вычисление уравнений по высшей математика"

весь список подобных работ

скачать работу можно здесь

сколько стоит заказать работу?

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.