Разработка контрольных работ по математике

Размещено на http://www.allbest.ru/

Разработка контрольных работ по математике

Монина Мария Дмитриевна,

ассистент кафедры информатики и

информационных технологий ДВГГУ

Принцип Дирихле

В математике большое значение имеют так называемые доказательства существования. Самый простой способ доказать существование объекта с заданными свойствами - это указать его и, разумеется, убедиться, что он действительно обладает нужными свойствами. Например, чтобы доказать, что уравнение имеет решение достаточно привести какое-то его решение. Доказательства существования такого рода называют прямыми или конструктивными.

Но бывают и косвенные доказательства существования, когда обоснование факта, что искомый объект существует, происходит без прямого указания на сам объект.

Одним из способов косвенно доказать существование является логический прием названный принципом Дирихле - по имени Петера Густава Дирихле, немецкого математика. Принцип устанавливает связь между объектами («кроликами») и контейнерами («клетками») при выполнении определённых условий.

В самой простой и несерьёзной форме он выглядит так:

Нельзя посадить семерых зайцев в три клетки так, чтобы в каждой клетке находилось не больше двух зайцев.

Действительно, если в каждой клетке не больше двух зайцев, то всего зайцев не больше чем 2*3=6, что противоречит условию.

Существует более общая формулировка:

Если z зайцев сидят в k клетках, то найдётся клетка, в которой не менее z/k зайцев. Не надо бояться дробного число зайцев: если получается, что в ящике не меньше 7/3 зайцев, значит, их больше двух.

Доказательство принципа Дирихле в этой формулировке очень простое, но заслуживает внимания, поскольку похожие рассуждения «от противного» часто встречаются. Допустим, что в каждой клетке число зайцев меньше, чем z/k. Тогда в k клетках зайцев меньше, чем k · z/k = z. Получили противоречие.

Принцип Дирихле известен также как принцип голубей и ящиков, когда объектами являются голуби, а клетками -- ящики. Это название распространено в английском и некоторых других языках.

Вот общая формулировка принципа Дирихле:

Если имеется n ящиков, в которых находится в общей сложности не менее n+1 предмета, то непременно есть ящик, в котором лежат, по крайней мере, 2 предмета.

Рассмотрим несколько задач, для решения которых необходимо применить этот принцип, выбирая каждый раз подходящих «зайцев» и строя соответствующие «клетки».

Задача 1

В самолёте летят 380 пассажиров. Докажем, что, по крайней мере, двое из них родились в один и тот же день года.

Решение. Всего в году 365 или 366 дней, а пассажиров в самолёте 380 - значит, их дни рождения не могут приходиться только на различные даты. Вообще, если пассажиров больше, чем 366, то хотя бы у двоих дни рождения совпадают. А вот если пассажиров 366, не исключено, что все они родились в разные дни года, но это маловероятно. (Согласно теории вероятностей, в случайно выбранной группе численностью свыше 22 человек совпадение дней рождения у некоторых из них более вероятно, нежели то, что у всех дни рождения приходятся на разные дни года).

Задача 2

В шахматной партии чёрные сдались после 15-го хода белых. Требуется доказать, что хотя бы одна из чёрных фигур ни разу не покидала своего поля (к фигурам отнесём и пешки).

Решение. Если шахматный ход не рокировка (обмен местами), то передвигается одна фигура, в случае рокировки - две. Чёрные успели сделать 14 ходов (так как первыми ходят белые), и по правилам игры лишь один из них мог быть рокировкой. Поэтому самое большое количество чёрных фигур, сделавших ходы, - 15. Всего же чёрных фигур 16. Значит, по крайней мере, какая-то из них не сделала ни одного хода.

В первом примере таким «ящиками» были дни года, а «предметами» - даты рождения пассажиров, летевших в самолёте. Во втором, мы «раскладывали» все чёрные фигуры («предметы») по максимальному количеству их ходов («ящикам»). То есть каждой фигуре ставили в соответствие один неповторимый ход, но фигур оказалось на одну больше, чем ходов, таким образом «ящиков» оказалось на один меньше, чем «предметов».

Рассмотрим решение ещё нескольких задач.

Задача 3

В строку выписано 5 натуральных чисел: a1,a2,a3,a4,a5. Докажите, что- либо одно из них делится на 5, либо сумма нескольких рядом стоящих чисел делится на 5.

Решение. Рассмотрим 5 чисел: а1,

а1+а2,

а1+а2+а3,

а1 +а2+а3+а4,

а1 +а2+а3+а4+а5.

Если одно из них делится на 5, то всё в порядке, утверждение справедливо. В противном случае при делении на 5 они дают в остатке какие-то из четырёх чисел: 1,2,3,4. По принципу Дирихле остатки, по крайней мере, двух из выписанных 5 чисел совпадают. Разность их делится на 5. Но эта разность - одно из чисел, данных в задаче, или сумма нескольких из них, стоящих рядом.

Задача 4

В квадрат со стороной 1 м бросили произвольным способом 51 точку. Докажите, что какие-то три из них можно накрыть квадратиком со стороной 0,2 м.

Решение. Разобьем квадрат на 25 равных квадратиков со стороной 0,2м. Докажем, что в каком-то из них находятся, по крайней мере, три точки. Применим принцип Дирихле: если бы в каждом квадратике (внутри или на сторонах) было не больше двух точек, то всего их бы было не больше 2*25=50. Но всего бросили в квадрат 51 точку. Получили противоречие.

Задача 5

Доказать, что если прямая l, расположенная в плоскости треугольника ABC, не проходит ни через одну из его вершин, то она не может пересечь все три стороны треугольника.

Решение. Полуплоскости, на которые прямая l разбивает плоскость треугольника ABC, обозначим через q1 и q2; эти полуплоскости будем считать открытыми (то есть не содержащими точек прямой l). Вершины рассматриваемого треугольника (точки A, B, C) будут "зайцами", а полуплоскости q1 и q2 - "клетками". Каждый "заяц" попадает в какую-нибудь "клетку" (ведь прямая l не проходит ни через одну из точек A, B, C). Так как "зайцев" три, а "клеток" только две, то найдутся два "зайца", попавшие в одну "клетку"; иначе говоря, найдутся такие две вершины треугольника ABC, которые принадлежат одной полуплоскости.

Пусть, скажем, точки A и B находятся в одной полуплоскости, то есть лежат по одну сторону от прямой l. Тогда отрезок AB не пересекается с l. Итак, в треугольнике ABC нашлась сторона, которая не пересекается с прямой l.

Другое применение принципа Дирихле

Принцип Дирихле можно применять при решении задач на знакомства;

Пример: доказать, что среди 5 человек, по крайней мере двое из них имеют одинаковое число знакомых среди выбранных.

Указание. Рассматриваются все возможные варианты количества знакомых данных 5 человек.

задач на делимость;

Пример: Доказать, что среди любых 12 натуральных чисел можно выбрать 2, разность которых делится на 11.

Указание. Рассматриваются все возможные остатки при делении числа на 11. геометрических задач (задача 4, 5).

Контрольная работа №2 для учащихся 8 классов

Приведенные ниже задания являются контрольной работой №2 для учащихся 8 классов. Каждая задача оценивается в 5 баллов, для зачета нужно набрать не менее 25 баллов.

Правила оформления работ:

Решения по каждому предмету оформляется отдельно. Каждое задание имеет свой шифр (М 8.2.1 и т.д.), который указывается перед записью решения. Переписывать текст задачи не надо, достаточно краткой записи, если это необходимо. Оформлять решения в порядке следования заданий. Можно присылать нам столько решений, сколько удалось вам сделать, даже если оказалось невозможным выполнить всю работу.

В классе 30 человек. В диктанте Вова сделал 13 ошибок, а остальные - меньше. Докажите, что по крайней мере 3 ученика сделали ошибок поровну (может быть, по 0 ошибок).

В классе 40 учеников. Найдётся ли такой месяц в году, в котором отмечают свой день рождения не меньше чем 4 ученика этого класса?

Докажите, что из любых трёх целых чисел можно выбрать два, сумма которых чётна.

Докажите, что из любых 10 натуральных чисел, ни одно из которых не делится на 10, можно выбрать 2 числа, разность которых делится на 10.

В поход пошли 20 туристов. Самому старшему из них 35 лет, а самому младшему а) 16 лет б) 17 лет. Верно ли, что среди туристов есть одногодки?

Несколько футбольных команд проводят турнир в один круг. Докажите, что в любой момент турнира найдутся команды, сыгравшие к этому моменту одинаковое количество матчей.

Каждый из 10 участников переговоров послал по их окончании поздравительные открытки пятерым другим участникам. Докажите, что какие-то двое послали открытки друг другу.

Указание. Докажите сначала, что хотя бы один участник получил не менее пяти открыток.

На шахматной доске стоят 44 ферзя. Докажите, что каждый из них бьёт какого-нибудь другого ферзя.

Указание. При любом положении на доске ферзь бьёт не менее 21 поля.

На плоскости нарисовали 5 прямых. Докажите, что угол между какими-то двумя из них не больше 36°. (Если какие-нибудь прямые параллельны, считайте, что угол между ними равен 0°.)

Указание. Угол между прямыми не изменяется, если к ним применить параллельный перенос (для каждой прямой -- свой перенос).

Найдите значение дроби

,

где разные буквы -- это разные цифры.

Указание. В дроби записаны 10 разных букв, соответствующие 10 различным цифрам.

Элементы теории сравнений

Изучение свойств целых чисел было начато математиками давно ушедших поколений. По мере развития математической науки эти проблемы стали решаться в рамках целого математического раздела - теории чисел. На современном этапе развития информационного общества, когда наблюдается быстрое развитие новых информационных технологий, некоторые вопросы теории чисел, интересовавшие ранее только специалистов-математиков превратились в новое направление «вычислительной теорию чисел». Одним из разделов этого направления является теория сравнений.

В этой статье мы рассмотрим основные понятия этой теории, их свойства и некоторые приложения.

Определение и свойства сравнений

Определение 1.1. Два целых числа и , дающие при делении на целое положительное число один и тот же остаток называются равноостаточными.

Примеры. 1. Числа 5 и 54 равноостаточные при делении на 7 (в остатке при делении на 7 оба дают 5).

2. Числа -17; 3; 15 равноостаточные при делении на 4.

Теорема 1.2. Для того, чтобы числа и были равноостаточными необходимо и достаточно, чтобы разность делилась на .

Определение 1.3. Целые числа и называются сравнимыми по модулю , если разность делится на .

Обозначение

читается это так: «сравнимо с по модулю . Сама запись (*) называется сравнением.

Замечания.

Теорема 1.3 утверждает, что определения 1.1 и 1.3 равносильны.

Число , стоящее под знаком будем всегда считать положительным, т.к. сравнение по модулю совпадает со сравнением по модулю .

Если

,

то будем записывать

-

не сравнимо с по модулю .

Пример. 1.

,

т.к.

2. , т.к.

Перечислим основные свойства сравнений:

Любое целое число сравнимо с самим собой по любому натуральному модулю.

Если , то

Если и , то

Сравнения по одинаковому модулю можно почленно складывать и вычитать, т.е.

если и , то

Члены сравнения можно переносить из одной части в другую с противоположным знаком, т.е.

если , то

К одной части сравнения можно прибавлять или вычитать из нее любое число, кратное модулю, т.е.

если , то или

Сравнения по одинаковому модулю можно почленно перемножать, т.е.

если и , то

Обе части сравнения можно возводить в степень с натуральным показателем, т.е.

если , то

Обе части сравнения можно умножать на одно и тоже целое число, т.е.

если , то

Обе части сравнения можно делить на их общий делитель, если он взаимно прост с модулем, т.е.

если и , то

Обе части сравнения и модуль можно умножить на одно и тоже целое положительное число, т.е.

если то

Обе части сравнения и модуль можно делить на любой их общий делитель, т.е.

если и , , , то

Если сравнение имеет место по нескольким модулям, то оно имеет место по модулю, равному наименьшему общему кратному данных модулей, т.е.

сравнение вычет остаток степень плоскость

если , ,…,, то , где

Если сравнение имеет место по модулю , то оно имеет место и по модулю , равному любому натуральному делителю числа .

Если одна часть сравнения и модуль делятся на какое-нибудь число, то и другая часть сравнения делится на это число.

Задача 1. Показать, что если

, то .

Решение. 1. Воспользовавшись свойством 9 умножим обе части сравнения

на 4, тогда получим следующее сравнение:

2. Заметим, что

, а ,

поэтому ;

далее: ;

и, наконец, очевидно,

что

Таким образом, имеем три сравнения:

; ,

3. По свойству сравнений 4, получаем

,

что и требовалось доказать.

Задача 2.

Выражение

есть целое число. Доказать, что число

тоже целое.

Решение. 1. Так как



- целое,

делится на 19, следовательно

2. Умножим обе части полученного сравнения на 12, получим сравнение

.

3. Очевидно, что

,

Следовательно

и по свойству 9

,

аналогично можно получить

.

4. По свойству 4,

,

следовательно по определению сравнимых чисел

делится на 19, а это и означает, что

целое число.

Вычеты по данному модулю, системы вычетов

Определение 2.1. Совокупность целых чисел, дающих при делении на натуральное число один и тот же остаток , называется классом вычетов по данному модулю .

Определение 2.2. Вычетом класса вычетов называется любое из чисел, принадлежащих этому классу.

Обозначение

- класс вычетов, порожденный элементом по модулю , где - любое из чисел, дающих при делении на одинаковые остатки.

Пример. Рассмотрим класс вычетов по модулю 3, порожденный числом 11, т.е. . Вычетами этого класса являются, например числа 2; 23;-13;… всего вычетов в классе будет бесконечно много.

Рассмотрим свойства классов вычетов по данному модулю .

Класс вычетов по данному модулю совпадает с множеством чисел вида

,

где - любое целое число.

Два класса вычетов и совпадают в том и только в том случае, когда

.

Если два класса вычетов и имеют хотя бы один общий элемент, то они совпадают.

Число классов вычетов по конечно и равно ; число вычетов в каждом классе вычетов бесконечно.

Замечания.

1. Введение классов вычетов позволяет, таким образом, заменять сравнение равенством соответствующих классов, и наоборот, равенство классов - соответствующим сравнением.

2. Отношение сравнения по данному модулю разбивает все множество целых чисел на непересекающиеся классы вычетов.

Определение 2.3.Полной системой вычетов (ПСВ) по данному модулю называется система чисел, взятых по одному и только по одному из каждого класса вычетов по данному модулю.

Замечания.

1. Согласно свойству 4, полная система вычетов по состоит из чисел.

2. Обычно в качестве полной системы вычетов употребляется полная система наименьших неотрицательных вычетов по данному модулю , т.е. система чисел: .

Пример. Числа 12; -23; 2; 63;- 2; 5 образуют полную систему вычетов по .

Определение 2.4. Совокупность чисел, взятых из полной системы вычетов и взаимно простых с модулем , называется приведенной системой вычетов по этому модулю .

Задача 3

Показать, что числа 25; -20; 16; 46; -21; 18; 37; -17 составляют полную систему вычетов по модулю .

Решение. 1. По свойству 4, ПСВ, в данном случае, должна состоять равно из 8 чисел, что мы и имеем.

2. В соответствии с определением, так как числа берутся по одному и только по одному из каждого класса вычетов по данному модулю, все числа должны быть не сравнимы по модулю 8, что, по определению 1.3 и теореме 1.2, они должны иметь равные остатки при делении на 8. Найдем остаток от деления каждого из восьми чисел на 8:

; ; ; ; ; ; ; .

Все остатки разные.

Из 1 и 2, на основании определения 2.3 следует, что числа 25; -20; 16; 46; -21; 18; 37; -17 образуют полную систему вычетов по модулю 8

Теоремы Эйлера и Ферма. Нахождение остатков от деления степеней

В теории чисел большую роль играет числовая функция, называемая функцией Эйлера.

Определение 3.1. Функцией Эйлера называется функция, определенная на множестве натуральных чисел и равная числу натуральных чисел, не превосходящих и взаимно простых с ним.

Пример. 1.

Действительно числа взаимно простые с числом 10 это числа 1; 3; 7; 9 всего 4.

2. . Действительно, так как число 7 - простое, взаимно простыми с ним являются все натуральные числа меньшие 7: 1; 2; 3; 4;5; 6, всего их 7.

Важным свойством функции Эйлера является её мультипликативность в случае, когда и числа взаимно простые т.е.

.

Способ вычисления функции Эйлера основан на следующих теоремах:

Теорема 3.2. Пусть простое число, - любое натуральное число, тогда

.

Теорема 3.3. Если



- каноническое разложение натурального числа на простые множители, то

Особую роль в теории сравнений играют теоремы Эйлера и Ферма.

Теорема 3.4. (Эйлера) Для любого модуля и любого взаимно простого с справедливо сравнение:

Теорема 3.5. (Ферма) Если число не делится на простое число , то

Следствие 3.6. При любом целом положительном

.

Теоремы Ферма - Эйлера позволяют часто находить остатки от деления на модуль больших степеней заданного числа. Действительно, если нам надо найти остаток от деления на , где

и ,

то можно представить в виде

.

Тогда

где может быть значительно меньше, чем .

Задача 4. Найти функцию Эйлера от числа 875.

Решение. 1. Разложим данное число на простые множители

2. По теореме 3.3

Задача 5. Доказать, что если

, то .

Решение. 1.

;

2. Число 7 - простое, поэтому по теореме Ферма

.

Возведем обе части этого сравнения в квадрат (свойство сравнений 8) и получим верное сравнение:

,

откуда в соответствии с п.1. следует что

.

Задача 6

Найти остаток от деления на 52.

Решение. 1. Обозначим искомый остаток через

,

найдем такое число.

2. Вычислим функцию Эйлера от 52:

.

Поделим 2147 на 24 с остатком:

.

3. ,

таким образом, остаток от деления на 52 равен 7.

Контрольная работа №2 для учащихся 9 классов

Приведенные ниже задания являются контрольной работой №2 для учащихся 9 классов. Каждая задача оценивается в 5 баллов, для зачета нужно набрать не менее 15 баллов.

Правила оформления работ:

Решения по каждому предмету оформляется отдельно. Каждое задание имеет свой шифр (М9.2.1 и т.д.), который указывается перед записью решения. Переписывать текст задачи не надо, достаточно краткой записи, если это необходимо. Оформлять решения в порядке следования заданий. Можно присылать нам столько решений, сколько удалось вам сделать, даже если оказалось невозможным выполнить всю работу.

М 9.2.1. Доказать, что если

, то .

М 9.2.2. Показать, что числа 32; -9; 15; 42; -18; 30; 6 составляют полную систему вычетов по модулю .

М 9.2.3. Показать, что числа 19; 23; 25; -19 составляют приведенную систему вычетов по модулю .

М 9.2.4. Найти функцию Эйлера от числа 1000.

М 9.2.5. Найти остатки от деления

А) на 7;

Б) на 13;

В) на 31.

М 9.2.6. Найти две последние цифры следующих чисел 1) ; 2) .

Применение движений плоскости к решению задач элементарной геометрии

Актуальность темы «Преобразования плоскости» очевидна, так как одной из важнейших идей, лежащих в построении курса геометрии, является идея геометрических преобразований, которую обосновал выдающийся немецкий математик Ф. Клейн (1872г.). Групповая точка зрения на геометрию оказала положительное влияние на развитие геометрии, как науки и её приложения. Групповая точка зрения на геометрические свойства фигур широко используется в физике, химии, биологии, технике. Это сближает математику с данными областями наук. Методы геометрических преобразований позволяют решать большой класс задач элементарной геометрии: задачи на доказательство, построение, вычисление, нахождение геометрических мест точек.

В данной статье мы рассмотрим применение движений - частного случая преобразований плоскости - при решении задач на доказательство. Однако, овладеть этим методом нелегко, поскольку трудно указать какие-либо общие способы использования движений и в большинстве случаев это зависит от конкретной задачи. Суть этого метода состоит в том, что заданную фигуру или её части подвергают некоторому движению или наряду с заданной фигурой рассматривают её образ или образы её частей при этом движении.

В выработке навыков решения помогут рассматриваемые в этой статье образцы решения задач с применением движений.

Как обычно, в конце статьи приводятся задачи для самостоятельного решения, которые составляют контрольную работу по математике для слушателей ХКЗФМШ, обучающихся в 10 классе.

1. Некоторые определения и свойства движений

Определение 1. Взаимно однозначное отображение f плоскости Р на себя называется преобразованием f плоскости Р.

Определение 2. Движением плоскости Р называется такое преобразование f плоскости Р, при котором сохраняется расстояние между двумя любыми точками этой плоскости, т. е.

А, ВР АВ=АВ(1)

где А= f(А), В=f(В) - образы, соответственно, точек А и В в движении f.

Движения бывают первого и второго рода, при этом движения первого рода не меняют ориентацию фигур, а движения второго рода - меняют её на противоположную.

Определение 3. Движение h плоскости Р называется произведением (композицией) каких-либо движений f и g этой же плоскости, если оно заключается в последовательном выполнении преобразования f, а затем преобразования g (обозначается: ).

Определение 4. Преобразование плоскости называется тождественным, если оно любую точку плоскости переводит в себя, т. е.

f(A)=A, AP.

Тождественное преобразование обозначается е и удовлетворяет условию:

,

где f - любое преобразование плоскости Р, в том числе и движение.

Частными видами движений являются осевая симметрия, центральная симметрия, параллельный перенос, вращение (поворот), скользящая симметрия и тождественное преобразование плоскости.

Определение 5. Симметрией относительно прямой (оси симметрии) называется движение плоскости, которое:

каждую точку прямой преобразует в себя;

каждую точку А преобразует в точку А такую, что (АА) и середина отрезка АА лежит на . Обозначается осевая симметрия: (рис.1).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Определение 6. Параллельным переносом на вектор называется движение плоскости, которое всякую точку АР преобразует в точку АР такую, что выполняется условие:

(2)

Обозначается параллельный перенос:

 (рис.2)

Определение 7. Вращением (или поворотом) вокруг точки О на угол называется такое преобразование плоскости, при котором:

О О;

Произвольная точка АО переходит в точку А такую, что:

а) ОА=ОА;

б) АОА = (рис. 3)

Здесь и далее =АОА означает величину заданного ориентированного угла АОА. Обозначается: .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Определение 8. Симметрией относительно точки О (центр симметрии) называется движение плоскости, которое всякую точку АО преобразует в такую точку А, что точка О является серединой отрезка АА, а точку О преобразует в себя. Обозначается: Z0 (рис. 4)

Заметим, что центральная симметрия Z0 есть поворот Ro на угол 180.

Определение 9. Скользящей симметрией называется произведение осевой симметрии с осью и параллельного переноса на вектор , который параллелен оси : т.е. если l|| , то - скользящая симметрия.

Теорема. Всякое движение I рода есть либо тождественное преобразование, либо параллельный перенос, либо поворот плоскости. Всякое движение II рода есть либо осевая симметрия, либо скользящая симметрия.

Определение 10. Точка называется инвариантной (или неподвижной) точкой преобразования f , если при преобразовании f она отображается на себя.

Прямая называется инвариантной прямой преобразования f, если она отображается на себя.

Если при этом каждая точка прямой остается неподвижной, то прямая называется осью преобразования.

Движения обладают следующими свойствами:

1 движение отображает отрезок на отрезок;

2 движение отображает точки, лежащие на одной прямой, в точки, лежащие на одной прямой;

3 движение отображает прямую на прямую, полуплоскость на полуплоскость;

4 движение сохраняет параллельность прямых;

5 движение отображает луч на луч;

6 движение сохраняет величину угла;

7 движение отображает многоугольник на многоугольник со сторонами и углами соответственно той же величины, что и у данного многоугольника;

8 движение отображает окружность на окружность того же радиуса;

Справедлива так же следующая теорема: если АВС и АВС - два треугольника и если АВ=АВ, АС=АС, ВС=ВС, то существует единственное движение плоскости, отображающие точки А, В, С соответственно на точки А, В, С.

Определение 11. Фигура Ф называется равной фигуре Ф (Ф=Ф), если существует движение, при котором фигура Ф преобразуется в фигуру Ф.

2. Примеры решения задач

Задача 1. Обозначим через М - точку пересечения диагоналей равнобедренной трапеции с основаниями АВ и СD а через P и Q - центры окружностей, описанных вокруг треугольников ADM и BCM. Докажите, что:

а) PQ||AB

b) BP = AQ

c) прямая, соединяющая точку М с точками пересечения прямых BP и AQ, делит основания пополам.

Решение. Пусть ось симметрии трапеции - , а P и Q - центры описанных окружностей, соответственно, вокруг треугольников AMD и BCM (рис. 5).

Точка М. Далее

, .

Тогда образом треугольника ADM при осевой симметрии относительно оси будет треугольник ВСМ, т.е.

.

Следовательно, образом окружности, описанной вокруг треугольника AMD, при симметрии относительно будет окружность, описанная вокруг треугольника ВСМ. Следовательно,

.

Отсюда PQ||AB, BP=AQ. Пусть

,

тогда N , так как

.

Задача 2.

Три равные окружности попарно пересекаются и имеют только одну общую точку D. Доказать, что окружность, проходящая через вторые точки пересечения данных окружностей, равна данным трем окружностям.

Решение. Выполним чертеж, обозначив вторые точки пересечения данных окружностей через А, В, С (рис. 6).

Рассмотрим прямую АD и через точку А проведем прямую, ей перпендикулярную, обозначив точки пересечения этой прямой с окружностями S (O1, R) и S (O2, R) через E и F соответственно. Так как (O1, R) и S (O2, R) симметричны относительно прямой AD, то S(AD)(E)=F, т. е. AD есть серединный перпендикуляр к отрезку EF. Через точку С проведем прямую перпендикулярную CD. Пусть эта прямая пересекает прямую

EF в точке Q, а окружность S(O3, R) - в точке Р.

Так как

то точка Q лежит на окружности S (O2, R) и, значит, совпадает с точкой F. Аналогично доказанному выше получаем, что перпендикуляр к прямой BD из точки В проходит через точки Е и Р, причем BD является серединным перпендикуляром к отрезку РЕ. Из того, что отрезки АС, ВА и ВС являются средними линиями , очевидно вытекает равенство и , а значит, окружность S (O1, R) равна окружности, проходящей через точки А, В, С, как окружности, описанные около равных треугольников. Что и требовалось доказать.



Задача 3

Доказать, что если отрезок KF, соединяющий середины двух противоположных сторон четырехугольника ABCD (K - середина стороны AB, F - середина стороны DC), равен полусумме сторон BC и AD, то четырехугольник есть трапеция (рис.7).

Решение. Выполним параллельный перенос на вектор . Пусть

.

Тогда , BF=FE.

Следовательно, линия BFE есть прямая. Тогда KF - средняя линия треугольника ABE:

2KF=AE.

Но по условию 2

KF=AD+BC=AD+DE.

Отсюда следует, что

AE=AD+DE, т. е. DAE. Но DE||BC, тогда и AD||BC.

Задача 4

На сторонах AB и CD параллелограмма ABCD построены квадраты: первый - вне параллелограмма, а второй - по ту же сторону от CD, что и сам параллелограмм. Доказать, что расстояние между центрами квадратов равно ВС.

Решение.

Обозначим центры построенных квадратов

и ,

соответственно, через О1 и О2 (Рис. 8). Докажем, что . Выполним параллельный перенос на вектор .

Тогда , т.е. ,

при этом .

Так как ,

то

, то .

Следовательно, квадраты

и

равны между собой и при параллельном переносе переходят друг в друга, тогда и их центры и также перейдут друг в друга.

Т.е.,

и из определения следует, что

, а значит и .

Задача 5. Дан произвольный треугольник ABC, на сторонах которого построены квадраты. Доказать, что отрезок, соединяющий центры двух квадратов, построенных на сторонах АВ и ВС, равен и перпендикулярен отрезку, соединяющему точку В с центром третьего квадрата.

Решение. Выполним чертеж (рис.9) и рассмотрим поворот вокруг точки А на угол, равный . Из условия задачи очевидно, что

,

а образом точки Р будет некоторая точка F. При этом имеем, что

и .

Из равенства треугольников АСР и ARF вытекает

,

но тогда будут равны и углы АСВ и QRF. Рассматривая центральную симметрию , легко убедиться, что

,

так как эта симметрия точку С переводит в R, луч СВ - в луч RF и

.

Из того, что

и

является серединой BF, с учетом соотношений

и

сразу получаем равенство и перпендикулярность отрезков и . Утверждение задачи доказано.

Задача 6. Дан равносторонний треугольник АВС и произвольная точка М. Доказать, что больший из трех отрезков MA, МВ и МС не больше суммы двух других отрезков. В каком случае больший из отрезков MA, МВ и МС будет равен сумме двух других?

Решение. Пусть ВМ - наибольший из указанных отрезков (рис.10). Выполним поворот плоскости вокруг точки В на 600.



Треугольник - равносторонний. Поэтому

.

Равенство будет в том и только в том случае, если точка М лежит на окружности, описанной вокруг треугольника АВС.

Задача 7

На сторонах параллелограмма ABCD вне его построены правильные треугольники ABQ, BCN, CDP и DAM. Доказать, что отрезки PQ и MN имеют общую середину.

Решение.

Выполним чертеж (рис.11) и рассмотрим центральную симметрию с центром в точке О - точке пересечения диагоналей параллелограмма. Очевидно, что

.

А это означает, что О является общей серединой отрезков PQ и MN, что и утверждалось в условии задачи.

Размещено на Allbest.ru