Размещено на http://www.allbest.ru/

Тема 1. Парная регрессия

Задача. В таблице 1 приводятся данные по различным регионам России о среднедушевом прожиточном минимуме в день одного трудоспособного x (руб.) и среднедневной заработной плате y (руб.).

Таблица 1

Номер региона	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
x (руб.)	79	86	80	95	98	106	117	108	92	87
y (руб.)	176	179	176	181	215	232	241	208	205	180

Требуется:

1. Построить поле корреляции и сформулировать гипотезу о форме связи y и x .

2. Построить уравнение линейной и степенной парной регрессии; определить для них коэффициенты детерминации и среднюю относительную ошибку аппроксимации и сравнить полученные модели на точность.

3. Оценить статистическую значимость параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции, а также построить интервальную оценку коэффициентов линейной регрессии с надежностью 0,95.

4. Выполнить прогноз заработной платы y при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума x, составляющего 107% от среднего уровня. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.

Решение.

1. В координатной плоскости Оxy построим точки с координатами

Поле корреляции

По виду поля корреляции можно сделать вывод о том, что форма связи между y и x может быть как линейной, так и нелинейной.

2. Для расчета параметров уравнения парной регрессии построим вспомогательную расчетную таблицу 2.

Таблица 2

N п/п
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	79	176	13904	6241	30976	171,66	4,34	18,806	2,46
2	86	179	15394	7396	32041	183,91	-4,91	24,083	2,74
3	80	176	14080	6400	30976	173,41	2,59	6,695	1,47
4	95	181	17195	9025	32761	199,65	-18,65	347,816	10,30
5	98	215	21070	9604	46225	204,90	10,10	102,065	4,70
6	106	232	24592	11236	53824	218,89	13,11	171,859	5,65
7	117	241	28197	13689	58081	238,13	2,87	8,230	1,19
8	108	208	22464	11664	43264	222,39	-14,39	207,038	6,92
9	92	205	18860	8464	42025	194,40	10,60	112,310	5,17
10	87	180	15660	7569	32400	185,66	-5,66	31,997	3,14
	948	1993	191416	91288	402573	-	-	1030,899	43,75
Среднее значение	94,8	199,3	19141,6	9128,8	40257,3	-	-	-	4,38

Найдем параметры линейной регрессии по следующим формулам:

 (1)

В строке "Среднее значение" таблицы 2 приводятся значения 19141,6; 94,8, 199,3. В колонке 5 этой же таблицы в строке "" записано значение 9128,8.

Подставляя эти числа в формулы (1), получим

В итоге получено линейное уравнение парной регрессии

(2)

Из него следует, что с увеличением среднедушевого прожиточного минимума на 1 руб. среднедневная заработная плата возрастает в среднем на 1,75 руб.

Для оценки тесноты связи вычислим коэффициент парной корреляции

(3)

Вычислим выборочные среднеквадратические отклонения величин и :

(4)

Подставляя найденные значения в формулу (3), находим

Связь между среднедушевым прожиточным минимумом и средней заработной платой высокая.

Найдем коэффициент детерминации

Это означает, что вариации заработной платы () на 80% объясняется вариацией фактора - среднедушевого прожиточного минимума.

Качество модели определяет средняя относительная ошибка аппроксимации:

Чтобы ее найти, заполним колонку 7 таблицы 2 значениями , которые вычисляются по формуле (2) после подстановки в нее вместо переменной значений :

Далее вычислим отклонения , запишем их в колонку 8 таблицы и подсчитаем величины

,

которые поместим в колонку 10 таблицы 2. В итоге получаем В среднем расчетные значения переменной отклоняются от фактических на 4,38%, что говорит о высокой точности аппроксимации.

Построим степенную парную регрессию в виде зависимости . Выполним линеаризацию уравнения путем его логарифмирования:

или

где .

Для расчета параметров степенной регрессии построим вспомогательную таблицу 3.

Таблица 3

N п/п
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	4,3695	5,1705	22,5922	19,0921	26,7339	171,57	4,43	19,66
2	4,4544	5,1874	23,1064	19,8412	26,9089	183,95	-4,95	24,48
3	4,3820	5,1705	22,6572	19,2022	26,7339	173,35	2,65	7,04
4	4,5539	5,1985	23,6733	20,7378	27,0244	199,61	-18,61	346,22
5	4,5850	5,3706	24,6242	21,0219	28,8437	204,77	10,23	104,72
6	4,6634	5,4467	25,4005	21,7477	29,6669	218,39	13,61	185,23
7	4,7622	5,4848	26,1196	22,6783	30,083	236,83	4,17	17,42
8	4,6821	5,3375	24,9911	21,9224	28,4893	221,77	-13,77	189,52
9	4,5218	5,3230	24,0695	20,4466	28,3344	194,42	10,58	111,97
10	4,4659	5,1929	23,1913	19,9443	26,9668	185,70	-5,70	32,52
	45,440	52,882	240,425	206,634	279,785	-	-	1038,79
Среднее значение	4,5440	5,2882	24,0425	20,6634	27,9785	-	-	103,87

Найдем параметры и :

Тогда линейное уравнение запишется:

.

После потенцирования получаем искомую степенную регрессию

. (5)

Подставляя в уравнение (5) фактические значения , получаем значения , которые поместим в колонку 7 таблицы 3. По ним рассчитаем отклонения и их квадраты (колонки 8 и 9 таблицы 3).

Для оценки тесноты связи между переменными y и x в нелинейной модели вычислим индекс корреляции:

.

Значение подсчитано в строке"" колонки 9 таблицы 3 .

Так как (значение выборочной дисперсии найдено ранее по формуле (4) 536,81), то отсюда находим :

Вычислим коэффициент детерминации

Таким образом, вариация результата по степенной модели на 80,6% объясняется вариацией фактора .

Средняя относительная ошибка аппроксимации составляет (колонка 10 таблицы 3):

По коэффициенту детерминации и по средней ошибке аппроксимации линейная модель регрессии несколько лучше степенной.

3. Известно, что случайная величина:

где - выборочная остаточная дисперсия, - гипотетическое значение оцениваемого коэффициента регрессии, имеет распределение Стьюдента с степенями свободы.

Оценку значимости параметра выполним с помощью указанного критерия Стьюдента. Выдвигаем нулевую гипотезу о статистически незначимом отличии коэффициента от нуля: Если ввести в рассмотрение величину:

,

которую называют стандартной ошибкой оценки , то при выдвинутой гипотезе фактическое значение критерия находят из выражения . Это значение сравнивают с . Табличное значение критерия для числа степеней свободы и при заданном уровне значимости составит величину =2,30.

Найдем остаточную дисперсию , используя колонку 9 таблицы 3:

Тогда и

Определим фактическое значение - критерия

Так как фактическое значение - критерия превосходит табличное: , то гипотеза отклоняется и параметр является статистически значимым.

Аналогично выполняется оценка значимости параметра и коэффициента корреляции . Стандартные ошибки для этих параметров находится по формулам:

Подставляя в них численные значения, определяем:

Далее вычисляем фактические значения - критерия

Поскольку фактические значения - критерия превосходят табличные (),то параметр и коэффициент корреляции являются статистически значимыми.

Интервальная оценка коэффициентов заключается в построении для них доверительных интервалов. Найдем с надежностью 0,95 предельную ошибку для каждого показателя

.

Тогда найдутся искомые доверительные интервалы

или .

Окончательно: .

Таким образом, с надежностью 0,95 интервал (-33,03; 99,83) накрывает неизвестный коэффициент , а интервал (1,05; 2,44) - коэффициент .

4. Найдем вначале прогнозное значение прожиточного минимума

.

Тогда на основе линейной регрессии заработная плата увеличится до величины (руб.).

Стандартная ошибка прогноза найдется по формуле:

.

После подстановки численных значений величин получим:

(руб.).

Предельная ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будет превышена, составит

(руб.).

Отсюда находится доверительный интервал прогноза:

или .

Таким образом, среднедневная заработная плата при среднедушевом прожиточном минимуме в день на одного трудоспособного 101,44 руб. с надежностью 0,95 находится в пределах от 182,64 до 239,16 руб.

Тема 2. Множественная регрессия

Задача. Изучается влияние стоимости основных x₁ и оборотных x₂ средств на величину валового дохода y торговых предприятий. Для этого по 12 торговым предприятиям были получены данные, приведенные в таблице 1 (все величины измеряются в млн. руб.).

Требуется:

1. Полагая, что между переменными y, x_1, x₂ существует линейная корреляционная зависимость, найти ее аналитическое выражение (уравнение регрессии y по x₁ и x₂ ) и пояснить экономический смысл параметров регрессии.

2. Установить раздельное влияние на величину валового дохода двух факторов - основных и оборотных средств через коэффициенты эластичности.

3. Сравнить значения скорректированного и нескорректированного коэффициентов множественной детерминации и проверить значимость полученного уравнения регрессии на уровне =0,05.

4. С помощью частных F-критериев Фишера оценить целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора x₁ после x₂ , и фактора x₂ после x₁.

Таблица 1

Переменные	Номер предприятия
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
x1	3,9	4,1	3,8	5	4,8	5,6	5,6	4,8	6	7,6	6,9	7,4
x2	11	14	15	16	18	20	20	21	21	20	22	21
y	7	7	8	7	8	7	9	9	8	10	10	11

Решение. 1. Линейное уравнение множественной регрессии для двух объясняющих переменных и записывается в виде: . Найдем значения (оценки) параметров , методом наименьших квадратов, опираясь на исходные выборочные данные. Эти данные запишем в виде следующих матриц:

,

(в матрицу вводится дополнительный столбец, состоящий из единиц). Тогда вектор параметров линейной регрессии найдется из следующей формулы

. (5)

Для удобства вычислений составим вспомогательную таблицу 2.

Таблица 2

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	3,9	11	7	15,21	121	49	42,9	27,3	77	0,96	36,426
2	4,1	14	7	16,81	196	49	57,4	28,7	98	0,98	36,256
3	3,8	15	8	14,44	225	64	57	30,4	120	0,96	49,597
4	5	16	7	25	256	49	80	35	112	1,04	35,494
5	4,8	18	8	23,04	324	64	86,4	38,4	144	1,03	48,606
6	5,6	20	7	31,36	400	49	112	39,2	140	1,08	34,991
7	5,6	20	9	31,36	400	81	112	50,4	180	1,08	62,652
8	4,8	21	9	23,04	441	81	100,8	43,2	189	1,03	63,550
9	6	21	8	36	441	64	126	48	168	1,11	47,431
10	7,6	20	10	57,76	400	100	152	76	200	1,23	76,983
11	6,9	22	10	47,61	484	100	151,8	69	220	1,18	77,853
12	7,4	21	11	54,76	441	121	155,4	81,4	231	1,21	95,807
	65,5	219	101	376,39	4129	871	1233,7	567	1879	-	665,647

Найдем произведения матриц:



Матрицу определим по формуле

,

где - определитель матрицы , - присоединенная матрица из алгебраических дополнений элементов матрицы.

Вначале найдем определитель матрицы:

Далее вычислим алгебраические дополнения:

; ;

; ;

; ;

; ;

В результате находим обратную матрицу:

и вектор параметров линейной регрессии:

.

В итоге линейное уравнение множественной регрессии имеет вид:

. (6)

Оно показывает, что при изменении влияния стоимости основных средств х1 на величину валового дохода торговых предприятий, увеличивается в среднем на 0,688 млн. руб. А увеличение только оборотных средств х2 приводит к увеличению валового дохода торговых предприятий в среднем на 0,070 млн. руб.

2. Коэффициенты эластичности определяются по формуле:

С использованием данных таблицы 2 (последней строки) находим:

; ; .

Отсюда:

; .

Таким образом, увеличение переменных х1 , х2 приводит в среднем к увеличению валового дохода торговых предприятий соответственно на 0,44% и 0,15%. Из этого следует, что фактор «основные средства» оказывает большее влияние на величину валового дохода, нежели второй фактор «оборотные средства».

3. Множественный коэффициент детерминации определяется по формуле:

.

Вычислим матричное произведение:

,

а значение возьмем из итоговой строки колонки 7 таблицы 2.

Из таблицы 2 также находим (млн. руб.).

В итоге имеем .

Коэффициент показывает, что вариация - величина валового дохода торговых предприятий на 63,8% объясняется изменчивостью включенных в модель объясняющих факторов: основных средств и оборотных средств . Остальные 36,2% приходится на неучтенные или случайные факторы.

Найдем скорректированный коэффициент детерминации:

.

Видим, что скорректированный коэффициент детерминации незначительно отличается от .

Зная =0,638, проверим значимость уравнения регрессии по - критерию Фишера. Для этого вычислим вначале фактическое значение критерия:

.

Из таблицы критических значений для критерия Фишера по уровню значимости =0,05 и числу степеней свободы и находим . В силу того, что делаем вывод, что уравнение регрессии значимо и исследуемая зависимая переменная достаточно хорошо описывается включенными в регрессионную модель переменными и .

4. Частные - критерии и оценивают целесообразность включения в уравнение одного фактора после другого фактора. Критерий оценивает целесообразность включения в уравнение фактора после того, как в него был включен фактор . Соответственно указывает на целесообразность включения в модель фактора после фактора . Фактическое значение частого критерия находится по формуле:

.

Здесь: .

Вычислим парный коэффициент корреляции валового дохода с оборотными средствами (численные данные берем из итоговой строки таблицы 2):

Тогда:

.

Сравнивая со значением (), делаем вывод о том, что включение фактора после фактора оказалось статистически значимым и оправданным.

Вычислим значение другого частного критерия:

Где: .

Определим парный коэффициент корреляции валового дохода с основными средствами:

Тогда

Поскольку меньше, то включение фактора после фактора оказывается бесполезным: влияние не является устойчивым, систематическим (в этом убедились ранее, признав незначимым).

Тема 3. Временные ряды

Задача. В таблице 1 приведены данные, отражающие спрос y (в усл. ед.) на некоторый товар за 8 лет по одному из микрорайонов г. Казани.

Требуется:

1. Найти среднее значение спроса, его среднее квадратическое отклонение, коэффициенты автокорреляции (для лагов =1,2).

2. Полагая тренд линейным, найти его уравнение и проверить значимость полученного уравнения регрессии по F-критерию на 5% уровне значимости.

3. Выполнить сглаживание временного ряда методом скользящих средних с интервалом сглаживания m=3 года.

4. На уровне значимости =0,05 выявить наличие автокорреляции возмущений для данного временного ряда, используя критерий Дарбина-Уотсона.

корреляция линейный регрессия квадратичный

Таблица 1

Год,	1	2	3	4	5	6	7	8
Спрос,	193	198	235	213	290	316	287	346

Решение. 1. Среднее значение спроса находим по формуле

.

Подставляя численные значения из таблицы 1, получим:

.

Далее определим среднее значение дисперсии из соотношения:

,

где - среднее значение квадратов спроса . После подстановки чисел имеем:

.

Отсюда вычисляем среднее квадратическое отклонение:

.

Найдем коэффициент автокорреляции для лага , т. е. между последовательностями семи пар наблюдений и

Таблица 2

	193	198	235	213	290	316	287
	198	235	213	290	316	287	346

Вначале вычислим необходимые суммы:

;

;

;

;

Тогда по формуле:

Находим:

.

Для вычисления коэффициента автокорреляции при лаге (между элементами ряда и ) составим таблицу из 6 пар:

Таблица 3

	193	198	235	213	290	316
	235	213	290	316	287	346

Предварительно вычислим суммы:

; ; ; ; .

Отсюда определяем:

.

Поскольку , то ряд содержит циклические колебания и, скорее всего, ряд имеет пилообразную структуру.

2. Для получения системы нормальных уравнений запишем необходимые суммы для всего ряда (таблица 1):

; ;

;

; .

Тогда система нормальных уравнений примет вид:

Решая ее по формулам Крамера, найдем:

,

, .

В итоге получили линейное уравнение тренда:

.

Для проверки значимости полученного уравнения регрессии вычисляют фактическое значение - статистики Фишера по формуле:

,

где - сумма квадратов отклонений зависимой переменной, обусловленная регрессией, - сумма квадратов отклонений, обусловленная влиянием неучтенных факторов.

Найдем :

.

Далее вычислим:

,

.

Отсюда . По значениям

Находим табличное значение - критерия Фишера . Так как , то уравнение тренда признается статистически значимым.

В нашем случае . Когда - нечетное число, то скользящее среднее определяется по формуле

.

Для вычислим:

,

В итоге получим сглаженный ряд:

Таблица 4

	1	2	3	4	5	6	7	8
	-	208,66	215,33	246,0	273,0	297,66	316,33	-

Уравнение тренда получено в виде .

Для ее вычисления составим таблицу 5.

Таблица 5

1	193	183,25	9,7	95,1	-	-
2	198	205,11	-7,1	50,5	9,7	-69,3
3	235	226,96	8,0	64,6	-7,1	-57,1
4	213	248,82	-35,8	1283,2	8,0	-287,8
5	290	270,68	19,3	373,3	-35,8	-692,1
6	316	292,54	23,5	550,6	19,3	453,4
7	287	314,39	-27,4	750,4	23,5	-642,8
8	346	336,25	9,8	95,1	-27,4	-267,1
	-	-	-	3262,6	-	-1562,8

В таблицу 5 добавим столбцы и для подсчета необходимых сумм - статистики Дарбина-Уотсона. Далее определим фактическое значение статистики по формуле:

.

Фактическое значение сравним с табличными значениями при 5% уровне значимости. При n=8 и 1 (число объясняющих факторов модели) нижнее значение равно 0,76, а верхнее - 1,33. Так как фактическое значение статистики Дарбина-Уотсона =2,95 находится в пределах от =0,76 до (4-)=3,24, то для рассматриваемого временного ряда принимается гипотеза об отрицательной автокорреляции возмущений.

Список использованной литературы

Эконометрика. Под ред. И.И. Елисеевой. М.: Финансы и статистика, 2002.

Практикум по эконометрике. Под ред. И.И. Елисеевой. М.: Финансы и статистика, 2002.

Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика. М.: ЮНИТИ, 2002.

Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. М.: Просвещение, 1990.

Все расчеты производились в программе MS Excel.

Размещено на Allbest.ru