Размещено на http://www.allbest.ru/

Лекція

Тема: Абсолютна величина дійсного числа. Властивості абсолютних величин

ПИТАННЯ

1.Дiйснi числа. Абсолютна величина (модуль) дійсного числа. Властивості абсолютних величин.

2.Сталi i змiннi величини. Інтервали -окрестнiсть.

3.Означення функцii, область означення, множина значень функцii. Способи завдання функцii. Складна функція.

4.Парнiсть, непарність функцii. Зростаючи i спадаючи функцii. Обмежені функцii. Періодичні функцii.

5.Класифiкацiя функцiй.

6.Перетворення графіків.

ОЗНАЧЕННЯ

Абсолютною величиною (або модулем) дійсного числа x (позначається |x|) називається не від'ємне дійсне число,задовольняюче умовам:

| Х, якщо Х>0

|X|= <-Х,якщо Х<0

| 0,якщо Х=0

Властивості абсолютних величин.

1.Абсолютна величина алгебраїчної суми декількох дійсних чисел на більше суми алгебраїчних величин доданків:

|х+y||х|+|у|

ДОВЕДЕННЯ.

Нехай х+у0,тодi |х+у|=х+у|х|+|у| (поскiльки х|х| i у|у|)

Нехай х+у<0,тодi |х+у|= -(х+у)= -х+(-у)|х|+|у| що i п.б.д.

Приведене доведення поширюється на будь-яке число доданків.

2.Абсолютна величина рiзницi не менш ніж ризниця абсолютних величин зменшуваного i від'ємника:

|х-у||х|-|у|, |х|>|у|

ДОВЕДЕННЯ:

Покладемо х-у=z,тодi х=у+z i по доведеному в пункті 1

|х|=|у+z||у|+|z|=|у|+|х-у|

Звідки |х|-|у||х-у| що i т.б.д.

3.Абсолютна величина добутку дорівнює добутку абсолютних величин спiвмножникiв; |хуz|=|х|·|у|·|z|

4.Абсолютна величина частки дорівнює частці абсолютних величин діленого i дільника; |х/у|=|х|/|у|

Останні дві властивості iз означення абсолютної величини.

ЗМIННI I СТАЛI ВЕЛЕЧИНИ

Змінною величиною називається величина, котра приймає рiзнi численні значення. Величина, численні значення якої не зманюються називається сталою величиною.

Означення. Сукупність всіх численних значень змінної величини називається областю змінювання цієї змінної.

Проміжком або інтервалом називається сукупність всіх чисел х, що мстяться мiж даними числами а i в. Якщо проміжок замкнений, то його називають а,в. Проміжок може бути напiвзамкненим а,в. Замкнений проміжок носить назву відрізка. Околом даної точки х0 називається довільний інтервал (а,в), що містить цю точку усереденi себе.

Значення змінної величини можуть бути безперервними (інтервал) або дискретними (точки).

ФУНКЦIЯ

Означення 1. Якщо кожному значенню змінної х, належаному деякий області вiдповiдає одне певне значення другої змінної y, то y функція від х, або в символічному запису, y = f(x), y = (x) i т.п. х - називається незалежною змінною або аргументом.

Означення 2. Сукупність значень х, для котрих визначається значення функції y в силу правила f(x), називається областю визначення функції (або областю існування функції).

Iнодi поняття в означенні функції допускають, що кожному значенню х, належному деякій області, вiдповiдає, а декілька значень y. В цьому випадку функцію називають многозначною, на вiдмiну від означення раніше функції, котру називають однозначною.

В подальшому ми будемо розглядати тільки однозначні функції.

ВЛАСТИВОСТI ФУНКЦII

а Монотонність

Ф-я f(х) називається зростаючою,якщо для 2-х точок х1 i х2 з області визначення f(х) таких ,що f(х),f(х)>f(х)

Ф-я f(х) називається спадаючою,якщо для 2-х точок х1 і х2 із області визначення f(х) таких , що f(х1)< f(х2)

Зростаючі , спадаючі , не зростаючі , не спадаючі функції називається монотонними.

б) Парність

Функція f(х) називається парною, якщо для х із області визначення функції f(-х)= f(х) .

Графік парної функції симетричний відносно осі OY.

Функція f(х) називається непарною, якщо для х із області визначення функції f(-х)= -f(х) . Графік непарної функції симетричний відносно початку координат.

в) періодичність

Функція f(х) називається періодичною з періодом l, якщо для любих х із її області визначення справедливе рівняння f(х) = f(х l).

Прикладом періодичних функцій є тригонометричні функції: sinx, cosx, tgx, ctgx.

Способи завдання функції:

Табличний

Аналітичний

Графічний

За допомогою функціональної шкали.

Складна функція. Неявно задана ф-я.

Якщо функція f відображає множину Е вЕ1,а функція F відображає множину Е1 в множину Е2 , то функцією Z=F(f(х)) називають функцією від функції,або складною функцією,або суперпозицією f i F.

Можлива складна функція, в утворенні котрої беруть участь n функцій:

z= F1(F2(F3(…(Fn(x))…))).

Ми розглядали функції від однієї змінної. Але можна розглядати також функції двох трьох і взагалі n змінних.

Функція від однієї змінної може бути задана неявним засобом за допомогою рівності

F(x,y)=0, (*)

де F - є функція від двох змінних x і y.

Таким чином, Е є множина всіх чисел х, кожному із котрих відповідає непуста множина У. Цим визначена на множені Е деяка функція У= (х) від х, взагалі кажучи багатозначна.

В такому випадку кажуть що функція визначена неявно за допомогою рівності (*). Для неї, очевидно, виконується тотожність:

F(x, (х))0

По аналогії можливо також визначити функцію х=(у) від змінної У, визначену неявно за допомогою рівності (*). Для неї виконується тотожність:

F( (у),y)0.

Функцію х=(у) називають зворотною по відношенню до функції у=(х).

Класифікація функцій.

Основними елементарними функціями є:

степені; у=х, де - дійсне число; де -дiйсне число;

-<х<+; -цiле додатне число (1-3)

2. -цiле від'ємне число (4)

3.-дробно-рацiональнi числа (5,6)

2.показникова: у=а^х ,де а-додатнє число ,(а1);

3. логарифмічна : у=log_ах , х>0.а1, (а>0);

тригонометричні функцiї; у=sinх, у=cosх, у=tgх, у=ctgх, у=secх, у=cosecх.

Обернені тригонометричні функцiї

у=аrcsinх, у=arccosх, у=arctgх, у=arcctgх,

у=arcsecх, у=arccosecх.

Означення . Елементарною функцією називається функція, котра може бути задана формулою виду

у=f(х),

де праворуч стоїть вираз із основних елементарних функцій і сталих за допомогою кінцевого числа операцій додавання , віднімання, множення, ділення і взяття функції від функції.

Елементарні функції-це функції задані аналітично.

Алгебраїчні функції.

1.Ціла раціональна функція або многочлен

у=а₀хⁿ+a₁x^n-1+…+a_n,

a_0,a_1,…,a_n-сталі числа, котрі називаються коефіцієнтами, n-ціле невід'ємне число.

2.Дробно-раціональна функція

у₌(a₀xⁿ+a₁x^n-1+a₂x^n-1+…+a_n)/(b₀x^m+b₁x^m-1+…+b_m)

3.Ірраціональна функція

Якщо в правій частині формули

у=f(x)

алгебраїчна ірраціональна дробна стала

проводяться операції додавання, віднімання, ділення і возведення в ступінь з раціональними нецілими показниками, то функція у від х називається ірраціональною.

Перетворення графіків.

Нехай маємо графік функції у=f(х).

у= - f(х)- симетричний відносно осі Ох.

у= f(х)- приймає тільки додатні значення.

Приклад

Графіки можуть складатись і відніматись

у=х+(1/х)

Множення і розтягнення від осі абсцис. Щоб побудувати графік функції у=Мf(х),М>0,треба перейти до нових одиниць масштабу. Одиницю масштабу на осі Ох залишило незмінною, а за одиницю масштабу по осі Оу візьмемо добуток М на стару одиницю і побудуємо графік функції у=f(х) в нових одиницях масштабу

у=f(х+с), у=f(kx)

Графік функції х+с Х отримуємо і графіка функції у=f(х) не посереднім переміщенням його перемінною осі с Ох на с одиниць масштабу вліво, якщо C>0 (і вправо, якщо С<0) Графік функції у=f(kx),k>0,(kx) x отримуємо із графіка у=f(х) не посереднім розтягненням його в 1/k разів по напрямку осі Ох.

Перенесення графіка паралельно осі ординат

g(x)=f(x)+a

Приклади: у=х+2х

у= -3cos(2x+(п/6))

у=х+sinx

7) Графічне рішення

х+у=2

х-2у=1

х=5/3, у=1/3.

Размещено на Allbest.ru