Использование элементов проективной и начертательной геометрии при решении задач

Размещено на http://www.allbest.ru/

КУРСОВАЯ РАБОТА

на тему:

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ПРОЕКТИВНОЙ И НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ

Тула-2004

СОДЕРЖАНИЕ

I ВВЕДЕНИЕ

II ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

1.МЕТОД ПРОЕКЦИЙ

1.1 Проекции центральные

1.2 Проекции параллельные

1.3 Метод Монжа

2. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ

2.1 Пересекающиеся прямые

2.2 Параллельные прямые

2.3 Скрещивающиеся прямые

3. ПЛОСКОСТЬ

3.1 Способы задания плоскости на чертеже

3.2 Прямая и точка в плоскости

3.3 Прямые особого положения в плоскости

III ЗАКЛЮЧЕНИЕ

IV СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

I ВВЕДЕНИЕ

Начертательная геометрия является одним из разделов геометрии, в котором простые фигуры, представляющие собой совокупность точек, линий, поверхностей, изучается по их проекционным изображениям на плоскости (или какой-либо другой поверхности).

Проективная геометрия имеет большое значение, как теоретическая база начертательной геометрии (прикладная геометрическая дисциплина).

Основными задачами начертательной геометрии являются:

а) создание метода изображения геометрических фигур на плоскости (поверхности);

б) разработка способов решения позиционных и метрических задач, связанных с этими фигурами, при помощи их изображений на плоскости (поверхности).

Изображения, построенные по правилам, изучаемым в начертательной геометрии, позволяют представить мысленно форму предметов и их взаимное расположение в пространстве, определить их размеры, исследовать геометрические свойства, присущие данному предмету.

II ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

1.МЕТОД ПРОЕКЦИЙ

Рассмотрение метода проекций начинают с построения проекции точки, т.к. при построении изображения любой пространственной формы, рассматривается ряд точек, принадлежащих этой форме.

1.1 Проекции центральные

Для получения центральной проекции ( центральное проецирование) надо задаться плоскостью проекций и центром проекции - точкой, не лежащей в этой плоскости (рис. 1: плоскость Р и точка S). Взяв некоторую точку А и проведя через S и А прямую линию до пересечения ее с плоскостью Р, получим точку ар. Так же поступаем, например, с точками В и С. Точки ар, bр, cр являются центральными проекциями точек А, В, С на плоскость Р: они получаются в пересечении проецирующих прямых (или, иначе, проецирующих лучей) SA, SB, SC с плоскостью проекций.

Центр проекций также называют полюсом проекций, а центральную проекцию - полярной.

Если для некоторой точки D (рис. 1) проецирующая прямая окажется параллельной плоскости проекций, то принято считать, что они пересекаются, но в бесконечно удаленной точке: точка D также имеет свою проекцию, но бесконечно удаленную (D? ).

Не изменяя положения Р и взяв новый центр S1 (рис. 2) получим новую проекцию точки А - точку а. Если же взять центр S на той же проецирующей прямой SA, то проекция а останется неизменной (ар ? а ).

1.2 Проекции параллельные

Условимся считать все проецирующие прямые параллельными. Для их проведения должно быть указано некоторое направление (см. стрелку на рис. 5). Так построенные проекции называются параллельными.

Параллельное проецирование можно рассматривать как частный случай центрального, если принять, что центр проекции бесконечно удален.

Следовательно, параллельной проекцией точки будем называть точку пересечения проецирующей прямой, проведенной параллельно заданному направлению, с плоскостью проекций.

Чтобы получить параллельную проекцию некоторой линии, можно построить проекции ряда ее точек и провести через эти проекции линию (рис. 6). При этом проецирующие прямые в своей совокупности образуют цилиндрическую поверхность; поэтому параллельные проекции также называют цилиндрическими.

В параллельных проекциях, также как и в центральных:

1. для прямой линии проецирующей поверхностью в общем случае служит плоскость, и поэтому прямая линия вообще проецируется в виде прямой;

2. каждая точка и линия в пространстве имеют единственную свою проекцию. Обратное утверждение не имеет места. Для определения положения точки в пространстве необходимо иметь две ее параллельные проекции, полученных при различных направлениях проецирования (рис. 1.9.);

3. каждая точка на плоскости проекций может быть проекцией множества точек, если через них проходит общая для них проецирующая прямая (рис. 5:

4. каждая линия на плоскости проекций может быть проекцией множества линий, если они расположены в общей для них плоскости(); для единственного решения необходимо дополнительное условие.

5. для построения проекции прямой достаточно спроецировать две ее точки и через полученные проекции этих точек провести прямую линию.

6. если точка принадлежит прямой, то проекция точки принадлежит проекции этой прямой (рис. 1.8: точка К принадлежит прямой, проекция kр принадлежит проекции этой прямой).

7. если прямая параллельна направлению проецирования (прямая АВ на рис. 1.8), то проекцией прямой (и любого ее отрезка) является точка (aр, Она же bр );

8. отрезок прямой линии, параллельной плоскости проекций, проецируется на эту же плоскость в натуральную свою величину (рис. 1.8: CD=cрdр, как отрезки параллельных между параллельными).

Применяя приемы параллельного проецирования точки и линии, можно строить параллельные проекции поверхности и тела.

Параллельные проекции делятся на косоугольные и прямоугольные. В первом случае направление проецирования составляет с плоскостью проекций угол, не равный 900; во втором случае проецирующие прямые перпендикулярны к плоскости проекций.

При рассмотрении параллельных проекций следовало бы представить себя удаленным на бесконечно большое расстояние от изображения. На самом же деле предметы и их изображения рассматриваются с конечного расстояния; при этом лучи, идущие в глаз зрителя, образуют поверхность коническую, а не цилиндрическую. Следовательно, более естественное изображение получается (при соблюдении определенных условий) центральным проецированием, а не параллельным. Поэтому, когда требуется, чтобы изображение давало такое же зрительное впечатление, как и самый предмет, применяют перспективные проекции, в основе которых лежит центральное проецирование.

Но сравнительно большая простота построения и свойства параллельных проекций, обеспечивающих сохранение натуральных размерных соотношений, объясняет широкое применение параллельного проецирования, несмотря на условность, указанную выше.

1.3 Метод Монжа

проекция пространство прямая плоскость точка

С развитием техники первостепенное значение приобрел вопрос о применении метода, обеспечивающего точность и удобоизмеримость изображений, т.е. возможность точно установить место каждой точки изображения относительно другой точки или плоскостей и путем простых приемов определить размеры отрезков, линий и фигур. Постепенно накопившиеся отдельные правила и приемы были приведены в систему и развиты в труде французского ученого Монжа, изданном в 1799г.

Изложенный им метод параллельного проецирования (причем берутся прямоугольные проекции на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций) - обеспечивая выразительность, точность и удобоизмеримость изображений предметов на плоскости, был и остается основным методом составления технических чертежей.

Частный случай параллельного проецирования, при котором направление проецирования перпендикулярно плоскости проекций, называют прямоугольным или ортогональным проецированием. Прямоугольной (ортогональной) проекцией точки называют основание перпендикуляра, проведенного из точки на плоскость проекций. На рис. 1.10 прямоугольная проекция dр точки D.

Наряду со свойствами косоугольных проекций ортогональное проецирование имеет следующее свойство: ортогональные проекции двух взаимно перпендикулярных прямых, одна из которых параллельна плоскости проекций, а другая не перпендикулярна ей, взаимно перпендикулярны. Ортогональное проецирование имеет ряд преимуществ перед центральным и косоугольным параллельным. К ним относятся простота геометрических построений проекций точек и сохранение на проекциях при определенных условиях формы и размеров проецируемой фигуры.

2. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ

Как известно, прямые в пространстве могут быть пересекающимися, параллельными или скрещивающимися. Рассмотрим эти случаи.

2.1 Пересекающиеся прямые

Наглядное изображение двух прямых АВ и СD, пересекающихся в точке К.

Если прямые пересекаются, то их одноименные проекции пересекаются между собой, а проекции точек пересечения лежат на одной линии связи. Для прямых, кроме профильных, в системе V, H справедливо и обратное утверждение: если в системе V,H, точки пересечения одноименных проекций прямых, кроме профильных, лежат на одной линии связи. То прямые пересекаются.

Если в системе V,H одна из рассматриваемых прямых профильная, то, чтобы ответить на вопрос пересекаются ли прямые, следует построить их профильные проекции.

Частный случай ортогональной проекции двух взаимно перпендикулярных прямых, из которых одна параллельна плоскости проекций, а другая не перпендикулярна ей, рассмотрен на рис. 2.5.

Чертеж прямого угла АВС со стороной ВС, параллельной плоскости Н, приведен на рис. 2.6. Горизонтальная проекция ba стороны ВА перпендикулярна горизонтальной проекции bc стороны ВС.

Эта особенность проецирования прямого угла упрощает решение ряда задач. Например, пусть требуется начертить перпендикуляр из точки с проекциями а', а к прямой с проекциями b'c', bc, параллельной плоскости V (рис. 2.7). Для этого из точки а' проводим перпендикуляр а'm' к b'c'. Построив проекцию m, проводим горизонтальную проекцию от перпендикуляра.

Можно заметить, что проекция любого угла в зависимости от положения его плоскости может представлять собой острый, прямой или тупой угол (или прямую линию, если плоскость угла перпендикулярна плоскости проекций). Если угол не прямой и одна сторона его параллельна плоскости проекций, то на эту плоскость острый угол проецируется также в виде острого угла меньшей величины, тупой угол - в виде тупого угла большей величины.

2.2 Параллельные прямые

Если в пространстве прямые параллельны, то их одноименные проекции параллельны между собой. Действительно (рис.2.8), проецирующие плоскости P и Q, проведенные через параллельные прямые AB и CD, параллельны между собой. С плоскостью проекций Н они пересекаются по параллельным прямым ab и cd - проекциям прямых AB и CD на плоскости Н. Однако из параллельности проекций не всегда следует параллельность прямых.

В примере на рис. 2.9 проекции a'b', e'f', ab, ef профильных прямых AB и EF между собой параллельны. Однако из взаимного положения их профильных проекций видно, что сами прямые не параллельны.

Для прямых общего положения условия параллельности следующие: если одноименные проекции прямых параллельны в системе двух плоскостей проекций, то прямые параллельны (рис. 2.10).

Для прямых частного положения: если одноименные проекции прямых параллельны одной из осей проекций, то прямые параллельны при условии параллельности одноименных проекций на той плоскости проекций, которой параллельны прямые.

2.3 Скрещивающиеся прямые

Наглядное изображение двух скрещивающихся прямых AB и CD общего положения дано на рис. 2.12. С точкой пересечения одноименных проекций ab и cd совпадают проекции k и l двух точек K и L, принадлежащих различным прямым CD и AB.

Точки пересечения одноименных проекций скрещивающихся прямых не лежат на одной линии связи.

При взгляде сверху по указанной стрелке N точка L на прямой AB закрывает точку K (поэтому проекция точки K на плоскости H показана в скобках). Собственно и на чертеже 2.13 видно, что фронтальная проекция l' выше фронтальной проекции k', и при взгляде сверху по стрелке N при проецировании на плоскость Н точка L закрывает точку K. На плоскости V совпадают фронтальные проекции 1' и 2' прямых АВ и CD. При взгляде спереди по стрелке М видно, что точка 1 прямой АВ закрывает точку 2 прямой CD (фронтальная проекция 2' точки 2 показана в скобках).

3. ПЛОСКОСТЬ

3.1 Способы задания плоскости на чертеже

Положение плоскости в пространстве определяется тремя точками, не лежащими на одной прямой; прямой и точкой, взятой вне прямой; двумя пересекающимися прямыми или двумя параллельными прямыми. Соответственно плоскость на чертеже (рис. 3.1) может быть задана проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой (рис. 3.1,а), прямой и точки, взятой вне прямой (рис. 3.1,б), двух пересекающихся прямых (рис. 3.1,в), двух параллельных прямых (рис. 3.1,г). Проекции любой плоской фигуры также могут служить заданием плоскости на чертеже, например, изображение плоскости проекциями треугольника.

Плоскость относительно плоскостей проекций может занимать следующие положения:

1. не перпендикулярна плоскостям проекции;

2. перпендикулярна одной из плоскостей проекций;

3. перпендикулярна двум плоскостям проекций.

Плоскость, не перпендикулярная ни к одной из плоскостей проекций, называется плоскостью общего положения (рис. 3.1)

Второе и третье положения плоскостей являются частными случаями. Плоскости в этом положении являются проецирующими плоскостями.

3.2 Прямая и точка в плоскости

К числу основных задач, решаемых на плоскости, относят: проведение любой прямой в плоскости, построение в плоскости некоторой точки, построение недостающей проекции точки, проверка принадлежности точки плоскости.

Решение этих задач основывается на известных положениях геометрии: прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, принадлежащие плоскости, или через одну точку этой плоскости, параллельно прямой, лежащей в этой плоскости или ей параллельной. При этом используется известное условие, что если точка принадлежит плоскости, то ее проекции лежат на одноименных проекциях прямой, принадлежащей плоскости.

Проведение любой прямой в плоскости.

Для этого достаточно (рис. 3.2) на проекциях плоскости взять проекции двух произвольных точек, например а', а и 1',1, и через них провести проекции а'1', а1 прямой А1. на рис. 3.3 проекции b'1', b1 прямой В1 проведены параллельно проекциям а'с', ас стороны АС треугольника, заданного проекциями a'b'c', abc. Прямая В1 принадлежит плоскости треугольника АВС.

Построение в плоскости некоторой точки.

Для построения в плоскости точки в ней проводят вспомогательную прямую и на ней отмечают. На чертеже 3.4 в плоскости, заданной проекциями a', a точки, b'c', bc прямой, проведены проекции а'1', а1 - вспомогательной прямой, принадлежащей плоскости. На ней отмечены проекции d', d точки D, принадлежащие плоскости.

Построение недостающей проекции точки.

На рис. 3.5 плоскость задана проекциями a'b'c', abc треугольника. Принадлежащая этой плоскости точка D задана проекцией d'. Следует достроить горизонтальную проекцию точки D. Для этого проводят, например, фронтальную проекцию b'1'd' прямой, строят ее горизонтальную проекцию b1 и на ней отмечают горизонтальную проекцию d точки.

Проверка принадлежности точки плоскости.

Для проверки принадлежности точки плоскости используют вспомогательную прямую, принадлежащую плоскости. Так, на рис. 3.6 плоскость Р задана проекциями a'b', ab и c'd', cd параллельных прямых, точка- проекциями е', е. Проекции вспомогательной прямой проводят так, чтобы она проходила через одну из проекций точки. Например, фронтальная проекция 1'2' вспомогательной прямой проходит через проекцию е'. Построив горизонтальную проекцию 12 вспомогательной прямой, убеждаемся, что точка Е не принадлежит плоскости Р.

3.3 Прямые особого положения в плоскости

К прямым, занимающим особое положение в плоскости, относят горизонтали, фронтали, профильные прямые и линии наибольшего наклона к плоскостям проекций. Эти линии называются главными линиями плоскости.

Горизонталь - прямая, лежащая в плоскости и параллельная плоскости проекций Н. На рис. 3.7 проекции горизонтали проведены через проекции с', с точки С и 1', 1 точки 1 прямой АВ плоскости, заданной проекциями точки С и прямой АВ. Фронтальная проекция с'1' горизонтали параллельна оси Х.

Фронталь - прямая, лежащая в плоскости и параллельная плоскости проекций V. На рис. 3.8 проекции фронтали проведены через проекции 1', 1 и

2', 2 точек 1 и 2 проекций a'b', ab, c'd', cd параллельных прямых AB, CD за-данной плоскости. Горизонтальная проекция 12 фронтали параллельна оси Х.

Линиями наибольшего наклона плоскости к плоскостям H, V, W называют прямые, лежащие в ней и перпендикулярные или к горизонталям плоскости, или к ее фронталям, или к ее профильным прямым. Соответственно определяется наклон плоскости к плоскостям H, V, или W. Рассмотрим линию наибольшего наклона к плоскости Н, называемую линией ската.

Линия ската ВК плоскости Q и горизонталь С1 показаны на рис. 3.9: BKQL. Согласно правилам проецирования прямого угла, bКQh и bКС1. Поэтому BKb есть линейный угол двугранного, образованного плоскостями Q и H. Следовательно линия ската может служить для определения угла наклона этой плоскости к плоскости проекций Н. На рис. 3.10 линия А2 в плоскости треугольника с проекциями a'b'c', abc проведен перпендикуляр к горизонтали с проекциями с'1', с1.

Вначале на горизонтальной проекции из проекции а проведен перпендикуляр а2 к проекции с1 горизонтали, построена фронтальная проекция 2' точки 2 и через нее проведена фронтальная проекция а'2' линии ската.

Угол между линией ската и ее горизонтальной проекцией является линейным углом между плоскостью, которой принадлежит линия ската, и плоскостью проекций Н.

3.4 Угол между прямой и плоскостью

Угол между прямой и плоскостью определяется углом между этой прямой и ее проекцией на плоскость (например, угол на рис. 3.11). Для построения угла между прямой и плоскостью в общем случае требуется:

1. найти точку пересечения прямой с плоскостью;

2. провести из некоторой точки прямой перпендикуляр на плоскость;

3. определить точку пересечения перпендикуляра с плоскостью;

4. полученные точки пересечения прямой и перпендикуляра с плоскостью соединить прямой линией.

Для определения величины угла между прямой и плоскостью на практике поступают так. Определяют угол между прямой и перпендикуляром из точки прямой к плоскости (рис. 3.11), искомый угол определяют вычитанием из 90 угла между прямой и перпендикуляром к плоскости: BKbq =90-АBbq . (Перпендикуляр к плоскости перпендикулярен любой прямой, проведенной в этой плоскости. Из множества этих прямых при построении перпендикуляра к плоскости выбирают фронталь и горизонталь плоскости, т.к. пи этом образуются прямые углы, одна из сторон которых параллельна плоскости проекций).

III ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Начертательная геометрии пользуется выводами двух дисциплин: элементарной и проективной геометрии, применяя их к своим собственным задачам, состоящим в изображении пространственных форм на плоскости и в решении с помощью этих плоских изображений различных задач в пространстве.

Пространственные задачи, рассматриваемые в начертательной геометрии, можно разделить на две большие группы:

1) задачи, в которых требуется найти положение в пространстве какого-либо геометрического элемента(точки, линии, плоскости). Такие задачи называются позиционными;

2) задачи метрические, в которых производятся измерения отрезков и углов, определяются размеры фигур. При решении таких задач надо помнить, что метрические свойства фигур лишь в особых случаях сохраняются в проекциях, по большей же части они искажаются.

Что же, собственно, сделал Монж самого главного в математике? Гаспар Монж первым перешел от изучения геометрии на плоскости к глубокому изучению геометрии в пространстве. Все его математическое творчество проникнуто пространственными соображениями. Его начертательная геометрия, теория образования поверхностей - все это замечательные примеры пространственной интуиции. Монж - первый стереометр ”нового времени”.

IV СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.

1. Гордон, В.О. Курс начертательной геометрии. М.: Высшая школа, 2004

2. Кузнецов, К.С. Начертательная геометрия. М.: Высшая школа, 1981.

3. Потоцкий, М.В. Что изучает проективная геометрия? М.: Просвещение, 1982.

4. Фролов, С.А., Покровская, М.В. Начертательная геометрия: что это такое? М.: Высшая школа, 1986.

5. Фролов, С.А. Начертательная геометрия. М.: Машиностроение, 1983.

6. Четверухин, Н.Ф. Проективная геометрия. М.: Просвещение, 1969.

Размещено на Allbest.ru