Теорія ймовірностей

Размещено на http://www.allbest.ru/

Теорія ймовірностей

План

1. Випадкові події та їх класифікація

2. Класичне визначення ймовірності.

3. Відносна частота. Статистична ймовірність.

4. Зв'язок теорії ймовірностей з теорією множин.

5. Геометричні ймовірності

6. Елементи комбінаторики

1. Випадкові події та їх класифікація

ймовірність лаплас байєс бернуллі пуассон

Випробуванням (або дослідом) називається експеримент, який можна проводити в однакових умовах будь-яку кількість разів. Результат випробування називається подією або наслідком. Наприклад, підкидання монети - випробування, поява на ній герба - подія. Виготовлення деталей - випробування, поява бракованої деталі - подія.

Надалі ми будемо розглядати подію як результат випробування.

Події (явища), що спостерігаються нами, можна поділити на вірогідні, неможливі та випадкові.

Вірогідною називають подію, яка обов'язково відбудеться, якщо буде виконана певна сукупність умов S. Наприклад, якщо урна містить тільки білі кулі, то вилучення з урни білої кулі - вірогідна подія.

Неможливою називають подію, яка заздалегідь не відбудеться, якщо буде виконана певна сукупність умов S. Наприклад, урна містить тільки білі кулі. Вилучення з урни чорної кулі - подія неможлива.

Випадковою називають подію, яка може відбутися або не відбутися під час здійснення певного випробування. Наприклад, якщо підкинуто монету, то вона може впасти так, що з'явиться або герб, або решка. Подія "при киданні монети з'явився герб" - випадкова.

Випадкові події прийнято позначати прописними (великими) літерами латинського алфавіту: А, В, С... Вірогідну подію прийнято позначати літерою U, неможливу - літерою V.

Масовими називаються однорідні події, що спостерігаються за певних умов і можуть бути відтворені необмежену кількість разів. Масовими вважають і ті події, для яких відповідні випробування не можна відтворити, але є можливість спостерігати аналогічні випробування у великій кількості. Наприклад, виклик телефонної станції, прихід суден далекого плавання в порт призначення.

Неможливо заздалегідь передбачити відбудеться чи ні одинична випадкова подія. Але при багаторазовому повторенні випробування виявляється, що однорідні випадкові події підпорядковуються певним закономірностям. Теорія ймовірностей є розділом математики, що вивчає закономірності, яким підпорядковуються масові однорідні випадкові події.

Події називаються попарно несумісними в даному випробуванні, якщо ніякі дві з них не можуть відбутися разом. Наприклад, якщо кинуто монету, то поява герба виключає появу решки. Поява 1, 2, 3, 4, 5, 6 очок під час одного кидання грального кубика - приклад множини з шести несумісних подій.

Сукупність подій утворює повну групу подій, якщо внаслідок кожного випробування хоч одна з цих подій напевно відбудеться. Наприклад, при киданні грального кубика може випасти одне, два, три, чотири, п'ять або шість очок (відповідно події А1, А2, А3, А4, А5, А6). Ці події утворюють повну групу подій.

Дві події, що утворюють повну групу подій, називаються протилежними подіями. Якщо А - деяка подія, то протилежну їй подію позначають . Наприклад, якщо підкидають монету, то може випасти або герб, або число. Ці події протилежні.

Події називають рівноможливими, якщо кожна з цих подій не має ніяких переваг у появі частіше за іншу під час багаторазових випробувань, що проводяться за однакових умов. Наприклад, поява того чи іншого числа очок при киданні грального кубика є подіями рівноможливими.

Багато теоретичних тверджень теорії ймовірностей будується на розгляді множини подій, які мають такі три властивості: утворюють повну групу подій, є несумісними і рівноможливими. Події такої множини називаються елементарними. Наприклад, поява того чи іншого числа очок при киданні грального кубика є подіями елементарними, а поява не менш ніж 4 очок при одному киданні грального кубика є подією складеною, вона може відбутися, якщо відбудеться одна з чотирьох елементарних подій: поява 1, 2, 3 або 4 очок.

Найважливішим поняттям теорії ймовірностей як галузі математики є поняття ймовірності випадкової події.

Ймовірність - числова характеристика появи випадкової події за певної умови, яка може бути відтворена необмежену кількість разів.

2. Класичне визначення ймовірності

Нехай маємо 100 деталей, з яких 97 стандартних і 3 бракованих. Дослід полягає в тому, що навмання беруть одну деталь. Не можна наперед сказати, яка буде взята деталь - стандартна чи бракована. Оскільки ми можемо вибирати лише одну яку-небудь деталь, то поява стандартної чи бракованої деталі - випадкові події, які утворюють повну групу з 100 несумісних і рівноможливих подій. Появі стандартної деталі сприяють 97 наслідків, а появі бракованої - 3 наслідки. Нехай А - подія, яка полягає у виборі стандартної деталі, а В - бракованої. Тоді числа і характеризують можливість здійснення відповідно події А чи В. Ці числа називають ймовірностями подій А і В і позначають

.

Ймовірністю випадкової події називають відношення кількості наслідків випробувань, які сприяють появі цієї події, до загальної кількості всіх рівноможливих несумісних наслідків, які утворюють повну групу подій.

Позначають (1)

де n - загальна кількість всіх рівноможливих результатів експерименту;

m - кількість результатів експерименту, сприятливих для події А.

Таке визначення ймовірності називається класичним, воно було сформульовано французьким математиком Лапласом.

З означення ймовірності випливають такі властивості:

1. Ймовірність вірогідної події дорівнює одиниці.

2. Ймовірність неможливої події дорівнює нулю.

3. Ймовірність випадкової події є невід'ємне число, що міститься між нулем та одиницею, тобто

Для обчислення ймовірностей за формулою (1) необхідно вміти обчислювати загальне число елементарних подій (випадків) у випробуванні, а також число подій, що сприяють появі даної події А.

3. Відносна частота. Статистична ймовірність.

Розглянемо випробування, в якому може відбутися подія А. Нехай це випробування виконується n разів за однакових умов, тобто проводиться серія з п однакових випробувань і нехай подія А відбулася в серії т разів.

Відносною частотою настання події А називають відношення числа випробувань, у яких подія відбулась, до загального числа фактично проведених випробувань.

Таким чином, відносна частота події А визначається формулою

Порівнюючи визначення ймовірності та відносної частоти приходимо до висновку, що визначення ймовірності не вимагає, щоб випробування відбувались в дійсності, а визначення відносної частоти припускає, що випробування були проведені фактично. Іншими словами, ймовірність обчислюють до випробування, а відносну частоту - після випробування.

Наприклад, в партії, що містить 100 випадково відібраних виробів, товарознавець виявив 4 нестандартних виробів. Відносна частота появи нестандартних виробів

Тривалі спостереження показали, якщо випробування проводяться в однакових умовах, в кожному з яких число випробувань є достатньо великим, то відносна частота виявляє властивість стійкості. Ця властивість полягає в тому, що в різних випробуваннях відносна частота змінюється мало (тим менш, чим більш проведено випробувань), коливаючись навколо деякого постійного числа, яке і є ймовірністю появи випадкової події. Наприклад, якщо багато разів підряд кидати монету, то виявляється, що частота появи герба згодом стабілізується, наближаючись до , при умові збільшення числа кидань монети.

Отже, нарівні з класичним визначенням ймовірності користуються також статистичним визначенням, приймаючи за ймовірність події відносну частоту або число, близьке до неї.

4. Зв'язок теорії ймовірностей з теорією множин

Множину всіх можливих наслідків випробування називають основним простором або простором елементарних подій і позначають . Наслідок позначають ?.

Випадковою подією називається будь-яка підмножина А простору . Наслідки, які утворюють події А, називають сприятливими для А . Подія А настає тільки тоді, коли настає елементарна подія, сприятлива для А. Тому теорія ймовірностей і теорія множин мають багато спільного. Втім, в них йдеться про одне й те саме різними словами, що видно з такої таблиці:

Теорія множин	Теорія ймовірностей
- універсальна множина	- простір елементарних подій
- сама множина як підмножина	- вірогідна подія, тобто така, що відбувається при кожному випробуванні
O - порожня множина	O - неможлива, тобто така, що не може відбутися при випробуванні
- А є підмножиною В	З події А випливає подія В
- доповнення до А	- протилежна до А подія, тобто подія, яка полягає в тому, що подія А не відбувається
O - А і В - множини, що не перетинаються	O- події А і В є несумісними
або А + В - об'єднання множин А і В	або А + В - об'єднання подій А і В. Об'єднанням подій А і В називається подія, яка полягає в тому, що відбувається принаймні одна з подій А або В
або А·В - добуток множин А і В	або А·В - добуток подій А і В. Добутком подій А і В називається подія, яка полягає в здійсненні одночасно і А, і В
- різниця множин А і В	- подія, яка полягає в тому, що подія А відбувається, а подія В не відбувається



5. Геометричні ймовірності

Класичне означення ймовірності ґрунтується на тому, що випробування має скінченну кількість наслідків. Проте є досліди, які мають нескінченну кількість наслідків.

Наприклад, нехай на площині міститься область і в ній міститься інша область А ( рис. 1). Припустимо, що в область навмання кидають точку. Як визначити ймовірність того, що кинута точка потрапить до області А? Позначимо попадання точки в область А подією А. Очевидно, що

де S(A) - площа А,

S(?) - площа ?.

Ймовірності, що подаються як відношення площ областей (довжин відрізків, об'ємів тіл), називають ще геометричними ймовірностями.

6. Елементи комбінаторики

При розв'язанні деяких задач з теорії ймовірностей часто використовують поняття розділу елементарної математики - комбінаторики. Наведемо деякі відомості з цієї теорії.

Розглянемо множини (групи), які мають скінченну кількість елементів n.

Перестановками з n елементів називають групи, що містять всі n елементів і відрізняються між собою лише порядком елементів.

Число перестановок з n елементів знаходять за формулою



де n! (читається "ен - факторіал"),- добуток натуральних чисел від 1 до n включно. Домовилися, що

і т.д.

Розміщеннями з n елементів по k в кожному (n > k) називаються такі групи, в кожну з яких входить k елементів, вибраних з даних n елементів, і які відрізняються одна від одної або самими елементами, або порядком їх розташування.

Число розміщень з n елементів по k знаходять за формулою

Наприклад,

Сполученнями з n елементів по k називають групи, в кожну з яких входить k елементів, вибраних з даних n елементів, які відрізняються одна від одної лише самими елементами (порядок не враховується).

Число сполучень з n елементів по k знаходять за формулою

або

Наприклад,

Інколи зручно користуватися властивістю .

Наприклад



Теореми додавання та множення ймовірностей

План

1. Теорема про додавання ймовірностей несумісних подій

2. Теорема про додавання ймовірностей довільних подій

3. Умовна ймовірність

4. Теорема про множення ймовірностей незалежних подій

1. Теорема про додавання ймовірностей несумісних подій

Сумою двох сумісних подій А і В називається подія С, яка полягає в появі хоча б однієї з подій А або В. Аналогічно, сумою кількох сумісних подій називається подія, яка полягає в появі хоча б однієї з цих подій.

Сумою двох несумісних подій А і В називається подія С, яка полягає в появі або події А або події В.

Теорема. Ймовірність суми двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій:

р(а + в)=р(а)+р(в)

Доведення. Нехай події А і В несумісні і нехай із числа усіх рівноможливих наслідків результатів є сприятливими для події А, а - для В. Оскільки події А і В несумісні, то поява події А виключає появу події В і навпаки, тому число випробувань, сприятливих для події , дорівнює . Звідси на основі класичного означення ймовірності отримуємо



,

що і треба було довести.

Методом математичної індукції теорему можна узагальнити для будь-якого скінченого числа попарно несумісних подій :

Наслідок 1. Сума ймовірностей подій, що утворюють повну групу подій, дорівнює одиниці, тобто, якщо - повна група то

Наслідок 2. Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює одиниці, тобто

(4)

Звідси

Якщо позначити через p, а через q то можна записати .

2. Теорема додавання ймовірностей довільних подій

Теорема.

Ймовірність суми двох сумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без ймовірностей їх добутку (тобто без ймовірності одночасної появи обох подій).

Доведення. Нехай m - число рівноможливих елементарних подій, спритних події А, k - число рівноможливих елементарних подій, спритних події В. Припустимо, що серед m+k елементарних подій міститься l таких, що сприяють і події А, і події В. Тоді, якщо n - загальне число рівноможливих елементарних подій, то

,.

Подія полягає в тому, що здійснилася або подія А, або подія В, або обидві разом. Події сприяють елементарних подій. Тому

або

.

Примітка. Якщо події А і В несумісні, то O і .

3. Умовна ймовірність

Часто одна подія А впливає на можливість появи іншої події. В цьому випадку події А і В називають залежними. Нехай, наприклад, з урни, в якій 15 білих і 10 чорних куль, навмання виймають послідовно одну за одною дві кулі. Розглянемо події: А - перша куля біла, В - друга куля біла. Зрозуміло, що . Якою буде імовірність події В?

Якщо подія А відбулася, то серед 24 куль, що залишилися, білих 14 і ; якщо ж подія А не відбулася (перша куля виявилася чорною), то .

Отже, імовірність появи події В залежить від здійснення події А, тобто А і В - залежні події. У такому випадку кажуть, що ймовірність появи події В умовна.

Означення. Нехай А і В - довільні події. Умовною ймовірністю події В називають ймовірність події В, знайдену ї припущенням, що подія А вже відбулася.

Теорема. Якщо А і В - довільні події, причому , то

Нехай для події А сприятливими є m рівноможливих наслідків випробування із загальної їх кількості n , а для події АВ - k. Тоді

, .

Проте якщо подія відбулася, можливі лише ті m наслідків випробування, які є сприятливими для події А, причому k з них очевидно є сприятливими для події В. Отже, . З умови випливає, що . Тоді , що й треба було довести.

Доведену теорему називають теоремою множення ймовірностей для двох подій. Помінявши місцями А і В, дістанемо інший запис цієї теореми:

,

4. Теорема про множення ймовірностей незалежних подій

Означення. Події А і В називаються незалежними, якщо настання однієї з подій не впливає на ймовірність настання другої події. З цього означення впливає, що для незалежних подій

,

Теорема. Ймовірність одночасної появи двох незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій.

Оскільки , то враховуючи, що А і В - незалежні події, дістаємо .

Означення. Кілька подій називаються незалежними в сукупності, якщо будь-яка з них не залежить від будь-якої сукупності решти. Для незалежних у сукупності подій має місце рівність

.

На практиці для перевірки незалежності подій рідко використовують означення. Частіше виходять з інтуїтивних міркувань, пов'язаних з характером випробування. Так, при підкиданні двох монет очевидно, що випадання якої-небудь сторони на одній з них не впливає на умови підкидання іншої. Тому випадання будь-яких сторін на кожній з них є незалежними подіями.



Формула повної ймовірності

План

1. Формула повної ймовірності.

2. Ймовірності гіпотез. Формула Байєса.

1. Формула повної ймовірності.

Припустимо, що подія А може відбутися тільки разом з однією із попарно несумісних подій Н1, Н2,..., Нn, які утворюють повну групу подій.

Теорема. Ймовірність події А, яка може відбутися тільки за умови появи однієї із попарно несумісних подій Н1, Н2,..., Нn, які утворюють повну групу, визначається за формулою

(1)

Якщо подія А відбулася разом з однією із подій Н1, Н2,..., Нn, то це означає, що відбулася одна із попарно несумісних подій АН1, АН2,..., АНn.. Отже, А= АН1+ АН2+...+ АНn. Тому, застосовуючи теорему про додавання ймовірностей несумісних подій, дістаємо Р(А)=Р(АН1)+Р(АН2)+...+Р(АНn). За теоремою множення ймовірностей довільних подій маємо . Враховуючи це, отримуємо . Цю формулу називають формулою повної ймовірності.

Задача. З першого автомата на конвеєр надходить 30% деталей, а з другого - 70%. Перший автомат дає в середньому 2% бракованих деталей, другий - 3%. Яка ймовірність того, що навмання взята з конвеєра деталь є бракованою?

Розв'язання. Позначимо події: Н1 - взята навмання деталь виготовлена першим автоматом, Н2 - деталь виготовлена другим автоматом, А - навмання взята з конвеєра деталь є бракованою.

За умовою , , , .

За формулою повної ймовірності

.

2. Ймовірності гіпотез. Формула Байєса

Нехай подія А може відбутися за умови появи однієї із попарно несумісних подій Н1, Н2,..., Нn, які утворюють повну групу. Через те, що заздалегідь невідомо, яка з цих подій настане, їх називають гіпотезами. Ймовірність появи події А визначається за формулою повної ймовірності.

Припустимо, що проведено випробування, внаслідок якого відбулася подія А. Виникає питання: як змінились (за умови того, що подія А вже відбулася) ймовірності гіпотез? Відповідь на це питання дає теорема Байєса.

Теорема Байєса. Нехай Н1, Н2,..., Нn - повна група попарно несумісних подій. Тоді

k=1, 2, … ,n. (1)

Доведення. За теоремою множення довільних подій



Ліві частини цих рівностей однакові. Тому рівними будуть і праві частини цих рівностей.

=,

звідки

.

Оскільки за формулою повної ймовірності

,

то формула

доведена. Цю формулу називають формулою Байєса. Ця формула .дає змогу переоцінити ймовірності гіпотез Н1, Н2,..., Нn після того, як проведено випробування, внаслідок якого відбулася подія А.

Задача. З першого автомата на конвеєр надходить 30% деталей, а з другого - 70%. Перший автомат дає в середньому 2% бракованих деталей, другий - 3%. Навмання взята з конвеєра деталь виявилися бракованою. Яка ймовірність того, що ця деталь виготовлена першим автоматом

Розв'язання. Позначимо події: А - навмання взята з конвеєра деталь є бракованою, Н1 - взята навмання деталь виготовлена першим автоматом, Н2 - деталь виготовлена другим автоматом.

За умовою , , , .

Ймовірність того, що ця деталь виготовлена першим автоматом за умови, що вона виявилася бракованою, позначимо . За формулою Байєса

.

.



Повторні випробування. Формула Бернуллі

План

1. Повторні випробування. Формула Бернуллі

2. Найймовірніше число

3. Локальна теорема Лапласа

4. Інтегральна теорема Лапласа

5. Теорема Пуассона

1. Повторні випробування. Формула Бернуллі

Якщо відбуваються випробування, в кожному з яких ймовірність появи події А не залежить від результатів інших випробувань, то такі випробування називають незалежними відносно події А. Розглянемо незалежні випробування, в кожному з ймовірність появи події А дорівнює p тобто є величиною сталою. Тоді ймовірність того, що подія А не відбудеться в кожному з випробувань, дорівнює q=1-p. Знайдемо ймовірність того, що при n випробуваннях подія А відбудеться рівно k разів . Шукану ймовірність позначимо .

Для того щоб в n незалежних випробуваннях подія А відбулася рівно k разів, необхідно і достатньо, щоб відбулася одна з подій



де - подія « в i-тому випробуванні відбулася подія А» (i=1, 2, 3, …, n).

Число подій (j=1, 2, 3, …, r) r дорівнює числу підмножин, які містять k елементів в множині з n елементів, тобто . Події незалежні в сукупності, , , тому ймовірність кожної події за теоремою множення ймовірностей незалежних подій дорівнює . Події попарно незалежні. Таким чином, за теоремою додавання ймовірностей несумісних подій шукана ймовірність

Ця формула називається формулою Бернуллі.

2. Найймовірніше число

Число m0 називають найймовірнішим числом появи події А в n випробуваннях, якщо значення при не менше інших значень, тобто при .

Якщо і , то число m0 можна визначити з подвійної нерівності .

Різниця граничних значень в цій подвійній нерівності дорівнює 1. Якщо не є цілим числом, то подвійна нерівність визначає лише одне найймовірніше значення m0. Якщо - ціле число, то маємо два найймовірніших значення: і .



3. Локальна теорема Лапласа

При досить великій кількості випробувань безпосереднє обчислювання ймовірності за формулою Бернуллі ускладнюється. Для спрощення обчислень запропоновано ряд наближених формул. Теореми, в яких наводяться такі формули, називаються граничними теоремами схеми Бернуллі.

Локальна теорема Лапласа. Якщо ймовірність p появи події А у кожному випробуванні стала (0<p<1), то ймовірність того, що подія А відбудеться k разів у n незалежних випробувань, можна обчислити наближено за формулою (чим більше n, тим точніше)

.

Функція називається функцією Гауса.

Значення функції знаходять за таблицями (табл. 1).

Деякі властивості функції :

1. функція визначена на всій числовій осі;

2. парна, тобто =;

3. max=;

4. .

Задача. Ймовірність появи події в кожному зі 100 незалежних випробувань дорівнює p=0,8. Знайти ймовірність того, що подія з'явиться рівно 75 разів.

Розв'язання. Формулу Бернуллі застосовувати неможливо, тому що - досить велике число. Скористаємось локальною теоремою Лапласа:

.

Знайдемо х: .

Функція парна, =. За таблицею значень функції знаходимо .

4. Інтегральна теорема Лапласа

Якщо ймовірність p настання події А у кожному випробуванні стала (0<p<1), то ймовірність того, що подія А відбудеться не менше ніж і не більше ніж разів у n незалежних випробувань, можна обчислити наближено за формулою

,

, .

Функція називається функцією Лапласа. Для неї складено таблицю значень , причому при x>5 вважають .(табл. 2)

Деякі властивості функції Лапласа:

1. - непарна, тобто =-;

2. =0;

3. зростає для ;

4. .

Задача. Ймовірність появи події в кожному зі 100 незалежних випробувань дорівнює p=0,8. Знайти ймовірність того, що подія з'явиться не менш, як 70 разів.

Розв'язання. Вимога, щоб подія з'явилася не менше, ніж 70 разів, означає, що подія може з'явитися або 70 разів, або 71 раз, …, або 100 разів Отже, в даному випадку припустимо , .

;.

За таблицею значень знаходимо =-; . Тоді

5. Теорема Пуассона

Якщо в схемі Бернуллі - стала,

.

Застосовується теорема при у вигляді наближеної формули для великих значень n ( не менше кількох десятків) та малих p :



, k=0, 1,… .

Для обчислення існують таблиці (табл. 3).

Набір чисел , , , … , називають розподілом Пуассона.

Размещено на Allbest.ru