Размещено на http://www.allbest.ru/

19

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Сибирский федеральный университет»

Институт управления бизнес-процессами и экономики

РЕФЕРАТ

Системы счисления Древнего Мира

Студент УБ 10-13 А.В. Вохмина

Преподаватель Н.Г. Кузьменко

Красноярск 2010



Содержание

• Введение
• 1. Цифры и системы счисления
• 1.1 Зачем числа?
• 1.2 Простая система счисления
• 1.3 Позиционные и непозиционные системы счисления
• 1.4 Основание системы счисления
• 2. Непозиционные системы счисления
• 2.1 Древнеегипетская десятичная
• 2.2 Римская пятеричная
• 2.3 Древнегреческая аттическая пятеричная
• 2.4 Древнегреческая ионийская десятеричная алфавитная.
• 2.5 Славянская глаголическая десятеричная
• 2.6 Славянская кириллическая десятеричная алфавитная
• 2.7 Древнеиндийские системы счисления
• 2.8 Недостатки непозиционной системы счисления
• 3. Позиционные системы счисления
• 3.1 Вавилонская десятеричная / шестидесятеричная
• 3.2 Древнекитайская десятеричная
• 3.3 Двадцатеричная система счисления индейцев Майя или долгий счет
• 4. История «арабских» чисел
• 5. История нуля
• Заключение
• Список использованной литературы


Введение

Системы счисления Древнего мира были весьма разнообразными, поэтому данная работа представляет для меня особый интерес. Любого человека всегда интересовало, в каких условиях складывалась та или иная ситуация и почему это произошло определенным образом.

Так и с системами счисления - каждая система отличается от другой какими-то признаками, но также имеет схожие. Есть ли некая связь между появлением различных систем счисления?



1. Цифры и системы счисления

1.1 Зачем числа?

"Все есть число", -- говорили пифагорийцы (ученики древнегреческого математика Пифагора). Значит всё можно обозначить числом.

Так как многие предметы внешнего мира имеет схожую форму, возникла потребность их сосчитать. Например, сколько коров в стаде. Сколько добыто рыб или зайцев, т.е. число и арифметика возникли из практической деятельности человека.

Так как многие народы в древности не общались друг другом, то у разных народов возникли разные системы счисления и представления чисел и цифр.

Число - это обобщение, так как разными числами можно подсчитать разные предметы.

Цифры - это значки, с помощью которых записывают числа. Система счисления или нумерация - это способ записи чисел с помощью цифр.

1.2 Простая система счисления

У первобытных людей не было даже чисел, они количество предметов отображали равным количеством каких-либо значков. Такими значками могли быть зарубки, черточки, точки, а так же узелки на веревках. Это самая простая система счисления. В этой системе счисления для записи чисел используется только одна цифра. Ее можно изобразить в виде палочки ?, кружочка _ или любой другой фигуры. Такая система счисления использовалась, и до сих пор используется народами, не имеющими письменности.

Но иногда такой системой счисления пользуются и современные люди, например, отмечая зарубками количество прошедших дней или, карандашом отмечая черточками в тетради количество проданных товаров.

Позже, для облегчения счета, эти значки стали группировать по три или по пять. Такая система записи чисел называется единичной (унарной), так как любое число в ней образуется путем повторения одного знака, символизирующего единицу. Но это удобно, пока числа небольшие.

И люди начали изобретать системы счисления.

1.3 Позиционные и непозиционные системы счисления

Системы счисления бывают непозиционными (аддитивными) и позиционными (мультипликативными).

Чтобы разобраться в этом рассмотрим для примера нашу «арабскую» систему счисления. Например, число 3333 - три тысячи триста тридцать три. Здесь каждая цифра «3» в зависимости от того, в каком месте находиться обозначает свое число. Первая тройка слева - это три тысячи, вторая - три сотни, третья - три десятка, четвертая - три единицы, т.е. это позиционная система. В таких же системах значение каждой цифры, зависит от ее положения (места, позиции) в записи числа. В непозиционных системах значение каждой цифры не зависит от ее положения (места, позиции) в записи числа.

Число 3333 можно представить в таком виде 3Ч1000 + 3Ч100 + 3Ч10 + 3, т.е. для представления этого числа используется умножение (по-английски multiplication), отсюда название этой системы - мультипликативная.

В непозиционных же системах для представления числа используется сложение всех цифр, по-английски сложение - add. Поэтому другое название этих систем - аддитивные.

1.4 Основание системы счисления

Основание системы счисления - это число, на основе которого ведется счет. Например, если основание системы счисления равно десяти, то минимальная счетная группа этой системы счисления равна десяти, это значит, что, сосчитав какие-либо предметы до десяти, мы считаем снова с единицы, но при этом запоминаем число десятков. В нашей «арабской» системе основанием является число десять. Есть системы счисления и с другим основанием. Это такие системы счисления как пятеричная, тринадцатеричная, двадцатеричная, шестидесятеричная.

Десятеричная и пятеричная система возникла от того факта, что на одной руке человека пять пальцев, на обоих руках - 10 пальцев.

Так проще считать. Если добавить пальцы на ногах, то появляется двадцатеричная система. Происхождение тринадцатеричной системы тоже связано со счетом на пальцах. Считали большой палец руки и фаланги остальных четырех пальцев.

В некоторых системах счисления используются для обозначения цифр буквы, такие системы счисления называются алфавитными.

Итак, бывают непозиционные (аддитивные) и позиционные (мультипликативные), пятеричные, десятичные, двенадцатеричные, двадцатеричные, шестидесятеричные и алфавитные системы счисления.

Вначале рассмотрим непозиционные (аддитивные) системы счисления.

число цифра древний счисление



2. Непозиционные системы счисления

2.1 Древнеегипетская десятичная

Примерно в третьем тысячелетии до нашей эры древние египтяне придумали свою числовую систему, в которой для обозначения ключевых чисел 1, 10, 100 и т.д. использовались специальные значки -- иероглифы.

Все остальные числа составлялись из этих ключевых при помощи операции сложения. Система счисления Древнего Египта является десятичной, но непозиционной и аддитивной.

	1. Как и большинство людей для счета небольшого количества предметов Египтяне использовали палочки.
	Если палочек нужно изобразить несколько, то их изображали в два ряда, причем в нижнем ряду должно быть столько же палочек, сколько и в верхнем, или на одну больше.
	10. Такими путами египтяне связывали коров
	Если нужно изобразить несколько десятков, то иероглиф повторяли нужное количество раз. Тоже самое относится и к остальным иероглифам.
	100. Это мерная веревка, которой измеряли земельные участки после разлива Нила.
	1000. Цветущий лотос
	10000. Поднятый вверх указательный палец
	100000. Лягушачий головастик
	1000000. Удивленный человек, возносящий руки к небу
	10000000. Египтяне поклонялись Амону Ра, богу Солнца, и, наверное, поэтому самое большое свое число они изобразили в виде восходящего солнца

Рисунок 1 - Система счисления Древнего Египта

Записывались цифры числа начиная с больших значений и заканчивая меньшими. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то переходили к следующему разряду.

- 1205, - 1023029

Рисунок 2 - Пример значения чисел Древнего Египта

2.2 Римская пятеричная

Это, наверное, самая известная система, после «арабской», она возникла более двух с половиной тысяч лет назад в Древнем Риме.

I	1
V	5
X	10
L	50
C	100
D	500
M	1 000

Рисунок 3 - Римская система счисления

Рисунок 4 - Предполагаемое происхождение римских цифр

Числа в этой системе, так же как и у нас записывались слева направо, от больших к меньшим. Например, XI = 11, XII = 12, XIII = 13, но следующее число уже особенное, так как такое число «XIIII» писать неудобно, римляне придумали сокращения, они стали писать так XIV = 14, т.е. 10+5-1 = 14. Т.е. если цифра с меньшим значением записывалась перед цифрой с большим значением, то происходило ее вычитание. Так же записывалось число 9 = IX. И кроме этого нельзя было писать четыре одинаковые цифры подряд, например, «XXXX» = XL (50-10) = 40.

О происхождении римских цифр достоверных сведений нет. В римской нумерации явственно сказываются следы пятеричной системы счисления. В языке римлян никаких следов пятеричной системы нет. Значит, эти цифры были заимствованы римлянами у другого народа (скорее всего этрусков). Такая нумерация преобладала в Италии до XIII века, а в других странах Западной Европы - до XVI века.

Римскими цифрами пользовались очень долго. Еще 200 лет назад в деловых бумагах числа должны были обозначаться римскими цифрами (считалось, что обычные арабские цифры легко подделать). С нею мы достаточно часто сталкиваемся в повседневной жизни. Это номера глав в книгах, указание века, числа на циферблате часов, и т. д.

2.3 Древнегреческая аттическая пятеричная

В древнейшее время в Греции была распространена так называемая Аттическая система счисления, название происходит от области Греции - Аттики со столицей Афины.

В этой системе числа 1, 2, 3, 4 изображались соответствующим количеством вертикальных полосок: ,,,. Число 5 записывалось знаком (древнее начертание буквы "Пи", с которой начиналось слово "пять" - "пенте"). Числа 6, 7, 8, 9 обозначались сочетаниями этих знаков:

Рисунок 5 - Примеры чисел 6, 7, 8, 9 в Древнегреческой аттической системе счисления

Число 10 обозначалось - заглавной "Дельта" от слова "дека" - "десять". Числа 100, 1 000 и 10 000 обозначались H, X, M. Числа 50, 500, 5 000 обозначались комбинациями чисел 5 и 10, 5 и 100, 5 и 1 000, а именно:

Рисунок 6 - Примеры чисел большего порядка в Древнегреческой аттической системе счисления

2.4 Древнегреческая ионийская десятеричная алфавитная

Примерно в третьем веке до нашей эры аттическая система счисления в Греции была вытеснена другой, так называемой "Ионийской" системой (она возникла в Милеете - греческая малоазиатская колония Ионии). В ней числа 1 - 9 обозначаются первыми буквами древнегреческого алфавита:

Рисунок 7 - Древнегреческая ионийская десятеричная алфавитная система счисления

Для обозначения тысяч и десятков тысяч пользовались теми же цифрами, но только с добавлением особого значка. Любая буква с этим значком сразу же становилась в тысячу раз больше.

Рисунок 8 - Для отличия цифр и букв писали черточки над цифрами

Древние евреи, арабы и многие другие народы Ближнего Востока имели такие же системы счисления.

При ее помощи можно было просто записать числа до ста миллионов (100 000 000). Эта система по быстроте счета мало отличается от «арабской». И хоть она не позиционная, но в ней есть мультипликативность.

2.5 Славянская глаголическая десятеричная

Эта система была создана для обозначения чисел в священных книгах западных славян. Использовалась она нечасто, но достаточно долго. По организации она в точности повторяет греческую нумерацию. Использовалась она с VIII по XIII в.

1	10	100	1 000
2	20	200
3	30	300
4	40	400
5	50	500
6	60	600
7	70	700
8	80	800
9	90	900

Рисунок 9 - Славянская глаголическая десятеричная система счисления

Числа записывали из цифр так же слева, направо, от больших к меньшим цифрам. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то его пропускали. Такая запись числа аддитивная, то есть в ней используется только сложение:

= 800+60+3 = 863

Для того чтобы не перепутать буквы и цифры, использовались титла - горизонтальные черточки над числами, или точки.

2.6 Славянская кириллическая десятеричная алфавитная

Эта нумерация была создана вместе со славянской алфавитной системой для перевода священных библейских книг для славян греческими монахами братьями Кириллом и Мефодием в IX веке. Эта форма записи чисел получила большое распространение в связи с тем, что имела полное сходство с греческой записью чисел. До XVII века эта форма записи чисел была официальной на территории современной России, Белоруссии, Украины, Болгарии, Венгрии, Сербии и Хорватии. До сих пор православные церковные книги используют эту нумерацию.

Рисунок 10 - Славянская кириллическая десятеричная алфавитная

Числа записывали из цифр так же слева направо, от больших к меньшим. Числа от 11 до 19 записывались двумя цифрами, причем единица шла перед десятком:

Читаем дословно "четырнадцать" - "четыре и десять". Как слышим, так и пишем: не 10+4, а 4+10, - четыре и десять. Числа от 21 и выше записывались наоборот, сначала писали знак полных десятков.

Запись числа, использованная славянами аддитивная, то есть в ней используется только сложение:

= 800+60+3

Для того чтобы не перепутать буквы и цифры, использовались титла - горизонтальные черточки над числами, что мы видим на рисунке.

Для обозначения чисел больших, чем 900 использовались специальные значки, которые дорисовывались к букве. Так образовывались числа:

	Тысяча	1000
	Тьма	10 000
	Легион	100 000
	Леодр	1 000 000
	Ворон	10 000 000
	Колода	100 000 000

Рисунок 11 - Специальные значки для обозначения больших чисел

Славянская нумерация просуществовала до конца XVII столетия, пока с реформами Петра I в Россию из Европы не пришла позиционная десятичная система счисления.



2.7 Древнеиндийские системы счисления

Система счисления кхарошти имела хождение в Индии между VI веком до нашей эры и III веком нашей эры. Эта была непозиционная аддитивная система счисления. О ней мало что известно, так как сохранилось мало письменных документов той эпохи. Система кхарошти интересна тем, что в качестве промежуточного этапа между единицей и десятью выбирается число четыре. Числа записывались справа налево.

Наряду с этой системой существовала в Индии еще одна система счисления брахми.

Числа брахми записывались слева направо. Однако в обеих системах было немало общего. В частности первые три цифры очень похожи. Общим было то, что до сотни применялся аддитивный способ, а после мультипликативный. Важным отличием цифр брахми было то, что цифры от 4 до 90, были представлены только одним знаком. Эта особенность цифр брахми в дальнейшем была использована при создании в Индии позиционной десятичной системы.

В древней Индии так же была словесная система счисления. Она была мультипликативная, позиционная. Знак нуля произносился как «пустое», или «небо», или «дыра». Единица как «луна», или «земля». Двойка как «близнецы», или «глаза», или «ноздри», или «губы». Четыре как «океаны», «стороны света». Например, число 2441 произносилось так: глаза океанов стороны света луны.

2.8 Недостатки непозиционной системы счисления

Непозиционные системы счисления имеют ряд существенных недостатков:

1. Существует постоянная потребность введения новых знаков для записи больших чисел.

2. Невозможно представлять дробные и отрицательные числа.

3. Сложно выполнять арифметические операции, так как не существует алгоритмов их выполнения. В частности, у всех народов наряду с системами счисления были способы пальцевого счета, а у греков был счетная доска абак - что-то наподобие наших счетов.

Но мы до сих пор пользуемся элементами непозиционной системы счисления в обыденной речи, в частности, мы говорим сто, а не десять десятков, тысяча, миллион, миллиард, триллион.

Далее рассмотрим позиционные системы счисления.



3. Позиционные системы счисления

3.1 Вавилонская десятеричная / шестидесятеричная

В древнем Вавилоне примерно во II тысячелетие до нашей эры была такая система счисления - числа менее 60 обозначались с помощью двух знаков: для единицы, и для десятка. Они имели клинообразный вид, так как вавилоняне писали на глиняных табличках палочками треугольной формы. Эти знаки повторялись нужное число раз, например

- 3; - 20; - 32; -

59

Числа больше 60 записывались по разрядам, с небольшими пробелами между ними:

Так записывается число 302, то есть 5*60+2

			1*60*60+2*60+5 = 3725

А это 1*60*60+2*60+5 = 3725.

Но представление не которых чисел в этой системе будет одинаковым, например, число 302, может быть и равно и 5*60*60 + 2 = 18002. Так как нет значка для обозначения нуля.

Лишь в V веке до нашей эры был введен особый знак - наклонный клин для обозначения пропущенных разрядов, игравший роль нуля.

			2*60*60+3 = 7203

это запись числа 7203 (2*60*60+3)

Однако отсутствие низшего разряда не обозначалось, и поэтому число 180 = 3*60 записывалось так , а обозначать эта запись могла и 3, и 180, и 10800 (3*60*60), и т. д.

Считается, что десятичная система была у шумеров, а после того как их завоевали семиты, их система была приспособлена под шестидесятеричную систему семитов.

Шестидесятеричная запись целых чисел не получила широкого распространения за пределами Ассиро-вавилонского царства, но шестидесятеричные дроби применяются до сих пор при измерении времени. Например, одна минута = 60 секунд, один час = 60 минут.

3.2 Древнекитайская десятеричная

Эта система одна из старейших и самых прогрессивных, поскольку в нее заложены такие же принципы, как и в современную «арабскую», которой мы с Вами пользуемся. Возникла эта система около 4 000 тысяч лет тому назад в Китае.

Числа в этой системе, так же как и у нас записывались слева направо, от больших к меньшим. Если десятков, единиц или какого-то другого разряда не было, то сначала ничего не ставили и переходили к следующему разряду. (Во времена династии Мин был введен знак для пустого разряда - кружок - аналог нашего нуля). Чтобы не перепутать разряды использовали несколько служебных иероглифов, писавшихся после основного иероглифа, и показывающих какое значение принимает иероглиф-цифра в данном разряде.

	1		6
	2		7
	3		8
	4		9
	5	O	0
10	100	1 000	10 000

Рисунок 12 - Древнекитайская десятеричная система счисления

4.3 Двадцатеричная система счисления индейцев Майя или долгий счет

Эта система очень интересна тем, что на ее развитие не повлияла ни одна из цивилизаций Европы и Азии. Эта система применялась для календаря и астрономических наблюдений. Характерной особенностью ее было наличие нуля (изображение ракушки). Основанием этой системы было число 20, хотя сильно заметны следы пятеричной системы. Первые 19 чисел получались путем комбинирование точек (один) и черточек (пять).



У индейцев Майя 20 дней-кинов образовывали месяц или уинал. 18 месяцев-уиналов образовывали год или туну (360 дней в году) и так далее:

К'ин = 1 день. Виналь = 20 к'ин = 20 дней. Тун = 18 виналь = 360 дней = около 1 года. К'атун = 20 тун = 7200 дней = около 20 лет. Бак'тун = 20 к'атун = 144000 дней = около 400 лет. Пиктун = 20 бак'тун = 2880000 дней = около 8000 лет. Калабтун = 20 пиктун = 57 600 000 дней = около 160000 лет. К'инчильтун = 20 калабтун = 1152000000 дней = около 3200000 лет. Алавтун = 20 к'инчильтун = 23040000000 дней = около 64000000 лет.

Рисунок 13 - Пример обозначения количества дней

Это довольно сложная система счисления, в основном использовалась жрецами для астрономических наблюдений, другая система индейцев Майя была аддитивной, похожей на египетскую и применялась в повседневной жизни.



4. История «арабских» чисел

История наших привычных «арабских» чисел очень запутана. Нельзя сказать точно и достоверно, как они произошли. Вот один из вариантов этого истории этого происхождения. Одно точно известно, что именно благодаря древним астрономам, а именно их точным расчетам мы и имеем наши числа.

Как мы уже знаем, в вавилонской системе счисления присутствует знак для обозначения пропущенных разрядов. Примерно во II веке до н.э. с астрономическими наблюдениями вавилонян познакомились греческие астрономы (например, Клавдий Птолемей). Они переняли их позиционную систему счисления, но целые числа они записывали не с помощью клиньев, а в своей алфавитной нумерации, а дроби в вавилонской шестидесятеричной системой счисления. Но для обозначения нулевого значения разряда греческие астрономы стали использовать символ "0" (первая буква греческого слова Ouden - ничто).

Между II и VI веками н.э. индийские астрономы познакомились с греческой астрономией. Они переняли шестидесятеричную систему и круглый греческий нуль. Индийцы соединили принципы греческой нумерации с десятичной мультипликативной системой взятой из Китая. Так же они стали обозначать цифры одним знаком, как было принято в древнеиндийской нумерации брахми. Это и был завершающий шаг в создании позиционной десятичной системы счисления.

Блестящая работа индийских математиков была воспринята арабскими математиками и Аль-Хорезми в IX веке написал книгу "Индийское искусство счета", в которой описывает десятичную позиционную систему счисления. Простые и удобные правила сложения и вычитания сколь угодно больших чисел, записанных в позиционной системе, сделали ее особенно популярной в среде европейских купцов.

В XII в. Хуан из Севильи перевел на латынь книгу "Индийское искусство счета", и индийская система счета широко распространилась по всей Европе. А так как труд Аль-Хорезми был написан арабском языке, то за индийской нумерацией в Европе закрепилось неправильное название - "арабская". Но сами арабы именуют цифры индийскими, а арифметику, основанную на десятичной системе - индийским счетом.



5. История нуля

Нуль бывает разный. Во-первых, нуль - это цифра, которая используется для обозначения пустого разряда; во-вторых, нуль - это необычное число, так как на нуль делить нельзя и при умножении на нуль любое число становиться нулем; в-третьих, нуль нужен для вычитания и сложения, иначе, сколько будет, если из 5 вычесть 5?

Впервые нуль появился в древневавилонской системе счисления, он использовался для обозначения пропущенных разрядов в числах, но такие числа как 1 и 10 у них записывали одинаково, так как нуль в конце числа у них не ставился. В их системе нуль выполнял роль пробела в тексте.

Изобретателем формы нуля можно считать великого греческого астронома Птолемея, так как в его текстах на месте знака пробела стоит греческая буква омикрон, очень напоминающая современный знак нуля. Но Птолемей использует нуль в том же смысле, что и вавилоняне.

На стенной надписи в Индии в IX веке н.э. впервые символ нуля встречается в конце числа. Это первое общепринятое обозначение современного знака нуля. Именно индийские математики изобрели нуль во всех его трех смыслах. Например, индийский математик Брахмагупта еще в VII века н.э. активно стал использовать отрицательные числа и действия с нулем. Но он утверждал, что число, деленное на нуль, есть нуль, что конечно ошибка, но настоящая математическая дерзость, которая привела к другому замечательному открытию индийских математиков. И в XII веке другой индийский математик Бхаскара делает еще попытку понять, что же будет при делении на нуль. Он пишет: "количество, деленное на нуль, становится дробью, знаменатель которой равен нулю. Эту дробь называют бесконечностью".

Леонардо Фибоначчи, в своем сочинении "Liber abaci" (1202) называет знак 0 по-арабски zephirum. Слово zephirum - это арабское слово as-sifr, которое произошло от индийского слова sunya, т. е. пустое, служившего названием нуля. От слова zephirum произошло французское слово zero (нуль) и итальянское слово zero. С другой стороны, от арабского слова as-sifr произошло русское слово цифра. Вплоть до середины XVII века это слово употреблялось специально для обозначения нуля. Латинское слово nullus (никакой) вошло в обиход для обозначения нуля в XVI веке.

Нуль - это уникальный знак. Нуль - это чисто абстрактное понятие, одно из величайших достижений человека. Его нет в природе окружающей нас. Без нуля можно спокойно обойтись в устном счете, но невозможно обойтись для точной записи чисел. Кроме этого, нуль находится в противовесе всем остальным числам, и символизирует собой бесконечный мир. И если “все есть число”, то ничто есть все!



Заключение

В заключение могу сказать, что в разных системах счисления есть схожие элементы, например, наличие нуля (как в Древнекитайской десятеричной системе счисления и двадцатеричной системе счисления индейцев Майя), счет путем добавления палочек (как в Древнеегипетской десятеричной, Римской пятеричной и Древнегреческой аттической пятеричной системах счисления), замена чисел на алфавитные символы с добавлением титлы (как в Древнегреческой ионийской десятеричной алфавитной и Славянской кириллической десятеричной алфавитной системах счисления).

Также не могу не отметить, что в некоторых системах счисления отсутствует обозначение нуля, как абстрактного понятия. Тем самым люди усложняли систему счета, добавляя все новые и новые элементы, обозначающие десятки.

Исследуя системы счисления Древнего мира, я сделала вывод, что каждая система по-своему хороша, но также имеет свои недостатки. Также я считаю, что человечество выбрало самый эффективный метод счета с помощью арабской системы счисления, потому что она наиболее удобна в использовании современным обществом.



Список использованной литературы

1. В. Лёвшин, Три дня в Карликании, 1966

2. Всевозможные нумерации и системы счисления (http://www.megalink.ru/~agb/n/numerat.htm)

3. А.П. Юшкевич, История математики, Том 1, 1970

4. Г.И. Глейзер, История математики в школе, 1964

5. И.Я. Депман, История арифметики, 1965

6. А. Костинский, В. Губайловский, Триединый нуль (http://www.svoboda.org/programs/sc/2004/sc.011304.asp)

7. Кузьмищев В.А. Тайна жрецов майя. 2-е изд. -- М., «Молодая гвардия», 1975

Размещено на Allbest.ru