Применение теоремы Виета при решении квадратных уравнений с параметром

Размещено на http://www.allbest.ru/

Муниципальное образовательное учреждение

«Средняя образовательная школа №109»

Проект

Применение теоремы Виета при решении квадратных уравнений с параметром

Авторы проекта: Токарева Ксения

и Андреева Дарья

г. Трехгорный, 2008

Содержание

Теоретические сведенья

Практическая часть

Биографическая справка

Теорема

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Рассмотрим приведенное квадратное уравнение. Обозначим второй коэффициент буквой p, а свободный член буквой q:

х + px + q = 0

Дискриминант этого уравнения D равен p - 4q.

Пусть D 0. Тогда это уравнение имеет два корня:

х = и х =

Найдем сумму и произведение корней:

Итак,

х + х = -p, х х = q.

Теорема доказана.

Практическая часть

1) xІ - (2a + 1) x + aІ + 2 = 0, при каком значении а один корень в 2 раза больше другого. Или один корень в 2 раза больше другого, то если x1 =x1, то x2=2x

D>0 4a - 7>02 a>4:7

x1+x2 = 2a + 1 3x = 2a + 1 x = (2a - 1):3 > =>

x1x2 = aІ + 2 2xІ = aІ + 2a xІ = (aІ + 2):2

=> (aІ+2):2 = ((2a+1):3)І

a = 4, 4>4:7 => Ответ: a = 4

2) 2xІ - 2ax + aІ - 2 = 0, при каком значении а сумма обратных величин корней уравнения равна 2:3?

1. D=0, D=4aІ - 4(aІ - 2)·2 = -4aІ +16, -4aІ + 16=0

2. x1 + x2 = 2a:2

, по уравнению 1:x1 + 1:x2 = 2:3

x1·x2 = (aІ - 2):2 (x1 + x2):x1x2 = 2:3 -

a1 = (3 + v17):2 - D не будет ? 0, значит не подходит a:(aІ-2):2… =

= 2:3

a2 = (3 - v17):2 - при этом а D?0! => Ответ: (3 - v17):2

3) xІ - ax + a + 7 = 0, при каком значении а сумма квадратов корней = 10?

1. D=0, D = aІ - 4a - 28 => aІ - 4a -28 = 0

2. x1 + x2 = a - …в квадрат

x1x2 = a + 7

x1І + 2x1x2 + x2І = aІ

x1І + x2І = aІ - 2x1x2 => x1І = x2І = aІ - 2(a + 7)

a + 7 10 по условию

aІ - 2a - 14 = 10

…

a1 = 6 - не подходит, т. D<0, a2 = -4

Ответ: -4

4) (a - 5a + 3) x + (3a - 1) x + 2 = 0,

При каком a отношение корней равно 2?

= 2, x = 2x

1. Д 0, Д = 41а - 30а + 1 0.

2.

х + х =

х х =

3х =

2х =

х =

х =

(1 - 3а) (а - 5а + 3) = 9(а - 5а + 3)

(1 - 3а) (а - 5а + 3) - 9(а - 5а + 3) = 0

(а - 5а + 3) ((1 - 3а) - 9(а - 5а + 3)) = 0

1 - 6а + 9 - 9а + 45а - 27 = 0

39а - 26 = 0

а =

а - 5а + 3 = 0 в этом случае коэффициент равен 0 и корень будет только один.

Ответ:

5) х - 2х + с = 0,

При каком с и b исполнится условие 7х - 4х = 47?

1. Д 0, Д = 4 - 4с, 4 - 4с 0, с 1.

2.

х + х =

х х = с

х + х = 2

7х - 4х = 47

4х + 4х = 8

- 4х + 7х = 47

11х = 55

х = 5, тогда х = -3

с = х х = 5(-3) = -15

Ответ: -15.

Биографическая справка. Франсуа Виет

квадратный уравнение виет алгебраический буквенный

Франсуа Виет родился в 1540 году в городе Фонтене ле-Конт провинции Пуату. Получив юридическое образование, он с девятнадцати лет успешно занимался адвокатской практикой в родном городе. Как адвокат Виет пользовался авторитетом и уважением. Он был широко образованным человеком. Знал астрономию и математику и все свободное время отдавал этим наукам.

Преподавая частным образом астрономию дочери одной знатной клиентки, Виет пришел к мысли оставить труд, посвященный усовершенствованию птолемеевской системы. Затем он приступил к разработке тригонометрии и приложению ее к решению алгебраических уравнений.

Главной страстью Виета была математика. Он глубоко изучил сочинения классиков Архимеда и Диофанта, ближайших предшественников Кардано, Бомбелли, Стевина и других. Виета они не только восхищали, в них он видел большой изъян, заключающийся в трудности понимания из-за словесной символики.

Почти все действия и знаки записывались словами, не было намека на те удобные, почти автоматические правила, которыми мы сейчас пользуемся. Нельзя было записывать и, следовательно, изучать в общем виде алгебраические уравнения или какие-нибудь другие алгебраические выражения. Каждый вид уравнения с числовыми коэффициентами решался по особому правилу. Так, например, у Кардано рассматривались 66 видов алгебраических уравнений. Поэтому необходимо было доказать, что существуют такие общие действия над всеми числами, которые от этих самих чисел не зависят.

Виет и его последователи установили, что не имеет значения, будет ли рассматриваемое число количеством предметов или длиной отрезка. Главное, что с этими числами можно производить алгебраические действия и в результате снова получать числа того же рода. Значит, их можно обозначить какими-либо отвлеченными знаками. Виет это и сделал. Он не только ввел свое буквенное исчисление, но сделал принципиально новое открытие, поставив перед собой цель, изучать не числа, а действия над ними.

В последние годы жизни Виет занимал важные посты при дворе короля Франции. Умер он в Париже в самом начале семнадцатого столетия. Подозревают, что он был убит.

Размещено на Allbest.ru