Способи обчислення середньої арифметичної величини

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

1. Середня арифметична проста і зважена, їх математичні властивості і спрощені способи обчислення

Середня арифметична величина є найбільш поширеним видом середньої. Вона використовується у тому випадку, коли обсяг варіюючої ознаки одержується як сума індивідуальних значень. Середня арифметична величина має таку загальну логічну формулу розрахунку:

У тому випадку, коли середня величина визначається на основі індивідуальних, тобто незгрупованих даних, використовується формула середньої арифметичної простої:

Наприклад, відомий рівень місячної оплати за житлово-комуальні послуги 12 сімей: 286, 378, 183, 295, 363, 280, 276, 292, 358, 265, 275, 373 грн. Середній рівень оплати становить:

Якщо вихідні дані є результатом групування, тобто відомий дискретний або інтервальний ряд розподілу, використовується формула середньої арифметичної зваженої:

де х - варіанти; f - частоти; m - число груп.

Наприклад, відомий дискретний ряд розподілу пацієнтів за терміном їх госпіталізації у днях:

У багатьох випадках вихідні дані для визначення середньої арифметичної являють собою інтервальний ряд розподілу. Тоді спочатку інтервальний ряд розподілу перетворюється у дискретний шляхом знаходження середини кожного інтервалу, а далі розрахунок здійснюється як у попередньому випадку за формулою середньої арифметичної зваженої.

Наприклад, відомий ряд розподілу за розміром штрафу:

Середній розмір штрафу:

середній арифметичний величина динамічний ряд

Якщо вихідні дані являють собою результат групування і відомі середні значення показника по кожній групі (групові середні), то розрахунок загальної середньої здійснюється виключно за формулою середньої арифметичної зваженої:

Наприклад, групування вкладників за розміром вкладу:

Загальна середня дорівнює:

Середня арифметична величина має ряд властивостей, що використовуються при обчисленнях:

1. При збільшенні або зменшенні кожної частоти в к разів, середня не зміниться.

2. При збільшенні або зменшенні кожної варіанти в к разів середня зміниться в стільки ж разів

3. При збільшенні або зменшенні кожної варіанти та сталу величину А, середня зміниться на цю ж величину

4. Сума відхилень значень ознаки (варіант) від середньої арифметичної дорівнює нулю:

5. Середня арифметична, що помножена на чисельність сукупності, дорівнює обсягу ознаки

6. Сума квадратів відхилень варіант від середньої арифметичної є мінімальною величиною із всіх можливих

Властивість 1 свідчить про те, що середню арифметичну можна визначити як за абсолютними, так і за відносними частотами.

Властивості 2 та 3 використовуються для спрощення підрахунків середньої арифметичної зваженої в інтервальних рядах розподілу (метод «моментів»). Середнє значення при використанні цього методу визначається за формулою:

де: m1 -- момент першого порядку;

і -- величина інтервалу;

А -- середина інтервалу з найбільшою частотою.

2. Ряди динаміки, їх види і основні характеристики

Динамічний ряд - це розміщені у хронологічній послідовності значення певного статистичного показника. Складовими динамічного ряду є ознака часу t (момент або інтервал) та числові значення показника - рівні yt. Відповідно до класифікації показників за ознакою часу динамічні ряди поділяються на моментні та інтервальні. У моментних рядах рівні фіксують стан явища на певні моменти часу, в інтервальних - агрегований результат за певний проміжок часу. Приклади зазначених рядів динаміки наведено у табл. 1: поквартальні обсяги використання води у місті - це інтервальний ряд, запаси водних ресурсів на кінець кварталу - моментний ряд.

Таблиця 1

Рівні динамічних рядів змінюються, варіюють. Узагальнюючою їх характеристикою є середній рівень, який в інтервальному ряді розраховується за формулою середньої арифметичної простої, а в моментному - за формулою середньої хронологічної. За даними табл. 1. середньоквартальний обсяг використання води у місті становив

,

а середньоквартальні запаси водних ресурсів

.

Вивчаючи особливості розвитку еколого-географічних явищ, вивчають абсолютні та відносні характеристики динаміки: абсолютний приріст та абсолютне значення 1 % приросту; темп зростання (індекс) та темп приросту. Розрахунок їх грунтується на порівнянні рівнів динамічного ряду. Якщо база порівняння постійна, характеристики динаміки називають базисними, якщо база порівняння змінна - ланцюговими.

Абсолютний приріст (зменшення) ?t - це різниця рівнів динамічного ряду. Ланцюгові ?t =yt-yt-1 , базисні ?t =yt-y0 .

Темп зростання kt розраховується як відношення рівнів ряду; виражається коефіцієнтом або відсотком: ланцюгові , базисні .

Добуток ланцюгових kt дорівнює кінцевому базисному:

Темп приросту Tt показує, на скільки відсотків рівень yt більше (менше) рівня, взятого за базу порівняння. Його можна визначити як відношення абсолютного приросту до бази порівняння або безпосередньо на основі темпу зростання. Так, для ланцюгових характеристик:

.

Аналогічно взаємопов'язані і базисні характеристики динаміки.

Абсолютне значення 1% приросту показує, чого вартий один відсоток; розраховується як співвідношення абсолютного приросту і темпу приросту. Алгебраїчно це співвідношення дорівнює 0,01 рівня, взятого за базу порівняння:

.

Для базисних темпів приросту значення А% однакові.

Література:

1. Єріна А.М., Пальян З.О. Теорія статистики: Практикум. - К.: Товариство “Знання”, КОО, 1997.-325 с.

2. Сергеев Г.А. Якурш Д.А. Статистические методы исследования природных объектов.- Л.: Гидрометеоиздат, 1973.- 300 с.

3. Трудова М.Г. Статистический анализ природоохранной деятельности в регионе.- М: Изд-во МГУ, 1989.- 150 с.

Размещено на Allbest.ru