21

Размещено на http://www.allbest.ru

21

Министерство науки и профессионального образование

Республики Саха (Якутия)

Автономная некоммерческая организация

Региональный технический колледж в г. Мирном

РЕФЕРАТ

По геометрии

на тему:

«Геометрия в пространстве»

В своей деятельности человеку повсюду приходится сталкиваться с необходимостью изучать форму, размеры, взаимное расположение пространственных фигур. Подобные задачи решают и астрономы, имеющие дело с самыми большими масштабами, и физики, исследующие структуру атомов и молекул. Раздел геометрии, в котором изучаются такие задачи, называется стереометрией (от греческого «стереос»- объемный, пространственный).

Может показаться парадоксальным, но фактически понятие «плоскость» в планиметрии- геометрии на плоскости - не нужно. Ведь если мы, например, говорим, что в плоскости многоугольника дана точка, мы тем самым подразумеваем, что такие точки существуют и вне этой плоскости. В планиметрии такое предположение излишние: все происходит в одной и той же единственной плоскости. В стереометрии нам приходится иметь дело уже с несколькими плоскостями. В каждой из них сохраняют свою силу все известные из планиметрии определения и теоремы, относящиеся к точкам, прямым, расстояниям и т.д., но свойства самих плоскостей необходимо описывать отдельно.

Содержание

Основные аксиомы стереометрии

Прямые, плоскости, параллельность

Изображение пространственных фигур

Перпендикулярность. Углы. Расстояния

Несколько задач на построение, воображение, изображение и соображение

Основные аксиомы стереометрии

Итак, в стереометрии к основным понятиям планиметрии добавляется еще одно - плоскость, а вместе с ним - аксиомы, регулирующие «взаимоотношения» плоскостей с другими объектами геометрии. Таких аксиом три.

Первая- аксиома выхода в пространство - придает «театру геометрических действий» новое, третье измерение:

· Имеется четыре точки, не лежащие в одной плоскости (рис. 1)

Таким образом, не все точки находятся в одной плоскости. Но этого недостаточно. Нужно, чтобы различных плоскостей было бесконечно много. Это обеспечивается второй аксиомой- аксиомой плоскости:

· Через любые три точки проходит плоскость.

Аксиома пересечения плоскостей звучит так:

· Если две плоскости имеют общую точку, то их пересечение есть прямая.

Действительно, если через какие- то три точки проходят две разные плоскости, то через эти точки можно провести прямую, а именно прямую, по которой плоскости пересекаются. Отметим, что последнее свойство само нередко включается в аксиомы.

Третья аксиома играет очень существенную и неочевидную с первого взгляда роль в стереометрии: она делает пространство в точности трехмерным, потому что в пространствах размерности четыре и выше плоскости могут пересекаться по одной точке. К трем указанным так же присоединяются планометрические аксиомы, переосмысленные и подправленные с учетом того, что теперь мы имеем дело не с одной, а с несколькими плоскостями. Например, аксиому прямой - через две различные точки можно провести одну и только одну прямую - переносят в стереометрию дословно, но только она уже распространяется на две точки пространства.

В качестве следствия выведем прямо из аксиом одно полезное следствие: прямая, имеющая с плоскостью хотя бы две общие точки, целиком лежит в этой плоскости.

Пусть прямая l проходит через точки А и В плоскости б (рис. 3). Вне плоскости б есть хотя бы одна точка С (по аксиоме выхода в пространство). В соответствии с аксиомой плоскости через А,В и С можно провести плоскость в. Она отлична от плоскости б, так как содержит С и имеет с б две общие точки. Значит, в пересекается с б по прямой, которой, как и l, принадлежат А, В. По аксиоме прямой, линия пересечения плоскостей совпадает с l. Но эта линия лежит в плоскости б, что и требовалось доказать.

Путем несложных доказательств мы находим, что:

· На каждой плоскости выполняются все утверждения планиметрии.

Прямые, плоскости, параллельность

Уже такое основное понятие, как параллельность прямых, нуждается в новом определении:

две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Так что не попадайтесь в одну из излюбленных экзаменаторами ловушек -- не пытайтесь «доказывать», что через две параллельные прямые можно провести плоскость: это верно по определению параллельности прямых! Знаменитую планиметрическую аксиому о единственности параллельной включают и в аксиомы стереометрии, а с её помощью доказывают главное свойство параллельных прямых в пространстве:

· Через точку, не лежащую на прямой, можно провести одну и только одну прямую параллельно данной.

· Если две прямые а и b параллельны третьей прямой с, то они параллельны друг другу.

Но доказать это свойство в стереометрии сложнее. На плоскости непараллельные прямые обязаны пересекаться и потому не могут быть одновременно параллельны третьей (иначе нарушается аксиома параллельных). В пространстве существуют непараллельные и притом непересекающиеся прямые -- если они лежат в разных плоскостях. О таких прямых говорят, что они скрещиваются.

На рис. 4 изображён куб; прямые АВ и ВС пересекаются, АВ и CD -- параллельны, а АВ и В?С? -- скрещиваются. В дальнейшем мы часто будем прибегать к помощи куба, чтобы иллюстрировать понятия и факты стереометрии. Наш куб склеен из шести граней-квадратов. Исходя из этого, мы будем выводить и другие его свойства. Например, можно утверждать, что прямая АВ параллельна C?D?, потому что обе они параллельны общей стороне CD содержащих их квадратов.

В стереометрии отношение параллельности рассматривается и для плоскостей: две плоскости или прямая и плоскость параллельны, если они не имеют общих точек. Прямую и плоскость удобно считать параллельными и в том случае, когда лежит в плоскости. Для плоскостей и прямых справедливы теоремы о транзитивности:

· Если две плоскости параллельны третьей плоскости, то они параллельны между собой.

· Если прямая и плоскость параллельны некоторой прямой( или плоскости), то они параллельны друг другу.

· Прямая параллельна плоскости, если она параллельна некоторой прямой в этой плоскости.

А вот признак параллельности плоскостей:

· Если две пересекающиеся прямые в одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым в другой плоскости, то и плоскости параллельны.

Часто используется и такая простая теорема:

· Прямые, по которым две параллельные плоскости пересекаются третьей, параллельны друг другу.

Посмотрим еще раз на куб (рис. 4). Из признака параллельности прямой и плоскости следует, например, что прямая А?В? параллельна плоскости АВСD (так как она параллельна прямой АВ в этой плоскости), а противоположные грани куба, в частности А?В?С?D? и ABCD, параллельны по признаку параллельности плоскостей: прямые A?B? и B?С? в одной грани соответственно параллельны прямым АВ и ВС в другой. И чуть менее простой пример. Плоскость, содержащая параллельные прямые AA? и СС?, пересекают параллельные плоскости АВСD и A?B?C?D? по прямым АС и А?С?, значит, эти прямые параллельны: аналогично, параллельные прямые В?С и А?D. Следовательно, параллельные плоскости АВ?С и А?DC, пересекающие куб по треугольникам.

Изображение пространственных фигур

единственная польза, которую мы извлекли из сопровождавшего их рисунка куба, состоит в том, что он сэкономил нам место на объяснении обозначений. С тем же успехом можно было изобразить его, как тело на рис. 4, я, хотя, очевидно, представленное на нём «нечто» не только не куб, но и не многогранник. И всё же в приведённом афоризме заключена лишь часть правды. Ведь прежде, чем «рассуждать» -- излагать готовое доказательство, надо его придумать. А для этого нужно ясно представлять себе заданную фигуру, соотношения между её элементами. Выработать такое представление помогает хороший чертёж. Более того, как мы увидим, в стереометрии удачный чертёж может стать не просто иллюстрацией, а основой решения задачи.

Художник (вернее, художник-реалист) нарисует наш куб таким, каким мы его видим (рис. 5, б), т. е. в перспективе, или центральной проекции.

При центральной проекции из точки О (центр проекции) на плоскость а произвольная точка Х изображается точкой X', в которой а пересекается с прямой ОХ (рис. 6). Центральная проекция сохраняет прямолинейное расположение точек, но, как правило, переводит параллельные прямые в пересекающиеся, не говоря уже о том, что изменяет расстояния и углы. Изучение её свойств привело к появлению важного раздела геометрии (см. статью «Проективная геометрия»).

Но в геометрических чертежах используется другая проекция. Можно сказать, что она получается из центральной когда центр О удаляется в бесконечность и прямые ОХ становятся параллельными.

Выберем плоскость а и пересекающую её прямую l. Проведём через точку Х прямую, параллельную l. Точка X', в которой эта прямая встречается с а, и есть параллельная проекция Х на плоскость, а вдоль прямой l (рис. 7).

Проекция фигуры состоит из проекций всех её точек. В геометрии под изображением фигуры понимают её параллельную проекцию.

В частности, изображение прямой линии -- это прямая линия или (в исключительном случае, когда прямая параллельна направлению проекции) точка. На изображении параллельные прямые так и остаются параллельными, сохраняется здесь и отношение длин параллельных отрезков, хотя сами длины и изменяются. Всё вышесказанное можно уложить в одну короткую формулировку основного свойства параллельной проекции:

· Если АВ =k CD, а A?,B?,C? и D?- проекции точек A,B,C и D, то A?B?= k C?D?.

Черта здесь означает направленные отрезки (векторы), а равенство -- совпадение не только длин, но и направлений (рис. 7). Таким образом, если задать изображения точек А и В, то будут однозначно определены и изображения всех точек Х прямой АВ, поскольку множитель k в равенстве AX = kAB на параллельной проекции и оригинале одинаков. Аналогично, по изображениям трёх точек, не лежащих на одной прямой, однозначно восстанавливаются изображения всех точек проходящей через них плоскости, а задав изображения четырёх точек, не находящихся в одной плоскости, мы предопределяем изображения всех точек пространства.

В то же время изображением данной тройки точек, т. е. треугольника, может служить треугольник любой заданной формы. В этом легко убедиться: проведём через сторону Поданного треугольника ЛВС любую плоскость а, построим в ней треугольник АВС нужной формы и спроектируем треугольник АВС на б вдоль прямой l = СС? (рис. 8). Взяв в качестве А В С равнобедренный прямоугольный треугольник и достроив его до квадрата ABCD, увидим, что в параллельной проекции квадрат легко превращается в любой параллелограмм. Более того, можно доказать, что изображением любой данной треугольной пирамиды могут быть любые четыре точки, не лежащие на одной прямой, вместе с соединяющими их отрезками.

Правильно выбранное изображение помогает решать задачи. Найдём, например, отношения, в которых треугольное сечение A?BD нашего куба (рис. 9, а) делит отрезок, соединяющий середины Р и Q рёбер AD и В?С?. Посмотрим на куб со стороны бокового ребра ВВ?, а точнее говоря, спроектируем куб вдоль прямой BD па плоскость АА?С?С. Понятно, что проекцией будет сам прямоугольник АА?С?С с проведённым в нём отрезком, соединяющим середины оснований (точки В и D совпадут;

рис. 9, б); рассматриваемое сечение превратится в отрезок (рис. 9, б), а точки Р и Q станут серединами отрезков А1) и ВiCi. Очевидно, что на нашем рисунке A?Q = 3PB, а значит, РМ: MQ = 1 : 3. В силу основного свойства параллельной проекции, это равенство верно и в пространстве. Та же проекция позволяет найти отношение между частями любого проведённого в кубе отрезка, на которые он рассекается плоскостью A?BD: в частности, отрезок KQ, где К -- середина АВ. вновь делится ею в отношении 1 : 3, а диагональ АС, -- в отношении 1:2.

Ещё эффектнее решения планиметрических задач, которые получают, «выходя в пространство», т. е. представляя данную плоскую фигуру в виде изображения некоего пространственного объекта. Вот одна из таких задач, требуется построить треугольник с вершинами на трёх данных лучах ОА, 0В и ОС с общим началом О так, чтобы его стороны проходили через три данные внутри углов АОВ, ВОС к СОА точки Р, Q и R.

Это очень трудная задача. Но если мы догадаемся посмотреть на её чертёж (рис. 10, а) как на изображение трёхгранного угла с тремя точками на его гранях, то, конечно, поймем, что имеем дело с задачей на построение сечения этого угла плоскостью PQR. Решение задачи приводится на рис 10, б; кстати сказать, оно поясняет и основной прием построения сечений. Из произвольной точки Е луча ОС проектируем данные точки R и Q на плоскость ОАВ; получаем точки R? и Q?. Плоскость искомого сечения пересекает плоскость ОАВ по прямой МР. Дальнейшее очевидно.

Перпендикулярность. Углы. Расстояния

До сих пор мы, по существу, нигде не пользовались такими важными геометрическими понятиями, как расстояния и углы. Даже в нашем кубе нам достаточно было только того, что его грани- параллелограммы, равенства всех их сторон и углов на самом деле не требовалось. Чтобы иметь возможность изучать свойства куба и других пространственных фигур во всей полноте, нужны соответствующие определения. Прежде всего, расширим понятие перпендикулярности, известное из планиметрии.

Если прямая пересекает плоскость в этой плоскости, проходящей через точку Р, то говорят , что данные прямая и плоскость перпендикулярны.

Например, ясно, что ребро АА? нашего куба перпендикулярно основанию АВСD. Но как проверить, что это ребро действительно перпендикулярно любой прямой, лежащей в основе и проходящей через А? Оказывается, достаточно того, что АА? составляет прямые углы с двумя из них - АВ и АD: согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости,

· Если прямая l перпендикулярна двум пересекающимся прямым a и b, то она перпендикулярна плоскости, содержащей a и b.

Причём здесь не обязательно предполагать, что прямые a и b пересекают l: считают, что скрещивающиеся прямые перпендикулярны, если перпендикулярны параллельные им прямые, проходящие через произвольно взятую точку, в частности через точку пересечения l с плоскостью. Так что теперь можно сказать, что прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна любой лежащей в этой плоскости прямой. Справедлива такая теорема:

· Через данную точку в пространстве можно провести одну и только одну плоскость, перпендикулярную данной прямой, а также одну и только одну прямую, перпендикулярную данной плоскости.

Параллельная проекция на плоскость вдоль перпендикулярной ей прямой называется ортогональной (т. е. прямоугольной) проекцией на данную плоскость. Обычно, когда говорят просто «проекция», имеют в виду именно ортогональную проекцию. Она обладает всеми общими свойствами параллельной проекции. Но у неё есть и специфические свойства, их можно использовать при решении задач о расстояниях и углах в пространстве.

Из признака перпендикулярности прямой и плоскости выводится очень простая, но важная теорема о трёх перпендикулярах (рис. 11):

· Наклонная a к плоскости перпендикулярна к прямой l в этой плоскости тогда, когда её проекция а? на плоскость перпендикулярна l.

Наклонной к плоскости называют любую пересекающую её, но не перпендикулярную ей прямую. Оба условия в этой теореме равносильны тому, что плоскость, содержащая а и а', перпендикулярна прямой /.

Применим обе теоремы к кубу (рис. 11). Проекция АС его диагонали АC? на основание перпендикулярна диагонали основания BD; по теореме о трёх перпендикулярах, и сама диагональ АС? перпендикулярна BD. По такой же причине перпендикулярны АС? и А?В. Отсюда следует, что диагональ перпендикулярна «треугольному сечению» A?BD.

В стереометрии помимо обычных плоских углов приходится иметь дело ещё с тремя видами углов. Угол между скрещи-вающимися прямыми, по определению, равен углу между пересекающимися прямыми, которые им параллельны. Угол между прямой а и плоскостью о. равен углу между прямой а и её проекцией а' на плоскость (рис. 10), а если прямая и плоскость перпендикулярны, его принимают равным 90°. Это наименьший из углов между прямой а и любой прямой в плоскости а. Угол между пересекающимися плоскостями измеряется углом между перпендикулярами, проведёнными в этих плоскостях к линии их пересечения (рис. 13). Все названные углы принимают значения в промежутке от 0 до 90°.

Найдём, например, угол между диагоналями А?В и В?С граней нашего куба (рис. 14). Заменим прямую В?С на параллельную ей диагональ A?D противоположной грани; искомый угол равен углу BA?D, т. е. 60° (треугольник BA?D равносторонний). Угол между диагональю АС? и основанием куба равен углу САС? между прл* мой ас? и её проекцией АС на основание, т.е. arctg (C?C/AC) = arctg (1/v2]. А угол между плоскостями BDA? и BDC? (рис. 14) равен углу А?МС?, где М -- середина BD, так как прямые МА? и МС? лежат в этих плоскостях и перпендикулярны их линии пересечения BD (несложное вычисление даёт arccos (1/3)).

Расстоянием между двумя любыми фигурами называют наименьшую длину отрезка, концы которого принадлежат данным фигурам. Значит, расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость, -- он короче любой наклонной, так как гипотенуза прямоугольного треугольника короче катета. Расстояние между параллельными плоскостями, очевидно, равно расстоянию от любой точки в одной из них до другой плоскости (рис. 15, а).

Более интересен вопрос о расстоянии между двумя скрещивающимися прямыми а и b. Проведём через прямую а плоскость б, параллельную прямой b (рис. 15, б), найдем точку пересечения А ортогональной проекции b? прямой b на б и точку В прямой b, которая проектируется в точку А. Отрезок АВ перпендикулярен плоскости а и потому является общим перпендикуляром к прямым а и b. Его длина и равна расстоянию между нашими скрещивающимися прямыми.

Вместо того чтобы вычислять расстояния и углы в пространстве, часто можно находить соответствующие величины на ортогональной проекции данной фигуры. На рис. 15 показаны .те интересные ортогональные проекции куба '„' ребром длины и: прямоугольник размером а * аv2 (проекция на диагональную плоскость АСС?А? или, что то же, вдоль диагонали BD основания): и правильный шестиугольник со стороной аv2/3 (проекция вдоль диагонали куба АС?; мы видели, что прямая АС? перпендикулярна плоскости BDA?, а потому правильный треугольник BDA, со стороной аv2 в такой проекции не искажается). С помощью первой проекции можно найти, например, угол между плоскостями BDA? и BDC? -- он равен углу между красными прямыми, в которые проектируются эти плоскости. А расстояние r между двумя скрещивающимися диагоналями граней BD и В?С равно расстоянию на рис. 16, а от точки В до прямой В?С (В и B?C -- изображения первой и второй диагоналей соответственно). Подумайте почему. (Здесь важно, что общий перпендикуляр диагоналей параллелен плоскости проекции.) Легко найти, что r= а/v3. Нетрудно вычислить на той же проекции и расстояние между прямыми BD и АС? Ещё проще найти его с помощью рис. 16, б, на котором АС? превращается в точку: расстояние от последней -- центра шестиугольника -- до BD равно половине стороны шестиугольника,

т. е. а/v6.

Отметим интересное соотношение, связывающее площадь фигуры, площадь её проекции и угол между плоскостями:

· Площадь Sпр ортогональной проекцией многоугольника равна площади S многоугольника, умноженной на cos ц, где ц- угол между его плоскостью и плоскостью проекции:

Это очевидно для треугольника, одна из сторон которого совпадает с линией пересечения двух плоскостей (рис. 17) или параллельна ей. А любой многоугольник можно разбить на такие треугольники. Приближая криволинейные фигуры многоугольниками, получим, что формула площади проекции справедлива и для них.

Несколько задач на построение, вооброжение, изображение и соображение.

ЗАДАЧА 1.

Может ли рисунок 19 служить изображением многогранника с тремя четырехугольными гранями и двумя треугольными?

На рисунке 20 изображена треугольная пирамида, в которой проведены два отрезка, соединяющие точку на противоположных ребрах. Можно ли по рисунку определить, пересекаются эти отрезки в пространстве или нет? А если можно, то как?

1.

2. Нет. Прямые AD, BE, CF должны пересекаться в одной точке.

3. Можно. Отрезки пересекаются (т.е. лежат в одной плоскости) тогда и только тогда, когда либо точка пересечения синих прямых лежит на прямой АВ, либо они параллельны.