Решение уравнений и построение графиков функций, содержащих выражения со знаком модуля

Размещено на http://www.allbest.ru/

8

Средняя общеобразовательная школа №3

Реферат по математике на тему:

Решение уравнений и построение графиков функций, содержащих выражения со знаком модуля

Выполнил:

Шварц В.И.

9-Б класс

Руководитель:

Шагалина Д.Г.

Межгорье 2005

Решение уравнений и неравенств, содержащих выражения под

знаком модуля

Любое действительное число можно изобразить точкой числовой прямой. Расстояние этой точки от начала отсчёта на этой прямой равно положительному числу или нулю, если точка совпадает с началом числовой прямой.

Расстояние точки, изображающей данное число на числовой прямой, от начала этой прямой называется модулем данного числа - это геометрическое определение модуля.

; ;

Расстояние между точками плоскости обозначается с помощью знака модуля и равно:

,

где ;

Абсолютная величина вектора (модуль вектора) - длина вектора. Обозначается .

Если известны координаты вектора , то модуль вектора находится по формуле:

.

Если известны координаты начала и конца вектора , A(a;b); B(c;d), то модуль вектора можно найти по формуле:

Модуль единичного вектора равен 1, модуль нулевого вектора равен 0.

Геометрический смысл модуля удобно использовать для решения некоторых уравнений.

6 = А ; х = А9 ; х₁ = 15 ; х₂ = -3.

-3 0 6 15

С А В

При решении более сложных уравнений, содержащих выражения со знаком модуля, удобнее пользоваться алгебраическим определением модуля числа:

{

Свойства модуля:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

Для решения уравнений, содержащих два и более выражений со знаком модуля, сначала записываем уравнение без знаков модуля. Так как каждое выражение, записанное со знаком модуля, может быть как отрицательным, так и неотрицательным, то при его записи без знаков модуля надо рассмотреть оба случая отдельно.

Для уравнений, содержащих два выражения со знаком модуля, получается четыре комбинации, а для уравнений, содержащих три выражения со знаком модуля, получается восемь комбинаций без знаков модуля. Затем обязательно проверить, какие из найденных значений х удовлетворяют данному уравнению.

Но можно упростить решение таких уравнений с помощью метода интервалов.

2х - 12 = 0; х = 6; 6х + 48 = 0; х = -8.

Найденные значения х разбивают числовую прямую на три промежутка:

х<-8; -8х6; х6.

В промежутке х<-8 оба выражения, стоящие под знаком модуля, отрицательны. Получим уравнение:

- (2х-12) - (6х+48) = 160; х = -24,5к промежутку х<-8, значит является корнем уравнения. Аналогично находим корни в других промежутках.

Тест

модуль уравнение неравенство график

В приведённом ниже тесте четыре задания на решение уравнений и неравенств, содержащих знак модуля. Используются задания, которые предлагались на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения Москвы и Волгограда в разные годы.

К каждому заданию приводится подробное решение с его геометрической интерпретацией.

1. Найдите наименьшее целое решение неравенства

<2

Решение:

Исходя из определения модуля

={}

данное в условии неравенство равносильно следующему:

-2<x-10,5<2

Двойное неравенство можно записать в виде системы неравенств

Покажем решение системы на числовой оси

8,5 9 12,5

Теперь на интервале (8,5; 12,5), где пересеклись множества, выберем наименьшее число. Это 9.

Ответ: 9.

2. Найдите наибольшее целое отрицательное решение неравенства

>6

Решение:

Данное неравенство равносильно следующим:

x+3.5>3 или x+3.5<6.

Отсюда, x>2.5 или x<-9.5.

Покажем решение данных неравенств на числовой оси

-10 -9,5 2,5

На интервалах (-; -9,5) и (2,5; +) наибольшее целое отрицательное число -10.

Ответ: -10.

3. Решите уравнение

x²+-20 = 0

Решение:

Найдём корни уравнения ²+-20 = 0, = -5 или = 4. Так как 0, то = 4, следовательно, х = 4.

Ответ: 4.

4. Найдите наименьшее целое решение уравнения

Решение:

Представим это уравнение в виде системы уравнений:

Так как = х при х 0.

2х=9>0, то есть х > -4,5.

Ответ: -4

Графики функций, содержащих выражение под знаком модуля

Для построения графиков функций, содержащих знак модуля, как и при решении уравнений, сначала находят корни выражений, стоящих под знаком модуля. Эти корни разбивают числовую прямую на промежутки. График строится в каждом промежутке отдельно.

В простейшем случае, когда только одно выражение стоит под знаком модуля и нет других слагаемых без знака модуля, можно построить график функции, опустив знак модуля, и затем часть графика, расположенную в области отрицательных значений y, отобразить относительно оси Ох.

1. y = y = 0.5х

2. у == ; у = 0,5х-3

3. у =

2х -4 = 0, х = 2; 6 +3х = 0, х = -2.

В результате ось Ох разбивается на три промежутка. Убираем знаки модуля, беря каждое выражение в каждом промежутке с определённым знаком, которые находим методом интервалов.

В каждом промежутке получается функция без знака модуля. Строим график каждой функции в каждом промежутке. В области определения график представляет непрерывную прямую.

4. у = у = х² -2

Литература

1. Математика. Справочник школьника. - М.: Филологическое общество "Слово", 1995.

2. Справочник по математике. - М.: Просвещение, 1995.

3. Математические кружки в 8-10 классах. - М.: Просвещение, 1987.

4. Математика. // Еженедельная учебно-методическая газета. - №42. - Издательский дом "Первое сентября", 2003.

5. Математика. // Еженедельная учебно-методическая газета. - №41. - Издательский дом "Первое сентября", 2002.

Размещено на Allbest.ru