От Евклида до Лобачевского

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

содержание

Введение

1. Жизнь и математические взгляды Евклида

2. Основоположники неевклидовой геометрии

Заключение

Список использованных источников

Введение

Геометрия - это одна из древнейших наук. Исследовать различные пространственные формы издавна побуждало людей их практическая деятельность. Древнегреческий ученый Эвдем Родосский в IV веке до нашей эры писал: «Геометрия была открыта египтянами, и возникла при измерении Земли. Это измерение было им необходимо вследствие разлития реки Нил, постоянно смывавшей границы. Нет ничего удивительного, что эта наука, как и другие, возникла из потребности человека».

Многие первоначальные геометрические сведения получили также шумеро-вавилонские, китайские и другие ученые древнейших времен. Устанавливались они сначала только опытным путем, без логических доказательств.

Как наука, геометрия впервые сформировалась в Древней Греции, когда геометрические закономерности и зависимости, найденные ранее опытным путем, были приведены в надлежащую систему и доказаны.

Многовековая работа греческих учёных за этот период была подытожена и систематизирована Евклидом (330 - 275 гг. до н. э.) в его знаменитом труде «Начала». Это сочинение даёт первое дошедшее до нас строгое логическое построение геометрии. В нём изложение настолько безупречно для тех времён, что в течение двух тысяч лет с момента появления «Начал» оно было единственным руководством для изучающих геометрию.

Развитие математики со времен Евклида до второй половины XIX века до сих пор представляет собой научный интерес, поэтому изучение этой темы является достаточно актуальным.

1.Жизнь и математические взгляды Евклида

Евклид - древнегреческий математик (III века до н.э.) работал в Александрии и написал несколько трудов, которые стали основой для образования и использовались около 2200 лет.

Главный труд Евклида - «Начала» (по-другому «Элементы»). Все книги Евклида основываются на аксиомах - утверждениях, не требующих доказательств. Например, аксиома о точке. Вот ее формулировка: «Точка есть то, что не имеет частей и не имеет величины».

«Начала» Евклида, законченные около 325 года до н. э., оказали значительное влияние на развитие математики вплоть до 19 века. В его 13 книгах систематически изложены существенные разделы математики, являвшиеся итогом ее развития до Евклида. Труд был построен на основе аксиом, постулатов и определений. Пожалуй, самым главным и широко изучаемым постулатом является пятый (одиннадцатая аксиома). Вот его формулировка: «Если дана прямая и точка не лежащая на ней, то можно провести только одну прямую, проходящую через точку и не пересекающуюся с данной прямой».

Книги I-IV охватывали геометрию, их содержание восходило к трудам пифагорейской школы. В книге V разрабатывалось учение о пропорциях, которое примыкало к Евдоксу Книдскому. В книгах VII-IX содержалось учение о числах, представляющее разработки пифагорейских первоисточников. Книги X-XIII посвящены стереометрии и теории иррациональности. Личный вклад Евклида в «Начала», по-видимому, состоял главным образом в систематизации и логическом упорядочении разрозненных результатов его предшественников и современников, а его целью было дать такое связное убедительное изложение элементарной геометрии, чтобы каждое утверждение всего большого сочинения можно было свести к постулатам.

Хотя «Начала» Евклида и были длительное время образцом для сравнения, они далеко не достигают современного уровня строгости изложения. Данные в первой книге определения геометрических образов являются скорее описанием их, причём далеко не совершенным. Так, например, определение прямой линии не отличает её от окружности, а определение линии произвольной содержит упоминание о длине и ширине, понятия которых сами нуждаются в определении.

Определения, изложенные в «Началах» Евклида, не удовлетворяют требованиям современной науки. Вот некоторые из 23 определений, которыми начинается первая книга «Начал».

Точка есть то, что не имеет частей (такое аналитическое определение точки, по-видимому, заимствовано Евклидом у предшественников и восходит к Демокриту).

Линия есть длина без ширины.

Границы линии суть точки.

Прямая есть такая линия, которая одинаково расположена по отношению ко всем своим точкам.

Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.

Границы поверхности суть линии.

Плоскость есть поверхность, которая одинаково расположена по отношению ко всем прямым, на ней лежащим.

Плоский угол есть взаимное наклонение двух встречающихся линий, расположенных в одной плоскости.

Такие определения нельзя считать логически конкретными. Во-первых, в этих определениях употребляются такие понятия (часть, длина, ширина, граница и т.д.), которые сами должны быть определены. Во-вторых, идея основных понятий (в современном смысле) у Евклида вообще отсутствует. В-третьих, некоторые его определения туманны и непонятны, например, 4 и 7. Вообще же определения Евклида являются лишь описанием геометрических образов, и, как правило, для доказательства теорем он ими не пользовался.

К собственно евклидовой геометрии относятся: обратная теорема параллельных линиях (то есть о том, что при пересечении двух параллельных прямых третьей соответственные углы равны), теорема о пересечении перпендикуляра и наклонной одной и той же прямой, о сумме углов треугольника со всеми ее следствиями (в том числе и теорема о сумме углов многоугольника).

На аксиоме параллельности основывается почти весь раздел «Параллелограммы и трапеции». Доказательство многих теорем раздела «О вписанных и описанных многоугольниках» существенно основывается на приложении о том, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, с ним не смежных углов, а это приложение в свою очередь вытекает из теоремы о сумме углов треугольника - теоремы, непосредственно связанной с евклидовой аксиомой параллельных.

Раздел «Подобные фигуры» также построен на аксиоме параллельных, так как с самого начала лемма, доказывающая существование подобных треугольников опирается на евклидову теорию параллельных, на аксиому параллельности («прямая, параллельная какой-нибудь стороне треугольника отсекает от него треугольник, подобный данному»). Сюда относятся и все теоремы о метрических соотношениях в треугольнике и круге, в том числе и теорема Пифагора.

В разделе «Правильные многоугольники» теоремы о построении правильных многоугольников циркулем и линейкой опирается на аксиому параллельных, тогда как теорема о том, что около всякого правильного многоугольника можно описать окружность, принадлежит абсолютной геометрии. Теоремы о площадях фигур связаны с аксиомой параллельности Евклида, так как единицей измерения площадей избирается квадрат - понятие евклидовой геометрии.

Не следует думать, однако, что дефектны все определения, данные Евклидом в первой книге «Начал». Наоборот, целый ряд определений, например, треугольника, окружности, острого, тупого и прямого углов либо безупречны, либо содержат незначительные, легко устранимые недостатки. Если при этом учесть, что свойства геометрических образов, содержащиеся в дефектных определениях, нигде в доказательствах не используются, то эти определения могут быть опущены без всякого ущерба для изложения.

Что касается постулатов и аксиом, то их формулировки безупречны, содержащиеся в них утверждения существенны и составляют основу следующих за ними доказательств.

Однако несмотря на то, что согласно Евклиду доказательства всех предложений должны в конечном итоге опираться на свойства геометрических образов, определяемых постулатами и аксиомами, уже беглое знакомство с доказательствами Евклида убеждает нас в том, что в них неоднократно используются такие свойства геометрических образов и отношения между ними, которые не выясняются ни постулатами, ни аксиомами. Так, например, для доказательства предложения 4 (фактически, эквивалентного первому признаку равенства треугольников) он пользуется движением, а в ряде других доказательств ссылается на свойства взаимного расположения точек на прямой, выражаемые словами «лежать между». (Например, говоря о свойствах прямоугольного треугольника, Евклид считал понятным, ссылаясь на чертёж, что перпендикуляр, опущенный на гипотенузу из вершины прямого угла, проходит внутри треугольника, т. е. основание перпендикуляра лежит между концами гипотенузы (рис. 1).

Рис. 1. Аксиома Евклида о свойствах прямоугольного треугольника

Иначе говоря, система аксиом или аксиоматика, построенная Евклидом, не является полной. Возникает естественный вопрос, нельзя ли освободить евклидовы доказательства от этого недостатка, заменив, быть может, их другими, опирающимися только на постулаты и аксиомы. Ответ на этот вопрос был получен сравнительно недавно. Оказалось, что это возможно только после надлежащего пополнения системы постулатов и аксиом (аксиоматики) Евклида.

Важнейшим недостатком системы евклидовых аксиом, включая и его постулаты, является ее неполнота, то есть недостаточность их для строго логического построения геометрии, при котором каждое предложение, если оно не фигурирует в списке аксиом, должно быть логически выведено из последних. Поэтому Евклид при доказательстве теорем не всегда основывался на аксиомах, а прибегал к интуиции, к наглядности и «чувственным» восприятиям. Например, понятию «между» он приписывал чисто наглядный характер; он молчаливо предполагал, что прямая, проходящая через внутреннюю точку окружности, непременно должна пересечь ее в двух точках. При этом он основывался только на наглядности, а не на логике; доказательства этого факта он нигде не дал, и дать не мог, так как у него отсутствовали аксиомы непрерывности. Нет у него и некоторых других аксиом, без которых строго логическое доказательство теорем невозможно.

Критика евклидовского обоснования геометрии, продолжавшаяся на протяжении нескольких веков и ставшая особенно острой в 19 столетии, привела к попыткам нового дедуктивного построения геометрии, отвечающего современным требованиям науки.

И все же «Начала» Евклида оказали огромное влияние на развитие математики. Евклиду также принадлежат работы по астрономии, оптике и теории музыки.

2.Основоположники неевклидовой геометрии

Неевклидова геометрия оформилась в XIX веке, однако период её становления был длительным. В течение двух тысяч лет после Евклида и появления первых, сформулированных им, аксиом многие математики вели напряжённый научный поиск. Мы сможем упомянуть здесь лишь основные этапы этого долгого исторического процесса.

Исходной точкой логической системы Евклида является положение о том, что выдвинутые им постулаты очевидны и единственно верны. Имеются пять постулатов:

Через две точки проходит единственная прямая.

Ограниченную прямую линию можно неограниченно продолжить.

Из любой точки как из центра можно описать окружность любого радиуса.

Все прямые углы равны между собой.

Всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых углов, эти прямые пересекаются, и притом с той стороны от третьей прямой, с которой эта сумма меньше двух прямых.

Последний, пятый постулат известен как постулат о параллельных.

Евклид приводит также девять аксиом, представляющих собой общие положения, например: «Если к двум равным величинам прибавляются равные, то и суммы будут равными».

Постулат о параллельных по сравнению с другими постулатами гораздо сложнее, смысл его глубже. Хотя и к нему должно быть применимо условие самоочевидности, однако формулировка постулата такова, что не поддаётся восприятию сразу по прочтении. Правда, это обстоятельство было осознано позже.

Многие комментаторы Евклида пытались найти доказательство постулата о параллельных, однако все попытки такого рода оканчивались безрезультатно. Не исключено, что и сам Евклид пришёл к мысли о выдвижении этого положения в качестве постулата после нескольких неудачных попыток найти его доказательство, основываясь на остальных сформулированных аксиомах. По-видимому, его исследования в этом направлении скорее также не увенчались успехом, чем были незавершёнными.

Этот опыт породил в настоящее время целое направление сложнейших интенсивных исследований в основаниях не только геометрии, но и всей математической теории.

Относительно геометрии можно сказать, что в результате длительных исследований были получены равноценные постулату о параллельных формулировки, например утверждение, входящее в аксиоматику Гильберта как аксиома параллельности или - «сумма внутренних углов треугольника равна сумме двух прямых углов».

Эти и подобные им утверждения можно доказать, если исходить из предположения о том, что постулат о параллельных верен, и наоборот, допустив, что любое из приведённых суждений правильно, можно доказать справедливость постулата о параллельных. В этом смысле приведённые утверждения равносильны, или, как ещё говорят, эквивалентны. Среди попыток доказательства пятого постулата Евклида особого внимания заслуживают исследования Дж. Саккери (1677 - 1733) и Адриена Мари Лежандра (1752 - 1833).

Джироламо Саккери (1667-1733) был одним из ученых, предвосхитивших неевклидову геометрию. Он был итальянским монахом, преподававший грамматику в иезуитской коллегии в Милане. На последнем году своей жизни Саккери опубликовал (на латинском языке) книгу под заглавием «Евклид, очищенный от всех пятен». В ней он поставил перед собой задачу исправить все недостатки («пятна») «Начал» Евклида, в первую очередь доказать V постулат. Саккери решительнее и дальше своих предшественников сделал попытку доказать этот постулат от противного. Этот путь он не сумел проделать до конца, но идя по нему, Лобачевский а последствии открыл неевклидову геометрию.

Рассматривая четырехугольник, носящий его имя, Саккери стремится доказать, что гипотезы тупого и острого углов приводят к логическим противоречиям и что остается лишь гипотеза прямого угла, из которой вытекает евклидов V постулат.

Много усилий для доказательства пятого постулата приложил также и Лежандр. Благодаря его усилиям этой проблемой заинтересовались многие математики Франции и Англии. Его книга, посвящённая евклидовой геометрии хорошо написана и выдержала несколько изданий. Почти в каждом из них Лежандр публиковал рассуждение, в котором, по его мнению, доказывался пятый постулат. Но неизменно в следующем издании автор признавал, что в его рассуждении использовалось некое утверждение (не сформулированное им явно) - «очевидное». То есть, постулат доказывался им с помощью утверждения, доказуемого с помощью самого постулата, если он верен. Другими словами, Лежандр заменял недоказуемый пятый постулат другой аксиомой.

В это же время Карл Гаусс (1777 - 1855) и некоторые из его учеников - Швейкарт (1780 - 1859), Тауринус (1794 - 1874) и другие - вступали в «эпоху неевклидовой геометрии».

Первоначально Гаусс испытывал большое влияние Канта (1724 - 1804) и придерживался воззрений предшественников, считавших евклидову геометрию единственно истинной. Однако постепенно он пришёл к мысли о невозможности доказательства постулата о параллельных. Гаусс, по существу, был первым, кто поверил в возможность существования другой геометрии, помимо геометрии Евклида. Название «неевклидова геометрия» принадлежит ему.

В 1832 году Гаусс прочёл приложение («Appendix») к учебнику по геометрии «Тентамент», изданному в том же году его другом Фаркашем Бойяи (1775 - 1856). В нём сын Фаркаша, Янош Бойяи (1802 - 1860), изложил основы неевклидовой геометрии.

После смерти Гаусса выяснилось, что он также еще до Лобачевского и Бояй пришел к той же геометрии. Идеи Лобачевского и Бояй с трудом пробивали себе дорогу в науке. Лишь в 70-80г.г. прошлого столетия после появления работ Римана, Кэли, Клейта и Пуанкаре более широким кругом математиков стало ясно, что V постулат недоказуем, так как он не зависит от других аксиом евклидовой геометрии.

Попытки доказательства V постулата принесли большую пользу в том отношении, что выяснили, какие теоремы геометрии относятся на этот постулат и какие от него не зависят. Совокупность теорем геометрии, не зависящих от евклидовой аксиомы параллельности, венгерский математик Янош Бояй назвал «абсолютной» геометрией. Все же остальные теоремы, то есть те, при доказательстве которых мы непосредственно или косвенно основываемся на V постулате, составляет собственно евклидову геометрию.

В начале XIX века начал свои попытки доказательства пятого постулата русский математик профессор Казанского университета Николай Иванович Лобачевский. Первое время он шёл тем же путём, что и его предшественники, то есть пытался рассуждать от противного.

Два тысячелетия бесплодных усилий и крушений всех попыток доказать V постулат, привели Лобачевского к мысли о том, что этот постулат не зависит от других аксиом евклидовой геометрии, то есть из них не вытекает, и поэтому его доказать нельзя.

Если отречься от всяких предубеждений, нет никакого основания считать аксиому Лобачевского «хуже» аксиомы Евклида, в смысле ее соответствия физической реальности. Кажущееся преимущество евклидовой геометрии, евклидовой аксиомы состоит в том, что ее содержание соответствует нашим привычным представлениям. Эти представления, однако, основаны на повседневном опыте в пределах сравнительно незначительной части вселенной. Между тем, в истории науки известны факты, когда более точно представленные эксперименты вызывали необходимость изменений, основанных на наглядности гипотез и аксиом, и замены их новыми гипотезами, которые лучше соответствуют объективному материальному миру. Ведь господствовало же у древних представление о том, что Земля плоская.

После работы «О началах геометрии», появились в свет и другие произведения Лобачевского по неевклидовой геометрии: «Воображаемая геометрия» (1835), «Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам» (1836), «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных», опубликованные в «Ученых записках Казанского университета» в 1835-1838 гг., «Геометрические исследования по теории параллельных» (опубликованы впервые в 1840 г. в Берлине на немецком языке). Однако идеи Лобачевского были настолько революционными и до того опередили свой век, что не могли быть понятыми даже крупными математиками того времени. Поэтому новая геометрия не была признана современниками, была встречена с полным равнодушием и даже с иронией. Ее многие считали сплошной фантазией, а ее автора чудаком или даже невеждой. Одинокий Лобачевский не отказался от своих идей. Он твердо был убежден в логической правильности неевклидовой геометрии. Чтобы можно было это доказать, Лобачевский предпринимал астрологические наблюдения, и производил измерения углов космических треугольников, стороны которых измерялись расстояниями от Земли до небесных тел, в надежде установить, равна ли сумма углов треугольника 2d или она меньше двух прямых углов. Однако, измерения не могли дать определенного результата в силу их приближенного характера. Лобачевский всю жизнь искал оправдания своей геометрии в механике и астрономии и не переставал верить, что торжество его идей неминуемо. В 1855г. умирает Гаусс, единственный крупный ученый, сумевший оценить Лобачевского по достоинству при его жизни, хотя и не решившись выступить публично в защиту новой геометрии. В этом же году, Лобачевский, которого постоянное умственное напряжение и тяжелые переживания, перенесенные в борьбе за признание своих идей, довели до потери зрения, диктует последнее свое произведение «Пангеометрия». Лобачевский умер в 1856 г. непризнанным и почти забытым.

Сегодня является общепризнанным, что Бойяи, Лобачевский и Гаусс одновременно и независимо друг от друга открыли неевклидову геометрию, т. е., по сути, непротиворечивую систему основывающуюся на своей непротиворечивой аксиоматике.

Однако вызывает удивление тот факт, что неевклидова геометрия рассматривалась лишь в пределах гипотезы острого угла. Неевклидова геометрия, основанная на гипотезе тупого угла была рассмотрена Риманом в 1854 году. В его новой геометрии на сферической поверхности любые две линии пересекаются.

Позже математикам (Клейну, Кэли, Пуанкаре и др.) удалось создать модель геометрии Лобачевского на материале евклидовой, и, таким образом, доказать непротиворечивость и законность новой геометрии. Часто встречающиеся в литературе названия геометрии Лобачевского - «гиперболическая», Римана - «эллиптическая» и евклидовой - «параболическая» принадлежат Клейну.

Гаусс пытался выяснить, какова геометрия реального пространства Вселенной - гиперболическая, эллиптическая или параболическая. Для этого необходимо было ответить на вопрос, какова сумма внутренних углов треугольника. Известно, что Гаусс, будучи научным руководителем астрономической обсерватории, проводил измерения углов треугольников, образованных вершинами гор. Однако он не вполне отдавал себе отчёт в том, сколь значительны неизбежные погрешности таких измерений.

Открытие неевклидовой геометрии было первым ударом по взглядам на аксиомы, как на вечные и непреложные, «априорные» истины.

Заключение

математика евклид аксиома геометрия

Открытие неевклидовой геометрии, начало которому положил Лобачевский, не только сыграло огромную роль в развитии новых идей и методов в математике естествознании, но имеет и философское значение. Проведенное исследование развития математики со времен Евклида до второй половины XIX века позволяет сделать следующие выводы.

Открытие неевклидовой геометрии доказало, что нельзя абсолютировать представления о пространстве, что «употребительная» (как назвал Лобачевский геометрию Евклида) геометрия не является единственно возможной, однако это не подорвало незыблемость геометрии Евклида.

В основе геометрии Евклида лежат не априорные, врожденные уму понятия и аксиомы, а такие понятия, которые связаны с деятельностью человека, с человеческой практикой.

Крушение старого взгляда на аксиомы привело к раздвоению самого понятия «аксиома». Всё возрастающая в связи с запросами практики необходимость экспериментировать в области построения новых теорий, заменять одну аксиому другой, а также их относительность, зависимость от ранее встречавшихся конкретных условий опыта и уровня науки, приводящая к невозможности выбрать раз и навсегда в качестве аксиомы такие положения, которые будут истинны абсолютно во всех условиях - всё это обусловило появление понятия аксиомы, несколько отличного от традиционного. Понятие аксиомы в этом смысле зависит от того, построение какой теории рассматривается и как оно проводится.

В заключение необходимо отметить, что только практика может решить вопрос о том, какая геометрия вернее излагает свойства физического пространства. Открытие неевклидовой геометрии дало решающий толчок грандиозному развитию науки, способствовало и поныне способствует более глубокому пониманию окружающего нас материального мира.

Список использованных источников

Архангельский Н.В. История математики. - М.: Просвещение, 2005. - 341 с.

Батаршев А.В. Неевклидова геометрия. - СПб.: Питер, 2000. - 583 с.

Гордин А.Ю. Выдающиеся личности России. - СПб.: Специальная литература, 2004. - 619 с.

Иващенко Ф.И. Развитие математики в России. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 1999. - 357 с.

Петровская Л.А. Н.И. Лобачевский и его геометрия. - М.: Гардарики, 2001. - 261 с.

Таранский И.В. Отличительные особенности неевклидовой геометрии // Современная математика. - 2007. - №4. - С. 31-39

Якунин В.А. Развитие геометрии. - М.: Фаир, 2004. - 211 с.

Размещено на Allbest.ru