Исследование кривых и поверхностей второго порядка
Исследование перехода от алгебраической к канонической форме записи при помощи инвариантов, параллельного переноса, поворота и алгебраических преобразований. Построение кривой в канонической и общей системах координат. Определение сечения поверхности.
| Рубрика | Математика |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 11.11.2010 |
| Размер файла | 43,2 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
10
Курсовая работа
Исследование кривых и поверхностей второго порядка
Оглавление
- 1. Цель, задачи, исходные данные и метод решения курсовой работы
- 2. Анализ кривой второго порядка
- 3. Построение кривой
- 4. Анализ поверхности второго порядка
- 5. Построение поверхности
- Вывод
- Список изученной литературы
1. Цель, задачи, исходные данные и метод решения курсовой работы
Цель:
Целью курсовой работы является лучшее усвоение и углубление знаний по теме «Кривые и поверхности второго порядка».
Задачи:
При помощи инвариантов, параллельного переноса, поворота и алгебраических преобразований исследовать переход от алгебраической к канонической форме записи. Построить кривую в канонической и общей системах координат. Построить также сечение поверхности.
Исходные данные:
Кривая, поверхность второго порядка.
Метод решения:
Для кривой:
1) С помощью инвариантов определяем тип кривой.
2) Приводим уравнение кривой к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей.
3) Строим кривую в канонической и общей системах координат.
Для поверхности:
1) Вычисляем инварианты.
2) Исследуем форму поверхности методом сечений и строим полученные сечения.
4) Строим поверхность в канонической системе координат.
2. Анализ кривой второго порядка
1) С помощью инвариантов определяем тип кривой.
Определим инварианты I1, I2, I3.
Для этого, исходя из общего уравнения кривой второго порядка:
,
Известно, что инварианты I1, I2, I3 выражаются через коэффициенты общего уравнения кривой следующим образом:
I1=, I2=, I3=,
и являются величинами, которые не меняются при переносе начала и повороте осей системы координат.
Итак, для рассматриваемой кривой имеем: ,
что удовлетворяет условиям на инварианты для эллипса.
2) Приводим уравнение кривой к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей.
Уравнение центра:
; ;
(2;1) - центр эллипса
Перенос:
;
Подставив получаем:
- уравнение в системе координат X'O'Y'
Поворот:
Подставив получаем:
В полученном выражении найдем такой угол, чтобы коэффициент при XY стал равен нулю, для этого необходимо:
Разделим уравнение на cos2a?0
Откуда, при решении, находим:
Следовательно:
Выбираем:
; .
Подставим данные значения для sin и cos в уравнение, коэффициент при XY станет равным нулю, получим:
- каноническое уравнение эллипса
3. Построение кривой
Эллипс в общей системе координат.
Эллипс в канонической системе координат.
4. Анализ поверхности второго порядка
1) Определяем тип поверхности с помощью инвариантов
Рассмотрим уравнение поверхности второго порядка:
Определим тип этой поверхности.
Сначала найдем инварианты I1, I2, I3, I4 для этой поверхности по коэффициентам общего уравнения поверхности второго порядка:
.
Известно, что инварианты I1, I2, I3, I4 выражаются через коэффициенты общего уравнения следующим образом:
I1=, I2=++,
I3=, I4=,
и являются величинами, которые не меняются при переносе начала и повороте осей системы координат.
Итак, для рассматриваемой поверхности имеем:
I1= -1, I2= -10, I3= -8, I4= -32,
что удовлетворяет условиям на инварианты для двуполостного гиперболоида.
2) Сечения
Сечение плоскостью Z=const гипербола:
Сечение плоскостью Y=const гиперболу:
при сечении плоскостью X=const получим:
· эллипс
· точка
· мнимый эллипс
5. Построение поверхности
каноническое уравнение двуполостного гиперболоида
Вывод
Итак, как следует из выполненного анализа и приведенных рисунков, кривые и поверхности, изображенные в различных системах координат, имеют один и тот же вид. Сечения поверхностей различными плоскостями имеют вид, совпадающий с аналитическими уравнениями этих кривых.
Список изученной литературы
1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.-М.: Наука-Физматлит, 1999.
2. Шипачев В.С. Высшая математика.-М.: Высшая школа, 1998.
3. Емельяненко Г.А. Курсовое проектирование по линейной алгебре и аналитической геометрии.-Дубна: Международный университет природы, общества и человека"Дубна",1999.
Подобные документы
Приведение уравнения к каноническому виду при помощи преобразований параллельного переноса и поворота координатных осей. Нахождение фокусов, директрис, эксцентриситета и асимптот кривой. Построение графика кривой в канонической и общей системах координат.
контрольная работа [133,5 K], добавлен 12.01.2011Основные свойства кривых второго порядка. Построение кривой в канонической и общей системах координат. Переход уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду. Исследование формы поверхности методом сечений и построение полученных сечений.
курсовая работа [166,1 K], добавлен 17.05.2011Кривая и формы поверхности второго порядка. Анализ свойств кривых и поверхностей второго порядка. Исследование форм поверхности методом сечений плоскостями, построение линии, полученной в сечениях. Построение поверхности в канонической системе координат.
курсовая работа [132,8 K], добавлен 28.06.2009Общее уравнение кривой второго порядка, преобразование систем координат. Классификация кривых по инвариантам, исследование уравнения кривой второго порядка. Изучение и примеры исследования инвариант поворота и параллельного переноса систем координат.
курсовая работа [654,1 K], добавлен 28.09.2019Исследование кривой второго порядка. Определение типа кривой с помощью инвариантов. Приведение к каноническому виду, построение графиков. Исследование поверхности второго порядка. Определение типа поверхности. Анализ формы поверхности методом сечений.
курсовая работа [231,0 K], добавлен 28.06.2009Доказательство теоремы единственности для кривых второго порядка. Преимущества и недостатки разных способов доказательства теоремы единственности. Пучок кривых второго порядка. Методы решения теоремы единственности для поверхностей второго порядка.
курсовая работа [302,7 K], добавлен 22.01.2011Общее уравнение кривой второго порядка. Составление уравнений эллипса, окружности, гиперболы и параболы. Эксцентриситет гиперболы. Фокус и директриса параболы. Преобразование общего уравнения к каноническому виду. Зависимость вида кривой от инвариантов.
презентация [301,4 K], добавлен 10.11.2014Использование кривых второго порядка в компьютерных системах. Кривые второго порядка в 3d grapher. Жезл, гиперболическая спираль. Спираль Архимеда, логарифмическая спираль. Улитка Паскаля, четырех и трехлепестковая роза. Эпициклоида и гипоциклоида.
реферат [221,1 K], добавлен 26.12.2014Методика нахождения различных решений геометрических задач на построение. Выбор и применение методов геометрических преобразований: параллельного переноса, симметрии, поворота (вращения), подобия, инверсии в зависимости от формы и свойств базовой фигуры.
курсовая работа [6,4 M], добавлен 13.08.2011Уравнение для описания поверхности второго порядка в аффинной системе координат. Виды квадрики в прямоугольной системе координат: мнимый эллипсоид, гиперболоид, конус, параболоид, цилиндр, плоскости. Способы приведения квадрики к каноническому виду.
курсовая работа [4,5 M], добавлен 19.09.2012
