Случайные величины

Вопросы по теории вероятностей

Основные понятия теории вероятностей: события, вероятность события, частота события, случайная величина.

Сумма и произведение событий, теоремы сложения и умножения вероятностей.

Дискретные случайные величины. Ряд, многоугольник и функция распределения.

Непрерывные случайные величины. Функция и плотность распределения.

Функция распределения; квантиль и а -процентная точка распределения.

Формула полной вероятности и теорема гипотез.

Числовые характеристики случайных величин: моменты; дисперсия; и среднеквадратичное отклонение.

Равномерное распределение, его числовые характеристики.

Биномиальное распределение, распределение Пуассона.

Нормальное (Гаусовское) распределение, стандартные нормальные распределения.

Стандартная нормальная случайная величина.

Независимые и зависимые случайные величины: ковариация, корреляция, коэффициент корреляции.

Теоремы о числовых характеристиках.

Закон больших чисел, неравенства и теоремы Чебышева, Бернулли.

Центральная предельная теорема теории вероятностей.

Выборки, объем выборки.

Состоятельные, не смешенные и эффективные оценки; оценивание среднего значения и дисперсии.

Доверительные интервалы.

Ответ на билет 1

X - случайная величина.

x - значение случайной величины.

- непрерывная случайная величина

Дискретная случайная величина - можно пересчитать.

Практически не возможное событие, вероятность которого близка к нулю 0 (0,01; 0,1).

Практически достоверное событие, вероятность которого близка к единице 1 (0,99; 0,9888).

Ответ на билет 2

Сумма событий и произведение событий.

А, В,…., G - события

Суммой событий называется некоторое событие S=A+B+….+G=AB….G, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Пример: Допустим, идет стрельба по мишени

А1 - попадание при первом выстреле

А2 - попадание при втором выстреле

S=A1+A2 (хотя бы одно попадание)

Произведением некоторых событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. S=ABC…G=

Пример: А1 - промах при первом выстреле

А2 - промах при втором выстреле

А3 - промах при третьем выстреле

(не одного попадания)

Теорема сложения вероятностей.

Вероятность двух не совместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

P(A) P(B)

P(A+B)=P(A)+P(B)

S=S1+S2+…+Sn

P(S)=P(S1)+P(S2)+…+P(Sn)

Следствие: Если событие S1, S2, …, Sn образуют полную группу не совместных событий, то сумма их вероятностей равна 1.

Противоположными событиями называются два не совместных события, образующие полную группу

(пример - монетка имеющая орел и орешко)

Если два события A и B совместны, то вероятность совместного появления двух событий вычисляется по формуле:

Условие независимости события А от события В: P(A|B)=P(A), то P(B|A)=P(B)

Условие зависимости события А от события В: P(A|B)P(A), P(B|A) P(B) (Если А не зависит от В, то и В не зависит от А - условие не зависимости условий взаимно).

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из событий на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что событие первое имело место:

P(AB)=P(A)P(B|A), P(AB)=P(B)P(A|B)

Следствие: Вероятность произведения нескольких не зависимых событий равна произведению вероятностей этих событий. P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)

Пример: на монете выпадет орел 2 раза

S=AорAор S=P2(A)=(1/2)2=1/4

Ответ на билет 3

Закон распределения случайных величин

Ряд и многоугольник распределений. Случайная величина - это величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение не известное заранее какое.

Большие буквы - случайные величины. Малые буквы - их возможные решения.

Рассмотрим случайную дискретную величину Х с возможными значениями x1, x2, …, xn

В результате опыта:

Обозначим вероятность соответствующих событий через Pi

,

так как рассматриваемые события образуют полную группу не совместных событий, то

Х полностью описана с вероятностной точки зрения, если мы зададим распределение вероятности pi(i=1,2…,n), то есть в точности указаны решения вероятности pi каждого события xi

Этим будет установлен закон случайной величины xi.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение устанавливающее связь между возможными значениями случайных величин и соответствующими вероятностями.

Простейшей формой записи законов распределения является таблица:

X	x1, x2, …, xn
P	p1, p2, …, pn

Многоугольник и ряд распределения полностью характеризует случайную величину и является одной из форм законов распределения. (Для непрерывной случайной величины построить невозможно).

Ответ на билет 4

Плотность и функция распределения.

Функция распределения непрерывной случайной величины (Х), задана выражением:



Найти коэффициент а

Найти плотность распределения F(x)

Найти вероятность попадания случайной величины на участок P(0,5<x<3)=?

Построить график функций

F(4)=1 -> a4=1, a=0,25

- два способа решения.

Ответ на билет 5

Функция распределения

Для непрерывной случайной величины Х вместо вероятности равенства Х=х используют вероятность Р(Х<х). F(x)=P(X<x)

F-функция распределения случайной величины х

F(x) -интегральный закон распределения или интегральная функция распределения.

F(x) -самая универсальная характеристика случайной величины, она существует для всех случайных величин как дискретных так и непрерывных.

Основные свойства функции распределения.

Функция распределения F(x) есть не убывающая функция своего аргумента, т.е. при x2>x1 F(x2)>=F(x1)

При функция распределения F(x)=0; F()=0

При F(x)=1; F()=1

Для дискретной случайной величины:

Функция распределения любой дискретной случайной величины всегда есть разрывная ступенчатая функция, скачки которых происходят в точках соответствующих возможных значений случайных величин и равны вероятностям этих значений. Сумма всех скачков равна 1.

F(x) непрерывной случайной величины

Часто используют величины квантиль и -процентная точка

Квантиль - решение уравнения

- процентная точка определяется из уравнения

Ответ на билет 6

Формула полной вероятности.

Пусть требуется определить вероятность некоторого события А, которое может произойти вместе с одним из событий H1, H2, …, Hn, образующие полную группу не совместных событий. Эти события назовем гипотезами. Докажем, что в этом случае вероятность событий:

Вероятность события А вычисляется как сумма произведений вероятностей каждой гипотезы на условную вероятность события при этой гипотезе.

применяем 2е теоремы:

-формула полной вероятности

Теорема гипотез (формула Байеса).

Пусть вероятность полной группы не совместных гипотез H1, H2, …, Hn известны и равны P(H1), P(H2), …, P(Hn). Событие А может появиться совместно с условной вероятностью P(A|Hi) (i=1,2,…,n).

Спрашивается, как следует изменить вероятности гипотез после проведения опытов в связи с появлением этого события. Иными словами, требуется найти условную вероятность P(Hi,A).

Формула Байеса:

Ответ на билет 7

Числовые характеристики случайных величин.

Закон распределения случайных величин, представленный в той или иной форме, дает исчерпывающее описание случайной величины. Наиболее существенные особенности распределения в компактной форме описываются так называемыми числовыми характеристиками случайных величин. Они играют в теории вероятности огромную роль, с их помощью облегчается решение вероятностных задач. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся числовые характеристики.

Характеристики положения.

Мат. Ожидание Мода Медиана

Важнейшая характеристика математическое ожидание, которая показывает среднее значение случайной величины.

Математическое ожидание величины Х обозначается М[X], или mx.

Для дискретных случайных величин математическое ожидание:

Сумма значений соответствующего значения на вероятность случайных величин.



Модой (Mod) случайной величины Х называют ее наиболее вероятное значение.

Для дискретной случайной величины. Для непрерывной случайной величины.

Mod=X3 Mod=X0

Одномодальное распределение

Много модальное распределение

В общем случае Mod и математическое ожидание не совпадают.

Медианой (Med) случайной величины Х называют такое значение, для которой вероятность того что P(X<Med)=P(X>Med). У любого распределения Med может быть только один.

Med разделяет площадь под кривой на 2 равные части. В случае одномодального и симметричного распределения

mx=Mod=Med

Моменты

Чаще всего на практике применяются моменты двух видов начальное и центральное.

Начальный момент. -го порядка дискретной случайной величины Х называется сумма вида:



Для непрерывной случайной величины Х начальным моментом порядка называется интеграл , очевидно, что математическое ожидание случайной величины есть первый начальный момент.

Пользуясь знаком (оператором) М, начальный момент -го порядка можно представить как мат. ожидание -ой степени некоторой случайной величины.

Центрированной случайной величиной соответственной случайной величины Х называют отклонение случайной величины Х от ее математического ожидания:

Математическое ожидание центрированной случайной величины равно 0.

Для дискретных случайных величин имеем:

Моменты центрированной случайной величины носят название Центральных моментов

Центральный момент порядка случайной величины Х называют математическим ожиданием -ой степени соответствующей центрированной случайной величины.



Для дискретных случайных величин:

Для непрерывных случайных величин:

Связь между центральными и начальными моментами различных порядков

Из всех моментов в качестве характеристики случайной величины чаще всего применяют первый момент (мат. ожидание) и второй центральный момент .

Второй центральный момент называют дисперсией случайной величины. Он имеет обозначение:

Согласно определению

Для дискретной случайной величины:

Для непрерывной случайной величины:

Дисперсия случайной величины есть характеристика рассеянности (разбросанности) случайных величин Х около ее математического ожидания.

Дисперсия означает рассеивание. Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины.

Для наглядной характеристики рассеивания удобнее использовать величину, my той, что и размерность случайной величины. С этой целью из дисперсии извлекают корень и получают величину, называемую - среднеквадратичным отклонением (СКО) случайной величины Х, при этом вводят обозначение:

Среднеквадратичное отклонение иногда называют "стандартом" случайной величины Х.

Итак:

Математическое ожидание mx и Dx (или СКО ) наиболее частые употребляемые характеристики случайных величин, так как они определяют наиболее важные черты распределения, его положения и степень разбросанности.

Ответ на билет 9

Равномерное распределение

Равномерная плотность распределения определяется следующим образом:

Функция распределения определяется:

Найдем числовые характеристики:

(математическое ожидание)

(медиана), Mod - не существует для данного распределения

(дисперсия), (среднеквадратичное отклонение)

Ответ на билет 10

Закон распределения Пуасона

Рассмотрим дискретную случайную величину х, имеющую ряд распределения:

X	X0=0	X1=1	…	Xm=m	…
P	P0	P1	…	Pm	…

Говорят, что данное случайное распределение подчинено закону распределения Пуасона.



(k=m-1)

Ответ на билет 11

Нормальный закон распределения (закон Гауса)

Главная особенность в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие распределения, при весьма часто встречающихся типичных условиях.

Нормальный закон распределения характеризуется плотностью вероятности вида:

Можно показать, что дисперсия



Ответ на билет 13

Независимые случайные величины.

Случайные величины x и y независимы если вероятность .

Для зависимых величин x и y вероятность

Корреляционным моментом или Ковариацией случайных величин x и y называют величину:

Можно показать, что для независимых случайных величин cov(x,y)=0

Коэффициент корреляций

Случайные величины x1, x2, x3, …, xn, называются не коррелированными, если

Ответ на билет 14

Теорема о числовых характеристиках

Если c не случайная (детерминированная) величина, то M[c]=c и D[c]=0

Если c не случайная - постоянная, а Х случайная (детерминированная), то:

Математическое ожидание суммы нескольких величин равно сумме их ожиданий.

Математическое ожидание линейной функции равно той же линейной функции от математических ожиданий аргументов.

Дисперсия суммы двух случайных величин равна сумме их дисперсий плюс удвоенный их корреляционный момент.

В общем случае:

, где

Для не корреляционных случайных величин:

Ответ на билет 15

В широком смысле слова, закон больших чисел характеризует устойчивость средних. При очень большом числе случайных явлений - перестает быть случайным и может быть предсказан с большей степенью определенности. В узком смысле под законом больших чисел понимается ряд математических теорем, в которых устанавливаются факты приближения средних характеристик большого числа опытов к некоторым определенным постоянным. Другая группа предельных теорем касается уже не предельных значений случайных величин, а предельных законов распределения. Эта группа теорем известна под названием "центральной предельной теоремы".

Неравенство Чебышева.

P( |X-mx| > E) <= Dx/E2

Теорема Чебышева

Теорема Чебышева дает одну из наиболее возможных форм закона больших чисел. Она устанавливает связь между средним арифметическим и ее математическим ожиданием наблюденных значений случайной величины.

Yn=( X1 + X2 + …. + Xn) * 1/n = 1/n

M[Yn] = i/n = 1/n * = 1/n * n * mx = mx

Мат ожидание среднего не зависит от n

Теорема Чебышева устанавливает в точной количественной форме это свойство устойчивости среднего арифметического.

Теорема Чебышева: При достаточно большом числе независимых опытов среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины сходится по вероятности n т ее математическому ожиданию.

В можематической форме это означает следующее:

,

где и сколь угодно положительные числа и .

Теорема Бернулли

Теорема Бернулли: При неограниченном увеличении числа опытов n, частота события a сходится по вероятности к его вероятности P

- (вероятность). m-произошло событие. n-число опытов.

близко к 0

Ответ на билет 16

Центральная предельная теорема

Рассмотрим одну из наиболее общих форм центральной предельной теоремы:

Пусть имеется взвешенная сумма независимых случайных непрерывных величин x1, x2, x3, …., xn с произвольными законами распределения:

,

где постоянная, фиксированная числа.

Пусть i-ая случайная величина имеет и (i=1,2,3,…,n-1,n)

Согласно теореме о числовых характеристиках случайных величин, получим:



Центральная предельная теорема утверждает, что при достаточно общих условиях распределения суммарной Yn при стремиться к нормальному распределению

Опыт показывает, что когда или меньше, то закон распределения суммы может быть заменен нормальным.

Ответ на билет 19

Доверительный интервал и доверительная вероятность используется в математической статистике точности и надежности полученной оценки a* неизвестного параметра a.

=0,95 или 0,98; 0,99 - Назначим вероятность достаточно большую.

Найдем значение интервала , при котором вероятность a*-a

вероятность, что выйдет за пределы интервала:

Интервал, покрывающий a называется доверительным интервалом.

Вероятность называется доверительной вероятностью.

Оценка a* называется точечной оценкой.

Оценка называется интервальной оценкой.

Теорема о повторении опытов

Рассмотрим серию из n однородных, не зависимых опытов, проводимых в одинаковых условиях, в каждом из которых может появиться или не появиться событие А. Вероятность появления F=P, не появления q=1-P. Предполагается, что вероятность р остается одной и той же в каждом опыте.

Требуется найти вероятность Рm,n того, что А в этих n опытах появится ровно m раз (0<=m<=n).

-Биномиальное распределение.

, где

Если производится n неизвестных опытов в каждом из которых событие А появляется с вероятностью Р, то вероятность того что событие А появится ровно m раз выражается формулой:

Задача 1

Задача на схему случаев

В урне 3 белых и 4 черных шара. Какова вероятность изъятия из урны трех черных шаров?

n - общее число возможных случаев изъятия 3 шаров из урны.

m - число благоприятных случаев. (все три шара черные)

,

Задача 2

Задача на не совместные события.

Мишень состоит из 2-х зон, при одном выстреле вероятность попадания в зону 1=0,2, в зону 2=0,4

Найти вероятность промаха?

- попадание.

- промах.

А=А1+А2; P(A)=P(A1)+P(A2)-P(A1A2); P(A1A2)=0

Задача 3

Задача на умножение вероятностей.

В урне находится 3 белых и 2 черных шара. Вынимается по 2 шара.

Найти вероятность того, что оба шара белые?

А1 - первый шар белый.

А2 - второй шар белый.

А=А1А2

Задача 4

Задача на умножение вероятностей.

В урне находятся 3 белых и 2 черных шара. Вынимают по очереди 2 шара, причем первый обратно возвращают.

Какова вероятность, что будут вынуты оба черных шара?

Задача 5

Задача на формулу полной вероятности.

Имеется 3 урны.

В одной 2 белых и 1 черный шар

Во второй 1 белый и 1 черный шар.

В третьей 3 белых и 2 черных шара.

Выбирается одна из урн и из нее 1 шар. Какова вероятность, что шар черный?

А - черный шар. P(A)=?

n=10 m=4

Второй способ через формулу полной вероятности.

H1; H2; H3;

Задача 6

Задача на теорему о повторении опытов.

Проводят 4 независимых опыта. Вероятность события в каждом из опыте равна 0,3

Построить ряд и многогранник числа событий.

Введем Х-число появлений событий в результате проведенных опытов.

X=X0=0

X=X1=1

X=X2=2

X=X3=3

X=X4=4

- теорема о повторении опытов.

X	0	1	2	3	4
P	0,0024	0,588

P0,4=1*1*0,74=0,0024

P1,4=*0,31*0,73=0,588

P2,4=*0,32*0,72=

P3,4=*0,33*0,71=

P4,4=*0,34*0,70=

Задача 7

Задача на подсчет вероятностей

Мишень состоит из 4 зон, производится один выстрел.

Найти вероятность промоха, если вероятность попадание в зоны известна и равна:

P1=0,1

P2=0,15

P3=0,20

P4=0,25

A - попадание в мишень.

- промах.

Задача 8

Задача на условную вероятность.

В урне находятся 3 белых и 2 черных шара. Вынимаются 2 шара.

Найти вероятность, что оба шара белые.

А1 - белый шар

А2 - белый шар

P(A1A2)=?

C=A1A2

Если первый шар возвращается в урну.

P(A1)=P(A2)

Задача 9

a=? F(x)=? mx=?