Математические методы

Задание 1. Составить линейную оптимизационную модель и решить любым известным методом

Три электрогенерирующие станции мощностью 25, 40 и 30 миллионов кВтч поставляют электроэнергию в три города. Максимальная потребность в электроэнергии этих городов оценивается в 30, 35 и 24 миллионов кВтч. Цены за миллион кВтч в данных городах приведены в табл.2.

Стоимость за электроэнергию, руб./млн.кВтч

В августе на 20% возрастает потребность в электроэнергии в каждом из трех городов. Недостаток электроэнергии могут восполнить из другой электросети по цене 1000 за 1 миллион кВтч. Но третий город не может подключиться к альтернативной электросети. Электрогенерирующие станции планируют разработать наиболее экономичный план распределения электроэнергии и восполнения ее недостатка в августе. Сформулируйте эту задачу в виде транспортной модели и постройте опорный план, используя метод северо-западного угла.

Решение.

Графическое изображение транспортной задачи при исходных условиях представлено на рис.1.

Имеем несбалансированную транспортную задачу. Общая потребность городов в электроэнергии меньше общей мощностей электростанций.

Однако при возрастании потребности городов на 20%, их суммарная потребность превысит мощность электростанций.

Так же получили несбалансированную транспортную задачу. Для того чтобы сбалансировать потребности городов и мощности станций ведем новую станцию с мощностью равной 107 - 95 = 12 миллионов кВтч.

При методе северо-западного угла на каждом шаге построения первого опорного плана заполняется левая верхняя клетка (северо-западный угол) оставшейся части таблицы.

Поскольку 3-й город не может подключиться к альтернативной электросети, то для построения опорного плана по методу северо-западного угла, альтернативную станцию включим в таблицу верхней (нулевой) строкой.

Заполнение таблицы начинается с ее северо-западного угла, т.е. клетки с неизвестным А₀₁. Дополнительная станция (Х0) не может полностью удовлетворить потребность первого города (У₁) (х₀=12, у₁=36, х₀ < у₁). Полагая А₀₁= 12, вписываем это значение в клетку А₀₁. У города У₁ остается измененная потребность . Первая станция с мощностью может полностью удовлетворить оставшуюся потребность первого города (₎. Полагаем А₁₁ = 24, вписываем это значение в клетку А₁₁ и исключаем из рассмотрения первый столбец. У станции Х! осталась еще не реализованная мощность , которую может полностью востребовать второй город (х'₂=1, у₂=42, х'₂ <у₂). Полагая А₁₂= 1, вписываем это значение в клетку А₁₂ и исключаем из рассмотрения вторую строку и т. д.

Правильность составленного плана легко проверить, подсчитав суммы чисел, стоящих в заполненных клетках по строкам и столбцам.

Стоимость поставок электроэнергии составит:

S = 12 * 1000 + 24 * 600 + 1 * 700 + 40 * 300 + 1 *480 + 29 * 450 = 52 630 руб./млн.кВтч

Задание 2. Сетевое и календарное планирование

Построение структуры сетевого графика, построение календарного графика, расчет и представление на графике временных характеристик событий, расчет временных характеристик работ.

N = 5

а = [5/2] + 1 = 3,

a + b = 5; b = 2

c = 3.

Рис. 2. Сетевое и календарное планирование

Решение

Проведем временной расчет сетевого графика

Ранний срок начала работы равен раннему сроку свершения ее начального события;

Поздний срок начала работы равен разности между поздним сроком свершения ее конечного события и ожидаемой продолжительностью работы;

Ранний срок окончания работы равен сумме раннего срока свершения ее начального события и ожидаемой продолжительностью работы;

Поздний срок окончания работы равен позднему сроку свершения ее конечного события;

Полный резерв работы (i,j) определяется по формуле:

R^п_ij=Т_j¹ - Т_i⁰ - t_ij

Свободный резерв времени R^с_ij работы (i,j) представляет часть полного резерва времени, на которую можно увеличить продолжительность работы, не изменив при этом раннего срока ее конечного события.

R^с_ij=Т_j⁰ - Т_i⁰ - t_ij

Коэффициент напряженности:

К_ij=1 - R^п_ij/(T_n⁰-Т_кр(i,j))

Таблица 1

Временной расчет сетевого графика.

Задание 3. Управление запасами

Завод радиоэлектронной аппаратуры производит радиоприемников в сутки. Микросхемы для радиоприемников (по 1 шт. на приемник) производятся на этом же заводе с интенсивностью тыс. шт. в сутки. Затраты на подготовку производства партии микросхем составляют руб. (числа в задаче условные), себестоимость производства 1 тыс. шт. микросхем равна руб. Хранение микросхем на складе обходится заводу в руб. за каждую тысячу в сутки. У завода появилась возможность закупать микросхемы в другом месте по цене руб. за 1 тыс. шт. Стоимость доставки равна руб.

Выясните, стоит ли заводу закупать микросхемы вместо того, чтобы их производить.

Для более выгодного режима работы завода (производство или закупка) определите периодичность подачи заказа, и затраты на управление запасами в месяц (22 рабочих дня).

Решение:

Так как сумма стоимости покупных микросхем и затрат на их доставку (S1 = x6 + x7 = 9 + 40 = 49) больше суммы себестоимости производимых и затрат на подготовку и производство партии (S2 = x3 + x4 =33+8,1 = 41,1), то заводу выгоднее произодить микросхемы.

Периодичность подачи заказов:

Периодичность подачи заказа:

Затраты на управление запасами в месяц:

Список использованной литературы:

1. Авербах Л.И., Гельруд Я.Д. Экономико-математические методы принятия решений. Темы 7-8.

2. Воропаев В.И. Модели и методы календарного планирования в автоматизированных системах управления строительством. М, 1975.

3. Гельруд Я.Д. Циклические альтернативные сетевые модели и методы календарного планирования при управлении проектами. //Труды Всероссийской научно-практической конференции: Актуальные проблемы развития экономики России. -Челябинск: ЮрГУ. 2000. - с.с. 23-50.

4. Зуховицкий С., Радчик И.А. Математические методы сетевого планирования, -М.: Наука. 1965.