Использование элементов математической логики в курсе математики начальной школы

Министерство образования и науки РФ

Федеральное агентство образования

Владимирский государственный гуманитарный университет

Факультет педагогики и методики начального образования

Кафедра педагогики и методики начального образования

Курсовая работа

Использование элементов математической логики в курсе математики начальной школы

Выполнила: студентка

дневного отделения 4

курса группы НК-42

Кузнецова Марина Сергеевна

Руководитель: доцент Булатова Н.Ф.

Владимир, 2010

Содержание

Введение

Глава 1. Теоретические основы изучения элементов математической логики в начальной школе

1.1 Высказывания и операции над ними. Таблицы истинности. Законы логики высказываний

1.2 Предикаты, множества истинности, множества составных предикатов

1.3 Кванторы общности и существования. Построение отрицания высказываний с кванторами

1.4 Схемы дедуктивных рассуждений

1.5 Язык числовой алгебры

Глава 2. Психолого-педагогические основы использования элементов математической логики

Глава 3. Элементы логики в школьном курсе математики

3.1 Числовые равенства и числовые неравенства

3.2 Уравнения, неравенства

3.3 Правильные и неправильные рассуждения

3.4 Высказывания с кванторами

Заключение

Список использованной литературы



Введение

В настоящее время в стране ведутся интенсивные поиски путей усовершенствования математического образования, его перестройка. Важнейшие общие идеи и положения, ее изложены в основах "Концепции непрерывного образования" и "Концепции общего среднего образования как базового в системе непрерывного образования". В связи с этим происходят пересмотр общих целей обучения математике и в начальной школе, усиление развивающей и воспитывающей роли математики в общем образовании младших школьников.

Вклад начального этапа математического образования в реализацию общих целей обучения должен состоять в том, чтобы создать необходимые условия для воспитания у учащихся математического стиля мышления, характеризующегося такими качествами, как доминирование логической схемы рассуждения, лаконизм, четкая расчлененность хода аргументации, точность использования символики при овладении научными понятиями. Овладение ими необходимо влечет за собой формирование у учащихся элементарных знаний по математической логике, а также пропедевтики развития основ математического языка. Умение пользоваться математическим языком в процессе познания законов окружающей действительности составляет смысл понятия "математическая культура" - важнейшего компонента математического образования (Х.Ш.Шихалиев).

В работах математиков А.Н. Колмогорова, А.И. Маркушевича А.С. Столяра, A.M. Пышкало, П.М. Эрдниева и др. освещены принципиальные вопросы совершенствования школьного математического образования, в частности вопросы, связанные с усилением логической основы школьного курса, включением в него элементов математической логики.

Проблема введения элементов логики при обучении математике состоит не в том, чтобы изучить специально и обособленно логику, как отдельный учебный предмет, а в том, чтобы необходимые элементы стали неотъемлемой частью самого преподавания математики, важным инструментом, повышающим его эффективность и влияние на логическое развитие учащихся. "Необходима мыслительная, логическая программа, которая должна быть реализована в начальных и средних классах школы" (А.А.Столяр).

Отношения, включающие математические операции над выражениями, и отношения (эквивалентности, порядка, функциональные), приводящие к предложениям (высказываниям и высказывательным формам, равенствам и неравенствам, уравнениям, тождествам), должны выступать в качестве самостоятельной логической единицы содержания школьного курса математики, поскольку они являются основой выявления истинности или ложности наших суждений. Поэтому изучение различных отношений между объектами, и в частности, отношений на числовом множестве, может стать важным средством формирования элементов математической логики у младших школьников в процессе обучения математике.

Исследования психологов и педагогов В.В. Выготского, Д.Б. Леонтьева, С.Л. Рубинштейна, Л.В. Занкова, В.В. Давыдова, Н.М. Скаткина и др. показывают, что при определенных условиях можно достичь не только высокого уровня знаний, умений, навыков, но и общего развития. В традиционном обучении развитие выступает как желательный, но далеко не предсказуемый продукт обучения.

Выдвинутый Л.В. Занковым принцип "обучение на высоком уровне трудности" заставил методистов по-новому оценить реальные познавательные возможности младших школьников. Это повлекло за собой пересмотр содержания обучения по всем учебным предметам с точки зрения его доступности.

Идея повышения роли теоретических знаний в обучении младших школьников была выдвинута одновременно в ряде научных исследований (В.В. Давыдов, Л.В. Занков, А.И. Маркушевич, К.И. Нешков, A.M. Пышкало, П.М. Эрдниев и др.). Так, сформулированный Л.В. Занковым принцип "ведущей роли теоретических знаний в начальном обучении" и его реализация при отборе содержания обучения позволил увеличить долю теоретических знаний по сравнению с эмпирическими. В учебниках появились нетиповые, нестандартные задания и упражнения, приводящие к ряду обобщений теоретического характера. Однако степень разработанности и обоснованности этого принципа привели к недооценке необходимости формирования элементов математической логики в процессе обучения математике.

В психолого-методической литературе проблема формирования элементов математической логики у учащихся рассмотрена частично, применительно к обучению математике в старших классах. Специальных исследований, связанных с реализацией этой проблемы в процессе обучения математике в начальных классах, нам не удалось обнаружить. Их отсутствие отрицательно сказывается на программно-методическом обеспечении процесса обучения в начальной школе, при подготовке будущих учителей в вузе и педколледжах, и в конечном итоге на уровне развития математической культуры учащихся - важнейшего компонента общечеловеческой культуры.

Актуальность проблемы - совершенствование содержания обучения математике в начальных классах с целью формирования элементов математической логики у младших школьников.

Целью исследования являются обоснование необходимости и возможности использования элементов математической логики при обучении математике в 1-4 классах и разработка учебно-методических средств для ее реализации.

Объект исследования - процесс изучения математики при обучении в начальной школе, а его предмет - методы и средства формирования у учащихся 1-4 классов элементов математической логики.

Гипотеза исследования. Исходя из предположения о том, что если усовершенствовать методику изучения числовых равенств и неравенств с позиции их истинности или ложности и сконструировать соответствующую систему упражнений, удовлетворяющих определенным требованиям с учетом возрастных особенностей учащихся, то это будет способствовать формированию элементов математической логики в едином процессе с изучаемым материалом.

Для достижения поставленной цели и реализации гипотезы определены следующие задачи исследования:

1. Выявить психолого-педагогические и методические основы формирования у детей элементов математической логики в процессе обучения математики в начальных классах.

2. Обосновать необходимость совершенствования практического материала при обучении математике в начальных классах с целью формирования у учащихся элементов математической логики.

3. Определить требования к упражнениям для целенаправленного формирования у учащихся элементов математической логики.

Методологической основой исследования являются: основные положения диалектико-материалистической философии и разработанное на их основе учение о личностно-деятельном подходе в обучении (А.С. Выготский, А.Н. Леонтьев, С.Л. Рубинштейн и др.); исходные положения теории развивающего обучения (В.В. Давыдов, Л.В. Занков, Н.А. Менчинская, Д.Б. Эльконин, Н.С. Якиманская и др.); основополагающие идеи методистов-математиков (А.М. Пышкало, П.М. Эрдниев, Х.Ш. Шихалиев и др.).

Научная новизна и теоретическая значимость исследования состоит в том, что обоснована необходимость и возможность формирования элементов математической логики в процессе обучения математике в начальных классах, определены пути и средства формирования элементов математической логики, разработана система упражнений по формированию элементов математической логики и определены требования к ним.

Практическая значимость состоит в том, что результаты исследования и разработанная система упражнений могут быть использованы в практике работы учителей и методистами при совершенствовании программ, учебников и методических пособий для школы, педколледжей и институтов.



Глава 1. Теоретические основы изучения элементов математической логики в начальной школе

1.1 Высказывания и операции над ними. Таблицы истинности. Законы логики, высказываний

В математике мы имеем дело с различными утверждениями, например,

--число 100 делится на 4;

--через две точки можно провести две прямые;

--число 0,00000001 очень мало.

Относительно одних утверждений можно сказать, что в них говорится нечто правильное, относительно других - утверждается нечто неверное. Например, утверждение A - верное, утверждение B - неверное. Относительно утверждения C нельзя сказать, является оно верным или нет, так как оно не имеет точного смысла.

Определение 1.

Утверждение, которое является верным, называется истинным.

Определение 2.

Утверждение, которое является неверным, называется ложным.

Определение 3.

Высказыванием называется любое утверждение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно.

Из определения 3 вытекает

Свойство 1.

Всякое высказывание является либо истинным, либо ложным (закон исключенного третьего).

Свойство 2.

Никакое высказывание не может быть одновременно истинным и ложным (закон противоречия).



Свойство 3.

Предложение, о котором невозможно однозначно решить вопрос, истинно оно или ложно, высказыванием не является.

На множестве высказываний можно ввести операции, позволяющие образовывать новые высказывания. Например, если заданы два высказывания A{сейчас солнечно} и B{сейчас ветрено}, то с помощью связок «и», «или», «если..., то...», «либо..., либо...», «тогда и только тогда, когда», «неверно, что» можно образовать новые высказывания вида: {сейчас солнечно и ветрено}, {сейчас солнечно или ветрено}, {если сейчас солнечно, то сейчас ветрено} и т.д. Такие высказывания называют составными, а входящие в них высказывания A и B - элементарными.

Два составных высказывания A и B называются равносильными, если они одновременно истинны или одновременно ложны при любых предположениях относительно истинности входящих в них элементарных высказываний. В этом случае пишут A = B.

Определение 4.

Отрицанием высказывания A называется высказывание, которое истинно, когда A ложно, и ложно, если A истинно. Обозначение: А. Читается: «неверно, что A».

Данное определение записывают с помощью таблицы истинности, в которой буква «И» означает истинное высказывание, а буква «Л» - ложное.

A А	И Л	Л И

Например: отрицанием высказывания {через две точки можно провести две прямые} является высказывание {через две точки нельзя провести две прямые}. Отрицанием высказывания {число 37 не делится на 2} будет высказывание {число 37 делится на 2}.



Определение 5.

Конъюнкцией двух высказываний A и B называется высказывание, которое истинно в том и только в том случае, если истинны оба высказывания. Обозначение: АВ, читается: «A и B». Таблица истинности имеет вид:

A	И	И	Л	Л
B	И	Л	И	Л
??	И	Л	Л	Л

Например: конъюнкцией высказываний {3 < 8} и {8 < 11} является высказывание {3 < 8 < 11}. Или, конъюнкцией высказываний {точка A лежит на прямой a} и {точка A лежит на прямой b} является высказывание {точка A лежит на прямой a и на прямой b}.

Определение 6.

Дизъюнкцией двух высказываний A и B называется высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда ложны оба высказывания. Обозначение:А?В, читается: «A или B». Таблица истинности имеет вид:

A	И	И	Л	Л
B	И	Л	И	Л
АВ	И	И	И	Л

Примеры: дизъюнкцией высказываний

{3 < 8} и {3 = 8} является высказывание {3 < 8 < 11};

{точка A лежит на прямой a} и {точка A лежит на прямой b} является высказывание {точка A лежит на прямой a или на прямой b}, где связка "или" не имеет разделительного смысла. То есть точка A может лежать либо только на прямой a, либо только на прямой b, либо же на прямой a и прямой b одновременно.

Свойство 4.

Операции дизъюнкции и конъюнкции коммутативны.

АВ = ВА и АВ = ВА

Доказательство

Для доказательства достаточно сравнить таблицы истинности высказываний и . и . Покажем для и .

A	И	И	Л	Л
B	И	Л	И	Л
АВ	И	И	И	Л

B	И	И	Л	Л
A	И	Л	И	Л
ВА	И	И	И	Л

Свойство 5.

Операции дизъюнкции и конъюнкции ассоциативны.

А(ВС) = (АВ)С

и А(ВС?) = (А В)С

Свойство 6.

Для любых трех высказываний A, B и C справедливы равенства

А(ВС) = (АС)(ВС)

А(ВС) = (АС)? (ВС)



Свойство 7.

Дизъюнкция любого высказывания A и его отрицания А - тождественно истинна.

Свойство 8.

Для любых двух высказываний A и B справедливы формулы де Моргана:

Определение 7.

Высказывание «если A, то B» называют импликацией высказываний A и B, если оно ложно лишь в случае, когда A - истинно, а B - ложно. Обозначение: А=>В. Таблица истинности имеет вид:

A	И	И	Л	Л
B	И	Л	И	Л
АВ	И	Л	И	И

Высказывание A называют условием, а B - заключением импликации.

Свойство 9.

Для любых двух высказываний A и B справедливо

И	И	Л	Л	И	И	И	И
И	Л	Л	И	Л	Л	И	И
Л	И	И	Л	И	И	Л	Л
Л	Л	И	И	И	И	И	И



Определение 10.

Импликацией, обратной данной импликации А =>В, называется импликация В =>А.

Определение 11.

Импликацией, противоположной данной импликации А =>В, называется импликация А =>В.

Например: импликацией высказываний {100 делится на 4} и {100 - четное число} является высказывание {если 100 делится на 4, то 100 - четное число}. Импликация обратная данной будет тогда такой: {если 100 - четное число, то 100 делится на 4}. Как мы видим, если импликация истинна, то обратная к ней не всегда будет истинна. Противоположной к исходной будет импликация {если 100 не делится на 4, то 100 не является четным числом}.

Свойство 10.

Справедливы равенства (А=>В)=(В=>А) и (В=>А)=(А=>В)

Определение 12.

Эквиваленцией высказываний A и B называется высказывание, которое истинно, когда оба высказывания A и B истинны или оба ложны. Обозначение: А<=>В. Таблица истинности имеет вид:

A	И	И	Л	Л
B	И	Л	И	Л
АВ	И	Л	Л	И

Например: эквиваленцией двух высказываний {точки A и B лежат в разных полуплоскостях от прямой a} и {отрезок AB пересекает прямую a} является высказывание {точки A и B лежат в разных полуплоскостях от прямой a тогда и только тогда, когда отрезок AB пересекает прямую a}.

Определение 13.

Пусть предложение содержит переменную, которая может принимать различные значения, причем подстановка любого из значений переменной превращает предложение в высказывание. Тогда это предложение называют одноместным предикатом. Множество X всех значений переменной x называют областью определения предиката. Обозначение предиката: A (x).

Определение 14.

Множеством истинности предиката A (x), x€X называется подмножество TX, на котором A (x) истинно.

Например: на рис.1 изображены точки, соединенные несколькими отрезками. На множестве X, состоящем из точек a, b, c, d, e, f, g (X = {a, b, c, d, e, f, g}), задан одноместный предикат A (x) = {к точке x в рассматриваемой фигуре примыкают три отрезка}.

1

Рисунок 1

Ниже приведена таблица истинности этого предиката:

A (a)	A (b)	A (c)	A (d)	A (e)	A (f)	A (g)
Л	Л	И	И	И	Л	Л

Множеством истинности данного предиката, соответственно, будет множество точек T = {c, d, e}.

Определение 15.

Два предиката A (x) и B (x) называются равносильными, если у них совпадают области определения и множества истинности. Обозначение:А(x) B(x)



Определение 16.

Квантором общности называют символ , означающий слово «все, каждый, любой». Высказывание читается: «для всех x из X справедливо P от x».

Квантором существования называют символ , означающий слово «существует, некоторый». Высказывание читается: «существует такое x из X, что справедливо P от x».

Справедливо а) б) а) Если истинно высказывание то это означает, что не для всех x выполнено A (x), другими словами, существует x, для которого выполнено то есть когда истинно выражение Если - ложно, то - истинно, тогда - ложно. Это доказывает равносильность высказываний и равенство

б) Так как формула пункта а) верна для любого предиката A (x), возьмем предикат Получим Строя отрицание обеих частей, получаем С учетом того, что для любого высказывания имеем что и требовалось доказать.

Так же, как и для высказываний, на множестве предикатов можно ввести операции отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации и эквиваленции. Для этого устанавливают правила, которые позволяют находить множество истинности составного предиката, если известны множества истинности составляющих его элементарных предикатов.

Пусть на множестве X заданы предикаты A (x) и B (x), множества истинности которых соответственно и

Определение 17.

Отрицанием предиката A (x) называется предикат множество истинности T которого является дополнением к множеству T1, то есть T = X \ T1.

Определение 18.

Дизъюнкцией предикатов A (x) и B (x) называется предикат множество истинности которого определяется равенством

Определение 19.

Импликацией предикатов A (x) и B (x) называется предикат множество истинности которого определяется равенством где

В том случае, когда импликация истинна при всех значениях из множества X, говорят, что предикат B (x) логически следует из предиката A (x), и предикат B (x) называют необходимым условием для предиката A (x), а предикат A (x) - достаточным условием для B (x).

Если предикаты A (x) и B (x) на множестве X эквивалентны, то каждый из них называют необходимым и достаточным условием для второго.

Например, в импликации {если x - число натуральное, то оно целое} предикат B (x) = {x - число целое} логически следует из предиката A (x) = {x - число натуральное}. Следовательно, предикат B (x) является необходимым условием для предиката A (x), а предикат A (x) - достаточным для B (x). Используя эти термины, импликацию {если число x натуральное, то оно целое} можно выразить так:

Для того чтобы число x было натуральным, необходимо, чтобы оно было целым.

Для того чтобы число x было целым, достаточно, чтобы оно было натуральным.

Часто приходится рассматривать предикаты, в которые входит не одна, а две и больше переменных. Они называются в зависимости от числа переменных двухместными, трехместными, ..., n-местными. Рассмотрим, например, следующие предложения, в которых под x и y понимают произвольные натуральные числа:

A (x, y) = {x < y}, B (x, y) = {x + y = 10}, C (x, y) = {x делится на y}, D (x, y) = {x + y есть простое число}.

Мы ничего не можем сказать об истинности или ложности этих утверждений, пока не сказано, какие значения принимают x и y. Но если точно указано, чему равны x и y, каждое из сформулированных утверждений превращается в высказывание - для одних пар (x, y) истинное, для других ложное. Множество всех пар чисел (x, y), для которых данный двухместный предикат есть истинное высказывание, называется множеством его истинности.

Приведем примеры высказываний, получающихся из указанных предложений при конкретных значениях x и y:



A (1; 3) = {1 < 3} - истинное высказывание,

A (2; 2) = {2 < 2} - ложное высказывание,

A (5; 4) = {5 < 4} - ложное высказывание,

B (1; 3) = {1 + 3 = 10} - ложное высказывание,

B (8; 2) = {8 + 2 = 10} - истинное высказывание и т.д.

Законы логики

1. Закон противоречия

Сущность закона: два несовместимых друг другом суждения не могут быть одновременно истинными; по крайней мере, одно из них обязательно ложно. Записывается: а не есть не-a.

Данный закон имеет большое значение в мыслительном процессе. К примеру, римский философ Эпиктет так обосновывал необходимость закона противоречия: "Я хотел бы быть рабом человека, не признающего закона противоречия. Он велел бы мне подать себе вина, я дал бы ему уксуса или еще чего похуже. Он возмутился бы, стал бы кричать, что я даю ему не то, что он просил. А я сказал бы ему. Ты не признаешь ведь закон противоречия, стало быть, что вино, уксус, что какая угодно гадость - все одно и то же. Или так: хозяин велел побрить себя. Я охватываю ему бритвою ухо или нос. Опять начинаются крики, но я повторил бы ему свои рассуждения. И все делал бы в таком роде, пока не принудил бы хозяина признать истину, что необходимость непреоборима и закон противоречия всевластен". Смысл этого эмоционального комментария сводится к идее: из противоречия можно вывести все, что угодно. Тот, кто допускает противоречие в своих рассуждениях, должен быть готов к тому, что из распоряжения побрить будет выведена команда отрезать нос и т.п.

Сформулированное требование закона противоречия выражает объективные свойства самих вещей. Как мы уже отмечали, любой предмет качественно определен. Качественная определенность означает, что присущие предмету свойства, а также и само его существование, не могут быть и не быть, принадлежать и не принадлежать ему в одно и то же время в одном и том же отношении. В противном случае предмет не был бы самим собою, потерял бы свою определенность и практическую значимость в общественной жизни. Например: "Этот человек храбр" и "Этот человек труслив"; "Эта война справедлива" и "Эта война несправедлива".

В процессе своей деятельности люди давно обнаружили данную закономерность, и это сказалось на формировании структурных особенностей правильной мысли. Если в самой действительности каждый предмет не может одновременно иметь и не иметь одно и то же свойство, то и человеческая мысль, если она стремится быть истинной, тоже должна своей логической формой отражать объективный порядок и связь вещей.

При этом необходимо иметь в виду, что закон противоречия действует в определенных границах, он распространяется не на все суждения, а только на несовместимые. Напомним, что несовместимыми называются суждения, которые одновременно не могут быть истинными. Несовместимость бывает двух видов: противоположная ("Этот человек трудолюбивый" - "Этот человек ленивый"; "Все планеты внутри холодные" - "Все планеты внутри горячие") и противоречащая ("Этот студент - экономист" - "Этот студент не является экономистом"; "Все планеты внутри холодные" -"Некоторые планеты не являются внутри холодными").

Из приведенных примеров видно, что данный закон только указывает на ложность одного из двух логически несовместимых суждений. Но какое из них будет ложным, закон противоречия не позволяет определить. Вопрос о том, какое из двух суждений истинно, а какое ложно, решается в процессе конкретного исследования и проверки на практике. Закон указывает лишь на то, что из истинности одного из несовместимых суждений с необходимостью следует ложность другого.

Охраняя непротиворечивость всякого правильного мышления, закон противоречия требует не допускать логической несовместимости в рассуждении об одном и том же предмете мысли, обеспечивает четкую определенность выводов и тем самым способствует их истинности. Приписывая одному и тому же предмету несовместимые свойства, можно допустить ошибку - логическое противоречие. Например: "Эти проблемы, к сожалению, не решаются, но в целом их решить удается". Недопущение этой ошибки в процессе рассуждения связано, в первую очередь, с правильным пониманием логического противоречия. Стремление видеть логические противоречия там, где их нет, обязательно ведет к неверному истолкованию закона противоречия.

Например, нет противоречия в утверждении: "Осень настала и еще не настала", подразумевающем, что хотя по календарю уже осень, а тепло, как летом. Его нет и в словах известной песни: "Речка движется и не движется... Песня слышится и не слышится".

Если в мышлении, а также в речи человека обнаружено формально-логическое противоречие, то такое мышление считается неправильным, а суждение, из которого следует противоречие, отрицается и классифицируется как ложное. В этой связи нередко в полемике при опровержении мнения оппонента широко используется такой метод, как "приведение к абсурду".

Диалектические противоречия процесса познания иногда выражаются в форме формально-логических противоречий. Например, опровержение гипотезы путем опровержения следствий, противоречащих опытным фактам или ранее известным законам; выступления с рефератом докладчика и его оппонента; выступления обвинителя и защитника; воззрения людей, ориентирующихся на конкурирующие гипотезы; концепции естествоиспытателей (физиков - ядерщиков), получивших результаты, несовместимые с ранее представленным выводом по опытам и др.

Логические противоречия - это противоречия непоследовательного, путанного рассуждения. Оно принципиально отлично от диалектических противоречий, являющихся противоречиями самих реальных объектов и представляющих собой внутренний источник развития, как объективного мира, так и человеческого мышления.

Это два разных типа противоречий, которые нельзя путать, ибо их смешение ведет к нарушению одного из рассмотренных условий - закона тождества.

При логическом правильном мышлении наши рассуждения, отражающие самые глубокие противоречия предметного мира, остаются непротиворечивыми. Существование реальных противоречий не нарушает законов формальной логики - о противоречивых процессах необходимо мыслить непротиворечиво, логически правильно. При этом важно знать и соблюдать на практике условия закона противоречия.

Во-первых, в процессе мышления необходимо утверждать принадлежность предмету (явлению) одного признака и в то же время отрицать принадлежность данному предмету (явлению) другого признака. Именно в таких обстоятельствах у человека в процессе мышления не будет логического противоречия. Например: "К. Симонов является автором книги "Живые и мертвые" и "К. Симонов не является автором книги "Блокада". Второй пример: "Все современные американские авианосцы имеют мощную противоракетную защиту" и "Ни один современный американский авианосец не имеет наклонной взлетно-посадочной полосы".

Во-вторых, противоречия между суждениями не будет, если в ходе мыслительного процесса рассматриваются различные предметы (или явления). Например: "Петров читает повесть А.С. Пушкина "Дубровский" и "Иванов читает поэму А. Блока "Двенадцать".

В-третьих, противоречия не будет, если в ходе мышления что-либо утверждается и в то же время отрицается относительного одного предмета (явления), но рассматриваемого в различное время. Возьмем пример, основанный на анализе преподавателем ответа обучаемого в начале и в конце экзамена. Преподаватель может сказать: "Ответ Николаева был неточным" и "Ответ Николаева был верным, точным и доказательным".

В-четвертых, противоречия в суждении не будет, если один и тот же предмет (явление) нашей мысли рассматривается в различных отношениях. Например: "Николай Слесарев - перворазрядник (по гимнастике)" и "Николай Слесарев не является перворазрядником (по боксу)" В данном случае противоречия не будет, так как предметы мысли в этих суждениях берутся в разных отношениях.

Необходимо иметь в виду, что нарушение закона противоречия носит весьма серьезный характер, ибо при допущении логических противоречий можно было бы доказать фактически любое ложное утверждение. В таких условиях, естественно, наука совершенно не могла бы развиваться, прогрессировать, а мышление человека и его познание превратились бы в хаотичные и бессистемные образования.

Вот почему формально-логических противоречий нельзя допускать ни в каких рассуждениях, ни в какой научной системе. Особенно они опасны в выводах следствия или суда. Ведь здесь затрагиваются интересы и судьбы людей. Между тем в жизни может быть такая ситуация, когда, например, один свидетель утверждает одно, другой - совершенно противоположное, третий допускает путанные и туманные рассуждения. При таком условии соблюдение требований закона противоречия особенно важно и необходимо.

Следует также подчеркнуть, что закон противоречия не применим в тех случаях, когда неправомерна сама постановка вопроса и на него не может быть дан ответ. Например, нельзя ответить на такие, скажем, вопросы: "Любил ли Гераклит играть в шахматы?" или "Был ли Лукреций Кар атеистом?"

Формальная логика не отрицает формальных противоречий: она требует лишь, чтобы о противоречивых явлениях мыслили непротиворечиво, логически правильно, в соответствии с объективной реальностью. Было бы недопустимым считать, будто бы формальная логика теряет силу в тех суждениях, в которых речь идет о противоречивых процессах, например, о движении, как единстве прерывного и непрерывного. Противоречивое содержание таких суждений неправомерно смешивать с логическим противоречием, которое возникло бы при одновременном утверждении, что движение есть единство непрерывности и прерывности. При логически правильном мышлении суждения, отражающие самые глубокие противоречия объективного мира, остаются логически стройными, а потому непротиворечивыми.

Значение закона противоречия и заключается в том, что он обеспечивает достижение истины. Логически непротиворечивая мысль может оказаться ложной по содержанию, но истинная мысль никогда не может быть логически противоречивой по своей структуре. Логическая непротиворечивость является хотя и недостаточным, но обязательным формальным критерием всякой научной теории.

Таким образом, знание закона противоречия позволяет избежать субъективных противоречий, сделать мышление непротиворечивым и исключающим логическое заблуждение. Вместе с тем, настаивая на исключении логических противоречий, не следует пытаться втиснуть все многообразие противоречий в прокрустово ложе логики.

2. Закон исключенного третьего

Сущность закона: два противоречащих исключенного суждения и тоже время и в одном и том же отношении, не могут быть вместе истинными или ложными. Одно - необходимо истинно, а другое - ложно; третьего быть не может. Записывается: или а, или не-а.

Реально такие связи образуются из следующих пар суждений:

- "Это S есть Р" и "Это S не есть Р" (единичные суждения);

- "Все S есть Р" и "Некоторые S не есть Р" (суждения А и Q),

- "Ни одно S не есть Р" и "Некоторые S есть ^"(суждения Е и I).

Подобно закону противоречия закон исключенного третьего отражает последовательность и противоречивость мышления. Он не допускает противоречий в мыслях и устанавливает, что два противоречащих суждения не могут быть не только одновременно истинными (на это указывает и закон противоречия), но и одновременно ложными. Если ложно одно из них, то другое необходимо истинно.

Этот закон с иронией обыгрывается в художественной литературе. Причина иронии понятна. Сказать: "Нечто есть, и его нет", значит, ровным счетом ничего не сказать. Смешно, если кто-то этого не знает. Например, в "Мещанине во дворянстве" Ж.-Б. Мольера есть такой диалог:

Г-н Журден. ...А теперь я должен открыть вам секрет. Я влюблен в одну великосветскую даму, и мне бы хотелось, чтобы вы помогли мне написать ей записочку, которую я собираюсь уронить к ее ногам.

Учитель философии. Отлично.

Г-н Журден. Ведь правда, это будет учтиво?

Учитель философии. Конечно. Вы хотите написать ей стихи?

Г-н Журден. Нет-нет, только не стихи.

Учитель философии. Вы предпочитаете прозу?

Г-н Журден. Нет, я не хочу ни прозы, ни стихов.

Учитель философии. Так нельзя: или то, или другое.

Г-н Журден. Почему?

Учитель философии. По той причине, сударь, что мы можем излагать свои мысли не иначе как прозой или стихами.

Г-н Журден. Не иначе как прозой или стихами?

Учитель философии. Не иначе сударь. Все, что не проза, то стихи, а что не стихи, то проза.

Закон исключенного третьего не указывает, какое из двух противоречивых суждений будет истинным по своему содержанию. Этот вопрос решается практикой, устанавливающей соответствие или несоответствие суждений объективной действительности. Он только ограничивает круг исследования истины двумя взаимоисключающими альтернативами и способствует формально правильному разрешению возникшего противоречия. Именно поэтому для установления истинности, например, общего утверждения о чем-либо не всегда нужна (часто она просто невозможна) проверка всего круга явлений. В этом случае достаточно привести частноотрицательное суждение, чтобы опровергнуть общее утверждение и таким образом найти правильный путь решения проблемы.

Значение закона состоит в том, что он указывает направление в отыскании истины: возможно только два решения вопроса "или-или", причем одно из них (и только одно) необходимо истинно.

Закон исключенного третьего требует ясных, определенных ответов, указывая на невозможность отвечать на один и тот же вопрос в одном и том же смысле и "да", и "нет", на невозможность искать нечто среднее между утверждением чего-либо и отрицанием того же самого. Как это, например, делает один мудрец, к которому пришел крестьянин, поспоривший со своим соседом. Изложив суть спора, крестьянин спрашивает: "Кто прав?" Мудрец ответил: "Ты прав". Через некоторое время к мудрецу пришел второй из споривших. Он тоже рассказал о споре и спросил: "Кто прав?" Мудрец ответил: "Ты прав". Как же так? - спросила мудреца жена. Тот прав и другой прав?" "И ты права, жена", - ответил мудрец.

Согласно этому закону, необходимо уточнять наши понятия, чтобы можно было давать ответы на альтернативные вопросы. Например: "Является ли данная система знаков языком или она не является языком?" Если бы понятие "язык" не было точно определено, то в некоторых случаях на этот вопрос невозможно было бы ответить. Возьмем другой вопрос: "Солнце взошло или не взошло?" Представим себе такую ситуацию: солнце наполовину вышло из-за горизонта. Как ответить на этот вопрос? Закон исключенного третьего требует, чтобы понятия уточнялись для возможности давать ответы на такого рода вопросы. В случае с восходом солнца мы можем, например, договориться считать, что солнце взошло, если оно чуть-чуть показалось из-за горизонта. В противном случае следует считать, что оно не взошло.

Уточнив понятия, мы можем сказать о двух суждениях, одно из которых является отрицанием другого. Одно из них обязательно истинно, другое - ложно; третьего варианта не дано, не может быть.

Объективным основанием закона исключенного третьего является качественная определенность вещей и явлений, относительная устойчивость их свойств. Отражая эту сторону действительности, закон утверждает, что у объекта не могут одновременно отсутствовать оба противоречащих признака: отсутствие одного из них закономерно предполагает наличие другого. Так, оценивая мотивы поведения человека с учетом всех, иногда довольно противоречивых, сторон его характера, следует быть последовательным: нельзя одновременно ему приписывать взаимоисключающие свойства, например, исполнительность и нерадивость, активность и пассивность в выполнении служебных обязанностей и т.д.

Закон исключенного третьего кажется самоочевидным, и трудно представить, что кто-то мог предложить отказаться от него. Немецкий математик и логик Д. Гильберт утверждал даже, что "отнять у математиков закон исключенного третьего - это то же самое, что забрать у астрономов телескоп или запретить боксерам пользоваться кулаками". И, тем не менее, в современной логике имеются системы, в которых этот закон не учитывается.

Дело в том, что недопустимо абсолютизировать закон исключенного третьего. Формула "или-или" имеет относительный характер. Она применима лишь тогда, когда высказываются противоречивые суждения о таких предметах, от процесса изменения которых в ходе рассуждения и получения вывода можно абстрагироваться.

В познании нередко возникают неопределенные ситуации, которые отражают переходные состояния, имеющиеся как в материальных явлениях, так и в самом процессе познания. Например, состояние клинической смерти; ситуации, когда гипотеза еще не доказана и не опровергнута; когда мы не знаем, какова степень подтверждения долгосрочного прогноза погоды или развития какого-либо явления; рассуждения о будущих единичных событиях типа: "Через сто лет не будет ни газет, ни журналов; информация будет распространяться только с помощью компьютеров".

В таком роде ситуациях мы не можем мыслить только по законам классической двузначной логики, а прибегаем к трехзначной логике, в которой суждения принимают три значения истинности: истина, ложь и неопределенность.

Кроме того, необходимо иметь в виду, что любое явление внутренне противоречиво, в нем одновременно могут содержаться противоречащие друг другу стороны. Возьмем, к примеру, языковую знаковую единицу. Как явление, она имеет две стороны - языковый знак и значение. Они предполагают друг друга, поскольку за знаком закреплено значение, а значение выражено знаком. Вместе с тем, они исключают друг друга, потому что знак есть материальный - акустический или графический - символ, а значение - идеальное образование в голове у человека. Значение не может войти в знак, а знак не может войти в значение. Эту и подобные ей проблемы изучает диалектическая логика.

Закон исключенного третьего, как и закон противоречия, не указывает, какое из двух противоречащих высказываний будет истинным по своему содержанию. Этот вопрос решается практикой, устанавливающей соответствие или несоответствие суждений объективной действительности. Он только ограничивает круг исследования истины двумя взаимно исключающими альтернативами. Когда вопрос поставлен верно, логика требует вполне определенного ответа - "да" или "нет", требует рассуждать по формуле "или-или", потому что третьего, промежуточного решения вопроса не существует. Например, нет, и не может быть середины между осуждением и не осуждением ядерной войны, как не может быть середины между жизнью и гибелью человеческой цивилизации.

Таким образом, закон исключенного третьего, не рассматривая самих противоречий объективного мира, не допускает признания одновременно истинными или одновременно ложными два противоречащих друг другу суждения. В этом и состоит его важное значение для теоретической и практической деятельности юриста или экономиста.

3. Закон двойного отрицания

Закон двойного отрицания -- положенный в основу классической логики принцип, согласно которому «если неверно, что неверно А, то верно А». Закон двойного отрицания называется также законом снятия двойного отрицания. В формализованном языке логики высказываний закон двойного отрицания выражается формулой

А=>А

и в таком виде фигурирует обычно в перечне логических аксиом формальных теорий. В традиционной содержательной математике закон двойного отрицания служит логическим основанием для проведения так называемых доказательств от противного по следующей схеме: из предположения, что суждение А данной математической теории неверно, выводится противоречие в этой теории, затем на основании непротиворечивости теории делается вывод, что неверно «не А», и тогда по закону двойного отрицания заключают, что верно А. В рамках конструктивных рассмотрений, когда действует требование алгоритмической реализуемости обоснования математических суждений, закон двойного отрицания оказывается, вообще говоря, неприемлемым.

Типичным тому примером служит всякое доказательство от противного суждения А, имеющего вид «при всяком х существует у такой, что верно В(х, у)», когда последний шаг, состоящий в применении закона двойного отрицания, оказывается невозможным из-за того, что конструктивное понимание суждения требует для его обоснования построения алгоритма, который по каждому х давал бы конструкцию у такого, что верно В(х, у). Между тем рассуждение с применением закона двойного отрицания не приводит к построению какого бы то ни было алгоритма; более того, искомого в этом случае алгоритма может вообще не существовать (см. также принцип конструктивного подбора).

Другие формулировки

Закон двойного отрицания тесно связан с законом исключённого третьего, а также с так называемым законом Пирса. В определённом смысле все три закона эквивалентны. Так, в интуиционистском исчислении высказываний, где эти законы не являются тавтологиями, каждый из этих двух законов выводим из другого, а добавление любого из них в аксиоматику сразу приводит к классической логике. При этом однако, существуют логики, в которых все три закона неэквивалентны.

1.2 Предикаты, множества истинности множества составных предикатов

В алгебре логики высказывания рассматриваются как нераздельные целые и только с точки зрения их истинности или ложности. Ни структура высказываний, ни их содержание не затрагиваются. В то же время и в науке, и в практике используются заключения, существенным образом зависящие как от структуры, так и от содержания используемых в них высказываний.

Например, в рассуждении «Всякий ромб - параллелограмм; ABCD - ромб; следовательно, ABCD - параллелограмм» посылки и заключение являются элементарными высказываниями логики высказываний и с точки зрения этой логики рассматриваются как целые, неделимые, без учета их внутренней структуры. Следовательно, алгебра логики, будучи важной частью логики, оказывается недостаточной в анализе многих рассуждений.

В связи с этим возникает необходимость в расширении логики высказываний, в построении такой логической системы, средствами которой можно было бы исследовать и структуру тех высказываний, которые в рамках логики высказываний рассматриваются как элементарные.

Такой логической системой является логика предикатов, содержащая всю логику высказываний в качестве своей части.

Логика предикатов расчленяет элементарное высказывание на субъект (буквально -- подлежащее, хотя оно и может играть роль дополнения) и предикат (буквально - сказуемое, хотя оно может играть и роль определения).

Субъект -- это то, о чем что-то утверждается в высказывании; предикат - это то, что утверждается о субъекте.

Например, в высказывании «7 - простое число», «7» -субъект, «простое число» - предикат. Это высказывание утверждает, что «7» обладает свойством «быть простым числом».

Если в рассмотренном примере заменить конкретное число 7 переменной х из множества натуральных чисел, то получим высказывательную форму «х - простое число». При одних значениях х, (например, х = 13, х =17) эта форма дает истинные высказывания, а при других значениях х (например, х = 10 , х = 18 ) эта форма дает ложные высказывания.

Ясно, что эта высказывательная форма определяет функцию одной переменной х, определенной на множестве N, и принимающую значения из множества {1,0}.

Здесь предикат становится функцией субъекта и выражает свойство субъекта.

Определение. Одноместным предикатом Р(х) называется произвольная функция переменного х, определенная на множестве М и принимающая значения из множества {1,0}.

Множество М, на котором определен предикат P(х) , называется областью определения предиката.

Множество всех элементов х М , при которых предикат принимает значение «истина», называется множеством истинности предиката Р(х), то есть множество истинности предиката Р(х) - это множество 1р = {х| х М, Р(х) = 1}.

Так, предикат Р(х) - «х - простое число» определен на множестве N, а множество Iр для него есть множество всех простых чисел.

Предикат F(x) - «Диагонали параллелограмма х перпендикулярны» определен на множестве всех параллелограммов, а его множеством истинности является множество всех ромбов.

Приведенные примеры одноместных предикатов выражают свойства предметов.

Рассмотрим примеры предикатов:

Р(х): «х2 + 1> 0, x R»; область определения предиката М= R и область истинности - тоже R, т.к. неравенство верно для всех действительных чисел. Таким образом, для данного предиката М = Ip . Такие предикаты называются тождественно истинными.

В(х): «х2 + 1< 0, x R»; область истинности Ip =, т.к. не существует действительных чисел, для которых выполняется неравенство. Такие предикаты называются тождественно ложными.

Определение. Предикат Р(х), определенный на множестве М, называется тождественно истинным (тождественно ложным), если 1р = М (1р = ).

Примеры

1. На множестве М= {3,4,5,6,7,8} заданы предикаты P(x) : «х - простое число», Q(x): «х - нечетное число». Составить таблицы истинности. Равносильны ли предикаты на множестве а) М; б) L = {2,3,4,5,6,7,8}; в) К = {3,4,5,6,7,8,9}?

Составим таблицы истинности предикатов на данных множествах:

М	Р(х)	Q(x)	L	Р(х)	Q(x)	K	Р(х)	Q(x)
3	1	1	2	1	0	3	1	1
4	0	0	3	1	1	4	0	0
5	1	1	4	0	0	5	1	1
6	0	0	5	1	1	6	0	0
7	1	1	6	0	0	7	1	1
8	0	0	7	1	1	8	0	0
			8	0	0	9	0	1

На множестве М IP = IQ, следовательно, на этом множестве предикаты равносильны. На множествах L и К условие равносильности не соблюдается.

Предикаты, так же, как высказывания, принимают два значения истина и ложь (1, 0), поэтому к ним применимы все операции логики высказываний.

Рассмотрим применение операций логики высказываний к предикатам на примерах одноместных предикатов.

Пусть на некотором множестве М определены два предиката -Р(х) и Q(x).

Определение: Конъюнкцией двух предикатов Р(х) и Q(x) называется новый предикат Р(х)Q{x), который принимает значение «истина» при тех и только тех значениях х М, при которых каждый из предикатов принимает значение «истина», и принимает значение «ложь» во всех остальных случаях.

Областью истинности предиката P(x)Q(x) является общая часть областей истинности предикатов Р(х) и Q(x), то есть: IPQ = Iр Iq . Соответствующая диаграмма имеет вид:



Примеры

Для предикатов Р(х): «х - четное число» и Q(x): «х кратно 3» конъюнкцией P(x)Q(x)

является предикат «х - четное число и х кратно 3», то есть предикат «х делится на 6» и область истинности IPQ = IP IQ = {2, 4, 6,…,2n, …} {3, 6, 9, 12,…, 3n, …}={6, 12, 18, …, 6n, …}.

Определение. Дизъюнкцией двух предикатов Р(х) и Q(x) называется новый предикат Р(х)V Q(x), который принимает значение «ложь» при тех и только тех значениях х М, при которых каждый из предикатов принимает значение «ложь» и принимает значение «истина» во всех остальных случаях.

Областью истинности предиката Р(х)V Q(x) является объединение областей истинности предикатов Р(х) и Q(x), то есть : IPVQ = Iр Iq. Диаграмма:

Пример: Для предикатов Р(х) и Q(x) областью истинности их дизъюнкции является объединение их областей истинности:

IPVQ = Iр Iq={2, 4, 6,…,2n, …} {3, 6, 9, 12,…, 3n, …}={2,3,4,6,…,2n, 3n, …}.

Определение. Отрицанием предиката Р(х) называется новый предикат, который принимает значение «истина» при всех значениях х М, при которых предикат Р(х) принимает значение «ложь», и принимает значение «ложь» при тех значениях х М, при которых предикат Р(х) принимает значение «истина».

Определение . Импликацией предикатов Р{х) и Q(х) называется новый предикат Р(x) Q(x), который является ложным при тех и только тех значениях х М, при которых одновременно Р(х) принимает значение «истина», a Q(x) - значение «ложь» и принимает значение «истина» во всех остальных случаях.

Диаграмма: области истинности соответствует заштрихованная часть:

1.3 Кванторы общности и существования. Построение отрицания высказываний с кванторами

Пусть на множестве Х простых чисел задан предикат Р(х): «Простое число х - нечетно». Подставим перед этим предикатом слово «любое». Получим ложное высказывание «любое простое число х нечетно» (это высказывание ложно, так как 2 - простое четное число). Подставив перед данным предикатом Р(х) слово «существует», получим истинное выказывание «Существует простое число х, являющимся нечетным» (например х=3). Таким образом, превратить предикат в высказывание можно поставив перед предикатом слова: «все», «существует», и др., называемые в логике кванторами.

Квантор -- общее название для логических операций, ограничивающих область истинности какого-либо предиката. Чаще всего упоминают квантор всеобщности (обозначение: , читается: «для всех…», «для каждого…» или «каждый…», ошибочно: «для любого…», «любой…») и квантор существования (обозначение: , читается: «существует…» или «найдётся…»). В математической логике приписывание квантора к формуле называется связыванием или навешиванием квантора. Существует также квантор плюральности (квантор Решера) W (перевёрнутая M). Wx означает «для большинства x».

Квантор -- В логике предикатов, большое значение имеют две операции называемые:

Квантор «Существования» Обозначается (?х)Р(х). Квантором существования называется высказывание, истинное, когда существует элемент из множества М, для которого Р(х) истинно, и ложное в противном случае.

Квантор «Общности» Обозначается (?х)Р(х). Квантором общности называется высказывание истинное, когда Р(х) истинно для каждого элемента х из множества М, и ложное - в противном случае.

Операцию связывания квантором можно применять и к предикатам от большего числа переменных.

Для формул логики предикатов сохраняется справедливость всех правил равносильных преобразований логики высказываний. Кроме того, справедливы следующие свойства:

1) Перенос квантора через отрицание.

Ш(?x)A(x) = (?x)ШA(x); Ш(?x)A(x) = (?x)ШA(x);



2) Вынесение квантора за скобки.

(?х)(А(х) & B) = (?x)A(x) & B; (?x)(A(x) & B) = (?x)A(x) & B;

(?х)(А(х) Ъ B) = (?x)A(x) Ъ B; (?x)(A(x) Ъ B) = (?x)A(x) Ъ B;

3) Перестановка одноименных кванторов.

(?y)(?x)A(x,y) = (?x)(?y)A(x,y); (?y)(?x)A(x,y) = (?x)(?y)A(x,y);

4) Переименование связанных переменных. Если заменить связанную переменную формулы А другой переменной, не входящей в эту формулу, в кванторе и всюду в области действия квантора получаем формулу, равносильную А.

Исчисление предикатов базируется на приведенных выше свойствах и правилах, называемых аксиомами.

Какими бы ни были формулы А и В для них справедливы следующие аксиомы:

1) A Ю (B Ю A);

2) (A Ю (B Ю C)) = ((A Ю B) Ю--(A--Ю--C));

3)--(ШB--Ю--ШA)--=--((ШB--Ю--A)--Ю--B);

4) (?xi)A(xi) = A(xj), где формула А(хi) не содержит переменной xi.

5) A(xi) = (?xj)A(xj), где формула А(хi) не содержит переменной xi

Известно, что часто для отрицания некоторого предложения достаточно предпослать сказуемому этого предложения отрицательную частицу “не”. Например, отрицанием предложения “Река х впадает в Черное море”. является предложение “Река х не впадает в Черное море”. Годится ли этот прием для построения отрицаний предложений с кванторами? Рассмотрим пример.

Предложения “Все птицы летают ” и “Все птицы не летают” не являются отрицаниями друг друга, т. к. они оба ложны. Предложения “Некоторые птицы летают” и “Некоторые птицы не летают” не являются отрицанием друг друга, т. к. они оба истинны. Таким образом , предложения , полученные добавлением частицы “не” к сказуемому предложений “Все х суть Р” и “Некоторые х суть Р” не являются отрицаниями этих предложений. Универсальным способом построения отрицания данного предложения является добавление словосочетания “наверно, что” в начале предложения. Таким образом, отрицанием предложения “Все птицы летают” является предложение “Неверно, что все птицы летают”; но это предложение имеет тот же смысл, что и предложение “Некоторые птицы не летают”. Отрицанием предложения “Некоторые птицы летают” является предложение “Неверно, что некоторые птицы летают”, которое имеет тот же смысл, что и предложение “Все птицы не летают”.