Міністерство освіти і науки України

Запорізький державний університет

ДО ЗАХИСТУ ДОПУЩЕНИЙ

Зав. каф. Математичного аналізу

д. т. н. проф. ____ С.Ф. Шишканова

_________________________ 2002 р.

ПОЯСНЮВАЛЬНА ЗАПИСКА ДО КУРСОВОГО ПРОЕКТУ

ГАМА-ФУНКЦІЯ ТА ЇЇ ДОДАТКИ

Розробив

Ст. гр. 8221-2

Садигов Р.А.

Керівник

Ст. викладач Кудря В.І.

Запоріжжя

2002

Содержание

Реферат

Введение

1. Бета-функции

2. Гамма-функции

3. Производная гамма-функции

4. Вычисление интегралов. Формула Стирлинга

5. Примеры вычислений

Вывод

Список литературы

Реферат

Курсовая работа: 24 ст., 5 источников, 1 рис.

Объект исследований: гамма-функция и ее приложения.

В работе идет речь о представлении бета- и гамма-функций с помощью интегралов Эйлера соответственно первого и второго рода. И об их применении для вычисления интегралов.

Ключевые слова:

ГАММА- И БЕТА-ФУНКЦИЯ, ИНТЕГРАЛ ЭЙЛЕРА, ПРОИЗВОДНАЯ, ПРЕДЕЛ.

Введение

Выделяют особый класс функций, представимых в виде собственного либо несобственного интеграла, который зависит не только от формальной переменной, а и от параметра.

Такие функции называются интегралами, зависящими от параметра. К их числу относятся гамма- и бета-функции Эйлера.

Бета-функции представимы интегралом Эйлера первого рода:

.

Гамма-функция представляется интегралом Эйлера второго рода:

.

1. Бета-функции

Бета-функции определяются интегралом Эйлера первого рода:

=, (1.1)

сходятся при . Полагая =1-t, получим:

=-=,

т.e. аргументы и входят в симметрично. Принимая во внимание тождество

,

по формуле интегрирования по частям, имеем:

Откуда:

=. (1.2)

При целом b = n, последовательно применяя (1.2), получим:

. (1.3)

При целых = m, = n имеем:

,

но B(1,1) = 1, следовательно:

.

Положим в (1.1) . Так как график функции симметричен относительно прямой , то

,

и в результате подстановки , получаем:

.

Полагая в (1.1) , откуда , получим:

. (1.4)

Разделяя интеграл на два в пределах от 0 до 1 и от 1 до , и применяя ко второму интегралу подстановку , получим:

=.

2. Гамма-функция

Гамма-функцию определяет интеграл Эйлера второго рода:

(a) =, (2.1)

сходящийся при 0. Положим =ty,t > 0 , имеем:

(a) =.

и после замены , через и t через 1+t , получим:

.

Умножая это равенство и интегрируя по t в пределах от 0 до , имеем:

.

Или на основании (1.4) и после изменения в правой части порядка интегрирования ,получаем:

.

откуда:

. (2.2)

Заменяя в (2,1) , на и интегрируя по частям

,

получаем рекуррентною формулу:

. (2.3)

Так как

,

то при целом имеем:

, (2.4)

то есть при целых значениях аргумента гамма-функция превращается в факториал, порядок которого на единицу меньше взятого значения аргумента. При n=1 в (2.4) имеем:

.

3. Производная гамма-функции

Интеграл

сходится при каждом , поскольку , и интеграл при сходится.

В области , где - произвольное положительное число, этот интеграл сходится равномерно, так как и можно применить признак Вейерштрасса. Сходящимся при всех значениях является и весь интеграл так как и второе слагаемое правой части является интегралом, заведомо сходящимся при любом.Легко видеть что интеграл сходится по в любой области где произвольно. Действительно, для всех указанных значений и для всех , и так как сходится, то выполнены условия признака Вейерштрасса. Таким образом, в области интеграл сходится равномерно.

Отсюда вытекает непрерывность гамма-функции при . Докажем дифференцируемость этой функции при . Заметим, что функция непрерывна при и, и покажем, что интеграл

сходится равномерно на каждом сегменте , . Выберем число так, чтобы ; тогда при . Поэтому существует число такое, что и на.Но тогда на справедливо неравенство

и так как интеграл сходится, то интеграл сходится равномерно относительно на . Аналогично для существует такое число , что для всех выполняется неравенство . При таких и всех получим , откуда в силу признака сравнения следует, что интеграл сходится равномерно относительно на . Наконец, интеграл

в котором подынтегральная функция непрерывна в области , очевидно, сходится равномерно относительно на . Таким образом, на интеграл

сходится равномерно, а, следовательно, гаммма-функция бесконечно дифференцируема при любом и справедливо равенство

.

Относительно интеграла можно повторить те же рассуждения и заключить, что

По индукции доказывается, что Г-функция бесконечно дифференцируема прии для ее я -ой производной справедливо равенство:

.

Изучим теперь поведение - функции и построим эскиз ее графика.

Из выражения для второй производной -функции видно, что для всех . Следовательно, возрастает. Поскольку , то по теореме Роля на сегменте [1,2] производная при и при , т.е. монотонно убывает на и монотонно возрастает на . Далее, поскольку , то при . При из формулы следует, что при .

Равенство , справедливое при , можно использовать при распространении - функции на отрицательное значение .

Положим для, что . Правая часть этого равенства определена для из (-1,0). Получаем, что так продолженная функция принимает на (-1,0) отрицательные значения и при , а также при функция .

Определив, таким образом, на , мы можем по той же формуле продолжить ее на интервал (-2,-1). На этом интервале продолжением окажется функция, принимающая положительные значения и такая, что при и . Продолжая этот процесс, определим функцию , имеющею разрывы в целочисленных точках (см. рис.1).

Отметим еще раз, что интеграл

определяет Г-функцию только при положительных значениях , продолжение на отрицательные значения осуществлено нами формально с помощью формулы приведения .

Рис.1

4. Вычисление некоторых интегралов. Формула Стирлинга

Применим гамма-функцию к вычислению интеграла:

,

где m > -1, n > -1.Полагая, что , имеем:

,

и на основании (2.2) имеем:

. (3.1)

В интеграле

,

где k > -1,n > 0, достаточно положить :

.

Интеграл

,

где s > 0, разложить в ряд

=,

где дзетта-функция Римана.

Рассмотрим неполные гамма-функции (функции Прима):

,

связанные неравенством

.

Разлагая в ряд, имеем:

.

Переходя к выводу формулы Стирлинга, дающей в частности приближенное значение n! при больших значениях n ,рассмотрим предварительно вспомогательную функцию

. (3.2)

Непрерывна на интервале (-1,) монотонно возрастает от до при изменении от до и обращаются в 0 при u = 0. Так как

,

то при u > 0 и при u < 0, далее имеем:

.

И так производная непрерывна и положительна во всем интервале , удовлетворяет условию:

.

Из предыдущего следует, что существует обратная функция, определенная на интервале непрерывная и монотонно возрастающая в этом интервале, обращающаяся в 0 при v=0 и удовлетворяющая условие:

. (3.3)

Формулу Стирлинга выведем из равенства

,

полагая , имеем:

.

Положим далее введенная выше обратная функция, удовлетворяющая условиям u = -1при , и при . Замечая, что (см. 3.2):

,

имеем:

,

полагая на конец, , получим:

или

.

В пределе при , т.е. при (см 3.3):

,

откуда вытекает формула Стирлинга:

,

которую можно взять в виде:

, (3.4)

где , при .

Для достаточно больших полагают:

, (3.5)

вычисление же производится при помощи логарифмов:

.

Если целое положительное число, то и (3.5) превращается в приближенную формулу вычисления факториалов при больших значениях n.

.

Приведем без вывода более точную формулу:

,

где в скобках стоит не сходящийся ряд.

5. Примеры вычисления интегралов

Для вычисления необходимы формулы:

,

Г().

Вычислить интегралы:

,

,

,

,

.

Вывод

Гамма-функции являются удобным средством для вычисления некоторых интегралов в частности многих из тех интегралов, которые не представимы в элементарных функциях.

Благодаря этому они широко применяются в математике и ее приложениях, в механике, термодинамике и в других отраслях современной науки.

Список литературы

1. Специальные функции и их приложения: Лебедев И.И., М.:, Гостехтериоиздат, 1953.

2. Математический анализ часть 2: Ильин О.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Л. - Х.,М.:,”Московский университет”, 1987.

3. Сборник задач по математическому анализу: Демидович Б.П., М., Наука, 1966.

4. Интегралы и ряды специальные функции: Прудников А.П., Брычков Ю.А., М.:, Наука, 1983.

5. Специальные функции: Кузнецов, М.,”Высшая школа”,1965.