Некоторые функции высшей математики

НЕКОТОРЫЕ ФУНКЦИИ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

1. Бэта-функции

Бэта - функции определяются интегралом Эйлера первого рода:

= (1.1)

сходятся при .Полагая =1 - t получим:

= - =

т.e. аргумент и входят в симетрично. Принимая во внимание тождество

по формуле интегрирования почестям имеем

Откуда

= (1.2)

При целом b = n последовательно применяя(1.2)

Получим

(1.3)

при целых = m, = n,имеем

но B(1,1) = 1,следовательно:

Положим в (1.1) .Так как график функции симметрична относительно прямой ,то

и в результате подстановки , получаем

полагая в(1.1) ,откуда ,получим

(1.4)

разделяя интеграл на два в пределах от 0 до 1 и от 1 до и применение ко второму интегралу подстановки ,получим

=

2. Гамма-функция

Гамма функцию определяет интеграл Эйлера второго рода

G (a) = (2.1)

сходящийся при 0.Положим =ty,t > 0 ,имеем

G (a) =

и после замены , через и t через 1+t ,получим

Умножая это равенство и интегрируя по t и пределах от 0 до , имеем:

или на основании (1.4) и после изменения в правой части порядка интегрирования ,получаем:

откуда

(2.2)

заменяя в (2,1) ,на и интегрируем по частям

получаем рекурентною формулу

(2.3)

так как

но при целом имеем

(2.4)

то есть при целых значениях аргумента гамма-функция превращается в факториал.Порядок которого на единицу меньше взятого значения аргумента.При n=1 в (2.4) имеем

3. Производная гамма функции

Интеграл

сходится при каждом ,поскольку ,и интеграл

при сходится

В области , где - произвольное положительное число, этот интеграл сходится равномерно, так как и можна применить признак Веерштраса. Сходящимся при всех значениях является и весь интеграл так как и второе слогаемое правой части является интегралом, заведомо сходящимся при любом .Легко видеть что интеграл сходится по в любой области где произвольно.Действительно для всех указаных значений и для всех ,и так как сходится, то выполнены условия признака Веерштрасса. Таким образом , в области интеграл cходится равномерно.

Отсюда вытекает непрерывность гамма функции при .Докажем дифференцируемость этой функции при .Заметим что функция непрерывна при и , и покажем ,что интеграл

сходится равномерно на каждом сегменте , . Выберем число так , чтобы ; тогда при .

Поэтому существует число такое , что и на .

Но тогда на справедливо неравенство

и так как интеграл сходится, то интеграл сходится равномерно относительно на . Аналогично для существует такое число , что для всех выполняется неравенство . При таких и всех получим , откуда в силу признака сравнения следует , что интеграл сходится равномерно относительно на . Наконец , интеграл

в котором подынтегральная функция непрерывна в области

, очевидно, сходится равномерно относительно на . Таким образом , на интеграл

сходится равномерно , а, следовательно , гаммма функция бесконечно дифференцируема при любом и справедливо равенство

Относительно интеграла можна повторить теже рассуждения и заключить, что

По индукции доказывается, что Г-функция бесконечно дифференцируема при и для ее я -ой производной справедливо равенство

Изучим теперь поведение - функции и построим єскиз ее графика

Из выражения для второй производной -функции видно, что для всех . Следовательно, возрастает. Поскольку , то по теореме Роля на сегменте [1,2]производная при и при , т. е. Монотонно убывает на и монотонно возрастает на . Далее , поскольку , то при . При из формулы следует , что при

Равенство , справедливое при , можно использовать при распространении - функции на отрицательное значение

Положим для , что . Правая часть этого равенства определена для из (-1,0) . Получаем, что так продолженная функция принимает на (-1,0) отрицательные значения и при , а также при функция

Определив таким образом на , мы можем по той же формуле продолжить ее на интервал (-2,-1). На этом интервале продолжением окажется функция, принимающая положительные значения и такая, что при и . Продолжая этот процесс, определим функцию , имеющею разрывы в целочисленных точках (см. рис.1)

Отметим еще раз, что интеграл

определяет Г-функцию только при положительных значениях , продолжение на отрицательные значения осуществлено нами формально с помощью формулы приведения

(рис.1)

4. Вычисление некоторых интегралов

Формула Стирлинга. Применим гамма функцию к вычислению интеграла:

где m > -1,n > -1.Полагая , что ,имеем

и на основании (2.2) имеем

(3.1)

В интеграле

Где k > -1,n > 0,достаточно положить

Интеграл

Где s > 0,разложить в ряд

=

где дзетта функция Римана

Рассмотрим неполные гамма функции (функции Прима)

связанные неравенством

Разлагая, в ряд имеем

Переходя к выводу формулы Стирлинга, дающей в частности приближенное значение n! при больших значениях n ,рассмотрим предварительно вспомогательную функцию

(3.2)

Непрерывна на интервале (-1, ) монотонно возрастает от до при изменении от до и обращаются в 0 при u = 0.Так как

то при u > 0 и при u < 0 , далее имеем

И так производная непрерывна и положительна во всем интервале , удовлетворяет условию

Из предыдущего следует, что существует обратная функция, определенная на интервале непрерывная и монотонно возрастающая в этом интервале,

Обращающаяся в 0 при v=0 и удовлетворяющая условие

(3.3)

Формулу Стирлинга выведем из равенства

полагая ,имеем

Положим далее введенная выше обратная функция, удовлетворяющая условиям u = -1при ,и при .Замечая что(см.3.2)

имеем

,

полагая на конец , ,получим

или

в пределе при т.е. при (см3.3)

откуда вытекает формула Стирлинга

которую можно взять в виде

(3.4)

где ,при

для достаточно больших полагают

(3.5)

вычисление же производится при помощи логарифмов

если целое положительное число, то и (3.5) превращается в приближенную формулу вычисления факториалов при больших значениях n

приведем без вывода более точную формулу

где в скобках стоит не сходящийся ряд

5. Примеры вычисления интегралов

Для вычисления необходимы формулы:

Г( )

Вычислить интегралы

Вывод

Гамма функции являются удобным средством для вычисления некоторых интегралов в частности многих из тех интегралов, которые не представимы в элементарных функциях.

Благодаря этому они широко применяются в математике и ее приложениях, в механике, термодинамике и в других отраслях современной науки.

Список литературы

1. Специальные функции и их приложения: Лебедев И.И.,М.,Гостехтериоиздат,1953

2. Математический анализ часть 2: Ильин О.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х.,М.,”Московский университет”,1987

3. Сборник задач по математическому анализу: Демидович Б.П.,М.,Наука,1966

4. Интегралы и ряды специальные функции: Прудников А.П., Брычков Ю.А.,М.,Наука,1983

5. Специальные функции: Кузнецов , М.,”Высшая школа”,1965