Вписанные и описанные окружности

Содержание

Введение

1. Основные теоремы об описанной и вписанной окружности

2. Правильные многоугольники

2.1 Теорема об окружности, описанной около правильного многоугольника

2.2 Теорема об окружности, вписанной в правильный многоугольник

2.3Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности

2.4 Решение задач с применением формул для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности

2.5 Площади правильных многоугольников

3. Построение правильных многоугольников

3.1 Способы построения правильных многоугольников

3.2 На сколько равных частей можно делить окружность с помощью циркуля и линейки?

4. Из истории

4.1 О вписанных углах. Гиппократ Хиосский

4.2 О правильных многоугольник.

5. Софизмы

6. Решение задач

Введение

Выбор темы «Вписанные и описанные окружности» обусловлен тем, что

1) данная тема при изучении курса геометрии 9 класса мне очень понравилась, мне захотелось расширить свои знания и систематизировать их;

2) данная тема содержит большое количество задач на построение с помощью циркуля и линейки;

3) предложенные мною задачи имеют практическое значение (задачи о сечении головки газового вентиля, о поперечном сечении деревянного бруска).

Цель работы: систематизация и объединение знаний по теме: «Вписанные и описанные окружности».

Примечание к работе: можно использовать

- при работе математического кружка,

- при подготовке тематических геометрических вечеров.

Работа выполнена на компьютере в текстовом редакторе Microsoft Word 2000. Мною использован редактор формул Microsoft Equation 3.0., коллекция Word Art, список «Авто фигуры».

1. Основные теоремы об описанной и вписанной окружности

Окружность называется описанной около многоугольника, если все вершины многоугольника лежат на этой окружности, а многоугольник называется вписанным в эту окружность.

Окружность называется вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются этой окружности, а многоугольник называется описанным около этой окружности.

ТЕОРЕМА: В любой треугольник можно вписать окружность.

Доказательство.

Рассмотрим произвольный треугольник АВС и обозначим буквой О точку пересечения его биссектрис. Проведем из точки О перпендикуляры ОК, ОL, и ОМ соответственно к сторонам АВ, ВС и СА. Так как точка О равноудалена от сторон треугольника АВС, то ОК = ОL = ОМ. Поэтому окружность с центром О радиуса ОК проходит через точки К, L и М. Стороны треугольника АВС касаются этой окружности в точках К, L и М, так как они перпендикулярны к радиусам ОК, ОL и ОМ. Значит, окружность с центром О радиуса ОК является вписанной в треугольник АВС. Теорема доказана.

Замечание. 1) Отметим, что в треугольник можно вписать только одну окружность. В самом деле, допустим, что в треугольник можно вписать две окружности. Тогда центр каждой окружности равноудален от сторон треугольника и, значит, совпадает с точкой О пересечения биссектрис треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до сторон треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают.

2) В отличие от треугольника не во всякий четырехугольник можно вписать окружность. Рассмотрим, например, прямоугольник, у которого смежные стороны не равны, т. е. прямоугольник, не являющийся квадратом. Ясно, что в такой прямоугольник можно “поместить” окружность, касающуюся трех его сторон, но нельзя “поместить” окружность так, чтобы она касалась всех четырех его сторон, т. е. нельзя вписать окружность.

Если же в четырехугольник можно вписать окружность, то его стороны обладают следующим замечательным свойством:

В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

AB + CD = BC + AD

ТЕОРЕМА: Около любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство.

Рассмотрим произвольный треугольник АВС. Обозначим буквой О точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам и проведем отрезки ОА, ОВ и ОС. Так как точка О равноудалена от вершин треугольника ABC, то OA = OB = OC. Следовательно, окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника и, значит, является описанной около треугольника АВС. Теорема доказана.

Замечание. 1) Отметим, что около треугольника можно описать только одну окружность. В самом деле, допустим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из них равноудален от его вершин и поэтому совпадает с точкой О пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают.

2) В отличие от треугольника около четырехугольника не всегда можно описать окружность. Например, нельзя описать окружность около ромба, не являющегося квадратом.

Если же около четырехугольника можно описать окружность, то его углы обладают следующим замечательным свойством:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180⁰.

A + C = B + D

Верно обратное утверждение: Если сумма противоположных углов четырехугольника

равна 180⁰, то около него можно описать окружность.

2. Правильные многоугольники

Выпуклый многоугольник называется правильным многоугольником, если равны все его углы и все его стороны.

2.1 Теорема об окружности, описанной около правильного многоугольника

ТЕОРЕМА: Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.

Доказательство.

Пусть А₁А₂А_3…А_n - правильный многоугольник, О - точка пересечения биссектрис углов А₁ и А₂.

Соединим точку О отрезками с остальными вершинами многоугольника и докажем, что ОА₁=ОА₂=…=ОА_n. Так как А₁=А₂, то 1=3, поэтому треугольник А₁А₂О равнобедренный, и, следовательно, ОА₁=ОА₂. Треугольники А₁ А₂О и А₃А₂О равны по двум сторонам и углу между ними (А₁А₂=А₃А₂, А₂О - общая сторона и 3=4), ОА₃=ОА₁.

Аналогично можно доказать, что ОА₄=ОА₂, ОА₅=ОА₃ и т.д.

Итак, ОА₁=ОА₂=…=ОА_n, т.е. точка О равноудалена от всех вершин многоугольника. Поэтому окружность с центром О и радиусом ОА₁ является описанной около многоугольника.

Докажем теперь, что описанная окружность только одна. Рассмотрим какие-нибудь три вершины многоугольника, например А₁, А₂, А₃. Так как через эти точки проходит только одна окружность, то около многоугольника А₁А₂…А_n можно описать только одну окружность. Теорема доказана.

2.2 Теорема об окружности, вписанной в правильный многоугольник

ТЕОРЕМА: В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

Доказательство.

Пусть А₁А₂…А_n - правильный многоугольник, О - центр описанной окружности. В ходе доказательства предыдущей теоремы мы установили, что ОА₁А₂ = … = ОА_nА₁, поэтому высоты этих треугольников, проведенные из вершины О, также равны: ОН₁ = ОН₂ = … = ОН_n. Отсюда следует, что окружность с центром О и радиусом ОН₁ проходит через точки Н_1, Н₂, …, Н_n и касается сторон многоугольника в этих точках, т. е. эта окружность вписанная в данный правильный многоугольник.

Докажем теперь, что вписанная окружность только одна.

Предположим, что наряду с окружностью с центром О и радиусом ОН₁ есть и другая окружность, вписанная в многоугольник А₁А₂…А_n. Тогда ее центр О₁ равноудален от сторон многоугольника, т. е. точка О₁ лежит на каждой из биссектрис углов многоугольника и, следовательно, совпадает с точкой О пересечения этих биссектрис. Радиус этой окружности равен расстоянию от точки О до сторон многоугольника, т. е. равен ОН₁. Таким образом, вторая окружность совпадает с первой. Теорема доказана.

Следствие 1. Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах.

Следствие 2. Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник.

Эту точку называют центром правильного многоугольника.

2.3Формулы для вычисления площади правильного многоугольника,

его стороны и радиуса вписанной окружности

Пусть S - площадь правильного n - угольника, а_n - его сторона, Р - периметр, а, r и R - радиусы соответственно вписанной и описанной окружностей. Докажем сначала, что

S = ?Pr. (1)

В самом деле, соединим центр данного многоугольника с его вершинами. Тогда многоугольник разобьется на n равных треугольников, площадь каждого из которых равна ?а_nr ( см.рис.п.2.2)

Следовательно,

S = n?a_nr = ?(na_n) r = ?Pr.

Выведем далее следующие формулы:

a_n = 2R sin , (2)

r = R . (3)

Для вывода этих формул воспользуемся рисунком. В прямоугольном треугольнике А₁Н₁О

А₁ = = ? 180⁰ = 90⁰ - .Следовательно, а_n = 2А₁Н₁ = 2R cos ( 90⁰ - ) = 2R sin , а r = OH₁ = R sin ( 90⁰ - ) = R cos .

Полагая в формуле (2) n = 3, 4 и 6, получим выражения для сторон правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника:

а₃ = 2R sin = 2R sin 60⁰ = 2R ? = R ; (4)

а₄ = 2R sin = 2R sin 45⁰ = 2R ? = R ; (5)

а₆ = 2R sin = 2R sin 30⁰ = 2R ? = R; (6)

2.4 Решение задач с применением формул для вычисления площади

правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной

окружности

Для иллюстрации применения данных формул (1) - (6), (п. 2.3.) можно решить задачи.

Задача № 1. Для квадрата со стороной а, вписанного в окружность радиуса R, заполнить таблицу (известные данные в каждой строке выделены жирным шрифтом).



N	R	r	a4	P	S
1		3	6	24	36
2		2	4	16	16
3	4			16	32
4		3,5	7	28	49
5		8	4	16	16

Решение.

a₄ = 2R sin = 2R sin 45⁰ = 2R ? = R;

r = R cos = R cos 45⁰ = R;

P = 4a; S = a² .

1) a₄ = R, R = , R = = .

r = ? = 3.

P = 4a = 4?6 = 24, S = a² = 36.

2) R = , R = 2,

a₄ = ? = 4,

P = 4?4 = 16, S = 16.

3) r = 4? = ,

a₄ = 4? = ,

P = 4? = , S = 32.

4) a₄ = 28 : 4 = 7,

R = = 3,5?,

r = 3,5? = 3,5,

S = 49.

5) a₄ = 4, P = 16,

R = = ,

r = ?= 8.

Задача № 2. Для правильного треугольника со стороной а, вписанной в окружность радиуса R, заполнить таблицу (известные данные в каждой строке выделены жирным шрифтом).

N	R	r	a3	P	S
1	3	1,5	3	9
2					10
3	4	2	4	12	12
4			5	15
5			2	6

Решение.

а₃ = 2R sin = 2R sin 60⁰ = 2R? = R;

r = R cos = R cos 60⁰ = R? = ;

P = a + b + c = 3a,( т.к. а = b = c), S = .

1) r = = 1,5, a₃ = ,

P = 3? = , S = .

2) a₃ = = = ,

R = = 2?? = 2? = ?,

r = : = ? =

P = ?2 = .

3) r = 2?2 = 4, a₃ = ,

P = 3? = , S = = .

4) R = = ,

r = : = ? = ,

P = 3?5 = 15, S = .

5) a₃ = 6 : 3 = 2, S = = ,

R = = ,

r = : = ? = .

Используя решенные задачи, можно составить таблицу зависимости стороны, радиуса описанной окружности, радиуса вписанной окружности для всех наиболее часто встречающихся правильных многоугольников.

Количество сторон n	а	r	S
3
4			2R2
6	R

2.5 Площади правильных многоугольников

В таблице приведены названия и формулы для площадей некоторых правильных многоугольников (a означает длину стороны), вычисленные по формуле (1) пункта 2.3.

НАЗВАНИЯ И ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНИКОВ
Число сторон	Название многоугольника	Площадь правильного многоугольника
3	Треугольник	0,433a2
4	Четырехугольник	1,000a2
5	Пятиугольник	1,720a2
6	Шестиугольник	2,598a2
7	Семиугольник	3,634a2
8	Восьмиугольник	4,828a2
9	Девятиугольник	6,182a2
10	Десятиугольник	7,694a2
n	n-угольник	.......

3. Построение правильных многоугольников

3.1 Способы построения правильных многоугольников

Рассмотрим способы построения некоторых правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки.

Задача 1. Построение правильного треугольника.

Задача 2. Построение правильного четырехугольника (квадрата).

Для построения правильных n - угольников при n > 4 обычно используется окружность, описанная около многоугольника.

Задача 3. Построение правильного многоугольника, сторона которого равна данному отрезку.

Решение. Для решения задачи воспользуемся формулой (6). Пусть PQ - данный отрезок. Построим окружность радиуса PQ и отметим на ней произвольную точку А₁. Затем, не меняя раствора циркуля, построим на этой окружности точки А₂, А₃, А₄, А₅, А₆ так, чтобы выполнялись равенства А₁А₂ = А₂А₃ = А₃А₄ = А₄А₅ = А₅А₆. Соединяя последовательно построенные точки отрезками, получим искомый правильный шестиугольник А₁, А₂, А₃, А₄, А₅, А₆.

Для построения правильных многоугольников часто используется следующая задача:

Задача 4. Дан правильный n - угольник. Построить правильный 2n - угольник.

Решение. Пусть А₁, А_2…А_n - данный правильный n - угольник. Опишем около него окружность. Для этого построим биссектрисы углов А₁ и А₂ и обозначим буквой О точку их пересечения. Затем проведем окружность с центром О радиуса ОА₁.

Для решения задачи достаточно разделить дуги А₁А₂, А₂А₃…, А_n А₁ пополам и каждую из точек деления В₁, В₂, …, В_n соединить отрезками с концами соответствующей дуги. Для построения точек В₁, В₂, …, В_n можно воспользоваться серединным перпендикулярами к сторонам данного n - угольника.

На рисунке таким способом построен правильный двенадцатиугольник А₁ В₁ А₂ В₂ … А₆ В₆.

Применяя указанный способ, можно с помощью циркуля и линейки построить целый ряд правильных многоугольников, если построен один из них. Например, построив правильный четырехугольник, т. е. квадрат, и пользуясь задачей 4, можно построить правильный восьмиугольник, затем правильный шестнадцати угольник и вообще правильный 2^k - угольник, где k - любое целое число, больше двух.

Замечание. Рассмотренные примеры показывают, что многие правильные многоугольники могут быть построены с помощью циркуля и линейки. Оказывается, однако, что не все правильные многоугольники допускают такое построение. Доказано, например, что правильный семиугольник не может быть построен при помощи циркуля и линейки. Любопытно, что с помощью этих инструментов можно построить правильный семнадцатиугольник.

Задача 5. Вписать в данный круг правильный десятиугольник и определить его сторону в зависимости от радиуса.

Решение. Используем свойство правильного десятиугольника.

Сторона правильного вписанного 10 - угольника равна большей части радиуса, разделенного в среднем и крайнем отношении.

OB : ОС = ОС : СВ (1)

1) Делят радиус круга (ОА) в среднем и крайнем отношении;

2) Дав циркулю раствор, равный большей части радиуса, откладывают им по окружности дуги, одна за другой, и точки деления последовательно соединяют хордами.

Обозначив длину стороны правильного вписанного 10 - угольника буквой х, можно пропорцию (1) переписать так:

R : x = x : ( R - x ),

откуда

x² + Rx - R² = 0.

Решив квадратное уравнение, найдем:

Х = а₁₀ = R= R?0,61803… .

Замечания: Чтобы вписать в данный круг правильный 5 - угольник, делят окружность на 10 равных частей и точки деления соединяют через одну хордами.

Задача 6. Построить пятиконечную звезду.

Решение. Разделим окружность на десять равных частей и точки деления соединим хордами через три.

3.2 На сколько равных частей можно делить окружность с помощью

циркуля и линейки

Применяя указанные в предыдущих задачах способы, мы можем с помощью циркуля и линейки делить окружность на такое число равных частей, которое заключается в следующем:

3 3 · 2 3 · 2 · 2 … вообще 3 · 2ⁿ

4 4 · 2 4 · 2 · 2 … » 2ⁿ

5 5 · 2 5 · 2 · 2 … » 5 · 2ⁿ

15 15 · 2 15 · 2 · 2 … » 3 · 5 · 2ⁿ.

Доказано, что посредством циркуля и линейки можно делить окружность на такое число равных частей, которое, будучи простым, выражается формулой

+ 1.

Например, можно разделить окружность на 17 равных частей и на 257 равных частей, так как 17 и 257 суть простые числа вида + 1(17= + 1; 275= + 1). Доказательство этого выходит за пределы элементарной математики.

Доказано также, что с помощью линейки и циркуля окружность можно делить на такое составное число равных частей, в состав которого не входят никакие иные простые множители, кроме:

1) множителей вида + 1 и

2) множителя 2 в какой угодно степени.

Например, в окружность с помощью циркуля и линейки можно вписать правильный 170 - угольник (170=2 · 5 · 17=2 · (2²+1) · ( + 1)).

На всякое иное число равных частей окружность может быть разделена приближенно. Пусть, например, требуется разделить окружность на 7 равных частей. Тогда предварительно вычислим величину центрального угла, он равен:. Построить точно такой угол мы не можем, но по транспортиру приблизительно можем отложить при центре угол в 51⁰ и тогда получим приблизительно часть окружности.

4. Из истории

4.1 О вписанных углах. Гиппократ Хиосский

Изложенное в современных учебниках доказательство того, что вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается, дано в «Началах» Евклида. На это предложение ссылается, однако, еще Гиппократ Хиосский (V в. до н. э.) в своем труде о «луночках». Труды Гиппократа свидетельствуют о том, что уже во второй половине V в. до н. э. было известно большое число теорем, изложенных в «Началах» Евклида, и геометрия достигла высокого развития.

Тот факт, что опирающийся на диаметр вписанный угол--прямой, был известен вавилонянам еще 4000 лет назад. Первое его доказательство приписывается Памфилией, римской писательницей времен Нерона, Фалесу Милетскому. Некоторые комментаторы Евклида полагают, что доказательство Фалеса, основанное на предложении, что сумма углов трёугольника равна 2d, было следующее: обозначив углы при диаметре через 1, 2, а части угла АВС, на которые он рассекается радиусом ОС, через 3, 4, получаем, с одной стороны:

1 = 3, 2 = 4;

с другой стороны: 1 + 2 + 3 + 4 = 2d,

откуда 2(З + 4) = 2d, З + 4 = d, т. е. АСВ = d.

4.2 О правильных многоугольниках

В египетских и вавилонских старинных памятниках встречаются правильные четырехугольники, шестиугольники и восьмиугольники в виде изображений на стенах и украшений, высеченных из камня.

Древнегреческие ученые стали проявлять большой интерес к правильным фигурам еще со времен Пифагора. Деление окружности на некоторое число равных частей для построения правильных многоугольников имело важное значение для пифагорейцев, которые утверждали, что числа лежат в основе всех явлений мира. Учение о правильных многоугольниках, начатое в школе Пифагора, продолженное и развитое в V--IV вв. до н. э., было систематизировано Евклидом и изложено в IV книге «Начал». Кроме построения правильного треугольника, четырехугольника, пятиугольника и шестиугольника, Евклид: решает и задачу построения правильного пятнадцатиугольника при помощи циркуля и линейки. Фигура привлекала внимание древних, т.к. было замечено, что дуга угла наклонения эклиптики к экватору представляет собой всей окружности, т.е. стягивается стороной правильного пятнадцатиугольника.

Зная, как построить правильный n-угольник, легко можно построить правильный 2n- угольник. Долгое время математики тщетно искали способы построения правильного семиугольника, девятиугольника, одиннадцатиугольника и т. д., не зная даже, возможно ли вообще построение таких многоугольников с по мощью только циркуля и линейки. Эта проблема была решена лишь в конце ХVIII в. 19-летним К. Ф. Гауссом, великим немецким математиком, доказавшим, что с помощью циркуля и линейки можно разделить окружность на такое простое число N равных частей, которое выражается формулой

N = + 1,

где n -- натуральное число или нуль.

Вот несколько примеров:

1) n = 0, N = 3;

2) n = 1, N = 5;

3) n = 2, N = 17;

4) n = З, N = 257;

5) n = 4, N = 65 537 и т. д.

После открытия Гаусса стало ясно, что, помимо ранее известных правильных многоугольников с 3; 4; 5; 6; 8; 10; 12; 15; 16; 20; 24; 30; 32; 40; ... сторонами, можно построить с помощью циркуля и линейки правильные многоугольники с 17; 34; 68; 126; 252; 257; 65537… сторонами.

С другой стороны, невозможно циркулем и линейкой построить правильные многоугольники со следующим числом сторон: 7; 9; 11; 13; 14;18; 19; 21; 22; 23; 25; 27; 28;

Еще в древности практиковалось для разных нужд приближенное по строение любого правильного многоугольника: Так, например, Герон Александрийский находит приближенное значение стороны правильного девяти угольника.

Задача построения правильного n-угольника сводится к делению окружности на n равных частей. Один практический прием такого деления предложил французский математик Н. Бион. Прием этот состоит в следующем: пусть требуется разделить окружность, например, на 9 равных частей.

На диаметре окружности строится равносторонний треугольник АВС. Диаметр АВ делим на 9 равных частей. Соединяя вторую точку деления с вершиной треугольника С, продолжим прямую до пересечения с окружностью в точке В. Луга АВ является девятой частью окружности, хорда АВ стороной правильного девятиугольника.

5. Софизмы

Софизм - это последовательность высказывания, рассуждений, построений, содержащая скрытую ошибку, за счет чего удается сделать неверный вывод. Задача обычно заключается в том, чтобы найти ошибку в рассуждениях.

Найдите ошибку в «доказательстве» того «странного» факта, что окружность имеет два центра.

Доказательство.

Пусть даны две непараллельные прямые a и b. Из точек А и В этих прямых поставим перпендикуляры до пересечения в точке С. Через три точки А, В и С проведем окружность, пересекающую прямую а в точке М, а прямую b в точке N. По построению MAC = NBC = 90⁰, значит, эти углы опираются на диаметры МС и NC построенной окружности. Середины этих диаметров - точки О₁ и О₂ - центры одной и той же окружности.

Ошибка в следующем:

MAC = NBC = 90⁰ (по построению). Эти углы являются вписанными и опирающимися на одну и туже дугу (в нашем случае, на полуокружность), поэтому точки О₁ и О₂ совпадают и лежат на отрезке DC (DC - биссектриса угла ADB).

6. Решение задач

Задача № 1(А.1090)*

Сечение головки газового вентиля имеет форму правильного треугольника, сторона которого равна 3см. Каким должен быть минимальный диаметр круглого железного стержня, из которого изготовляют вентиль?

Дано: АВС - правильный, а = 3 см, описанная окружность (О,R).

Найти: D.

Решение.

D = 2R,

a₃ = R R = = .

D = 2 · R = .

Ответ: минимальный диаметр круглого железного стержня должен быть равным см.

Задача №2 (А.1091).

Поперечное сечение деревянного бруска является квадратом со стороной 6 см. Найдем наибольший диаметр круглого стержня, который можно выточить из этого бруска?

Дано: АВСD - квадрат, а = 6 см, вписанная окружность (O,r).

Найти: D.

Решение.

r = = 3 (см),

D = 6 cм.

Ответ: наибольший диаметр круглого стержня равен 6 см.

А - Атанасян Л.С. Геометрия 7-9.

Задача № 3 (А.1092) .

Около окружности описаны квадрат и правильный шестиугольник. Найдем периметр квадрата, если периметр шестиугольника равен 48 см?

Дано: окружность (О,r), MNKL - описанный квадрат, ABCDEF - правильный описанный шестиугольник, Р_6.=48 см²

Найти:P₄.

Решение.

1) а₆ = P₆ : 6 = 48 : 6 = 8 (см),

r₆ = = = 4, т.к. R = а₆.

2) Для квадрата: r = где R - радиус описанной около квадрата окружности, r - радиус вписанной в него окружности.

a₄ =

3)

Ответ: Р₄ = 32.

Задача № 4 (Ск. 10.349)**.

Вся дуга окружности радиуса R разделена на 4 большие и 4 малые части, которые чередуются одна за другой. Большая часть в два раза длиннее малой. Определить площадь восьмиугольника, вершинами которого являются точки деления дуги окружности.

Дано: окружность (О; R), ABCDEFKM - восьмиугольник.

Найти:S_8.

** Ск. - Сканави М.И. Сборник задач.

Решение.

Длина дуги AmB в два раза больше длины дуги BnC. Тогда АОВ в два раза больше ВОС.

Пусть ВОС = х.

Тогда АОВ = 2х,

4( ВОС + АОВ) = 360⁰,

4(х + 2х) = 360⁰,

12х = 360⁰, х = 30⁰,

ВОС = 30⁰, АОВ = 60⁰.

Используя для вычисления площади восьмиугольника, формулу для вычисления площади произвольного треугольника S =absin? , найдем искомую площадь:

S = 4(SAOB + SBOC) = 4(R2 sin 600 + R2sin 300) = 4( + ) = R2(1 +).

Ответ: R²(1 +).

Задача № 5 (Ск. 10.349).

Каким необходимым и достаточным условием должна удовлетворять трапеция, чтобы в нее можно было вписать и около нее можно было описать окружность?

Дано: АВСD -трапеция.

Решение.

Для того, чтобы в трапецию можно было вписать окружность и вокруг нее можно было описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы трапеция была равносторонней и боковая сторона равнялась полусумме оснований.

Необходимость.

Пусть ABCD - трапеция, вокруг которой описана окружность с центром в точке О₁ и в которую вписана окружность с центром в точке О₂.

Тогда по свойству четырехугольника, вписанного в окружность,

АВС + ADC = 180⁰.

Но АВС + BAD = 180⁰ и, следовательно, BAD = ADC и трапеция ABCD - равнобокая, AB = CD.

Кроме того, так как в трапецию вписана окружность, то AB + CD = BC + AD и, значит, AB = CD =

Достаточность.

Пусть ABCD - равнобокая трапеция (АВ = СD) и

АВ = СD =.

Тогда BAD = ADC, но BAD + АВС = 180⁰.

Отсюда ADC + АВС = 180⁰, и вокруг трапеции ABCD можно описать окружность. Кроме того, AB + CD = BC + AD и, следовательно, в ABCD можно вписать окружность.

ЛИТЕРАТУРА

1. Геометрия. Учебник для 7 - 9 кл. ср.школы. / Л.С. Атанасян и др., М.: Просвещение, 1990.

2. М.В. Ткачева « Домашняя математика », М. : Просвещение, 1994.

3. Г.И. Глейзер «История математики в школе, 7 - 8 классы», М.: Просвещение, 1982.

4. А.П. Киселев, Н.А. Рыбкин. «Геометрия. Планиметрия. 7 - 9 классы», М. : Дрофа, 1995.

5. И.Ф. Шарыгин, Л.Н. Ерганжиева. «Наглядная геометрия», М.: МИРОС, КПЦ «Марта», 1992.

6. Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во втузы. Под ред. М.И. Сканави. Учебное пособие, 1994.

РЕЦЕНЗИЯ

на реферат, выполненный учащимся 9 а класса

Онещюк Игорем

Представленная работа «Вписанные и описанные окружности» основана на изученном в курсе геометрии 7 - 9 класса материале. На успешное усвоение данной темы указывает использование наглядности в данной работе, которая в свою очередь показывает хорошо развитое пространственное воображение учащегося. В работе просматривается развитие интереса учащегося к изучаемой теме и геометрии в целом.

Изложение данного раздела курса геометрии дано в системе и логически выдержано. Содержание разбито по главам.

В реферате просматривается творческая, самостоятельная работа учащегося. Реферат отличается хорошим подбором задач, которые можно использовать учителю на уроках и в индивидуальной работе с наиболее подготовленными учащимися.

Учащимся уделено достаточное внимание теории, историческому материалу, занимательным задачам, задачам на построение с помощью циркуля и линейки.

Данная работа выполнена Онещюк И. на компьютере в текстовом редакторе Microsoft Word 2000. Использован редактор формул Microsoft Equation 3.0., коллекция Word Art, список «Автофигуры».

Данная работа соответствует отметке _________________________

Учитель математики Н.С.Голенко

РЕЦЕНЗИЯ

на реферат, выполненный учащейся 11 в класса

Скабаровой Мариной.

Представленная работа «Пирамиды» основана на изученном в курсе стереометрии 10 - 11 класса материале. Данный реферат представляет собой логически выстроенную работу, содержащую как собственное мнение о месте этой темы, так и исторический материал, теоретические сведения.

На успешное усвоение этой темы указывают использование изображения, моделирование и конструирование пространственной фигуры «Пирамида», при этом развертки пирамид отличаются друг друга различными условиями (более 10 вариантов оснований или расположения ребер пирамиды).

Изложение данного раздела курса геометрии дано в системе и логически выдержано. Содержание разбито по главам.

Учащаяся умело применила аппарат алгебры и тригонометрии, знание формул планиметрии в ходе решения задач повышенной трудности, умело иллюстрировала условия стереометрических задач.

В ходе работы прослеживается интерес к изучаемой теме и ее практическое применение. Работа выполнена на компьютере в текстовом редакторе Microsoft Word 2000. Использован редактор формул, список «Авто фигуры».

Желательно было подробнее показать способы построения разверток.

Данная работа соответствует отметке _________________________

Учитель математики С.Ю. Онещюк